3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.
〖2021年整理〗《三角函数模型的简单应用》优秀教案
三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型 （2）=|in |是以 π 为周期的波浪形曲线 2．预习自测 （1）函数=in （2-3π）的最小正周期为 π (二)（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数=10in （8π-45π）2021∈4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 2021课堂设计 1知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响（2）函数=A in （ωφ）的图象（3）=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义 2问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=in ωφb1求这一天6—14时的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合的数学思想 【解题过程】解:1由图可知,这段时间的最大温差是20212从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=A in ωφb 的半个周期的图象,∴A =2130-10=10,b =213010=202121·ωπ2=14-6,∴ω=8π将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in8π43π2021∈6,14]【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象1根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; 2为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】解:1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26tan h 0≈ 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为 h =15tan ［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈, 由于每层楼高为3米,根据以上数据, 所以他应选3层以上【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻 0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米1选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值精确到2一条货船的吃水深度船底与水面的距离为4米,安全条例规定至少要有米的安全间隙船底与洋底的距离,该船何时能进入港口在港口能呆多久3若某船的吃水深度为4米,安全间隙为米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解根据题意,一天中有两个时间段可以进港问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？ 问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合 【解题过程】解:1以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图根据图象,可以考虑用函数=Ainωφh 刻画水深与时间之间的对应关系从数据和图象可以得出: A ＝,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π所以这个港口的水深与时间的关系可用＝6π5近似描述 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 时刻 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20210 21:00 22:00 23:00 水深2货船需要的安全水深为4＝米,所以当≥时就可以进港 令6π5=,in6π=MODE MODE由计算器可得 2SHIFT in -1=357 92≈ 4如图,在区间[0,12]内,函数＝6π5的图象与直线＝有两个交点A 、B ,因此6π≈ 4,或π－6π≈ 4 解得A x ≈ 8,B x ≈ 2由函数的周期性易得:C x ≈12 8＝ 8,D x ≈12 2＝ 2因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港每次可以在港口停留5小时左右(3)设在时刻货船的安全水深为,那么=在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点通过计算也可以得到这个结果在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为米;时的水深约为米,此时货船的安全水深约为米;7时的水深约为米,而货船的安全水深约为4米因此为了安全,货船最好在时之前停止卸货,将船驶向较深的水域【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t 时的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深的关系t 0 3 6 9 12 15 18 21 2412经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期 【答案】A3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据； ⑤还原：将所得结论转译回实际问题 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破,B ,C 是△ABC 的三个内角,且in A >in B >in C ,则 >B >C2πC >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小 【数学思想】三角函数图象的应用【解题过程】∵in A >in B >in C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数＝in ,），（π0∈图象可得A >B >C 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为＝in ,），（π0∈ 【答案】A2．