圆锥曲线解答题精选 创新题

创新题
1.已知直线l 与曲线C ：
22
1x y m n
+=交于,A B 两点，AB 的中点为M ，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（1）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（2）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
①过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程； ②过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在,求直线的方程；若不存在,说明理由.
解：（1）证明 设11220012(,),(,),(,)()A x y B x y M x y x x ≠ 22
1122
2211x y m n x y m
n ⎧+=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩ 相减得 1
2121212()()()()
0x x x x y y y y m n +-+-+=
注意到 1201202,2x x x y y y +=+= 有 00121222()0()x y y y m n x x -+=-
012012y y y n x x x m -∴=-- 即 AB OM n k k m ⋅=-
（2）①设1(,),,1AB OM y y M x y k k x x -==-则 由垂径定理，1
2AB OM k k ⋅=-
即 1112y y x x -=-
- 化简得 22220x y x y +--= 当AB 与x y 或轴平行时,M 的坐标也满足方程.
故所求AB 的中点M 的轨迹W 的方程为22
220x y x y +--=；
②假设过点P(1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22
:1C kx y '+=交于E 、F 两点，且P 为EF 的中点，则
由于 直线，即1y kx k =-++，代入曲线C '的方程得
即
由
得. 故当时，存在这样的直线，其直线方程为；当时，这样的直线不存在. 2.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆
处的切线方程为”，过椭圆C ：的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.
（1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积.
解:（1）设M 14),,(),(),)(,33
4(
11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13
322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13
3
ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）
（2）把AB 的方程0167,14
)1(322
=--=+-=y y y x y x 化简得代入
∴716
7283631||=+⋅+=AB 又M 到AB 的距离3323
1|
334|=+=d
AB OM O AB OM n
k k m
⋅=-(1,1)P l 22
142
x y +=,A B AB M W P (1,1)l '22
:1(0)C kx y k '+=≠E 、F l 'P EF l 'EF OP k k k
⋅=-1,OP k =EF k k ∴=-:(1)1l y k x '=--+22
(1)1kx kx k +-++=2
(1)2(1)(2)0k k x k k x k k +-+++=222
4(1)4(1)(2)0k k k k k ∆=+-++>1k <-1k <-1y kx k =-++1,0k k ≥-≠且2
2
2
r y x =+),(00y x P 200r y y y x =+),()0(1002
222y x P b a b
y a x 上一点>>=+12020=+b y y a x x 142
2=+y x
∴△ABM 的面积21
316||21=⋅⋅=
d AB S 3.记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ．
（1）已知直线12l ,l
的方程为：y x =， （a ）若22
126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；
（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积； （c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．
（2）若22
2122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C 恰为椭圆的标准方
程122
22=+b
y a x （0>>b a ）．
解:（1）（a ）2229x y += （b
y y -+=方程C
所表示的曲线所围成区域为正方形面积为 （c ）22236x y -=，
范围：6,x y ≤≤,x y
和原点对称；渐近线为：y x = （2）设直线12l ,l 的方程为：bx y a =±（0>>b a ），则由222
122d d d +=得 ，222222211()x y d a b a b +=+
令d =，即得椭圆的标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）．
4.若椭圆1E :1212212=+b y a x 和椭圆2E : 122
2
222=+b y a x 满足)0(2121>==m m
b b a a ，则称这两个椭圆相似，m
称为其相似比.（1）求经过点)6,2(，且与椭圆12
42
2=+y x 相似的椭圆方程.
（2）设过原点的一条射线l 分别与（1）中的两个椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在线段OB 上），求OB
OA 1+的最大值和最小值.
解：（1）设所求的椭圆方程为12222=+b y a x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1642
22
2b a b a 解得⎩⎨⎧==8162
2b a ∴所要求的椭圆方程为
18
162
2=+y x （2）①当射线与y 轴重合时，OB OA 1+=42
52
212=
+ ②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A 、B 在第一象限的情形.
设其方程为kx y =（0,0>≥x k ），设),(11y x A ，),(22y x B
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1242
2y x kx y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222122
1214214k k y k x 222112k k OA ++=
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=18162
2y x kx y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222122
121162116k k y k x 222114k k OB ++= =+OB OA 1
1
42121122222+++++k k k k 令2
2211
2k k t ++=
则由2
222
2212
22144211
2k
k k k k t ++=++=
++=
知22≤<t =+OB
OA 1
t t 21+, 记t t t f 21)(+=，则)(t f 在]2,2(上是增函数，∴)2()()2(f t f f ≤<，
∴ 491245≤+<OB OA 由①②知，OB OA 1+的最大值为49，OB
OA 1
+的最小值为425.
5.设，，为直角坐标系中的单位向量，，，。

（1）求动点的轨迹C 的方程；
（2）过点作直线与曲线交于A 、B 两点，若，是否存在直线使得为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，，
∴动点到定点、的距离之和为8 ∴曲线C 的轨迹方裎为
(2)直线过，若是轴，则A 、B 是椭圆的顶点。

∵ ∴与重合，与为矩形矛盾. ∴直线的斜率存在．
设：，， 由得
∵恒成立．∴由韦达定理得
，
∵
∴是平行四边形． 若存在，使它为矩形，则 即
∴,
即
∴
，
所求直线的方程为
,x y R ∈i j (2)a xi y j =++(2)b xi y j =+-||||8a b +=(,)M x y (0,3)l C OP OA OB =+l OAPB l (2)a xi y j =++(2)b xi y j =+-||||8a b +=(,)M x y 1(0,2)F -2(0,2)F 22
11216
x y +=l (0,3)N l y 0OP OA OB =+=P O OAPB l l 3y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22311216
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩22
(43)18210k x kx ++-=22
481821(43)0k k ∆=⨯+⨯+>1221834k x x k -+=+12221
34x x k -⋅=+OP OA OB =+OAPB l OA OB ⊥0OA OB ⋅=12120x x y y ⋅+⋅=2
1212(1)3()90k x x k x x ++++=2
222118(1)()3()904343k k k k +⋅-
+-+=++2
515k =k =l 5
34
y x =±+。