复变函数与积分变换第06章 共形映射

z' (t0 ) 0
则
z平面上 : z z(t ) w平面上 : w f [ z(t )] C
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f ( z0 )，正向取增大方向的曲线 t .
w(t0 ) f ( z0 ) z(t0 ) 0



T'
T
u
x
(1)
即Arg f ( z0 ) Arg w(t0 ) Arg z(t0 )
(1)导数幅角 Argf (z)的几何意义
①Arg f ( z0 )( f ( z0 ) 0)是曲线C 经过w f ( z ) 映射后在点z0的转动角. ~~~~~~~~~
. f ' ( z0 ) 称之为曲线 在z0的伸 缩 率 C
易见, f ( z0 ) 与映射w f ( z )及z0有关, 而与曲线 的形状方向无关, 沿任何曲线作映射f 时, 在同一 点z0处A f ( z0 ) 均不变 伸缩 率不变 性 .
3. 共形映射的概念
定义 设w f ( z )在 z0的 邻 域 内 有 定 义 ， 且 在 z0
~~
设w f ( z )，z D z0 D，w0 f ( z0 )，f ( z0 ) 0
f ( z ) f ( z0 ) z z0 w 又 f ( z0 ) z z z0 w f ( z0 ) z （忽略高阶无穷小） 于是有：z z0 w w0 f ( z0 ) （忽略高阶无穷小）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~

y
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(z)
C:
P
z z(t )
T
arg z' ( t 0 ).
P0

o
x
定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线.
第六章
共形映射
§6.1 共形映射的概念 §6.2 分式线性映射 §6.3 唯一决定分式线性映 射的条件 §6.4 几个初等函数构成的 映射
§1 共形映射的概念

1. 曲线的切线


2. 导数的几何意义
3. 共形映射的概念
1. 曲线的切线
设连续曲线 C : z z(t )
t [ , ]
它的正向取 t增大时点移动的方向 z .
若z' (t0 ) 0, t0 ( , ), 取P0 , P C , P0 , P对应 的参数分别为 , t， t0
y
割 线p0 p对 应 于 参 数 大 的 t增 方向。
则 割 线 的 方 向 向 量0 p与 向 量 p z ( t 0 t ) z ( t 0 ) 方向相同 . t
w f ( z )
这就是为什么称共形映 射的原因.
§2 分式线性映射

1. 分式线性映射的定义

2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
az b 定义 映 射w cz d (ad bc 0) (1)
称为分式线性映射 , 其中a, b, c, d是复常数 . ~~~~~~~~~~~~~ ad bc (1) w' (cz d )2 ad bc 0是必要的。 否则w' 0 w c(复常数).
( 2)补充定义使分式线性函 数在整个扩充平面 上有定义 :
z d / c 当c 0时，w z a / c 当c 0时， 在z 时 ， 定 义 . w
az b dw b ( 3) w z ( d )( a ) bc 0 cz d cw a 则,逆映射仍为分式线性的 , az b 故又称w 为双线性映射. ~~~~~~~~~~ cz d
y
(z)
C2
v
2 1
(w)
2
2 1
C1
z0
2
w f (z)
w0
1
o
1
x

o
1
2
u
由式(1)有， i i 2 1 2 1
( i 1,2) ——保角性
由上述讨论我们有
过z0的C1 , C2 过w0的1 , 2 (C1 , C2 ) (1 , 2 ),
(z)C:P源自z z(t )P0

o
x
割线方向 0 p 的极限位置： p
z ( t 0 t ) z ( t 0 ) z' ( t 0 ) l i m t 0 t
—曲线C在p0处的切向量且方向与 C正向一致 .
若z' ( t 0 ) 0, t 0 ( , ), 则 曲 线 在z 0有 切 线 z' ( t 0 ) C , 就 是 切 向 量它 的 倾 角 ,
分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：
1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z
称为： 平移 整线性 反演
( A, B复常数) az b a b 当c 0时，w w z Az B cz d d d d ad a( z ) b c c a bc ad 1 当c 0时，w d c c cz d c( z ) c 1 bc ad a A B (A B ) cz d c c
( ii )w az
设z re i a e i , 则w re i ( )
把z先转一个角度再将 z 伸长(或缩短 a ) 倍后就得 , w az是旋转和伸缩合成的映. w 射
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍 关于圆的对称点 : (见图）
w f ( z )
这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向 不变的性质 保 角 性
(2)模 f (z) 的几何意义
设z z z0 re i ,
w w w 0 e i 且
用s表 示C上 的 点 0与z之 间 的 一 段 弧 长 z ; 表 示上 的 对 应 点 0与w之 间 的 弧 长 w .

(1) Argz ' (t 0 ) 曲线C在点z0处切线的 正向与x轴正方向之间的夹角 .
(z) C1 : z z1 ( t )
z0
C2 :
~~~~~~~~~~~
( 2)若曲线C1与曲线 C 2 相交于点z0 , 在交点处 两曲线正向之间的夹角 就是它们的两条切线正 向之间的夹角.
o
y
z z2 ( t )
p, 定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点 p' 满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
y
r
o
P
P'
x
于 圆 周z r对 称.
~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
如何由 找到关于圆周 r的对称点 '呢? p z p
设p在 圆 外 从p作 圆 周 的 , 切 线pT , 连 接op,由T作op 的 垂 线 ' , 与op交 于p' , Tp 那 么p与p'即 互 为 对 称 点 .
Arg w(t0 ) Arg f ( z0 ) Arg z(t0 ) 记 Arg f ( z0 ) Arg w(t0 ) Arg z(t0 ) 即
即
y

(z)
C:
(1)
z z(t )
T
v
w f (z)
:
w f [ z( t )]
w
r
1, z与w1在 同 一 射 线 上 ;
z, w1关于z 1对称.
1)作出点z关于圆周 z 1的对称点w1 . 2)作出点w1关于实轴对称的点即得 (见图). w
2. 分式线性映射的性质
先 讨 论 以 上 三 种 特 殊 射 的 性 质从而得 映 , 出 一 般 分 式 线 性 映 射 性质. 的
具 有 保 角 性 和 伸 缩 率 变 性, 则 称 映 射 f ( z ) 不 w 在z0为 共 形 的 ， 或 称 f ( z )在z0是 共 形 映 射 w .
~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
若w f ( z )在D内每一点都是共形的，则称 w f ( z )在区域D内是共形映射.
az b 1 w 由 1 cz d , 2 和w A 2 B cz d 1 复合而成 .
事实上，
( i )w z b
设w u iv z x iy b b1 ib2
u x b1 故 w z b是一个平移映射. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ v y b2
由(1)式 仅与映射w f ( z) 及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C 的形状与 方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设C i ( i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , C i ( i 1,2) 在 变 换 f ( z )下 映 射 为 相 交 于 点0 f ( z0 ) w w 的 曲 线 i ( i 1,2), 1 , 2的 夹 角 为 .
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由定义及以上分析有 :