第五章 弯曲应力
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材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学-第五章-弯曲应力
弯曲正应力强度条件的应用：
max
M max WZ
1、强度校核
M max
WZ
2、梁的截面尺寸设计
M max
WZ
3、确定许可载荷
Mmax WZ
例1 已知：F=10KN，a=1.2m F
3F
F
b
[σ]=10MPa，h/b=2
试：选择梁的截面尺寸。 解： 由对称性，可得：
故： b 121.6mm h 2b 243.2mm
选取截面为： 125 250 mm 2
例2 已知：l=1.2m[σ]=170MPa，
18号工字钢，不计自重。
F
A
求：F的最大许可值。
解： 作弯矩图，由图可得：
M
| M |max Fl 1.2F N m
查附录A表4，
Wz 185103 mm3 1.85104
的变形：
变形前： bb oo d x
变形后： oo d d x
b'b' ( y)d
bb的线应变为
( y)d d d
即： y
由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0
2、物理关系
由假设（2）知，各纵向纤维
（3）矩形横截面上宽下窄。
二、两个假设
（1）平面假设
（2）单向受力假设： 纵向纤维间互不挤压， 即单向拉压。
Fa
D
B
z y
z y
三、理论分析
从以下三方面来分析：
1、变形几何关系
中性层：梁中纤维即不 伸长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截 面的交线。
第5章 弯曲应力分析
中
来的横截面仍为平面,只是绕中
z性
性轴转动,且距中性轴等高处变
轴
形相等。
⑶ 几何方程
y(对称轴)
纵向纤维AB的纵向线应变
O
（
（（
A1B1 AB A1B1（ O1O2
AB
O1O2
(ρ y)dθ ρdθ y
ρdθ
ρ
ac
d
O1
O2 O1 O2 x
A
y B
A1
B1
bd y
— 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
中性层是梁内一层既不 伸长也不缩短,不受拉应力和 压应力的纤维层。中性层与 横截面的交线为中性轴。
Northeastern University
纵向对称面 中 性 轴
中性层
ac
bd
M ac
M
bd
PAG 6
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
⑵ 平面假设:梁弯曲变形后,原
Aρ
z
σdA
x
σdA
y
E y2dA
ρA
Iz
y2dA
A
—
横截面对中性轴的惯性矩
EIz M 中性层的曲率 1 M z
ρ
ρ E—Iz 梁的弯曲刚度
PAG 12
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
等直梁纯弯曲时横截 面上任一点的正应力
σ Ey M z y
y
yC
x dA
a r
bC y
xC
x
典型应用：求组合截面的惯性矩
Ix ( Ii )x ( Ixci ai2 Ai )
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
第五章弯曲应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§5.3横力弯曲时的正应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲
横力弯曲的特点：
梁的横截面上不但有正应力还有切应力，
横截面不再保持为平面。
注意：
纯弯曲时的正应力计算公式 仍然适用于横力弯曲。
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
材料力学
§5.1 纯弯曲
材料力学
弯曲应力/纯弯曲 横力 F 弯曲 a F (+) (-)
FS 图
纯弯曲
F
一. 纯弯曲和横力弯曲： 横力
弯曲
纯弯曲：梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪
a L
力（
M 0 , Fs 0
）。
横力弯曲：梁弯曲变形
Fa
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（
M 图
材料力学
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
3.减小支座跨度或增加支座
F A L 0.125FL (+)
M 图
F BA 0.2L 0.6L 0.2L 0.025FL (+) 0.02FL
M 图
F BA 0.5L
9 512
B
0.5L
9 512
FL
FL
(+) 0.02FL
1 32 FL
(+)
M 图
h
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时的正应力
圆形截面：
实心：
d z
Iz
空心：
64
d
4
D d z
IZ
D (1 )
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
§5.3横力弯曲时的正应力
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲
横力弯曲的特点：
梁的横截面上不但有正应力还有切应力，
横截面不再保持为平面。
注意：
纯弯曲时的正应力计算公式 仍然适用于横力弯曲。
材料力学
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
材料力学
§5.1 纯弯曲
材料力学
弯曲应力/纯弯曲 横力 F 弯曲 a F (+) (-)
FS 图
纯弯曲
F
一. 纯弯曲和横力弯曲： 横力
弯曲
纯弯曲：梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪
a L
力（
M 0 , Fs 0
）。
横力弯曲：梁弯曲变形
Fa
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（
M 图
材料力学
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
3.减小支座跨度或增加支座
F A L 0.125FL (+)
M 图
F BA 0.2L 0.6L 0.2L 0.025FL (+) 0.02FL
M 图
F BA 0.5L
9 512
B
0.5L
9 512
FL
FL
(+) 0.02FL
1 32 FL
(+)
M 图
h
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时的正应力
圆形截面：
实心：
d z
Iz
空心：
64
d
4
D d z
IZ
D (1 )
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一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如图所示。木料的 许用弯曲应力 [ ] = 10MPa ,现需在梁的截面C上中性轴处钻一 直径为d的圆孔，试问在保证梁强度的条件下，圆孔的最大直 径d(不考虑圆孔处应力集中的影响)可达多大？
max =
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： l ,max [ ]l ， c,max [ ]c 根据强度条件可进行三方面计算： 1、强度校核: max [ ]
M Wz max 2、截面设计: [ ]
3、确定梁的许可荷载 M max [ ]Wz
M max
20 103 3 = m 143cm3 140 106
(1)矩形
bh Wz = 6
2
20kN.m
h/b=2
A1 = 72cm2
(2)圆形 Wz =
d3
32
A2 100cm2
d≈11.3cm
(3)工字形 查型钢表，取16号工字钢
Wz = 141cm3
A3 = 26.1cm2
=
y
M y n1 m1
d
y m2
O2 a2 n2 M e2
m2 x y
= E = E
y
O1
a1
e1
L y-横截面上点到中性轴的距离。 n2
= E y
◆沿截面高度(y 轴)线性分布，同
一坐标y 处，正应力相等。中性轴 上正应力为零。 Z
◆中性轴将截面分为受拉、受压两
个区域。 ◆最大正应力发生在距中性轴最 远处。
M1 y 1 = 2 = Iz 60 60 = 105 = 61.7MPa 5.832
1
2 z
120 y
②最大正应力
1-1截面上的最大正应力
1max
M1 60 = = 10 4 = 92.6MPa Wz 6.48
全梁的最大正应力
max =
M max 67.5 = 10 4 = 104.2MPa Wz 6.48
c max = b = 70MPa [ c ]
最大拉应力：
t max = d = 35MPa = [ t ]
∴梁的弯曲正应力强度符合要求。
例4 两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，
但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两 者许可载荷之比 P1／P2＝？
P1 P2 P
中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴neutral axis 。 且根据外力、横截面形状及梁的物性的对称性可知， 中性轴应与横截面的对称轴正交。
II、弯曲正应力一般公式推导
m1 O1
中性层
弯曲应力
对称轴
m2 O2
e2
e1
1. 变形几何条件
纯弯曲中，纵向线应变为：
x
y
o
z
中性轴
y
a1 n1
dx
—抗弯截面模量
③分布规律： 沿截面高度(y 轴)线性分布，同一坐标y 处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。 最大正应力发生在距中性轴最远处。 ④横截面上正 应力的画法：
min M min M
max
max
弯曲应力
5.公式适用范围： ①线弹性范围； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上 述公式的误差不大. III、三种典型截面对中性轴的惯性矩 3.截面为外径D、内 2.实心圆截面 1.矩形截面 径d(a=d/D)的空心圆:
P1 = h P2 b
例5.图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P =20kN。
= 140MPa 试在下列三种截面形状下，比较所耗材
料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。
