_学年高中数学第三章导数及其应用3.3_3.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修1_1

3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
A 级 基础巩固
一、选择题
1．函数y ＝12
x 2－ln x 的单调减区间是( ) A ．(0，1)
B ．(0，1)∪(－∞，－1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，＋∞)
解析：因为y ＝12
x 2－ln x 的定义域为 (0，＋∞)， 所以 y ′＝x －1x ，令y ′＜0，即x －1x
＜0， 解得：0＜x ＜1或x ＜－1.
又因为x ＞0，所以 0＜x ＜1.
答案：A
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝x e 2
C ．y ＝x 3－x
D ．y ＝ln x －x
解析：显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e
2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋
33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－
33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数， 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1(x ＞0)． 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．
答案：B
3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2
－3b ＜0时，f (x )是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．既不是增函数也不是减函数
解析：求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2
－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数．
答案：A 4．若函数y ＝f (x )在定义域(－32
，3)内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，1，[2，3) B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－32，12，[1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43，⎣⎢⎡⎭
⎪⎫83，3 解析：求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，3上的单调递减区间．由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，1和[2，3)． 答案：A
5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，且当x ＞0时，有f ′(x )＞0，则当x ＜0时，有( )
A ．f ′(x )≥0
B ．f ′(x )＞0
C ．f ′(x )≤0
D ．f ′(x )＜0
解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以 f (x )为奇函数，图象关于原点对称，因为当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以 f (x )为增函数，当x ＜0时，f (x )也为增函数，所以 f ′(x )＞0.
答案：B
二、填空题
6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，得cos x ＜12，又x ∈(0，π)，所以 π3
＜x ＜π. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π
7．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)，f (3)，f (e)按从小到大排列应为________ . 解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x
＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．
答案：f (2)＜f (e)＜f (3)
8．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )＞0；
②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；
③若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增函数；
④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内有f (x )＜0.
解析：对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′(x )＜0只能得到f (x )单调递减．
答案：③
三、解答题
9．证明：函数f (x )＝ln x x
在区间(0，2)内是增函数． 证明：f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x
2. 因为0＜x ＜2，所以ln x ＜ln 2＜1，故1－ln x ＞0.
所以f ′(x )＝1－ln x x 2＞0. 根据导数与函数单调性的关系，
得函数f (x )＝ln x x
在区间(0，2)内是增函数． 10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
解：(1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，
所以 f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，
如－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.
所以 ⎩
⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，
解得b ＝c ＝－3.
故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.
(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令f ′(x )＞0，得x ＜1－2或x ＞1＋2；
令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.
故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．
B 级 能力提升
1．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( )
A ．f (x )＞g (x )
B ．f (x )＜g (x )
C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )
D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )
解析：因为f ′(x )－g ′(x )＞0，所以 ()f （x ）－g （x ）′＞0，所以 f (x )－g (x )在
[a ，b ]上是增函数，
所以 当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )，
所以 f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．
答案：C
2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．
解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1，
2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32
，c ＝－6. 答案：－32
－6 3．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．
(1)用关于m 的代数式表示n ；
(2)求函数f (x )的单调增区间．
解：(1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，
又f ′(2)＝0，所以 3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .
(2)因为n ＝－3m ，
所以 f (x )＝mx 3－3mx 2，
所以 f ′(x )＝3mx 2－6mx .
令f ′(x )＞0，即3mx 2－6mx ＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0，2)．
综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0，2)．。