涉及导数和分担值的全纯函数的正规定则
关于全纯函数的正规定则
关于全纯函数的正规定则
全纯函数（pure function）是函数式编程中的一个重要概念，也是一种编程范式，它所遵循的正规定则包括：
（1）不可变性（Immutability）：全纯函数的输入变量不可以修改，每个函数都会创建一个新的输出变量。
因此，全纯函数的运算结果仅仅依赖于它的输入变量，对于同一个输入变量，即使在不同的时刻调用，函数的运算结果也是一致的。
（2）幂等性（Idempotence）：全纯函数的输出是确定的，因此调用全纯函数多次，其运行结果和调用一次的结果是一致的，也就是说，全纯函数是幂等的。
（3）同构性（Isomorphism）：全纯函数在任何情况下，其输入和输出都是同构的，即相同的输入总是能够获得相同的输出。
（4）缺省安全（Default Safety）：全纯函数允许使用nil或者空值作为输入，而不会报错或者出现其他异常。
（5）独立性（Independent）：在没有其他函数的辅助作用下，全纯函数是完备的，它可以自行完成它所要实现的功能，也就是说，它只依赖于它的参数输入和自身而不依赖外部状态。
由于全纯函数遵循了上述五个正规定则，诸如保证了程序的正确性，减少了编程时的复杂性、增加了程序的可测试性等等，因此，它在函数式编程中受到了广泛的应用。
涉及分担值的亚纯函数的正规定则
对任意厂 Ｆ ∈ 的零点重数至少 为 ｋ １ ＋． 如果对任意的ｆｇ Ｆ 在区域 Ｄ上有ｆ ａ厂 与 ｇ ａｇ “ ，∈ ， ＋（ ） ＋ （ ） 分担 ｂ ，
则 在 Ｄ 内正规 ．
１ 有关 引理
引理 １ 设 ｋ是 一 正 整数 ， 一 族 定 义在 单 位 圆盘 △上 的亚 纯 函数 ， 任 意 的厂∈Ｆ 的所 有零 点 ｒ 瑚 Ｆ是 对
第 ２ 卷 第 ４期 １
２ ０年 １ ０１ ２月
广 西 工 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＧＵＡＮＧ ＸＩＵＮＩ ＥＲＳＴ ＯＦＴ ＨＮＯＬ Ｙ Ｖ Ｉ Ｙ ＥＣ ＯＧ
Ｖ０ ． １ １ Ｎｏ４ ２ ．
Ｄｅ ．２ Ｏ ｅ ０ｌ
文 章编 号 １０ ． １ （０ ０ ０ －０ ５０ ０ ４６ ０ ２ １ ）４０ ８ — ４ ４
个 有 穷复 数无 穷 多 次． 定 理 Ｄ 设 Ｆ是 一 族 区域 Ｄ 上 的 亚 纯 函数 ， ， ≥ ＋ ｋ ｎ １为两 个 正 整数 ，（ ）ｂ ｂ ） 两个 有 穷 复数 ． ａ ≠Ｏ ， （ ≠Ｏ 为
如果对任意厂 Ｆ ∈ 的零点重数至少为 ｋ ｌ且ｆ ａ厂 ）≠６ 则 Ｆ在 Ｄ内正规． ＋ ， ＋ （‘ ， Ｊ Ｑ问 虑从 分 担值 情 况 改 进定 理 Ｄ， 明 了 ． ｉ考 Ｍ． 证
定理 Ａ 设 厂 为超 越 亚 纯 函数 ， 非零 有 穷 复数 ， 对 任 意正 整 数 ≥５ ｆ ＋ 取 每 一 个 有穷 复 数 无 ａ是 则 ，
．
穷多 次．
叶亚盛 研 究 一个 类 似 的 问题 。 明 了 证
定理 Ｂ 设 厂 为超越亚纯 函数 ， 是非零有穷复数 ， ａ 则对任意正整数 ≥３ ＋ （ ） 取每一个有穷复数 ａ厂 ｆ
全导数锁链法则
全导数锁链法则全导数锁链法则是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算由多个函数复合而成的复杂函数的导数。
这个法则可以帮助我们简化导数的计算过程，并且可以应用于各种实际问题中。
全导数锁链法则的核心思想是将复杂函数的导数表示为每个函数的导数的乘积。
