中考数学探索规律型问题
中考数学：探索规律型问题(图形类)含答案
中考数学：探索规律型问题（图形类）一、选择题1. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【】A．50B．64C．68D．72【答案】D。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，第①个图形一共有2＝2×1个五角星，第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。
故选D。
2. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010B．2012C．2014D．2016【答案】D。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，∴2016既是三角形数又是正方形数。
故选D。
3.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。
取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。
取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。
取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。
则第6个正六边形的边长是【】A .511a 32⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B . 511a 23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C . 611a 32⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D . 611a 23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【答案】A 。
专题31 规律型探究题(24题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编
专题31规律型探究题（24题）一、单选题1．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2n x B ．()1n n x -C ．1n nx +D ．()1nn x +2．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A ．20B ．22C ．24D ．263．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（）A ．20B ．21C ．23D ．264．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A ．2022B ．2023C ．2024D ．20255．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++ 的值是（）A ．1-B ．0.729-C ．0D ．16．（2024·四川德阳· ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A ．B ．CD ．7．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A ．676B ．674C ．1348D ．13508．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”()2,1P 按上述规则连续平移3次后，到达点()32,2P ，其平移过程如下：若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q -，则点Q 的坐标为（）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7-或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,19．（2024·重庆·中考真题）已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．310．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +11．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为点B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，如此下去，……，若点B 的坐标为()0,3，则点37B 的坐标为（）．A ．()180,135B ．()180,133C ．()180,135-D ．()180,133-二、填空题12．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火柴棒．13．（2024·江西·中考真题）观察a ，2a ，3a ，4a ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为．14．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),x y 中的x ，y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x ，y 均为正整数．例如，点()6,3经过第1次运算得到点()3,10，经过第2次运算得到点()10,5，以此类推．则点()1,4经过2024次运算后得到点．15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC 置于平面直角坐标系中，点O 的坐标为(00)，，点B 的坐标为(1)0，，点C 在第一象限，120OBC ∠=︒．将OBC △沿x 轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后，点O 的对应点为O '，点C 的对应点为C '，OC 与O C ''的交点为1A ，称点1A 为第一个“花朵”的花心，点2A 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，OBC △滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．16．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知(11,A ，(23,A ，()34,0A ，()46,0A ，(5A ，(6A ，()710,0A ，(811,A …，依此规律，则点2024A 的坐标为．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是313,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是．18．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．19．（2024·四川遂宁·中考真题）在等边ABC 三边上分别取点D E F 、、，使得AD BE CF ==，连结三点得到DEF ，易得ADF BED CFE ≌≌，设1ABC S =△，则13A EF D D FS S =-△△如图①当12AD AB =时，111344DEF S =-⨯=△如图②当13AD AB =时，211393DEF S =-⨯=△如图③当AD 1AB 4=时，37131616DEF S =-⨯=△……直接写出，当110AD AB =时，DEF S =△．20．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a 、b ，你认为a 可以是（填上一个数字即可）．21．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为；若24n =，则k 的值为．22．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线:33l y x =-与x 轴相交于点1A ，以1OA 为边作等边三角形11OA B ，点1B 在第一象限内，过点1B 作x 轴的平行线与直线l 交于点2A ，与y 轴交于点1C ，以12C A 为边作等边三角形122C A B （点2B 在点1B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形233C A B ，等边三角形344C A B ，则点2024A 的横坐标为．三、解答题23．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？24．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n 个籽，每列有k 个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d （n ，k 均为正整数，3n k >≥，0d >），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．。
