2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1课时
课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)， 所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1， 解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华 数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华 利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公 式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接 求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________． 【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0， 则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量 的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘 计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标 系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面 直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离 的运算．
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角知识梳理1.平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.2.(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.知识点一平面向量数量积的坐标运算例1 已知向量a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若a，b同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.变式已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．知识点二向量平行与垂直的坐标形式的应用例2 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.变式已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a的坐标；(2)若a∥b，求a的坐标．知识点三平面向量的夹角问题例3 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°；(2)a与b的夹角为锐角．变式若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时λ的取值范围？当堂双基达标1．已知MN →＝(3,4)，则|MN →|等于( )A ．3B ．4 C. 5D ．52．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3．已知A (3,1)，B (6,1)，C (4,3)，D 为线段BC 的中点，则向量AC →与DA →夹角的余弦值为________． 4．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)．若存在向量c ，使得a ·c ＝4，b ·c ＝－9，试求向量c 的坐标．知能达标一、选择题1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )A ．23B ．57C ．63D ．83 2．若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．2 5B ．2 C. 5 D ．10 3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝04．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)5．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确二、填空题6．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角为________．7．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.8．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．三、解答题9．在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|.答案例1 (1)a ＝(2,4)或a ＝(－2，－4)．(2) (b ·c )·a ＝0，(a ·b )·c ＝(20，－10)． 变式 b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6). 例2 (1)x ＝－1或x ＝3.(2) 2或2 5. 变式 (1)a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)．(2)a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313). 例3(1)λ＝－12.(2)(－12，2)∪(2，＋∞)．变式 (－∞，－12)．当堂双基达标1．D 2．A 3．－45 4．(3，－2).课后知能达标 一、选择题 DBDDC二、填空题6．60° 7． (－4,8) 8． (－12，2)∪(2，＋∞)三、解答题9．(1)AB →＝(－1,1)， AC →＝ (1,5).(2)2 5.(3)21313.10．(1) 210，4 2.(2)－115.11．D (1,1)，|AD →|＝ 5.。
课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
归纳点评 向量与代数中的一些问题如函数的最值问 题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应 熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、 数量积等坐标表示．
随堂练习
1．已知向量 a＝(1，m)与 b＝(n，－4)共线且 c＝(2,3)
与 b 垂直，m＋n 的值为( )
16
20
A. 3
B. 3
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)： (1)若a⊥b，求x； (2)若a∥b，求x. 解：(1)若a⊥b，则1×x＋2×(－4)＝0，∴x＝8； (2)若a∥b，则1×(－4)－2×x＝0，∴x＝－2.
高效课堂 典例精析 题型1 向量的夹角 例1 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)， 求a·b及a与b的夹角θ的余弦值．
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)且λa＋b＝0(λ∈R)， 则|λ|＝________.
【解析】∵λa＋b＝0，∴b＝－λa. ∴|b|＝|－λa|＝|λ|·|a|＝|λ|＝ 5. 【答案】 5
规律总结 1．向量数量积的坐标表示 本节是在向量数量积的基础上，将数量积定义、有关 性质坐标化，可结合上一节的内容来记忆有关公式． 2．平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有：
1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b等于
()
A．－34
B．34
C．55
D．－55
【解析】a＋b＝(－3,5)，∴(a＋b)·b＝(－3,5)·(－5,8)＝15
＋40＝55.故选C.
【答案】C
2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
课件1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2a b a b 0 3当a与b同向时，a b | a || b |；当a与b反向时，a b - | a || b |
4cos a b
| a || b | 5 | a b || a || b |
典型例题
例 ．求a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45的单位向量．
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
高中数学必修4·同步课件
复习回顾
1. 对于平面内的任一向量a，由平面向量基 y
本定理可得，有且只有一对实数x、y，使 得a=xi+yj。我们把有序数对（x，y）叫做
yj
a
向量a的坐标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
引入课题
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
课堂练习
一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方 向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.
如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶 的速度，OC表示船实际速度，AOC 30，| OB | 5km / h
OACB为矩形，| OA || AC | cot 30 5 3 8.6（ 6 km / h） | OC | 5 3 10km / h
X
2.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 | OA OB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、数量积的坐标表示
2、平行、垂直的判定 3、平面向量的夹角公式 六、课时作业 课本P108 习题2.4 A组 第7，11题
| a | x y
2 1
2
2 1
| a | a a
3、向量的夹角
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解 3、向量的夹角
ab cos a, b | a || b |
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围
a b | a || b | cos
a • b x1 x2 y1 y2
随堂练习
1、已知向量a (1, 3), b ( 2, 5), 则 ab
17
;( a b) ( 2a b)
8
.
