107668_平面向量的数量积_王剑峰
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(通用)2
（2）当 90 时a在b上的投影为
0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为
0
（4）当 120 时b在a上的投影为
0
三、平面向量数量积的性质
探究：根据向量数量积的定义a b | a || b | cos ，探究影响数量 积大小的因素有哪些？对于两个非零向量a与b，其数量积a b 何时为正数，何时为负数，何时为零？小组讨论完成下表.
角 范围
a与b关系
cos cos 1 cos 0 cos 0 cos 0 cos 1
0
同向共线
0 90 夹角为锐角 90 ab
90 180 夹角为钝角
180
反向共线
a b值或符号 a b | a || b | a b 0 a b 0 a b 0 a b | a || b |
(a b) c a c b c (a b) c a c b c
结合律
(ab)c a(bc)
不成立
探究2：对于a与b和实数， ( a) b (a b) a (b) 是否成立？为什么？
二、平面向量数量积的几何意义
a b | a || b | cos
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 | a | 与b在a方向 上的投影 | b | cos 的乘积.
练一练：
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 时a在b上的投影为 2 3
平面向量的数量积(5)
4．若a，b是非零向量，则|a·b|＝||a||b|cosθ，所以只有|cosθ|＝1，即a，b共线时才成立．
5．若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成立吗？
在等边△ABC中，边长为1，求 · ， · .
例2、已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
变式练习：
已知a、b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角．
例3、已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.
变式练习：
设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
A．1B.
C. D.
解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝ ＝
＝
故|a－c|min＝ .
答案：D
二、填空题
5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足| － |＝| ＋ －2 |，则△ABC的形状为________．
解析： ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝ ，|a|＝1，
∴b2＝a2－ ＝1－ ＝ ，
∴|b|＝ .
∴cosθ＝ ＝ ＝ .
又θ∈[0，π]，∴θ＝ ，
故a与b的夹角为 .
(2)|a＋b|＝ ＝ ＝ .
10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝ |a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
平面向量的数量积及其应用定稿
10
基础诊断
考点突破
【训练2】已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)，则a，b夹角的余 弦值为________.
解析 ∵|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)， ∴(a＋3b)·(a－b)＝0，即a2＋2a·b－3b2＝0， 故有 a·b＝－12，则 cos〈a，b〉＝－14.
5
基础诊断
考点突破
则yx－－2aa＝＝－a－2y2，x，即xy＝＝4334aa， ， ∴E43a，34a，∴B→E＝43a，34a，C→D＝－a，2a， ∵BE⊥CD，∴B→E·C→D＝0，∴43a·(－a)＋34a·2a＝0，解得 a2＝ 2， ∴D→A·D→C＝(－a，0)·a，－2a＝－a2＝－ 2.
答案
95 (1)36
(2)－ 2
6
基础诊断
考点突破
【训练 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，且满足 BC
＝3MC，DC＝4NC，若 AB＝4，AD＝3，则A→N·M→N＝( )
A.－ 7
B.0
C. 7
D.7
7
基础诊断
考点突破
解析 (1)以A→B，A→D为基底，A→N＝A→D＋34A→B，M→N＝C→N－C→M＝14C→D－13C→B＝－14A→B＋ 13A→D，A→N·M→N＝A→D＋34A→B·－14A→B＋13A→D＝13A→D2－196A→B2＝13(9－9)＝0.
答案 (1)B
8
基础诊断
考点突破
考点二 平面向量的夹角与垂直
【例 2】若向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角为钝角， 则 k 的取值范围是________.
复习第4单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第26讲 PART 4
考试说明
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
教学参考
4.[2014· 全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足 |a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b= ( A.1 C.3 B.2 D.5 )
[答案]
[解析]
A
由已知得|a+b| =10,|a-b| =6,两式相
2 2
减,得 4a· b=4,所以 a· b=1.