2021年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则in θco θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴=53，∴in θ=53,co θ=54∴in θco θ=57【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值． 【答案】57能力型 师生共研的函数关系，I =A in ωφω>0,|φ|<2π在一个周期内的图象1根据图象写出I =A in ωφ的解析式； 2为了使I =A in ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建【解题过程】1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π∴I =300in100πt 3π2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω 【答案】1I =300in100πt 3π；2629 探究型 多维突破（米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米）根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数=A in ωtb 的图象． （1）试根据数据表和曲线，求出=A in ωtb 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式 【解题过程】解：（1）根据数据可得，Ah =13，-Ah =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴=3in （6πφ）10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为=3in6πt 10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24）， ∴3in 6πt ≥，∴6πt ∈[2π6π，2π65π]，=0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，Ah =13，-Ah =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）=3in 6πt 10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时自助餐1甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, 表示甲、乙两人的直线距离，则=f θ的图象大致是【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】C安培随时间t 秒变化的函数I =Ain ωt φ的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】函数=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10in （10π6π）故当t =1207时，I =0 【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】A3一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h 米与时间t 分钟之间的函数关系式【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型【解题过程】以最低点的切线为轴，最低点为原点，t , t 则ht = t 2,又设P 的初始位置在最低点，即0=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,co θ=8()8y t -,∴t = -8co θ8, 而212π=t θ，∴θ=6t π，∴t = -8co 6t π8, ∴h t = -8co 6t π10【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果【答案】h t =-8co 6t π10。
三角函数模型的简单应用教案
三角函数模型的简单应用一、教学目标1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b 、由图象求解析式时的确定。
四、教学过程及设计意图教学过程设计意图（一）课题引入情景展示，引入课题（多媒体显示）同学们看过海宁潮吗？……•今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中也蕴含着数学知识．又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。
通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。
这样的例子还有很多，比如：二．由图象探求三角函数模型的解析式例1 •如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数.(1 )求这一天6〜14时的最大温差；(2 )写出这段曲线的函数解析式.解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是；(2)从图可以看出：从6〜14 是的半个周期的图象，又… -•••将点代入得：••,取，•・。
三角函数模型的简单应用 说课稿 教案 教学设计
三角函数一、教学目标：知识与技能：回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。
掌握常见问题的解法。
过程与方法：通过对基本知识的梳理回顾，帮助学生形成知识网络。
由基本问题的解决，促使学生形成解题技能。
情感、态度与价值观通过章节复习培养学生总结归纳能力。
在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重点难点重点：基本知识的回顾及基本问题的解法难点：知识的综合运用能力。
