高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题3 概率与统计 专题限时集训5 用样本估计总体 理
新高考数学二轮复习板块1高考专题突破—选择题+填空题命题区间精讲精讲5概率与统计课件
0.02，故本次考试数学成绩110分以上的人数多于110分以下的人
数．故选ABC．]
1234567 8
6．[多选]根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为 “3＋3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生的选课情况， 在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到排名前4的选课组合，如 下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文 科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科．根据统计数 据，下列判断正确的是( )
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制造业PMI(经季节调整)
注：50%＝与上月比较无变化
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A．大部分月份制造业总体衰退 B．2020年3月制造业总体扩张最大 C．2019年11月到2020年10月中有3个月的PMI比上月增长 D．2020年10月份，PMI为49.3%，比上月下降0.5个百分点
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[高考题型全通关] 1．(2020·惠州第一次调研)某高校调查了 320 名学生每周的自习 时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时 间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20]，(20，22.5]，(22.5， 25]，(25，27.5]，(27.5，30]．根据频率分布直方图，这 320 名学生 中每周的自习时间不超过 22.5 小时的人数是( )
4 月份居民消费价格分类别环比涨跌幅
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则下列叙述正确的是( ) A．八大类消费价格环比呈现四涨四平 B．其他用品和服务环比涨幅最大 C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同 D．4 月份居民消费平均价格环比持平
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ABC [在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和 通信持平，另外四类分别上涨，A 正确；其中其他用品和服务环比涨 幅最大，为 0.4%，B 正确；生活用品及服务和医疗保健价格环比涨 幅均为 0.1%，C 正确；居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%＋0.3%＋ 0.1%＋0.4%)÷8＝0.112 5%，D 错误．故选 ABC．]
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题5 培优点7 概率与统计的创新问题
40个，乙系列盲盒60个.
规律方法 本题的关键是通过审题，找到第n次购买与前一次购买 之间的联系，从而找到数列的递推关系.
跟踪演练1 (2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球 和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为 一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则该轮记为成功，否则记为失 败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一 个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止 抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(3)
证
明
：
1 22
＋
1－212312
＋
1－2121－312412
＋
…
＋
1－2121－312
…
1－n12
11 n＋12<2.
n
xiyi－n x y
i＝1
附：经验回归方程系数：b^ ＝
，a^ ＝ y －b^ x ；
n
x2i －n x 2
i＝1
5
参考数据：x2i ＝1.46，
i＝1
x
＝0.46，
x
2＝0.212(其中
5
由题知xiyi＝315， y ＝90，
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以b^ ＝
5
＝3115.4－6－5×5×0.406.2×1290＝100.48＝270，
x2i －5 x 2
i＝1
所以a^ ＝90－270×0.46＝－34.2，y^ ＝270x－34.2，
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题五统计与概率课件
^
^
(xn ， yn) 的 回 归 方 程 ， 其 中 a ， b 是 待 定 参 数 ， 回 归 方 程 的 斜 率 和 截 距 分 别 为 b ＝
－
－
（x
－
x
）（y
－
y）
i
i
－ －
x
y
－n
x y
ii
i＝1
i＝1
n
n
^
－
^ －
－
－
，a ＝ y －b x ，( x ， y )是样本中心点，
＝
－
2．[2023·辽宁实验中学模拟]已知x，y的对应值如下表所示：
x
0
2
4
6
8
y
1
m＋1
2m＋1
3m＋3
11
若y与x线性相关，且经验回归方程为y＝1.6x＋0.6，则m＝(
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：B
0+2+4+6+8
＝4，
5
1+m+1+2m+1+3m+3+11
yത ＝
＝1.2m＋3.4，
5
解析：തx＝
－ 2
（yi－ y ）
i＝1
i＝1
n
n
r<0 表示两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于 1，线性相关程度越强，|r|越接近于 0，线性
相关程度越弱．
2
n（ad－bc）
3．“卡方公式”：χ2＝
，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
n＝a＋b＋c＋d.
