随机变量及分布小结与复习学案

第二章随机变量及分布
——小结与复习学案
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1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
4．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
命题探究
1．以应用题为背景命题，考查离散型随机变量的分布列、均值及某范围内的概率．相互独立事件同时发生的概率，某事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算，二项分布和离散型随机变量的均值与方差是高考的重点，考查的题型以解答题为主，有时也出现选择、填空题．
2．高考中考查热点仍是离散型随机变量的分布列及均值，同时结合相互独立事件同时发生的概率和二项分布，其难度为中档．
三热点考点例析
题型1 事件概率的求法
解决概率问题的步骤是：第一步，确定事件性质；
第二步，判断事件的运算；
第三步，运用公式．
1．条件概率
(i) ．条件概率的概念
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
P(B|A)读作发生的条件下，发生的概率．
(ii)．条件概率的性质
(1)P (B |A )∈ ．
(2)如果B 与C 是两个互斥事件，
则P (B ∪C |A )＝ ．
2．相互独立事件同时发生的概率
(i) ．相互独立事件的概念
设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立．
(ii)．相互独立的性质
若事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立．
3．n 次独立重复试验的概念
在 条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．
二项分布
在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，
P (X ＝k )＝ ，k ＝0,1,2，…，n .
此时称随机变量X 服从二项分布，记作 ，并称p 为 ． 例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
例2 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)．
题型二 离散型随机变量的分布列的求法
1．求离散型随机变量的分布列有三个步骤：
(1)明确随机变量X 取哪些值；
(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；
(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．
2．求离散型随机变量的分布列，要解决好两个问题：
(1)根据题意，明确随机变量X 取值，切莫疏忽大意多解或漏解；
(2)一般来说，求相应的概率时有时数字会很大，同学们要有信心，不要半途而废．
例3 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一
次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,11
1,101,91且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此种保险种：
（1） 获赔的概率；
（2） 货赔的金额 的分布列.
题型3 离散型随机变量的期望与方差的求法
求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．在求离散型随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取的每一个值，以及取每一个值所表示的意义．
离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理信息的能力．主要题型：
(1)离散型随机变量分布列的判断；
(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；
(3)根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参数．
1. 均值或数学期望:
则称 =)(ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
期望的一个性质: =+)(b a E ξ ，
若ξ～B (n ，p )，则E （ξ）=
2. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么,
)(ξD ＝ .
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
3. 标准差:)(ξD 的算术平方根)(ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作)(ξσ．
方差的性质：（1）=+)(b a D ξ ；
（2）若ξ～B (n ，p )，则=)(ξD 例4 （2011年江西理）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X 的分布列；
（2）求此员工月工资的期望。

例5 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5
次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是3
1，每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否相互独立。

(1)求该学生考上大学的概率；
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．
四 跟踪训练
1.已知P (B |A )=21,P (A )=5
3,P (AB )=( ) A.65 B.109 C.103 D.10
1 2.某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为5
4，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A ．62516 B 62596 C.625192 D.625
256 3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
4．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在18，19，20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3
1，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的数学期望.
五 课后作业
1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A.35
B.25
C.59
D.110
2.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、
乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14
；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）.。