具体而言，对于一个由多个函数复合而成的函数f(x)，如果每个函数的导数都存在，那么f(x)的导数可以表示为每个函数的导数的乘积。
为了更好地理解全导数锁链法则，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个函数f(x) = g(h(x))，其中g(x)和h(x)是两个可导函数。
根据全导数锁链法则，f(x)的导数可以表示为g'(h(x))乘以h'(x)。
这意味着，我们只需要计算每个函数的导数，然后将它们相乘就可以得到f(x)的导数。
例如，如果我们要计算函数f(x) = (2x + 3)^2的导数，我们可以将它表示为f(x) = g(h(x))的形式，其中g(x) = x^2，h(x) = 2x + 3。
根据全导数锁链法则，f(x)的导数可以表示为g'(h(x))乘以h'(x)。
首先，计算g'(x)的导数，我们得到g'(x) = 2x。
然后计算h'(x)的导数，我们得到h'(x) = 2。
最后，将g'(h(x))乘以h'(x)，我们得到f'(x) = 2(2x + 3)乘以2，即f'(x) = 4(2x + 3)。
通过这个例子，我们可以看到全导数锁链法则的简便性和实用性。
它可以帮助我们快速计算复杂函数的导数，而不需要进行繁琐的求导过程。
这对于解决实际问题，特别是在物理、工程等领域中，非常有帮助。
除了上述的简单例子，全导数锁链法则还可以应用于更复杂的函数。
例如，如果我们有一个函数f(x) = sin(x^2 + 2x)，我们可以将它表示为f(x) = g(h(x))的形式，其中g(x) = sin(x)，h(x) = x^2 + 2x。
涉及分担集的亚纯函数的正规定则
２ ） ，＋ ， ） ，壹 ＜ ）
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（） １
因为 Ｔ（，（ ） （ １Ｔ（，） （，） ｆｚ 为 有穷级 亚纯 函数 ， ， （） ｒ． ＋ ） ｒｆ ＋ｓ ｒｆ 及 （） 厂） （ ｚ 也是 有穷级 亚 ）
ａＥＳ
称 为 Ｉ ｇ的 Ｉ 公 共集 ，若 Ｅ（， ） Ｅ（，）称 ｓ为 ．和 ｇ的 Ｃ 公共 集 ． 厂和 Ｍ Ｓ， ＝ Ｓ ９， 厂 Ｍ １９ ， Ｗ ． ｈ ｉ ９２年 Ｓ ｗｃ 次将分 担值 和正 规族 联系 起来 ，在 文献 ｆ 中证 明 了 ｃ ｋ首 １ ］ 定理 Ａ 设 为 区域 Ｄ 上 的亚纯 函数族 ， ａ，２ａ １ａ ，３为三 个 判别 的有穷 复 数 ．若 对 ｖ ， ｆ∈ ｆ和 ｇＩ 分担 ａ ，２ａ ， Ｍ ｌａ ，３ 则 在 Ｄ 内正规 ． 此后 开 始 了与分 担值 相关 的 整 函数和 亚纯 函数 的正规性 研 究 ，并 取得 了很 多 有 意义 的 结果 （ 阅文 献 『 ５） ０ ７年 ，刘 晓军和 庞学 诚研 究 了亚纯 函数及 其 一 阶导 数 的分担 一 个 参 ２ ］ ．２ ０ 集合 的正规 性 问题 ，在 文献 『 中得到 了 ６ １ 定理 Ｂ 设 为 区域 Ｄ 上 的亚 纯 函数 族 ， ａ ，２ａ １ａ ，３为 三个 判 别 的有 穷 复数 ， Ｓ ＝
纯函数．故 ｓｒ厂 ）＝Ｏ１ ｒ． （ ． ） （ｇ ） 又因为 ．ｚ 的零点只有有限个，所以 （ ｛ ＝Ｏ（ｇ） ，（ ｏ 厂） （ ｒ ） ， １ ｒ． ｏ