1.[2023·江苏天一中学模拟]对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一
高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题3 概率与统计 专题限时集训7 回归分析、独立性检验
专题限时集训(七) 回归分析、独立性检验(对应学生用书第91页)(限时：40分钟)1．(2017·某某一模)下列说法错误的是( )【导学号：07804050】A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^就增加0.2个单位C [根据相关定义知选项A ，B ，D 均正确；选项C 中，对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，对判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误．选C.]2．(2017·某某名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k ＞3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为C ．99.5%D ．95%D [由图表中数据可得，当k ＞3.841时，有0.05的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的几率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.]3．(2017·某某七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x 2 3 4 5 6 销售额y2941505971由上表可得回归方程为y ^＝10.2x ＋a ^，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( )【导学号：07804051】A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元C [根据统计数据表，可得x ＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ^＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.]4．(2017·某某二模)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图77所示的两个等高堆积条形图．图77根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科D [由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选D.] 5．(2016·某某模拟)对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是( )图78(1)图78(2)图78(3)图78(4)A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3A [由给出的四组数据的散点图可以看出，图(1)和图(3)是正相关，相关系数大于0，图(2)和图(4)是负相关，相关系数小于0，图(1)和图(2)的点相对更加集中，所以相关性要强，所有r 1接近于1，r 2接近于－1，由此可得r 2＜r 4＜r 3＜r 1.故选A.] 6．(2017·某某一模)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kgD [因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加 1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．]7．在用线性回归方程研究四组数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是( )ABCDC[当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，对比4个残差图，易知选项C的图对应的带状区域的宽度越窄．故选C.]8．(2017·某某南城一中、高安中学第九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线一线合计愿生452065不愿生132235合计5842100由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，得K2＝100×45×22－20×13265×35×58×42≈9.616.参照下表，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”C[K2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.]二、填空题9．(2017·某某二模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得回归直线方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.【导学号：07804052】6 [x ＝5＝5，y ＝5＝5，代入回归直线方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.]10．(2017·某某百校联盟二模)已知x 、y 的取值为：从散点图可知y 与x 呈线性相关关系，且回归直线方程为y ＝1.2x ＋a ，则当x ＝20时，y 的取值为________．27．6 [由表格可知x ＝3，y ＝7.2，所以这组数据的样本点的中心是(3,7.2)，根据样本点的中心在回归直线上，得7.2＝a ^＋1.2×3，得a ^＝3.6，所以这组数据对应的回归直线方程是y ^＝1.2x ＋3.6，将x ＝20代入，得y ＝1.2×20＋3.6＝27.6.]11．(2017·某某某某五中一模)某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下：已知x ，y 的关系符合回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元． 3．75 [x ＝3.5，y ＝40，∴a ^＝40－(－20)×3.5＝110， ∴回归直线方程为：y ^＝－20x ＋110，利润L ＝(x －2)(－20x ＋110)＝－20x 2＋150x －220， ∴x ＝15040＝3.75元时，利润最大，故答案为3.75.]12．(2017·某某三中二模)以模型y ＝c e kx(e 为自然对数的底)去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程为z ＝0.4x ＋2，则c ＝________. e 2[∵y ＝c e kx，∴两边取对数，可得ln y ＝ln(c e kx )＝ln c ＋ln e kx＝ln c ＋kx ， 令z ＝ln y ，可得z ＝ln c ＋kx ， ∵z ＝0.4x ＋2， ∴ln c ＝2， ∴c ＝e 2.] 三、解答题13．(2017·某某一模)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如图79所示的茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．图79(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？ (2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望． 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 k 05.0246.6357.879正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计281240K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝40×16×8－4×12220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝4625， P (X ＝1)＝C 1245⎝⎛⎭⎪⎫1－45⎝⎛⎭⎪⎫1－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝44625， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45·C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452C 1235·⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝264625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝144625，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P462544625169625264625144625所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.8.14．