探索规律列代数式(初中数学)
探索规律列代数式探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数、式或图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律．现以近年各地的中考题为例说明如下.1. 探索单项式中的规律例1 （2021年云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n解析：观察单项式中a的系数、次数与单项式的序数的关系，有如下规律：第1个单项式a2＝12·a1+1；第2个单项式4a3＝22·a2+1；第3个单项式9a4＝32·a3+1；第4个单项式16a5＝42·a4+1；……所以第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．故选A．2. 探索等式中的规律例2 （2021年嘉兴）观察下列等式：1＝12-02，3＝22-12，5＝32-22，…，按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝___________．解析：观察等式中的数字与等式的序数的关系，有如下规律：第1个等式：2×1-1＝12-02；第2个等式：2×2-1=22-12；第3个等式：2×3-1＝32-22；……所以第n个等式为2n﹣1＝n2-（n-1）2．故填n2-（n-1）2．3. 探索图形中的规律例3 （2021年绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_________.解析：观察图中三角形的个数与图形的序数的关系，有如下规律：第1个图形中三角形的个数为1=12+0；第2个图形中三角形的个数为5=22+1；第3个图形中三角形的个数为11=32+2；第4个图形中三角形的个数为19=42+3；……所以第n个图形中三角形的个数为n2+n﹣1．故填n2+n﹣1．第1 页共1 页。
中考数学二轮专题复习：探索规律
35．猜想、探索规律型一、选择题1．如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．60米B ．100米C ．90米D ．120米 【答案】C.2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
A 、12+nB 、12-nC 、n 2D 、2+n【关键词】探索规律型【答案】A3．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数【答案】A4．（对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++ 的值是A ．20092008 B ．20082009C ．20102009D ．20092010【答案】DO 20o20o5．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n【答案】D ．6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31 【答案】C二、填空题1．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。
规律探究问题(解析版)
2．(2019湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为 秒．
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝ ＝3，
∴QE＝ AE＝ ，
∴AQ＝AE+QE＝ ，
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ），……，
中考数学全面突破：题型1 规律探索型问题
题型1 规律探索型问题题型解读对于规律探索题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探索；②数式规律探索；③图形规律探索；④坐标系中图形规律探索；⑤与函数图象相关的规律探索.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n 个数字、第n 个式子或第n 个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.类型一 数字规律探索1.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A . 9B . 7C . 6D . 02.按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字．．．．是________． 类型二 数式规律探索4. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…，设碳原子的数目为n(n 为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )A . C n H 2n ＋2B .C n H 2n C . C n H 2n －2D . C n H n ＋35.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，则x n ＋x n ＋1＝________．6.观察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n(n ＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋12n(n ＋1)＝16n(n ＋1)(n ＋2)1＋4＋10＋20＋…＋16n(n ＋1)(n ＋2)＝124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3);则有：1＋5＋15＋35＋…＋124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________．类型三 图形规律探索7.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为( ) A . (12)6 B . (12)7 C . (22)6D . (22)7第7题图 第8题图 第9题图8.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )A . 2015πB . 3019.5πC . 3018πD . 3024π9.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n ＝________．10.如图，△ABC 的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B ＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1，第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．第10题图 第11题图 第12题图11.如图，∠MON ＝60°，作边长为1的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边A 1B 1、F 1E 1分别在射线OM 、ON 上，边C 1D 1所在的直线分别交OM 、ON 于点A 2、F 2，以A 2F 2为边作正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，边C 2D 2所在的直线分别交OM 、ON 于点A 3、F 3，再以A 3F 3为边作正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3，…，依此规律，经第n 次作图后，点B n 到ON 的距离是________．