从而 有 ２ ｒＪ ） Ｔ（，（） Ｐ （ｊ） ｒ ＿ｆ ＋Ｏ（ ｇ ） 另一 方面 ， ２ ｒ＇ ） Ｔ（，（）＋一 ｒ， ． 以 １ ｒ， ｏ Ｔ（，（ 厂） ｒ， ） Ｎ（， ） 所 Ｔ（，（ ） ｒ． ＝Ｏ（ ｇ ）即 ｆｚ 为有理 函数 ． 厂） １ ｒ， ｏ （） １ 引理 ２７ 正规 亚纯 函数 的级 至多 为 ２ ［ ｌ ． 引理 ３８ 设 为单 位 圆盘上 的亚纯 函数族 ， 和 Ｐ均 为正 整数 ，如 果 ｖ ， ［ 】 ｆ∈ ｆ—ａ 的零 点重 级 ｋ 极点 重级 Ｐ 且存在 Ａ ＞ １使 得 ｆｚ ＝０ Ｉ（） ） Ａ． ， ， ， （） ， （ ｌ ｚ 若 在 Ｄ 内 不正 规 ，那 么对 任一 实数 （ Ｐ＜Ｏ ｋ ， 在 一 Ｌ ）存
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族
涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族1 引言全纯函数在复分析中扮演着重要的角色，其中正规族的概念是一个重要的话题。
正规族指的是满足良好条件的全纯函数的集合，具有很好的性质和应用价值。
本文将介绍一种特殊的正规族，即涉及复合函数分担条件的全纯函数正规族。
2 复合函数分担条件在讨论涉及复合函数分担条件的正规族之前，我们需要先了解什么是复合函数分担条件。
第一个复合函数分担条件是由Osgood于1903年提出的。
具体地说，若f(z)和g(z)是两个互不恒等的整函数（即在复平面上有无限个极点），则称f(z)共享g(z)的值分布，如果存在无限多的z，满足f(z)=f(w)和g(z)=g(w)。
简单来说，这个条件要求两个函数有无限个点具有相同的函数值。
后来，F. Nevanlinna等人进一步研究了该条件，并提出了更深入的理论。
3 复合函数分担条件的应用复合函数分担条件在复分析中有着广泛的应用。
一些经典的定理，如Picard定理和Littlewood定理，都涉及这个条件。
此外，在数论中，类似的条件在L-函数研究中也有应用。
4 复合函数分担条件的正规族基于复合函数分担条件，我们可以定义一种特殊的正规族。
具体地说，我们称一族全纯函数F={f(z)}为满足复合函数分担条件的正规族，如果对于任意两个函数f(z)和g(z)在复平面上有无限个点共享函数值时，它们都属于正规族F中的某一个函数的超越值。
在研究这一正规族的性质之前，我们先来看几个例子。
a) 设f(z)=e^z和g(z)=e^(z^2)，则f(z)和g(z)有无限个点共享函数值。
因此，可以将它们放在同一个正规族中。
b) 设f(z)=sin(z)和g(z)=sin^2(z)+cos^2(z)=1，则f(z)和g(z)没有任意两个点共享函数值。
因此，它们不属于任何一个正规族。
通过以上例子，我们可以看出，该正规族的定义是十分严格的，符合此条件的函数集合非常有限。
5 涉及复合函数分担条件的正规族的性质涉及复合函数分担条件的正规族具有很多有趣的性质。
涉及高阶导数分担值的亚纯函数
存 在 函数列 ∈Ｆ， 点列 一 。和 正数列 Ｐ 一 ０ 使得 ｇ （ 。 ， ）＝ （ ＋ ）一。 ｚ ｐ 在 复平面 Ｃ上按球 距
— — — — — — — 一
ｐ
内闭 一致 收敛 于一 个亚纯 函数 ｇ ） 并且 ｇ （ （ ， ）≤ ｇ （ ）＝ｋ １ ｌ ）＋１ 且 ｇ ）的级不 大于 ２ ０ （ ０ ＋１ ， （ ．
我们 断言 （） ｇ ）＝０ ‘ ）＝口 （ｉ ｇ“ ）＝Ｏ ‘ 孝 ｉ （ （ ；ｉ ） ‘ （ ｇ （ ）＝ｂ （ｉ ｇ （）一０ 重 ；ｉ） ‘ 孝 ｉ 没
级零 点．
先证（） 设 ｇ ）：０ 则 由 Ｈ ｒｉ 定理 知， ｉ． （ ， ｕｗｔ ｚ 存在 ， 一 ， 。 使得当 ｎ充分大时有 ｇ （ ）＝
收稿 日 ：０ １ ９ ３ 修 回 日 ： １－ － 期 ２ｌ－ － ； ０２ 期 ２ ２ ２２ ０ ０ ０