(2017·某某三湘名校联盟三模)为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y ＝C 1x 2＋C 2与模型②：y ＝e C 3x ＋C 4作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x /℃ 20 22 24 26 28 30 32 产卵数y /个6 10 21 24 64 113 322 t ＝x 2 400 484 576 676 784 900 1024 z ＝ln y1.792.303.043.184.164.735.77xtyz26692803.57错误! 错误! 错误! 错误!1157.540.430.32 0.00012其中t i ＝x 2i ，t ＝∑ni ＝1t i ，z i ＝ln y i ，z ＝∑ni ＝1z i ，附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝β^u ＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ni ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .图710(1)在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)．图711(2)根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．(C 1，C 2，C 3，C 4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据：e 4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02)(3)若模型①、②的相关指数计算得分分别为R 21＝0.82，R 22＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【导学号：07804053】[解] (1)画出y 关于t 的散点图，如图1；z 关于x 的散点图，如图2.图1 图2根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型． (2)对于模型①：设t ＝x 2，则y ＝C 1x 2＋C 2＝C 1t ＋C 2，其中C ^1＝∑7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝0.43，C ^2＝y －C ^1t ＝80－0.43×692＝－217.56，所以y ＝0.43x 2－217.56，当x ＝30时，估计温度为y 1＝0.43×302－217.56＝169.44. 对于模型②：y ＝e C 3x ＋C 4⇒z ＝ln y ＝C 3x ＋C 4，word 其中C ^3＝∑7i ＝1 z i －z x i －x∑7i ＝1x i －x2＝0.32，C ^4＝z －C ^3x ＝3.57－0.32×26＝－4.75.所以y ＝e 0.32x －4.75，当x ＝30时，估计温度为y 2＝e0.32×30－4.75＝e 4.85≈127.74. (3)因为R 21＜R 22，所以模型②的拟合效果更好．。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第1讲概率核心考点1随机事件的关系古典概
第1讲 概率高频考点高考预测随机事件、古典概型 概率模型多考查独立事件、条件概率、n 重伯努利试验、互斥事件和对立事件、而全概率公式、二项分布与正态分布则是新高考的热点，多以选择填空的形式出现.条件概率与全概率n 重伯努利试验与二项分布正态分布1. (2023·全国甲卷文科)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝C 24＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝C 12C 12＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝m n ＝46＝23.故选D.2. (2023·全国乙卷文科)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( A )A.56 B ．23 C ．12D ．13【解析】 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n ＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m ＝A 26＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P ＝m n ＝3036＝56.故选A. 3. (2023·全国甲卷理科)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( A )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1【解析】 根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A ，报乒乓球俱乐部为事件B ，则P (A )＝5070＝57，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P (AB )＝4070＝47，则P (B |A )＝P ABP A ＝4757＝0.8.故选A. 4. (2022·全国新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 27＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率P ＝21－721＝23.故选D.5. (2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( C )A.15 B ．13 C ．25D ．23【解析】 从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情况，故概率为615＝25.故选C.6. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)( ABD )A ．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D ．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】 采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为：(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A 正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1,0,1的概率为：(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B 正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C 23β(1－β)2＋(1－β)3，故C 错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P 1＝C 23α(1－α)2＋(1－α)3，单次传输发送0译码为0的概率P 2＝1－α，P 2－P 1＝(1－α)－C 23α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－C 23α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)·α(2α－1)，当0＜α＜0.5时，P 2－P 1＜0，故P 2＜P 1，故D 正确．故选ABD.7. (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 635.【解析】 从正方体的8个顶点中任取4个，有n ＝C 48＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m ＝6＋6＝12个，故所求概率P ＝m n ＝1270＝635. 