三、教材与学情分析通过章节复习引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程一、构建知识网络，完善认知体系二、归纳基本题型，形成解题技能专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限． (2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0. 所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．变式训练1 (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号； (2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45， cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取． [例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝ 4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．变式训练2. 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.答案：D专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π， 所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1的图象． 归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2，ω＝2πT，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ. 2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．变式训练3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4.令k ＝0，得φ＝π4.答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．变式训练4.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π， 又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 答案：A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法． [例5] 求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调区间． 解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．归纳升华1．求形如函数y＝A sin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y＝A sin2x＋B sin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．。
高中数学《三角函数模型的简单应用》教案
《三角函数模型的简单应用》教学设计三角函数模型的简单应用一、内容和内容解析1.教学内容三角函数既是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具．本课位于人教A 版《普通高中数学课程标准实验教科书》数学，必修4第一章《三角函数》第6节，本节课是《三角函数模型的简单应用》的第一课时．本节课学习的内容“三角函数模型的简单应用”是在学习了“函数模型及其应用”以及“三角函数的图象与性质”的基础上的一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法，为学生以后学习回归分析做好方法上的铺垫．教材设计本节内容的课程目标是：让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，以使学生体会三角函数的价值和功能，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识．在安排内容时，强调数学的人文价值，突出现代信息技术与数学课程的整合．特别注重数学应用过程的完整性，加强了对问题情境和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节．这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法的认知层次，提升学生的直观想象、数学建模、数学运算等数学核心素养和培养学生良好的解题习惯．因此基于对教材内容和课程目标的分析与理解，本节课教学设计重新整合教材并保持与教材设计的一致性，内容上选择教材P 60例1，背景替换为大致成周期变化的成都月平均气温，考察已知函数模型的求解和简单应用；改编教材P 62例4，背景替换为绿色环保的四川水力能源，考察函数模型的建立，求解和简单应用．这样的处理既尊重教材，又尊重学生实际．选择贴近学生生活的成都城市发展作为文化背景，提升学生的文化素养，发挥数学学科育人功能．2.教学重点本节课的教学重点是：从实际问题中分析、理解、整合信息，从中发现周期变化的规律，抽象出数学关系建立三角函数模型，并使用三角函数模型解决实际问题．二、目标和目标解析本节课的教学目标是：1.能够运用已知的三角函数模型解决实际问题，能够将具有周期变化规律的实际问题抽象为三角函数模型，并使用三角函数模型解决一些实际问题；2.经历由实际问题选择、建立、求解数学模型，解决实际问题的数学建模过程，体验实际问题的特征与函数模型的关联，体验三角函数与日常生活的联系，体验三角函数模型的功能与价值，提升数学知识的应用意识．为此选择教材中的一类问题：解决实际生活中形如sin()y A x b ωϕ=++的三角函数的应用问题作为本节课的教学内容，希望学生在探究问题的活动体验中获得对三角函数模型简单应用的深入理解．这类问题的内涵十分丰富：（1）通过观察图象认识事物的形态变化的规律，构建恰当的函数模型，探索解决问题的思路，重点培养学生数形结合的数学思想和直观想象的核心素养；（2）通过建立三角函数模型解决实际问题，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，重点培养学生转化与化归的数学思想和数学建模的核心素养；（3）通过合理选择运算方式解决实际问题，培养学生程序化思考问题的品质，重点培养学生函数与方程的数学思想和数学运算的核心素养．