类型四 坐标中的图形规律探索12.如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A . (1，－1)B . (－1，－1)C . (2，0)D . (0，－2)13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，依次类推…，则正方形OB 2015B 2016C 2016的顶点B 2016的坐标是________．第13题图 第14题图 第15题图14.如图，点A 1的坐标为(1，0)，A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O ＝30°，过点A 2作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交y 轴于点A 6，…，按此规律进行下去，则点A 2016的纵坐标为____________．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2，OC ＝1.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形A 2OC 2B 2…，依此规律，得到的矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为________．16.如图，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，△A 7A 8A 9，…，都是等边三角形，且点A 1，A 3，A 5，A 7，A 9的坐标分别为A 1(3，0)，A 3(1，0)，A 5(4，0)，A 7(0，0)，A 9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A 100的坐标为________．类型五 与函数图象相关的规律探索17.如图，在坐标轴上取点A 1(2，0)，作x 轴的垂线与直线y ＝2x 交于点B 1，作等腰直角三角形A 1B 1A 2；又过点A 2作x 轴的垂线与直线y ＝2x 交于点B 2，作等腰直角三角形A 2B 2A 3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n (n 为正整数)点时，则A n 的坐标是________．第16题图 第17题图 第18题图18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线y ＝33x 上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝33x 上，依次进行下去…. 若点A 的坐标是(0，1)，点B 的坐标是(3，1)，则点A 8的横坐标．．．是________．答案与解析：类型一 数字规律探索1. D 【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2. 1 【解析】将原来的一列数变形为12，33，55，□，911，1113，1317，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1. 3. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.类型二 数式规律探索4. A 【解析】由H 的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n 个为2n ＋2，由C 的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n 时，化学式为C n H 2n ＋2.5. (n ＋1)2或n 2＋2n ＋1 【解析】∵x 1＋x 2＝1＋3＝4＝22，x 2＋x 3＝3＋6＝9＝32，x 3＋x 4＝6＋10＝16＝42，x 4＋x 5＝10＋15＝25＝52，x 5＋x 6＝15＋21＝36＝62，∴x n ＋x n ＋1＝(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋1.6. 1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为12＝1×12，因式为n(n ＋1)；第二个等式的右边系数为16＝12×13，因式为n(n ＋1)(n ＋2)；第三个等式的右边系数为124＝16×14，因式为n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，所以第四个等式的右边系数为124×15＝1120，因式为n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)，结果为1120n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)． 类型三 图形规律探索7. A 【解析】由题意得：S 1＝22＝(12)－2，S 2＝(2)2＝(12)－1，S 3＝(1)2＝(12)0，S 4＝(12)2＝(12)1，…，S 9＝(12)9－3＝(12)6.故选A. 8. D 【解析】本题考查旋转规律探索和弧长公式．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，由勾股定理得：AC ＝AB 2＋BC 2＝5，画出经过旋转六次后点A 经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A 运动过的路程是以B 为圆心，AB 长为半径，圆心角为90°的AA 1︵；经过第②次旋转，点A 运动过的路程是以AC 长为半径，圆心角为90°的A 1A 2︵；经过第③次旋转，点A 运动过的路程是以AD 长为半径，圆心角为90°的A 2A 3︵；第④次旋转，点A 在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A 运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A 每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A 经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得AA 1︵的长为12πAB ＝2π，A 1A 2︵的长为12πAC ＝52π；A 2A 3︵的长为12πAD ＝32π，∴经过2015次旋转后，点A 经过的路程为504×(2π＋52π＋32π)＝3024π. 9. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n 个图形中小圆的个数为n(n －1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n 的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n 个图形有：n(n －1)＋5个○，则可得方程n(n －1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y ＝an 2＋bn ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝54a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1c ＝5，∴y ＝n 2－n ＋5.当y ＝245时，可得：n 2－n ＋5＝245.10. 四 【解析】△ABC 与△A 1BB 1的底相等(AB ＝A 1B)，高为1∶2(BB 1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S △ABC ＝1，∴S △A 1BB 1＝2.同理可得，S △C 1B 1C ＝2，S △AA 1C 1＝2，∴S △A 1B 1C 1＝S △C 1B 1C ＋S △AA 1C 1＋S △A 1B 1B ＋S △ABC ＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S △A 2B 2C 2＝7S △A 1B 1C 1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．