作者简介 ： 任娜娜 （９ ７ ） 女 ， １８ 一 ， 吉林 白山人 。硕士研究生 ， 主要从事复分析方面的研究。Ｅ ｍ ｉ ￣ｎ ５５ １ ＠１６ ｃｒ。 ． ａｌ ００ ２ ４ ２ ．ｏ ： ｎ 通讯作 者： 田宏根 （９ ３ ） 男 ， １５ 一 ， 江苏邗江人 。教授 ， 硕士研究生导师 ， 主要从事复分析方面的研究 。
定理２ 设 Ｆ是区域 Ｄ内的一族全纯函数 ，，（ ≠０ 是两个有穷复数 ， ｏｂｂ ） Ｆ中任意函数厂 满足（） ｉ ｚ ＝ｏ当且 仅 当厂（ ）＝０ （ｉ ｆ （ ）＝ ｂ 则厂（ ）＝ ｂ 那 么 Ｆ在 Ｄ 内正规． ） ｚ ，ｉ ） ｚ ， ｚ ， 我们 自然希 望把 定理 ２中的． 改成 ． 本 文证 明了下述 定理 ． 厂 ¨，
涉及分担函数的亚纯函数族的正规定则
０ ａｄｆｒ ａｈ ， ， ｅｆ ｇ∈Ｆ， ”ａｄ ｓａｅ （ ） ｎ ｗ ｅｅ ｚ ０ｉａｈｉｍ ｒｈｃ ｕ ｃｏ ， ｈｓ ｕ ｉｌ ｉ ｎ ｏｅ ｎ ｇ ｈｒ Ｏ ｚ ｉ Ｄ， ｈｒ （） ０ ｏ ｉ ｆｎｔ ｎ ｗ ｏｅｍ ｈｐ ｃ ｓ ｏ ｐ ｉ ｉ・
ｔ ｓ ｏ ｅ ｏ ｎＤ ｒ ｔｍｏ ｔ ，ｗ ｅｅ ｋ ｒ ｏ ｉ ｖ ｎ ｅ ｅ ． ｉ ｆｚ ｒｓ ｉ ｅ ａｅ ａ ｓ ｌ ｈ ｒ ，Ｚ ｅ ｐ ｓｔ ｅ ｉ ｔｇ ｒ ａ ｉ ｓ
≠０ 且其极点个数记为 ｔ若满足条件（ ） ｚ 的极点重数都至少为 ｄ ｔ＜ｋ＋ｄ 或条件 ， ， １ ） 且 ，
（ ） 其极 点重 数都 至少 为 ｄ＋１那么 ¨ 一ｐ ｚ ２： ， （）至少有 两个 不 同的零点 ， 且 ¨ 一Ｐ ０ （） ．
证明 由于 ） 是一个非多项式有理函数 ， 石 且 ）≠ ０ 所以可设 ，
如果对每个，Ｅ， ） ” ≠０且－ （） 零点重数至少为 ， ≠ｏ （） ， ， ＜ ¨一 彳 的
上正规 ．
， Ｆ 则 必在Ｄ
２１ ０２年丁杰 ， 戚建明， 朱泰英［ ］ 以下结果 ： ３有
定理 Ｃ 设 （）事０区域 Ｄ 内的全纯 函数 ， 是正 整数 ， ｋ Ｆ是 区域 Ｄ内 的一 族亚 纯 函数 ，
所 以 ｄｇ ｇ ）＝ｋ ｔ一１ ｅ（１ （ ）．
（） Ｉ假设 式 可设
一Ｐ（）只有一 个零 点 Ｚ． ０注意 到 ｄｇ ｇ ）＝ｋ ｔ ）＜ｋ ＋Ｎ， 以由 （ ． ） ｅ （ （ 一１ ｔ 所 ２２
ｆ Ｐ ｋ （ ） ㈤＿
这里 Ｃ是一 个非 零 常数 ．
警
３
（） ２ ・ ４
由（ ） Ｉ） 所 以引理 １得证 ． Ｉ （Ｉ ，
涉及分担函数的全纯函数的正规族
涉及分担函数的全纯函数的正规族李运通;尚海涛;黄小杰【摘要】主要研究了涉及分担函数的全纯函数的正规定则.雷春林,杨德贵和方明亮等证明了在亚纯函数族中,函数的零点至少为k+1重,且对任意一个函数与其k(≥2)阶导数分担一个全纯函数,则该函数族正规.本文利用Zalcman-Pang方法,证明了全纯函数在k=1的情况.设a(z)(≠0),b(z)(≠0)为区域D内的两个全纯函数,F是区域D内的全纯函数族,其若对族中每一个函数f,f的零点均为重级,且f=a(z)(→)f'=b(z),则F在D内正规.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)003【总页数】4页(P292-295)【关键词】正规族;全纯函数;亚纯函数;分担函数;零点【作者】李运通;尚海涛;黄小杰【作者单位】陕西铁路工程职业技术学院基础课部,陕西渭南714000;华东交通大学理工学院基础学科部,南昌330100;南昌工程学院理学院,南昌330099【正文语种】中文【中图分类】O174.520 引言设F为区域D内的亚纯函数族。