三、教学问题诊断分析1.学情分析学生在高中数学必修1学习了分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，也学习了函数模型应用的基本步骤与方法．经历过收集数据，观察散点图，选择函数模型，求解函数模型，运用函数模型解释检验实际问题的数学建模过程，使用过Excel、Geogebra软件等信息技术辅助学习，体会到了数形结合、函数与方程等数学思想，在数学知识与方法、数学实验操作上都具备一定的基础．同时，学生在高中必修4学习了三角函数和其他学科知识后，了解到三角函数与天文、物理、地理等学科中周期变化现象是有密切联系的．要达成本节课的教学目标，需要学生能敏锐的发现实际问题中的三角函数模型背景，合理的分析理解数据，掌握完整的数学建模的步骤．但学生对建立和应用函数模型往往还停留在求解层面上，实际问题中的数学背景、意义，以及其中蕴含的数学思想、方法、素养的理解并不深刻．当面对利用三角函数解决具有周期变化规律的实际问题中的陌生背景、复杂数据时，学生会有畏难情绪和思维障碍；尤其是理解问题的实际背景、分析问题的复杂条件，建立和求解数学模型，检验模型的实际意义，利用模型最终分析和解决问题等环节都可能遇到一定的困难，导致实际问题的解决不能顺利完整的完成．同时，本节课对学生的信息技术辅助数学探究性学习的能力要求较高，特别是运用互联网+平板电脑操作Excel、Geogebra等数学软件，可能会遇到网络传输不流畅，反应较慢，操作不熟练等因素的影响．因此，需要教师引导学生分析实际问题，回顾已有的处理实际问题的知识与方法，在课前熟悉互联网+平板电脑操作Excel、Geogebra等数学软件；学生采用自主探究和小组合作交流的学习模式，完善解决方案，梳理解题思路．本节课的授课对象为成都市第十二中学理科实验班（信息技术智慧课堂班）的学生，数学基础扎实，思维较活跃，教师运用Excel、Geogebra、几何画板软件辅助教学较多，学生平板电脑信息技术辅助学习较为熟练，具有丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和提炼总结意识上还有待进一步提升．2.教学难点本节课的教学难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并解决实际问题．突破难点的策略是：在教学时，引导学生重视分析实际问题，整理、提取和利用关键信息，抓住实际问题中的重要数据，善于提炼和处理数据，发现数据的内在规律，寻找数量之间的关系；同时借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系以及变化规律，进而建立实际问题的函数模型；最后注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行分析，做出合理的解释，最终达成突破难点的目的．四、教学支持条件分析1.教学策略分析基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略：（1）数学文化为引线：以四川成都实际生活背景作为引入，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的文化素养，数学文化立德树人．（2）问题探究为主线：问题探究，层层递进．问题1（宜人的气候环境）感受实际生活中呈周期变化的三角函数问题，运用三角函数模型求解实际问题；问题2（充足清洁的水电能源）自主分析实际问题，建立三角函数模型并解决实际问题，加深对三角函数与实际生活的关联体验，掌握数学建模完整的步骤与方法，熟练运用信息技术辅助学习，体会数学思想，提高数学素养．教学中采用问题探究式教学模式：提出问题——解决问题——反思归纳——运用检测．学生通过独立探究活动、小组讨论修正、全班展示交流，展示探究方法和思维活动；教师通过交流追问、课堂评价，达成问题的解决：回顾旧知（三角函数模型的求解），启迪方法（数学建模的完整步骤和辅助工具），突破难点（将实际问题抽象转化成三角函数模型），突出重点（建立、使用三角函数模型解决问题）．然后全班反思问题的解决过程，归纳本节课的数学知识、数学方法和数学思想等．最后进行运用反馈，检测学习目标和进行点检测．学生通过自主探究，合作交流的方式掌握知识，体会思想．在分析问题时注意针对全体学生的主体认知水平，理清关键词、句子的数学关系，帮助学生顺利地建立问题特征与数学模型的关联；在学生活动阶段针对学生具体的完成情况进行指导，点评．通过课堂反馈及时进行纠正、鼓励、总结，并对学生运用检测的完成情况进行收集，整理，分析，完成《四川大学附属中学教学目标点检测表》，在课后再进行指导．2.媒体分析黑板：板书教学流程及重要要点．多媒体投影：显示教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞．平板电脑、Geogebra软件、Excel软件：绘制散点图，拟合三角函数图象，拟合求解函数解析式，帮助学生对比、验证自己所求函数的正确性；借助软件的计算功能，快速准确地解决问题，体会借助现代信息技术解决问题的便利性．初到7月初的月平均气温近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++．()0,0,π<0A ωϕ>>-<（1）写出这段曲线的函数解析式；（2）根据求解出的函数解析式，预测成都全年月平均气温低于10℃的是哪些月份？ 解：（1）π2π10sin()1563y x =-+[],1,7x ∈；（2）1、2、12月．观察曲线的几何特征，结合三角函数的图象与性质的知识、方法，独立解决问题．借助函数图象的形态变化分析数学问题，建立数与形的联系求解函数模型．渗透数形结合的数学思想，培养直观想象的核心素养．问题1（1）（预设一）学生通过观察图象特征，结合三角函数的图形与性质，运用已经掌握的方法，求解得出函数解析式：π2π10sin()1563y x =-+；（预设二）学生通过仔细审题，发现问题要求是“写出这段曲线的函数解析式”，所以需要对函数定义域加以补充：π2π10sin()1563y x =-+[],1,7x ∈.追问1：如何根据函数sin()y A x b ωϕ=++的部分图象求解特征量：A 、b 、ω、ϕ？ 追问2：同学们所求解出来的函数解析式是否完整？复习回顾由图象求解三角函数解析式的基本方法．发展学生思维的严密性，培养学生良好规范的解题习惯．问题1（2）（预设一）学生利用已经解得的函数解析式，演算求解出结果：1、2、12月．（预设二）学生利用信息技点评：利用已得函数解析式，将实际问题转化为数学问题并求解，体现了很好的函数与方程的数学思想．