8. (2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 310.【解析】 从5名同学中随机选3名的方法数为C 35＝10，甲、乙都入选的方法数为C 13＝3，所以甲、乙都入选的概率P ＝310.9. (2022·全国新高考Ⅱ卷)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (2<X ≤2.5)＝0.36，则P (X >2.5)＝ 0.14⎝ ⎛⎭⎪⎫或750 .【解析】 因为X ～N (2，σ2)，所以P (X <2)＝P (X >2)＝0.5，因此P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考点1 随机事件的关系、古典概型核心知识· 精归纳1.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有P (A )≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0； 性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )__；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝_1－P (B )__； 性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1；性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )－P (A ∩B )__. 2.古典概型一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝k n ＝n An Ω.其中，n (A )和n (Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数．多维题组· 明技法角度1：随机事件的关系1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D )A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治【解析】 从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A 错误；至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D 正确．故选D.2. (2023·徐汇区校级三模)某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”( D )A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件【解析】 事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．故选D.角度2：古典概型的计算3. (2023·青岛模拟)将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为( C )A.45B ．25C ．23D ．13【解析】 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有C 46C 22＝15种，其中2个黄球不相邻的有C 25＝10种，所以所求事件的概率为1015＝23.故选C.4. (2023·射洪市校级模拟)形如413或314的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小．已知由1,2,3,4构成的无重复数字的三位数共24个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为( B )A.16 B ．13 C ．512D ．58【解析】 若三位数中间的数字为1，则有A 23＝6个，若三位数中间的数字为2，则有A 22＝2个，即“波浪数”共有6＋2＝8个；所以从中任取一数恰为“波浪数”的概率P ＝824＝13.故选B. 方法技巧· 精提炼古典概型中样本点个数的探求方法1．列举法：适合的样本点个数较少且易一一列举的问题；2．树状图法：适用于较为复杂的问题中样本点个数的探究，尤其是有序问题； 3．排列、组合法：在求解一些较为复杂的问题时，可利用排列、组合知识求出样本点个数．加固训练· 促提高1. (2023·宜宾模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则( B )A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选项A ，C ，D 错误，选项B 正确．故选B.2. (2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( B )A.12 B ．710 C ．920D ．1120【解析】 设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音阶，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 23A 25＝1－3×25×4＝710.。
2023高三二轮复习概率专题学案
2023高三二轮复习概率专题学案目标本学案的目标是帮助高三学生复概率相关知识，为他们在高考中取得优异成绩提供支持。
复内容1. 概率基础知识回顾：包括样本空间、事件、概率定义等。
2. 概率计算方法：包括排列组合、加法原理、乘法原理等。
3. 条件概率与独立事件：理解条件概率的概念，掌握计算条件概率的方法，并能够判断事件的独立性。
4. 随机变量与概率分布：了解随机变量的概念，研究常见的概率分布如二项分布、正态分布等。
5. 概率统计与推断：了解统计学中的概率概念，包括抽样方法、估计与检验等。
研究计划本学案建议按照以下研究计划进行概率复：第一周1. 复概率基础知识：回顾样本空间、事件的概念，熟悉概率定义和基本性质。
2. 复概率计算方法：回顾排列组合、加法原理和乘法原理的应用。
3. 完成相关练题，提高概率计算能力。
第二周1. 研究条件概率与独立事件：理解条件概率的定义，研究计算条件概率的方法。
2. 掌握判断事件独立性的准则，并能应用于实际问题。
3. 完成相应练题，巩固所学内容。
第三周1. 了解随机变量与概率分布：研究随机变量的基本概念和性质。
2. 掌握二项分布、正态分布等常见概率分布的特点和计算方法。
3. 完成相关练题，提高概率分布的应用能力。
第四周1. 研究概率统计与推断：了解抽样方法、估计与检验的基本概念。
2. 研究如何利用样本数据进行参数估计和假设检验。
3. 完成相关练题，掌握概率统计与推断的基本方法。
复方法1. 阅读教材和参考书籍：仔细阅读相关章节，理解概念和方法。
2. 刷题巩固知识：完成大量的练题，提高计算能力和问题解决能力。
3. 合作研究与讨论：与同学一起讨论和解决问题，互相研究和帮助。
4. 老师辅导和答疑：及时向老师提问和求助，解决研究中的困惑。
复建议1. 制定合理的研究计划，合理安排每周的研究内容和复时间。
2. 坚持每天的研究和复，保持良好的研究惯。
3. 多进行归纳总结，拓宽概率知识的应用。
2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导 专题3 统计与概率
2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导 专题3 统计与概率【高考考场实情】统计与概率在高考考查中一般有一道选择题或填空题、一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，选择、填空题为容易题, 解答题为中等难度题．选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置，解答题在前三题的位置．选择、填空题常考古典概型、几何概型（理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率）。