11. 3n －13 【解析】由题可知，∠MON ＝60°，不妨设B n 到ON 的距离为h n ，∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，则A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×32＝3，又OA 2＝A 2F 2＝A 2B 2＝3，∴OB 2＝6，则h 2＝6×32＝33，同理可求：OB 3＝18，则h 3＝18×32＝93，…，依此可求：OB n ＝2×3n －1，则h n ＝2×3n －1×32＝3n －13，∴B n 到ON 的距离h n ＝3n －1 3. 类型四 坐标中的图形规律探索12. B 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，点B 的坐标是(2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB 的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D 关于原点O 成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为(－1，－1)．13. (21008，0) 【解析】点B 的位置依次落在第一象限、y 轴正半轴、第二象限、x 轴负半轴、第三象限、y 轴负半轴、第四象限、x 轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B 2016落在x 轴正半轴，故B 2016的纵坐标是0；OB n 是正方形的对角线，OB 1＝2，OB 2＝2＝(2)2，OB 3＝22＝(2)3，…，所以OB 2016＝(2)2016＝21008，所以点B 2016的坐标为(21008，0)．14. －310073 【解析】∵A 1(1，0)，∠A 1A 2O ＝30°，∴A 2(0，3)，∵A 3A 2⊥A 1A 2 ，∴∠A 3A 2O ＝60°，∴∠A 2A 3O ＝30°， ∴A 3(－3，0)，同理：A 4(0，－33)，A 5(9，0)，A 6(0，93)，A 7(－27，0)，A 8(0，－273)，∴n ＝1007，15. (－3n 2n ，3n2n ＋1) 【解析】在矩形OABC 中，OA ＝2，OC ＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，12)，将矩形OABC 以原点O 为位似中心，放大为原来的32倍，∴矩形A 1OC 1B 1对角线的交点为(－32，34)，即(－32，12×32)，继续放大为原来的32倍，∴矩形A 2OC 2B 2对角线的交点为(－94，98)，即(－3222，12×3222)，…，依次类推，∴矩形A n OC n B n 对角线的交点为(－3n 2n ，3n2n ＋1)．第16题解图16. (52，－5132) 【解析】如解图，继续排列图形如下，观察发现，A 1、A 5、A 9、…、A 4n －3在点(2，0)的右侧，A 3、A 7、A 11、…、A 4n －1在点(2，0)的左侧，A 2、A 6、A 10、…、A 4n －2在第一象限，A 4、A 8、A 12、…、A 4n 在第四象限，∴A 100在第四象限，进一步观察发现：①A 4、A 8、A 12、A4n 的横坐标都为52，②A 4n 所在等边三角形边长为2n ＋1，可求得A 100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A 100的纵坐标为－(32×51)＝－5132，从而解得A 100的坐标为(52，－5132)． 类型五 与函数图象相关的规律探索 17. (2×3n －1，0) 【解析】∵A 1(2，0)＝(2×30，0)，且A 1B 1⊥x 轴，与直线y ＝2x 交于点B 1，∴B 1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A 1B 1A 2是等腰直角三角形，∴A 2(6，0)＝(2×31，0)，∵A 2B 2⊥x 轴，且与直线y ＝2x 交于点B 2，∴B 2(6，12)，∴A 3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，A n (2×3n －1，0)．18. 63＋6 【解析】由A 点的坐标得OA ＝1，由B 点的坐标得OB ＝2，则AB ＝3，由图象得直线OB 与x 轴的正方向的夹角为30°，于是A 1的横坐标为：OA 1·cos 30°＝(2＋3)×32；A 2的横坐标为：OO 2·cos 30°＝(2＋3＋1)×32；A 3的横坐标为：OA 3·cos 30°＝(2＋3＋1＋2＋3)×32；A 4的横坐标为：(2＋3＋1＋2＋3＋1)×32；…，于是A 8的横坐标为：(2＋3＋1＋2＋3＋1＋2＋3＋1＋2＋3＋1)×32＝63＋6.。
中考数学专题复习探索规律问题
专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是 请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是 ．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有 个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由 个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是 ．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为 ．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为 ．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是 ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为 ．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。
中考数学探索规律题分类及解析
中考数学探索规律题分类及解析中考数学探索规律题是指通过观察一组数或一组图形，发现其中存在的规律或者推导出下一个数字或图形的解题方法。
这类题目不是通过直接计算或者运用公式来得到答案，而是通过观察和推理来寻找规律并进行推导。
这类题目在中考数学中比较常见，考察学生的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
中考数学探索规律题可以分为数列规律、形状规律和操作规律等几个分类。
数列规律题是指给出一组数字，要求学生根据已知数字的特点推导出下一个数字或者补全数列。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找数字之间的关系。
学生可以通过计算差值、比值等方式来找到规律。
比如，给出一个数列1，3，5，7，要求学生推导出下一个数字。
学生可以发现，每两个数字之间差值都是2，所以下一个数字应该是9。
形状规律题是指给出一组图形，要求学生根据已知图形的特点推导出下一个图形或者补全图形。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找图形之间的关系。
学生可以通过观察图形边长、角度、对称性等特点找到规律。
比如，给出一个图形如下：1 2 34 5 67 8 ?要求学生填空。
学生可以发现，每一行的数字是依次递增的，所以下一个数字应该是9。
操作规律题是指通过一系列操作或者变换，让学生来探索操作之间的关系从而推导出答案。
这类题目常常通过给出一系列数字或者图形的变化过程，让学生去寻找变化之间的规律。
比如，给出一系列数字1，4，9，16，要求学生推导下一个数字。
学生可以发现，每一个数字都是前一个数字的平方，所以下一个数字应该是25。
总之，中考数学探索规律题要求学生通过观察和推理来寻找规律，需要学生具备较强的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
在解题过程中，学生可以采用数列差值、比值等方式来寻找数列规律；可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特点来寻找形状规律；可以通过寻找操作之间的关系来寻找操作规律。
通过不断的练习和思考，可以提高解决这类问题的能力。