点评：使用已经通过解决一些简单的实际问题，引导学生认识到：建立三角函数模型后，可以把握事物的周期性发展规律，预测事件的发生，使我们能够快速解决实借助软件的计算功能，用二分法求出交点坐标的近似值．的思维，学以致用．三、反思归纳1.归纳步骤：2.思想与方法：方法：数学建模思想：数形结合的思想、转化与化归的思想、函数与方程的思想．基于对问题的探究和理解，对照必修1.3.2函数模型的应用解题过程的步骤，总结归纳三角函数模型的简单应用的步骤，理解由于实际问题的周期变化规律对函数模型选择的影响；强化对求解函数模型的一般步骤的理解．揭示探究过程中的数学思想．引导学生回顾解决问题的过程，提出该环节学习任务，师生共同反思总结、修正完善所涉及的知识、方法、思想．在充分体验的基础上，生成逻辑连贯、前后一致的知识体系，使得研究过程中的知识、方法、思想显性化，具体化，规范化．（预设）学生能用较为规范的语言总结三角函数模型的简单应用的步骤．在表述时可能不够完整与规范，尤其容易忽略检验数学结果的实际意义这一环节．指出学生步骤中的不足，引导学生一起完善．评价：虽然本节课的实际问题因为具有周期变化规律从而选择了特殊的三角函数模型解决问题，但是从本质上与必修 1.3.2函数模型的应用中总结的解题过程的步骤是一致的．（预设）学生在解决问题的过程中感受到数与形的关联，在求解过程中借助已掌握的方法和工具，使用函数模型建立方程或不等式解决实际问题，自然生成数形结合、转化与化归、函数与方程的思想．评价：解决问题的过程中，我们抓住图象周期性的几何特征，寻找到图象与三角函数的关系，得到了函数解析式，从数的角度描述了几何图象，这是典型的数形结合思想；将求解方法、工具转化为已有的知识，这体现了转化与化归思想；同时运用函六、目标检测设计运用检测：（人教社A版必修4 P66 B组1题）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年中不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达广场？设计目的：让学生完整地体会数学建模的过程．检验学生能否熟练灵活地运用所学知识求解问题．理清解答过程，学会规范书写，强化方法的运用，训练步骤的完整性和规范性．进一步强化数形结合、转化与化归、函数与方程的数学思想和提升直观想象、数学建模、数学运算的数学素养.课后作业：必做作业：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0 5.0 9 2.5 18 5.03 7.5 12 5.0 21 2.56 5.0 15 7.5 24 5.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口?在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？设计目的：巩固本节课所学知识和方法．拓展作业：自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力?设计目的：拓展学生视野，增加学生学习数学的兴趣．板书设计三角函数模型的简单应用一、提出问题二、解决问题问题1（1）π2π10sin()1563y x=-+[],1,7x∈；（2）1、2、12月．问题2（1）π5π110sin()20066y x=-+；（2）①444亿千瓦时；②4、12月．三、反思归纳1.三角函数模型的简单应用的步骤与方法：数学建模2.数学思想：数形结合思想、转化与化归的思想、函数与方程思想．教学目标点检测表言体验性目标达成较好．从结果性目标的达成程度看，全班有33名学生（77%）能完全正确收集、处理数据，正确运用函数拟合建立三角函数模型，运用三角函数模型有效解决实际问题；6名学生（14%）能完全正确收集、处理数据，正确运用函数拟合建立三角函数模型，但未运用三角函数模型有效解决实际问题；仅有2名学生（4.5%）不能正确收集、处理数据，不能正确运用函数拟合建立三角函数模型，不能运用三角函数模型有效解决实际问题，整体而言结果性目标达成较好．总体来说，大部分学生已经达成了本节课的教学目标，但是在实际问题的分析处理上需要进一步加强练习，强化数学思想的渗透和信息技术的使用．对于2名完全没有达成教学目标的学生需要课后辅导，以期达成目标．另外，大部分学生还存在解答格式不完整，表述不规范等问题，这些都需要在后续教学中加以改进．学生深度体验的典型实例胡秋月刘祯奕钟经纬王亦检测反馈1.对于本节课中未能完全正确体验到关联的学生的反馈调整．请他们在全班评讲的基础上认真订正反馈练习，必要时提供个别帮助．促进这部分学生在订正练习的过程中，加深对实际问题的分析与理解，加强对图形的几何特征与函数图象的关联的理解；强化信息技术的使用，强化数学思想，在方法和细节上突破．2.对于解答格式规范性的反馈调整．从学生书面完成的反馈练习来看，部分学生未养成完整运用三角函数模型的简单应用的步骤解答实际问题的意识，部分学生的表达或过略，或不够明晰，解答排版过于随意．这些问题将在学生后续练习中更加严格要求，引导学生加以调整、改进，不断提升学生的书面表达能力．教学设计说明关于本课的设计，作以下说明：1.贴近生活、立德树人《普通高中数学课程标准( 实验)》明确指出：“数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程”，在学习的过程中，既要使学生成为学习的真正的主人，又要有效地发挥教师的主导作用．本节课选择以四川成都实际生活和绿色环保的发展理念的学生生活背景为引入，在这个综合情境中设计两个问题：宜人的气候环境和清洁充足的水电能源，把三角函数刻画周期变化这一本质特征与这两个实际问题相融合，将问题置于实际生活情境中，既唤起了学生对于家乡的热爱和自豪感，激发了学生学习兴趣，培养学生的文化素养，数学文化育人．同时注意了对于审题环节的引导，借助信息技术化抽象为直观，多角度帮助学生理解文字材料的含义，顺利地建立数学模型，激发学生的成就感；避免传统教学中只重视三角函数解析式的求解、性质的应用而忽视函数模型探究过程的弊端．让学生体会“数学来源于生活，又服务于生活”，激发学生的兴趣，促进学生有效地探究问题和发现规律．2.整合教材、层层递进本节内容教学时间为两个课时．按照教材设计顺序与内容安排，第一课时完成例1，例2和例3，从三个层次来介绍三角函数模型的应用：根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；第二课时完成例4：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．