【考查重点难点】解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．【存在问题分析】1．概念理解不透【指点迷津】本专题中，概念理解不到位的有事件、模型的判断等；容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式1y n r r r n T C a b -+=与n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率()(1)k k n k n nP k C p p -=-等． 【例1】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【解析】（Ⅰ）设1ξ、2ξ已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1ξ的分布列为方案乙中2ξ的分布列为若甲化验的次数不少于乙化验的次数，则[][]1212212221(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξ==⨯=+=⨯=+=+==+=+=+=131322=0+(0)(0)0.72555555⨯++⨯+++=． (Ⅱ)3212()1023 2.4555E ξ=⨯+⨯+⨯==． 【名师点睛】本题易错的主要原因是对事件不清．对于方案甲，患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，学生对事件不清，易误认为化验次数的可能取值是1，2，3，4，5，且1(1)(2)(3)(4)(5)2P P P P P ξξξξξ==========．事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需再化验即知最后一只是患病动物，所以化验次数只能取l ，2，3，4．类似地，对于方案乙，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前2只呈阴性后也不需再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第l 只呈阴性或阳性后也不需再化验，即ξ只能取2，3．在解决问题时，要理清事件，求随机变量的分布列时，要弄清随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列．2．审题析题不到位【指点迷津】审题析题不清是本专题解答错误的主要原因，主要包括题意不清，茫然作答；阅读肤浅，丢失信息；条件欠缺，鲁莽下笔；图形不准，缺乏严密；方向不明，目标模糊等情况．审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺．【例2】（2017年全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.0080.09≈．【解析】（Ⅰ）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故()16,0.0026X B -,因此()()1611010.99740.0408P X P X ≥=-==-≈，X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=（Ⅱ）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97,μσ=的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-= 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134i i x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值为0.0080.09≈． 【名师点睛】面对试题中冗长的文字表述，学生方寸大乱，不知所措，从而失去读题、解题信心；没有形成通读全题的习惯，未能发现试题所附相关公式；未能根据试题提供的相关公式，提取零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026；未能准确把握较长问句“生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况”的关键词等，导致回答问题含混不清、词不达意．3．读图识图能力弱【指点迷津】学生面对一堆数据无从下手，主要原因是对数据、图表的直观印象和积累储备的知识经验不够；没有形成“用数据说话”的统计观念；对抽象数据的数字特征理解不到位．【例3】（2016年全国卷Ⅲ理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于20C ︒的月份有5个【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可知七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均气温高于20C ︒的月份只有7、8两个月，D 错误．【名师点睛】解答本题错误主要是读图识图能力弱，对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；其次,不会从图表中读取有用数据并进行判断；第三,估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．解题规范性较差【指点迷津】涉及本专题内容的考查，学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，如不能用字母表示事件，导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱；解答过程缺失关键步骤，丢三落四，导致丢分等．【例4】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）设A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的计算公式有()11123531014C C C P A C ==. （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2则()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===，()21283101215C C P X C === 所以X 的分布列为 X 1 2 3 P715 715 115 故()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个． 【名师点睛】从解题规范方面看，学生常出现错误有，没有用字母表示事件，即缺少“设A 表示事件‘三种粽子各取到l 个’”这一步骤；直接写出1()4P A =，过程没写出来，应写为1112353101()4C C C P A C ==，一但答案错误，就失去过程分数；忽视“X 的所有可能值为0,1,2”，导致丢分等．5. 运算能力弱【指点迷津】运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中，学生运算能力弱主要体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.【例5】（2017年全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（Ⅰ）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()n i ii n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑．0.0080.09≈． 【解析】（Ⅰ）由样本数据得(,)(1,2,...,16)i x i i =的相关系数为16116162211()(8.5)0.180.2121618.439()(8.5)ii ii i x x i r x x i ===--==≈-⨯⨯--∑∑∑． 由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（Ⅱ）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.92)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．[来源:学+科+网] 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09≈．【名师点睛】从运算方面看，学生不懂从16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑中解出 16221()160.212i i x x =-=⨯∑；不会计算0.2121618.439r =⨯⨯的值，不懂根据保留小数点后两位的要求，实施近似处理以简化运算；不懂直接由0.2121618.439r =⨯⨯采用放缩方法判断是否满足||0.25r <；不会由9.97x =和0.212s ≈计算出区间(3,3)x s x s -+的端点值9.334,10.606；计算151115i i x x ==∑时，不懂得先做相反数相消处理或各项统一分离10后转化为15'111015i i x x ==+∑计算；计算15'1115iix x==∑时,不懂得转化为1613115iix xx=-=∑，再利用16119.9716iix x===∑简化运算；计算222222221[0.070.10.060.060.010.10.0415s=++++++22220.020.240.110.11+++++222200.020.030.07]++++0.008130.008=≈，不懂得各项统一提取20.01的技巧；计算222221[160.212169.979.221510.02]15s=⨯+⨯--⨯时，不懂得在保证精确度要求的前提下作近似处理以简化运算.