解:作弯矩图
max
Wz
M max = Wz
P=20kN
l = 1m
2 2
b h =d
2 2
2
bh Wz = 6
2
b( d b ) = 6
d b= 3
b
h = 2 = 1.414 b
Wz d 2 b 2 = =0 b 6 2
由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用， 如图所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力为 [ ] = 170MPa 试求梁的许可荷载 F
1m
1
2m
(2)此截面上的最大正应力； (3)全梁的最大正应力； (4)已知 E = 200GPa，
180 30
1 2 z 120 y
求1-1截面的曲率半径。
1 A 1m 1
q=60kN/m
2m +
解: (1)外力分析 由对称性可知支反力 ql 60 3 FA = FB = = = 90kN B 2 2 (2)内力分析 画 M 图求有关弯矩 x
例3 外伸梁用铸铁制成，T形梁截面
I z = 4.0 107 mm4 , y1 = 140mm, y2 = 60mm
[ t ] = 35 MPa, [ c ] = 100 MPa
试校核梁的弯曲正应力强度。
P＝20kN
A q=10kN/m B 2m 2m D 2m E y2
C
y1
z
解:(1)梁的外力分析，确定梁的支反力 P＝20kN q=10kN/m A E B D 35kN 5kN
压应力
y2
M
M
C
压应力 B截面
拉应力
y1
D截面
危险点：a, b, d
(3)计算危险点应力 校核强度
拉应力
M
压应力
M
M B y2 a = = Iz = 30MPa（拉）
压应力
B截面
最大压应力：
拉应力 D截面
M B y1 b = Iz = 70MPa（压）
M d y1 d = Iz = 35MPa（拉）
d b b
a
M
1
1
2 2
II：物理方面 ①各纵向线段间互不挤压； M ②材料在线弹性范围内工作； M ③材料在拉伸和压缩时的弹性模量 相等。
梁在弯曲变形时，上面部分 纵向纤维缩短，下部分纵向
中性层
纤维伸长，必有一层纵向纤 维既不伸长也不缩短,保持 原来的长度，这一纵向纤维
层称为中性层neutral z surface 。
A
可知：中性轴通过截面形心
zE
A
y
dA =
E
zydA =0
A
zydA = I yz = 0
A
截面对yz轴的惯性积为零 可知：梁在发生纯弯曲时，中性轴为形心主惯性轴。
M z = ydA =
A
E
2
A
y 2 dA = M
1
令：
I z = y dA 截面对z轴的惯性矩
A
=
M EI z
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力
=
My Iz
②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：
L max
My1 My2 = ， y max = Iz Iz
| |max =
M M = ( I z / ymax ) Wz
Wz = I z / ymax
截面B-B的弯矩为:
M B = F 0.4 = 6000N m
(2)确定截面几何性质 首先确定截面的形心位置 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心 C 的纵坐标为:
yc =
Ay A
i i
ci
=
0.12 0.02 0.01 0.02 0.120.02 0.06 = 0.045m 0.12 0.02 0.02 0.12
qLx qx 2 M1 = ( ) 2 2
x =1
= 60kNm
M
M1
qL 8 Mmax
2
M max = qL2 / 8 = 67.5kNm
(3)确定截面的几何性质
bh3 Iz = = 5.832 105 m 4 12
Wz = I z / ymax = 6.48 104 m3
①1-1截面上1、2 两点的正应力
工字形截面最省料，圆形截面最费料。 为什么？ 本题中，最大工作应力将略大于许用应力，但不超 过5%，在工程中是允许的。
例6 我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比 例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯 出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 （如何使Wz最大?） 解:设圆木直径为d h
II 单位： mm
C
z
20
y
I z = I1Z I 2Z = 3.02106 5.0810-6 = 8.8410-6 m4
I
120
z 弯曲应力
20 120
yc
II 单位： mm
C
z
(3)计算最大弯曲正应力
20
y
在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压 应力，其值分别为：
h b (a) z b h (b)
l
z
解： max
M max1 Pl bh2 = = 1 [ ] P = 1 bh2 Wz1 6l 6
max
M max1 P2l hb2 = = 2 [ ] P2 = hb Wz 2 6l 6
两者许可载荷之比：
a
C
a
P
l
FS ≠0，M≠0
Pa
_ P
梁在发生纯弯曲时，横截面上只有正应力。