通过对教材内容和数学目标的分析与理解，重新整合教材并保持与教材设计的一致性，选择改变背景的例1和改编后例4作为本节课的课堂教学主体，并选择教材P66B组1题作为运用检测题目．这样设计的原因有以下几点：（1）改编例4为问题2（四川水电能源问题），与问题1（气候问题）统一于成都城市发展这一主题，贴近学生生活，容易引起学生的共鸣和激发学习兴趣，毕竟潮汐问题对于成都的学生略显陌生；（2）问题1和问题2都是解决形如sin()y A x b ωϕ=++的三角函数应用问题，在内容与求解方法上具有一致性；（3）问题1的特点是无数据，有图象，给出三角函数模型；问题2的特点是有数据，无图象，无函数模型；运用检测题目的特点是无数据，无图象，无函数模型，这三个问题环环相扣，层层递进，从学生的知识最近发展区出发，难度缓慢上升，让学生逐步经历收集数据，建立模型、求解模型、运用模型的完整的数学建模过程，在步骤方法上具有递进性．3.收集数据、适度处理本节课重点体现了数学建模的数学核心素养，相应的方法与步骤的第一步就是收集数据．然而无论是必修1.3.2《函数模型及其应用》还是必修4.1.6《三角函数模型的简单应用》，所有的例题不是直接给出函数模型直接求解函数解析式，就是给出数据通过描绘散点图，选择函数模型，拟合解析式．这样设计的原因主要在于：（1）在实际问题背景下的数学问题的相关数据需要查阅大量的专业资料和相关网站，学生在课堂上没有充足的时间进行数据收集整理工作，毕竟函数模型应用问题的主要学习任务还是掌握数学建模的完整步骤以及思想和方法，渗透相关的数学核心素养；（2）实际问题所涉及的数据往往是很复杂的，为了符合教学的需要，体现数学与实际问题的关联，必须对收集到的数据进行符合实际与教学目标的处理，这种总体设计规划和由简入繁的设计理念往往学生所欠缺的．鉴于以上原因本节课依旧遵循教材设计理念，由授课教师在查阅大量资料和专业文献，并咨询了相关专家后，对本节课需要的各项数据在前期进行了符合实际与教学需要的适度处理，而学生在课堂上直接使用．但是在检测运用问题中依旧要求学生在课后经历收集数据这一环节，感受完整的数学建模过程．本题涉及的相关数据可以通过网站较为轻易的收集和处理，大大减轻了学生负担．4.检测后置，充分活动本课的运用检测题目在课堂上进行充分分析后，安排学生在课后完成，这样设计的原因有以下几点： （1）整节课内容比较充实，学生通过充分地探究，感受到了三角函数模型的应用从已有模型解决问题到建立模型解决问题的过程；（2）鉴于检测题目和实际问题结合紧密，而且是一个开放性问题，学生需要查询资料和利用一些工具，在课后探究体验活动的时间比较充分，信息技术在课外进行检测也比较实际；（3）延伸数学探究活动过程，有利于保持学生的学习兴趣和培养学生的钻研精神．提高学生认识层次，强化探索能力，使学生发散性、创新性思维得到提升．教学的艺术不仅在于传授知识，还在于唤醒、激励和鼓舞．让学生经历从无到有、从简单到复杂、从片面到完整的过程，以后就能更加熟练地运用这种学习研究模式．5.凸显思想、提升素养《普通高中数学课程标准中》明确提出：“学会用数学眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象素养；学会用数学思维分析世界，发展逻辑推理和数学运算素养；学会用数学语言表达世界，发展数学建模和数据分析素养．”本节课主要渗透了数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想和有效地提升了直观想象、数学运算、数学建模的数学核心素养：（1）对于问题1，学生在熟悉的三角函数模型的情境中，发现图形与数量的关系，运用研究图形与数量之间关系的基本方法，解决数学问题和实际问题，渗透数形结合的思想，较好的培养了直观想象的核心素养；根据问题的特征建立合适的运算思路，并且能够针对运算问题，合理选择运算方法，解决问题，渗透转化与化归、函数与方程的思想，较好的培养了数学运算的核心素养．（2）对于问题2，学生在水力发电这一关联情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，选择合适的数学模型表达所要解决的问题，建立模型，求解模型，根据实际意义检验结果，完善模型，解决问题，凸显数形结合、转化与化归、函数与方程的思想，有效地提升了数学建模的核心素养；构建相应的几何图形，利用图形探索解决问题的思路，在交流的过程中，利用直观想象探讨数学问题，凸显数形结合的思想，有效地提升了直观想象的核心素养；在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用，在交流的过程中，借助运算探讨问题，凸显了转化与化归、函数与方程的思想，有效地提升了数学运算的核心素养．。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：三角函数模型的简单应用一、教学目标：1.了解三角函数的概念和基本性质；2.掌握三角函数的图像和性质；3.掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
二、教学重点：1.三角函数的概念、基本性质及图像；2.如何应用三角函数模型解决实际问题。
三、教学内容：1.三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.三角函数的图像和性质：了解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质；3.三角函数模型的简单应用：掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
四、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过引入一个简单的实际问题，如一个船在河中流动的问题，引导学生发现问题中涉及到角度和距离的关系，从而引出三角函数模型的应用。
2.讲解三角函数的概念和性质（15分钟）教师讲解三角函数的定义及性质，引导学生了解正弦、余弦和正切函数的定义和特点。
3.讲解三角函数的图像和性质（20分钟）教师讲解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质，帮助学生了解三角函数的变化规律。
4.解决实际问题（30分钟）教师通过几个实际问题的讲解，引导学生掌握如何利用三角函数模型解决实际问题，如计算建筑物的高度、船在河中的速度等。
5.练习与讨论（20分钟）让学生进行相关练习，并进行讨论和解答。
通过互动讨论，加深对三角函数模型的理解。
6.总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展示一些拓展的问题，激发学生对三角函数的兴趣和好奇心。