【解决问题对策】1．关注统计图表的教学【指点迷津】高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．复习过程中，应充分利用五个样本频率分布图表，让学生会从图表中读取有用数据，或根据问题需要选择合适图表，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策．【例6】【2015年全国卷Ⅱ文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】A2．关注样本数字特征的含义【指点迷津】在复习中，应关注众数、中位数、平均数（期望）、方差与标准差有的含义，并能根据解决问题的需要选择合理的数字特征说明问题．【例7】【2014年课标卷Ⅱ文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【答案】（Ⅰ）67；（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)3. 厘清事件及其概率【指点迷津】复习过程中，应厘清事件间的关系，准确计算相关事件的概率．特别要求学生能将复杂事件进行分解，先分解为互斥事件，每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件．【例8】（2013年全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果3n=，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n=，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．【解析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝41113 161616264⨯+⨯=．(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝41111161616--=，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14，所以X的分布列为EX＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25．4．关注概率模型的识别与应用【指点迷津】复习过程中，应关注概率模型的识别与应用，一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词，厘清各种概率模型及适用范围．如超几何分布和二项分布是教材中两个重要概率分布，二项分布与超几何分布的区别为，二项分布是有放回的抽样，每做一次事件，事件A 发生的概率是相同的；超几何分布是不放回的抽样，每做一次事件，事件A发生的概率是不相同的．【例9】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【解析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=． 所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0，1，2，所以()2824070195C P X C ===；()11832240641195C C P X C ===；()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为 X0 1 2 P 7195 64195 124195 故X 数学期望7641243128()0121951951951955E X =⨯+⨯+⨯==． (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．学1科·网 5．关注用样本估计总体的思想分析解决问题【指点迷津】复习过程中，应让学生掌握，为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类：用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征．其次，“预测与决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学的决策．而通过期望、方差等的计算，并进行大小比较，就是其中的一种科学预测与决策的手段．【例10】【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5≤≥,确定n的最小值；P X n（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n=之中选其一,应选用哪n=与20个？【答案】（Ⅰ）由柱状图并一频率代替概率知，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P X==⨯=；(16)0.20.20.04P X==⨯⨯=；(17)20.20.40.16(18)20.20.20.40.40.24P X==⨯⨯+⨯=；P X==⨯⨯+⨯⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X==⨯⨯+⨯=；(20)20.20.20.20.20.2P X==⨯⨯=；(21)20.20.20.08P X==⨯=(22)0.20.20.04所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 2122P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+. 当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .6．关注“冷门”知识的复习【指点迷津】高考是对高中阶段学习结果的大检阅，统计与概率的考查，在突出核心知识考查的同时，也关注知识点的覆盖面．因此，在复习教学中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓的“冷门知识”的复习，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等．【例11】【2015年课标Ⅰ理18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8i =⋅⋅⋅)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w 281(x )ii x =-∑ 281()i i w w =-∑ 81()(y )i i i x x y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，8118i i w w ==∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y a bx =+y 与y c b x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,),,u v ⋅⋅⋅(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ121()()()n i i i n i i u u v v uu β==--=-∑∑，µµv u αβ=-． 【解析】(Ⅰ)100.668y x =+(Ⅲ) （i ）由(Ⅱ)知，当49x =时，年销售量y 的预报值$100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$． ②根据(Ⅱ)的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+-=-++$， 所以当13.6 6.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 7．加强阅读理解能力培养与训练【指点迷津】统计与概率进一步强化应用意识的考查，已成高考命题改革的必然趋势，试卷试题文字阅读量的逐年增加，或成高考试卷的发展趋势．复习中，应规范教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示范规范表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是应用性试题的读题训练，提高学生的阅读理解能力及应试心态．【例12】【2014年课标Ⅰ理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．【解析】(Ⅰ) 2200,150x s ==（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯=．8．规范答题表达形式【指点迷津】规范答题，一方面，思考问题要规范．也就是从知识的源头出发，弄清知识的来龙去脉．