二、基础知识讲解
已知非零向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，夹角为
1、数量积的定义
a b | a || b | cos
2、向量的模
a • b x1 x2 y1 y2
| a | x y
2 1 2 1
| a | a a
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
x2＋y2 (2) x1－x22＋y1－y22
2．向量垂直的判定 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________ 3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π) cos θ＝________＝________ 练习 2：已知 a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)， 则 a 与 b 的夹角是________． x1x2＋y1y2 a· b 2.x1x2＋y1y2＝0 |a||b| x21＋y21 x22＋y22 π 练习 2： 4
1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联
系． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、 夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用 向量工具解决数学问题的能力．
1．若向量a＝(1,1)，b＝ (-1,0) ，c＝ (-1,1) ，则 c＝( C )
A．2a＋b
C．a＋2b
B．2a－b
D．a－2b
2．已知a＝ (2,-2)，b＝ (-1,0)，向量λa＋b与a－2b 垂直，则实数λ的值为( A)
1 A. 3 1 C. － 6 1 B. － 3 1 D. 6
5．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，请问△ABC 是直角三角形吗？
解析：由 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)得 → → → → AB＝(1，1)，AC＝(－3，3)，所以AB· AC → → 1，1)·－3，3)＝－3＋3＝0，AB⊥AC， ( ＝( 即∠A＝90° ，所以△ABC 是直角三角形．
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模 、夹角
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 P ( x , )在线段AB的中垂线上，则 2
1 2
x＝
.
课堂小结
1. a b x1 x2 y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 2
3. 向量垂直的判定:
a b x1 x2 y1 y2 0.
(1) 设 a ( x , y ), 则
a x y或 a
2 2 2
x y .
2 2
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么
2.平面内两点间的距离公式:
( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
谢谢大家！
感谢您的观看！
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
讲解范例:
例3. 已知 a (1,
3 ), 3 1),
b ( 3 1,
则 a 与 b 的夹角是多少?
评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.
练习：
1．教材P.107练习第1、2题.
2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
规定:
零向量与任一向量的数 量积
为0，即a 0 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(1) a b a b 0 .
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
(2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
课件8：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
D．2
【解析】由 AC＝ AB＋ AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)， 得 AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5. 【答案】A
类题通法 数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则 和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向 量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数 量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(×)
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ( × ) (3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角
θ 一定是钝角．
(× )
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是
A．23
B．7
C．－23
【答案】D
() D．－7
题型四 求解平面向量的数量积 典例 已知点 A，B，C 满足| AB|＝3，|BC |＝4， |CA|＝5，求 AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB的值． 解：[法一 定义法] 如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝π2， cos A＝35，cos C＝45，
∴ AB·BC ＋BC ·CA＋CA·AB ＝ BC ·CA＋CA·AB ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×45－15×53 ＝－25.
活学活用 如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB， BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
【解析】法一： 以 O 为坐标原点，OA，OC 所在的直线分别为 x 轴，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝1，12，OE ＝12，1. 故 cos∠DOE＝|OODD|··|OOEE|＝1×125＋125×1＝45.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学导学案 年 月 日 周
2．4．2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1课时
主备课人：柯志坚 审核时间：
学习目标
1、要掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式；
3、能用所学知识解决有关综合问题.
重点：平面向量数量积的坐标表示
难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
学具准备：草稿纸、三角板、铅笔
一、学生自我探究部分：
阅读教材第105—108页内容，找出疑惑之处并尝试解决下面问题：
自我测试1（课堂学生台投影说明解题过程） 1、若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，请判断△ABC 的形状
2、已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.
2、面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⋅.= 3、平面内两点间的距离公式： （1）设),(y x a =，则=
2
||a 或=||a .
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么=
||a (平面内两点间的距离公式)
4、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥
⇔
5、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0），则co s θ ==
6、自我测试2：（生上台投影）
1）设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ的正弦值
2）已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?
二、典例精析：
例1： 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .
例2：若向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－2
2π
θπ
<
<．(2) 求|a ＋b |的最大值
变式训练2（合作探究）：已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -
互相垂直；
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．
例4： 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标. 三、
课堂练习：
1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83
2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）
A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)5
4
,53(或)5
3
,54( B .)5
4
,53(或)54
,53(-
-
C.)54,53(-或)53,54(-
D.)54,53(-或)54
,53(- 4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .
5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-
2
1)在线段AB 的中垂线上，则x = .
6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 . 四、 学生学后反思：
五、
课后作业 1
、平面向量11),(,)22a b =-=
，若存在不同时为0的实数k 和t ，使
2
(3)x a t b =+- ,,y ka tb =-+ 且x y ⊥ ，试求函数关系式()k f t =.
2、 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，
求k 值.。