五、教学手段：1.多媒体课件：用于展示三角函数的图像和性质；2.实物模型：如玩具船、建筑物模型等，用于辅助学生理解实际问题；3.白板和彩色笔：用于讲解和解题。
六、教学反馈：通过课堂练习和讨论，以及课后作业的批改和讲解，及时检查学生对三角函数模型的掌握情况。
同时鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对知识的理解和运用能力。
七、教学评价：通过对学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多方面进行评价，全面了解学生对三角函数模型的掌握情况，并根据评价结果进行针对性的改进和提升。
三角函数模型的简单应用教学设计
三角函数模型的简单应用——潮汐问题教学目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据，从而培养学生数学应用意识。
教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题。
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。
教学流程：教学过程：1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。
这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消。
”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的。
今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题。
2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型。
⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了。
如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义。
三角函数模型的简单应用 说课稿 教案 教学设计
导结合知识框图，回顾复习各个知识点主动思考，带着问题翻书自行阅读内容。
并回答老师提出的问题并将自己疑惑的东西记下问题引如，激发学生兴趣，学生易于从书上内容中找到答案。
增加学习的信心。
思1、函数的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）．A． B． C． D．2、函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数3、把函数y＝sin(x＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的21(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为()比照老师问题，自主学习，并逐一回答，在过程中可与下一环节结合起来进行讨论。
提纲式引领学习，让学生有的放矢，不至于茫然抓不住重点。
不知道自己要干什么。
A ．x ＝－2πB ．x ＝－4πC ．x ＝8πD ．x ＝4π议7、已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的单调递增区间；（3）当时，求的最大值与最小值.漏缺知识点在讨论中明朗化。
典型题目的研究。
小组合作学习，充分发挥小组同学的力量，让每一个都成为学习的主人。
展收集每个小组中所存在的问题。
对重难点知识的梳理。
由小组长带头总结集体讨论，各个击破。
(完整word版)三角函数模型的简单应用教学设计及反思
《三角函数模型的简单应用》教学设计及反思【教学目标】知识目标：.进一步熟悉函数的图像和性质，并会运用它解决有关具有周期运动规律的实际问题;能力目标：由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；思想目标：使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质；情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。
【教学重点和难点】重点：培养学生解决实际问题的能力，体验探究和实践的过程。
难点：分析、整理、利用信息，将现实问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。
【教学方法】为调动学生学习的积极性，产生求知欲望，教学中从以下四个方面加以安排.策略：问题驱动（探究学习、自主发展）形式：讲述、提问、讨论、操作、演示、练习（激发思维、加深体验）手段：多媒体辅助教学（变虚为实、形象直观）方法：有引导的对话（师生互动、教学相长）【教学课时】1课时【教学过程】(一) 设置情境，呈现问题情境：圣米切尔山的涨潮、落潮----圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后，法国第三大景点。
它的最大特点是"在水中央"，潮涨时整座山几乎四面环"海"，潮退时则一片荒漠。
问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。
一般地，早潮叫潮。
晚潮叫汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。
下（二）探索实践，寻找模型初步认识要求学生探讨问题系列一：上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？大约什么时间港口的水最深？深度约是多少？大约什么时间港口的水最浅？深度约是多少？在什么时间范围内，港口的水深增长？在什么时间范围内，港口的水深减少？试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况。
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直线和圆的位置关系
教
学
设
计
课题: 三角函数模型简单应用设计者:
学院: 数学学院
时间: 2015-9-24
三角函数模型的简单应用
一、教学目标
1、知识与技能:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模” 思想 , 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点
教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.