教学参考
5.[2017· 全国卷Ⅰ] 已知向量 a,b 的夹角 为 60° ,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
4
[答案]
B
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),C(1, 3).设 P(x,y),则 ������������· (������������ +������������ )=(-x,-y)· [(2-x,-y)+(1-x, 3-y)]=(x,y)· (2x-3,2y- 3) =x(2x-3)+y(2y- 3)=2x -3x+2y - 3y=2 ������3
2017全国卷Ⅰ13,2017全国卷 Ⅱ12,2016全国卷Ⅰ13,2016全 国卷Ⅲ3,2014全国卷Ⅰ15,2014 全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅱ13
2016全国卷Ⅱ3,2013全国卷 Ⅰ13
★★★
届高三数学平面向量的数量积
h
1
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量
考纲点 击
数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
【错解】 ∵|a|＝2>0，∴|a＋2b|＝|a|＋|2b|＝2＋2＝4. 【答案】 B
h
24
2．(2009 年陕西高考)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，
点 P 在 AM 上且满足 A→P ＝2P→M，则 P→A ·(P→B ＋P→C )等于( )
A．－49 B．－43
4
4
C.3
D.9
∴|a－b|2＝a－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12.
∴|a－b|＝ 22，
h
22
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52.
∴|a＋b|＝
10 2
设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α，则
1
cos
α＝(|aa－－bb)|··|(aa＋＋bb)|＝
2 22×
＝ 10
55.
的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小
值．
h
15
【自主探究】 (1)∵a·b＝cos(－θ)·cosπ2 －θ＋
sin(－θ)·sinπ2 －θ＝sin θ cos θ－sin θ cos θ＝0. ∴a⊥b. (2)由x⊥y得：x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.
2024届高考数学第一轮专项复习——平面向量的数量积 教学PPT课件
.又因为＜ a ， b ＞∈[0，π]，所以＜ a ， b ＞＝ ，即 a 与 b 的夹角为 .
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（2） 已知向量 a ， b 满足｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝6， a ·b ＝－6，则 cos ＜
a ， a ＋ b ＞的值为（ D ）
A.
31
－
35
B.
19
－
35
17
C.
35
19
2. 平面向量数量积运算的常用公式：
（1） （ a ＋ b ）·（ a － b ）＝ a 2－ b 2；
（2） （ a ± b ）2＝ a 2±2 a ·b ＋ b 2.
3.
1
2
在△ ABC 中，若 AM 是边 BC 上的中线，则 · ＝ － 2 .
4
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1. 判断：
b ，则 a 与 b 的夹角为（ B ）
π
A.
6
π
B.
3
2π
C.
3
5π
D.
6
解：因为（ a － b ）⊥ b ，所以（ a － b ）·b ＝ a ·b － b 2＝｜ a ｜｜
｜
｜
｜
｜
b ｜·cos ＜ a ， b ＞－ b 2＝0.所以 cos ＜ a ， b ＞＝
＝
＝
｜||｜ ｜｜
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5. 平面向量数量积的运算律
对于向量 a ， b ， c 和实数λ，有
（1） a ·b ＝ b ·a （交换律）；
（2） （λ a ）·b ＝λ（ a ·b ）＝ a ·（λ b ）（结合律）；
平面向量的数量积_王剑峰
例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 AB BC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 AB BC 0 ,则△ABC是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 AB BC 0 例4 试证明：若四边形ABCD满足 AB CD 0, 且AB BC 0, 则四边形ABCD为矩形. 例5 设正三角形ABC的边长为
b O a
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量 |a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有 ab =|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
规定0与任何向量的数量积为0。 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共 线的向量，而一般a与c不共线。
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
高中数学复习学案(第28讲)平面向量的数量积
题目 第五章平面向量平面向量的数量积 高考要求掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 知识点归纳1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222aa b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b∙<>=∙=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型讲解例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅=； （3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；⑷若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；（6）对任意向量a ，有22a a =解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d 的夹角解：由题意，1a b ==，且a 与b 的夹角为0120， 所以，01cos1202a b a b ⋅==-， 2c c c =⋅=(2)(2)a b a b -⋅-22447a a b b =-⋅+=，7c ∴=，同理可得13d ∴=而c d ⋅=2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=-， 设θ为c 与d 的夹角， 则1829117137217cos -==θ 1829117arccos -=∴πθ点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ的值（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n = 解：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=∴（1）m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ952-=⇒λ； （2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ；(3)m n =()()088458723422222=--⇒+=-++⇒λλλλ=⇒λ点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求b a ⋅及｜a｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值解：由a＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b 记a与b 的夹角为θ，则cos θ＝22=⋅⋅ba b