知识是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么写，不能模棱两可，要会运用知识进行思考；另一方面，书写要规范．书写规范是一个重要的高考增分点，这一点应引起足够重视．如解题中应注意用字母表示事件，注意作答等．【例13】（2015年全国卷Ⅱ理18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级” ．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或者非常满意”；记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；记1B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；记2B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意”；则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122()()B A B A C C C C C =U ，1122()(()())B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+， 由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020A A B B P C P C P C P C ====，所以164108()0.4820202020P C =⨯⨯⨯=．。
高三数学二轮复习----概率与统计答案
高考数学二轮复习考点解析四：概率与统计某某市同泽高级中学 谷凤军2008年4月7日一、方法概述1、概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。
试题以实际问题为背景，贴近生活，难度适中。
2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独立重复试验，以便选择正确的计算方法。
解题过程中，要明确条件中“至少有1个发生”、“至多有1个发生”、“恰有1个发生”、“都发生”、“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间的关系和计算公式。
3、总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。
4、在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之和；二是先求此事件的对立事件的概率。
5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。
6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程度。
二、各地模拟题汇编1、（08年东北育才三模）现有五道数学试题，记为A 、B 、C 、D 、E 和它们对应的答案为e d c b a 、、、、,把A 、B 、C 、D 、E 和e d c b a 、、、、分别写成左右两列，现有一答题者，随机用5条线段把左、右全部连接起来，构成一个“一一对应”已知连对一个得1分，连错一个得0分。
（1）求答题者得分的分布列； (文科)求恰连对一个的概率。
（2）求所得分数的期望。
（文科）求五个都练错的概率。
设答对数为η，则η=0，1，2，3，5（1）记得分为ξ，则ξ=0，1，2，3，5 1分∴12011)5()5(55=====A p p ηξ121)3()3(5535=====A C p p ηξ612)2()2(5525=====A C p p ηξ839)1()1(5515=====A C p p ηξ3011836112112011)0()0(=----====ηξp p 8分 ∴所求得分数ξ的分布列为9∴（2）112015121361283130110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12分 2、（本小题满分13分）一个口袋里面装有２个白球４个黑球，这些球除颜色差别外没有其它的区别. 现在从袋中随机取出一个来记好颜色，然后放回并搅匀，之后再随机取球记色，再放回搅匀，…. 记数列1n :n n na a 第次取得白球-1第次取得黑球，数列n a 的前n 项和记为nS ①.求事件“4S ＝２”的概率； ②求4S 取值的分布列和数学期望4ES . 解：（１）事件42S =只能是“四次取球中出现三次白球一次黑球”，每次取得白球的概率为2163=；取得黑球的概率是4263=…………..2’ 于是3344128(2).3381p S C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………..2’ （２）4S 可能的取值有4,2,0,2,4--40441216(4)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四次全黑）； 441232(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭１3１三黑一白）； 4412248(0)(338127p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭222二黑二白）； 44128(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313一黑三白）； 44121(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭404四次皆白），…………………5’于是4S 取值的分布列为………………………………………….2’4163224814(4)(2)02481818181813ES =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=-…………2’ 3、（本小题满分12分）有10X 形状、大小相同的卡片，其中2X 上写着数字0，另外5X 上写着数字1，余下3X 上写着数字2。
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专题限时集训(五) 用样本估计总体(对应学生用书第87页)(限时：40分钟)1．(2017·河南新乡调研)统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图58所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )图58A．0.001 B．0.1C．0.2 D．0.3D[每组的频率即为相应小长方形的面积，300×0.001＝0.3.]2．(2016·山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图59所示)，据此估计此次考试成绩的众数是( )图59A．100 B．110C．115 D．120C[分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]3．(2017·长春模拟)为普及校园安全知识，某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图510所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、平均分分别为( )图510A ．75%,71B ．80%,85C ．85%,90D ．70%,65A [及格的各组的频率和是(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率为75%；样本的均值为45×0.10＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.30＋85×0.25＋95×0.05＝71，用这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数为71.故选A.]4．(2017·黄冈模拟)如图511是某汽车4S 店10个月销售某豪华汽车数量(单位：台)的茎叶图，若m 是2与12的等差中项，则数据落在区间[19,29)内的概率为( )【导学号：07804037】123⎪⎪⎪8 91 2 2 m 90 0 3图511 A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6C [因为m 是2与12的等差中项，所以m ＝2＋122＝7，所以10个数据中落在区间[19,29)内的数据有19,21,22,22,27，共5个， 因此，样本中的数据落在区间[19,29)内的频率为510＝0.5，所以数据落在区间[19,29)内的概率为0.5.故选C.]5．(2016·贵州适应性考试)一组样本数据的频率分布直方图如图512所示，试估计此样本数据的中位数为( )图512A ．