如果从F中任一函数序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以选出一个子序列{fnk(z)}在区域D上按球面距离一致收敛为一个亚纯函数或者恒为无穷，则称F在区域D内正规。
设f与g为平面区域D上两个非常数的亚纯函数，a,b为有穷复数，当f(z)=a时，必有g(z)=b，记为f(z)=a ⟹g(z)=b。
如果f(z)=a ⟹g(z)=b和g(z)=b ⟹f(z)=a，则记为f(z)=a ⟹ g(z)=b，即表示f-a与g-b的零点相同[1-2]。
方明亮和Zalcman L.在文献[3]中证明了：定理1[3] 设F是区域D内的亚纯函数族，a,b是两个非零有穷复数，k是一个正整数。
若对于F中的任意函数f，f的零点的重数至少为k+1， f(z)=a ⟹ f(k)(z)=b，则F在D内正规。
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第３ ２卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 ９月
许 昌 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＵＣＨＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖｏ １ ．３ ２． ＮＯ ．５
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： １ ６ ７ １— ９ ８ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５—０ ０ ０ ９— ０ ３
（ ｚ ）
ｈ （ ｚ ） ｊ Ｉ ． “”（ ｚ ） ｌ ≤ｃ （ ｃ为正数 ） ， 贝 ４ Ｆ在 Ｄ上 正规 ．
关 键词 ： 全 纯 函数 ； 正规族 ； 导数 ； 分 担 值
中图分 类号 ： ０ １ ７ ４ ． ５ ２
文献标 识 码 ： Ａ
Ｗ． Ｓ ｃ ｈ ｗ ｉ ｃ ｋ首 先 发现 了亚纯 函数 导 函数 和分担 值 与正规 定则 之间 的联 系 ， 证 明 了如 下 的定理 １ ． 定理 １ … 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的一族 亚纯 函数 ， ｏ ． ， Ⅱ ， ０ ， 为 三个 互 相 判别 的复 数 ， 若对任意ｆ （ ｚ ）∈Ｆ， ｚ ） 与 厂（ ｚ ） 在 Ｄ 内 埘 分担 。 ， 。 ： ， 。 ， ， 则 Ｆ在 Ｄ 内正规 ． 后来 ， 庞 学诚 和 Ｚ ａ ｌ ｃ ｍａ ｎ Ｌ改进 了定理 １ ， 证 明 了如下 的定理 ２ ． 定理 ２ ［ ２ 设 Ｆ为 区域 Ｄ 内的一 族亚 纯 函数 ， 。 ， ｂ为两个 互相判 别 的复数 ， 若对 任 意ｆ （ ）∈Ｆ， ｆ （ ） 与 ， ｖ （ ｚ ） 在 Ｄ内 Ｉ Ｍ 分担 ｎ ， ６ ， 则 Ｆ在 Ｄ 内正规． 后来 ， 方 明亮和 Ｚ ａ ｌ ｅ ｍ ａ ｎ Ｌ ， 叶 亚盛 和庞学 诚得 到 了如下 的定 理 ３ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３一Ｏ １—１ ５ 基金项 目： 河 南 省 教 育 厅 自然科 学 基金 项 目（ ２ ０ １ １ Ａ １ １ ０ ０ ２ ０ ）； 许 昌 学 院 校 级科 研 项 目资助 （ ２ Ｏ ｌ ３ ０ ９ ６ ）