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（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是A ．38B ．52C ．66D ．74（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为A ．2009235⎪⎭⎫⎝⎛B ．2010495⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．4018235⎪⎭⎫ ⎝⎛（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .A. 669B. 670C.671D. 672（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：第7题图2 8 424 622 46 844……图③图②图①他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）1225 （2010江苏淮安）观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102（2010 四川绵阳）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n =（ ）．A ．29B ．30C ．31D ．32（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子A ．4n 枚B ．(4n -4)枚C ．(4n+4)枚D ． n 2枚（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．（2010江苏泰州）观察等式：①4219⨯=-，②64125⨯=-，③86149⨯=-…按照第2个“口” 第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………？(1)(2)(3)……这种规律写出第n 个等式： ．（2010重庆綦江县）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第_______个三角形的_________顶点处（第二空填：上、左下、右下）．第4个三角形第3个三角形第2个三角形第1个三角形……121110987654321（2010湖南衡阳）如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．（2010年贵州毕节）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．（2010湖北荆门）观察下列计算：211211-=⨯3121321-=⨯4131431-=⨯5141541-=⨯ … … 从计算结果中找规律，利用规律计算+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211…=⨯+201020091 。
（2010湖南怀化）有一组数列：2，3-，2，3-，2，3-，2，3-，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______．【答案】-3（2010云南楚雄）如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第n 个图案用 根火柴棍（用含n 的代数式表示）（2010黑龙江哈尔滨）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★。
【答案】28（2010江苏徐州）用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．（2010 福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6……那么第10个数据应是 。
（2010 湖北孝感）用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”。
（2010 甘肃）观察：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a =(n=1，2，3，…).（2010 重庆江津）先观察下列等式：111122=-⨯1112323=-⨯1113434=-⨯ ……则计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．（2010鄂尔多斯）如图，用小棒摆下面的图形，图形(1)需要3 根小棒，图形(2)需要3 根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n 个图形需要 根小棒（用含n 的代数式表示）（2010贵州遵义）小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数 颗。
（2010广西柳州）2010年广州亚运会吉祥物取名“乐羊羊”．图7各图是按照一定规律排列的羊的组图，图①有1只羊，图②有3只羊，……，则图⑩有___________只羊．① ② ③ ④（2010辽宁本溪）观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形.（2010广东肇庆）观察下列单项式：a ，－2a 2，4a 3，－8a 4，16a 5，…，按此规律第n 个单项式是______．(n 是正整数)（2010云南曲靖）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形 有 个。
（2010吉林）．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n 个图案中正三角形的个数为________________（用含n 的代数式表示）。
第1个图形第2个图形第3个图形……（2010内蒙赤峰）观察式子：),7151(21751),5131(21531),311(21311-=⨯-=⨯-=⨯……． 由此计算：+⨯+⨯+⨯751531311…=⨯+201120091_____________.（2010广东中山）阅读下列材料：)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯， )321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯， )432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，由以上三个等式相加，可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1110433221⨯++⨯+⨯+⨯ （写出过程）； （2）)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n = ； （3）987543432321⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ = ． （2010 广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得 1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ _________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________．…第14题图（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ．请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．（2010湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n 个图形需要围棋子的枚数是 ．（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ） 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （2010广东湛江）观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（ ）A.3B.9C.7D.1（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．。