13B ．12C ．11.52 D.1009D [由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009，选项D 正确．]6．(2017·兰州模拟)某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图．已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分布直方图如图513所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是( )图513A ．4B ．5C ．8D ．10B [设从左到右前3个小组的频率分别为x,2x,3x ，第5小组的频数是y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋3x ＋0.15×2＋0.05×2＝1，102x ＝y 0.05×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.1，y ＝5，故选B.]7．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图514所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )图514A.815 B ．49 C.35 D ．19C [依题意，平均数x ＝20＋60＋30＋＋9＋1＋6＝22，故优秀工人只有2人，从中任取2人共有C 26＝15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有C 26－C 24＝9种，故至少有1名优秀工人的概率P ＝915＝35，故选C.]8．(2017·山西五校联考)如图515所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名学生完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分．已知甲、乙两组学生的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数字模糊，记为x .则下列命题正确的是( )图515A ．甲组学生的成绩比乙组稳定B ．乙组学生的成绩比甲组稳定C ．两组学生的成绩有相同的稳定性D ．无法判断甲、乙两组学生的成绩的稳定性A [x 甲＝14×(9＋9＋11＋11)＝10，x 乙＝14×(8＋9＋10＋x ＋12)＝10，解得x ＝1.又s 2甲＝14×[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s 2乙＝14×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝52，∴s 2甲＜s 2乙，∴甲组学生的成绩比乙组稳定．选A.] 二、填空题9．(2017·石家庄二模)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________.【导学号：07804038】16 [设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 017－x )2]＝4×4＝16.]10．(2017·长沙二模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图516.根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数为________天．(该年为365天)图516146 [该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.]11．(2017·宁夏石嘴山模拟)某班学生某次英语测试成绩的频率分布直方图，如图517，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．图51750 [成绩低于60分的在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005,0.010，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，又低于60分的人数是15，则该班的学生人数是150.3＝50.]12．(2017·成都二诊)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1■■，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．32.8 [由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b ，(a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b ＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a －10)2＋(b －10)2]＝15[2＋a 2＋(b －10)2]＝25(1＋a 2)≤25×(1＋92)＝32.8.]三、解答题13．(2017·东北师大附中三模)学校为了了解A 、B 两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为(单位：小时)：A 班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B 班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35. 将上述数据作为样本．(1)绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息(至少写出2条)； (2)分别求样本中A 、B 两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；(3)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b ，求a ＞b 的概率.【导学号：07804039】[解] (1)茎叶图如下(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)：从茎叶图中可看出：①A 班数据有910集中在茎0、1、2上，B 班数据有810集中在茎1、2、3上；②A 班叶的分布是单峰的，B 班叶的分布基本上是对称的； ③A 班数据的中位数是10，B 班数据的中位数是23.(2)A 班样本数据的平均值为x 甲＝110(5＋5＋7＋8＋9＋11＋14＋20＋22＋31)＝13.2小时；B 班样本数据的平均值为x 乙＝110(3＋9＋11＋12＋21＋25＋26＋30＋31＋35)＝20.3小时．因为x 甲＜x 乙，所以由此估计B 班学生平均观看时间较长．(3)A 班的样本数据中不超过11的数据a 有6个，分别为5,5,7,8,9,11；B 班的样本数据中不超过11的数据b 有3个，分别为3,9,11.从上述A 班和B 班的数据中各随机抽取一个，记为(a ，b )，分别为：(5,3)，(5,9)，(5,11)，(5,3)，(5,9)，(5,11)，(7,3)，(7,9)，(7,11)，(8,3)，(8,9)，(8,11)，(9,3)，(9,9)，(9,11)，(11,3)，(11,9)，(11,11)共18种，其中a ＞b 的有：(5,3)，(5,3)，(7,3)，(8,3)，(9,3)，(11,3)，(11,9)，共7种． 故a ＞b 的概率为P ＝718.14．(2017·郑州二模)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图518所示的频率分布直方图：图518(1)求直方图中a 的值；(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；参考数据：若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4.(3)设生产成本为y ，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，x ≤2050.8x －80，x ＞205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．[解] (1)由已知，得(0.002＋0.009＋0.022＋a ＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝1，解得a ＝0.033.(2)Z ～N (200,12.22)，从而P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.(3)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.。