作者简介 ： 张 海侠 （ １ ９ ８ ｌ 一） ， 女， 河 南 南 阳人 ， 助教 ， 硕 士 ，研 究 方 向 ： 复 方 程 与 复 分析 ．
涉 及 导 数 和 分 担 值 的 全 纯 函数 的 正 规 定 则
张 海 侠
（ 许 昌学院 数 学与统 计 学院 ， 河南 许 昌 ４ ６ １ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 研 究 了全纯 函数 的正规 性 ， 推 广 了一 个 全 纯 函 数 族 的 正 规 定 则 ， 得 到 了 涉 及 导 数 和
１ 定 义及 主要 引理
为便 于叙 述并 讨论 本 文 的主要结 果 ， 在 此 给 出相 关 的定义 及 引理 １ ． 定义 １ 设 Ｆ为 复平 面一 区域 Ｄ上 的一 族解 析 函数 ， 如果 Ｆ中任取一 函数 序列 ｛ （ ） ｝ 均 可选 出一子 序列 ｛ ． ． （ ） ｝ 在 区域 Ｄ上按 球 距 内闭 一 致 收敛 于一 解 析 函 数 或 内闭一 致 发散 于 ∞ ， 则 称 Ｆ在 区 域 Ｄ上
定理 ３
设 Ｆ为单位 圆盘 △ 上 的一 族亚 纯 函数 ， ｏ ， ｂ为任 意两个 非零 有穷 复数 ， ｊ ｝ 为 正整数 ． 若 对于
任意 的 － 厂 （ ｚ ） ∈Ｆ， ｚ ） 的零 点重 级至 少为 ｋ＋１ ， 且 ｚ ）＝ 口 ＂（ ）＝ｂ ， 则 Ｆ在 △上正规 ． ２ ０ ０ ５年 ， 张 国明 ， 孙 伟 和庞学 诚得 到 了以下 的定 理 ４ ． 定理 ４ 设 Ｆ是 平 面上 区域 Ｄ 上 的一 族 全纯 函数 ， 若 对 于任 意的 ） ∈Ｆ， 都 有 ｚ ）＝ ０ （ ）＝
分 担 值 的 全 纯 函数 正 规 性 的 一 个 结 果 ， 即： 设 Ｆ 是 区 域 Ｄ 上 的 一 族 全 纯 函数 ， 且 ｈ （ ｚ ） 为 Ｄ 上 的
全 纯 函数 ， 若对 于任 意的
＝
） ∈Ｆ
） 的零 点 重级 至少为 ｋ ， 当ｈ （ ） ≠０时 ， 有／ （ ）＝ ０
ｊ ． 厂 ’ （ ）ｌ ≤ｃ （ ｃ 为正 数 ） ， 则 Ｆ在 Ｄ上正 规．
针对 上述 结果 ， 本 文进 一步 考虑 把定理 ４中 ） 的低 阶导数 推广 到 ） 的任意 阶导数 的形 式 ， 同时还 用 Ｚ ａ ｌ ｃ ｍａ ｎ Ｌ 引理 中提 到 的反 证法 来研 究全 纯 函数正 规性 的 问题．
１ ０ 引理 １
许 昌 学院学报 ｎ引理 ） 设 Ｆ是 单位 圆盘 △上 的亚 （ 全） 纯 函数 族 ， Ｊ ｉ ｝ ∈Ｎ， Ｆ中任 一 函数 ） 的零 点
重级至少为 ． 设存在 Ａ ≥１ ， 使得对任意的ｌ 厂 （ ｚ ） ∈Ｆ ， ｆ （ ｚ ） ＝ ０＝ ＝ ＞ ”（ ｌ ｚ ） ｌ ≤Ａ ， 如果 Ｆ在 ｚ 。 ∈ Ａ处不正规，
定义 ３ 设ｆ 、 ｇ为复平 面 ｃ上 的解 析 函数 ， ａ为任 一复数 ， 如果 ， （ ）一 。的零点 为 （ ｎ＝１ ， ２ …） ， 如果
ｚ （ ｎ＝１ ， ２， …） 也是 ｇ （ ｚ ） 的零 点 （ 不计 重 数 ） ， 则记 为 ， （ ｚ ）＝ 口 ｇ （ ｚ ）＝ｏ ．
正规．
定 义 ２ 设 ｚ ） 和ｇ （ ｚ ） 是 区域 Ｄ 内的两个 解 析 函数 ， ｎ是 一个 复数 ， 若／ （ ｚ ）一ｎ与 ｇ （ ｚ ）一。在 Ｄ 内有 相 同的零 点 ， 则称 ） 与ｇ （ ） 在 区域 Ｄ 内分 担 ｏ ， 或称 Ｉ Ｍ分担 ａ ． 记为 ｆ （ ｚ ）＝ｎ §ｇ （ ｚ ）＝ｎ ．