a又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量的坐标解：设b点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，AB = (x -5, y -2)∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2+ y 2-5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2+ y 2= (x -5)2+ (y -2)2即：10x + 4y = 29由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴b 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(-例6 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：当a= 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当b= 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3)∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 例7 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b｜=1分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b=(3x +4y ,4x +3y )又（x a +y b ）⊥a ⇔(x a +y b )·a＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜x a +y b ｜=1⇔｜x a +y b ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和 学生练习1若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（A 23B 57C 63D 832已知a (1,2),b (2,3),c (-2,5)，则△a b c为（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不等边三角形3已知a =(4,3),向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A )54,53(或)53,54( B )54,53或)54,53(--C )54,53(-或)53,54(-D )54,53-或)54,53(- 4已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b方向上的投影为（ ）5已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A λ＞310 B λ≥310C λ＜310 D λ≤310 6给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b),则x 等于（ ）A 23 B223C 323 D423 7a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b8已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段a b的中垂线上，则x =9已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b的夹角为10已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a的坐标为11已知a=(1,2),b (1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝12已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b的夹角为43π，则k13已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a=9与x ·b =-4的向量x14已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标15四边形ABC D 中AB = (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3),(1)若BC ∥DA ，求x 与y(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ,求x ,y 的值及四边形ABC D 的面积参考答案：1D 2A 3D 4C 5A 6C 7 –7 84794510（2，２2）或（-2，－２2）11(51,52-) 12-5 13(2,-3) 14不能(理由略) 15(1)x +2y =0 (2)⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1236y x y x 或 S 四边形ABC D =16课前后备注。
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例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a· ｂ.
例3 判断下列命题的真假： 在△ABC中，若 AB BC 0 ，则△ABC是锐角三角形； 在△ABC中，若 AB BC 0 ,则△ABC是钝角三角形； △ABC为直角三角形的充要条件是 AB BC 0 例4 试证明：若四边形ABCD满足 AB CD 0, 且AB BC 0, 则四边形ABCD为矩形. 例5 设正三角形ABC的边长为
平面向量的数量积
泉州七中 王剑峰
2004年5月
一、引入：
一个物体在力F 的作用下产生 的位移s，那么力F 所做的功 应当怎样计算？
F
θ
S
力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角
向量的数量积
1．两个非零向量夹角的概念
OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ 已知非零向量a与ｂ，作 OA ＝a，
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共 线的向量，而一般a与c不共线。
3．“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。 4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时， ab = |a
a b 4 cos = | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
例1 判断正误，并简要说明理由. ①a· 0＝0； ②0· a＝0； ③0－ BA ＝ AB ； ④｜a· ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜； ⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a· ｂ≠0； ⑥a· ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a· ｂ）с＝a•(ｂ· с）； ⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.
（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 说明： （1）当θ＝0时，a与ｂ同向； （2）当θ＝π时，a与ｂ反向； （3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，
b O a
b
O
a
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点
的.范围0≤≤180
平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量 |a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有 ab =|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
2, AB c, BC a, CA b, 求a b b c c a.
五、作业：习题5.6 1~6. 《优化设计》P81 强化训练 1~8.
规定0与任何向量的数量积为0。 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？