三、教学过程
1. 情景展示,新课导入
【师】经过前面的学习, 大家知道, 在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象, 而要定量地去刻画这些现象, 我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。
这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
【师】老师想问大家一个问题:若干年后, 如果在座的各位有机会当上船长的话, 当你的船只要到某个港口去 ,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况?
【生】水深情况。
【师】是的, 我们要到一个陌生的港口时, 是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。
那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。
问题探究 1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻水深 /米时刻水深 /米时刻水深 /米
3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5
【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息?
【生】(思考中发现水深的最大值是 7.5米,最小值是 2.5米。
【师】水的深度变化有什么特点吗?
【生】水的深度开始由 5.0米增加到 7.5米,后逐渐减少一直减少到 2.5,又开始逐渐变深,增加到 7.5米后,又开始减少。
【师】大家发现,水深变化并不市杂乱无章, 而是呈现一种周期性变化规律,为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律,我们需要做什么工作呢?
【生】需要画图。
【师】非常好, 下面大家拿出一张白纸, 以时间为横坐标,以水深为纵坐标建立平面直角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去。
(学生活动:作图
【师】 (电脑呈现作图结果大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来,得到的图象形状,可以用哪个函数来刻画呢?
【生】跟三角函数模型 sin( y A wx h ϕ=++很象。
(师板书 2.5sin 55.50.3(2 6x
x π+≥--
【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗?
(学生活动,求解解析式
【生】从数据和图像可以得出:7.52.522.5, 5, 12, 02A h T πϕω
-======
【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型,为了保证所选函数的精确性, 通常还需要一个检验过程 (因为时间关系, 老师事先已经帮大家检验过了,这里就不检验,同学们可以下去检验下有了这个模型,我们要制定一张一天 24内整时刻的水深表,就是件非常容易的事情了 .
【师】有了水深关于时间的函数模型以后, 作为船长考虑的问题还没有结束,
因为船只在进出港时, 每艘船只的吃水深度是不一样, 下面我们就看一看把这两方
面的情况都考虑进去的一个问题:
问题探究 2:一艘货船的吃水深度 (船底与水面的距离为 4米, 安全条例规定至
少要有 1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离,试问:该船何时能够进入港口?在港口
能呆多久?
【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么? (师生一起分析
【师】只有当“实际水深吃水深度 +安全间隙”时,船只才可以进去或离开港
口。
怎样用数学语言将这一条件给转述出来呢?
【生】 2.5sin 41.56x
π≥+,即 sin 0.26x
π≥,(师生齐分析解三角不等式,通常我
们是算去边界值,然后再确定解的范围。
【师】令 sin 0.26x
π=(学生活动:操作计算器计算 0.2014, 0.38486x
x π≈=,
【师】我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个, 那么在 [0, 24]范围内 , 其他一些解该怎么求呢?我们来看图象情况。
(电脑呈现图象
发现:在 [0, 24]范围内,方程
0.26x π=的解共有 4个,从小到大依次记为:
那么其他三个值如何求得呢?(学生思考
【师】得到了 4个交点的横坐标值后, 大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港? 什么时间出港呢?(学生讨论,交流
【生】货船可以在 0时 30分钟左右进港,早晨 5时 30分钟左右出港;或者是中午 12时 30分钟左右进港,在傍晚 17时 30分钟左右出港。
【生】货船可以在 0 时 30 分钟左右进港，可以选择早晨 5 时 30 分，中午 12 时 30 分，或者傍晚 17 时 30 分左右出港。
【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全。
（学生讨论，最后确定方案 1 为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它
也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题：问题探究 3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在 2：00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？（学生讨论）【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。
【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深安全水深即：2.5sin x 6 5 5.5 0.3( x 2
，【师】这样的不等式大家会解吗？【生】不会【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题。
（电脑作图并呈现）
通过图象可以看出，当快要到 P 时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。
那么 P 点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）【师】P 点横坐标
解，很显然，精确解我们是无法求
即为方程 2.5sin x 6 5 5.5 0.3( x 2
得，我们只能是求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？【生】二分法，【师】如何用二分法求得近似解呢？（师生一道分析）由图得点 P 在[6，7]，故我们只需要算出 6，6.5，7 三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。
时间 6．0 6．5 7．0 实际水深 5米 4．2 米 3．8 米安全水深 4．3 米 4．1 米 4．0 米是否安全安全较安全危险货船应该在 6 时 30 分驶离港口。
（可能有的同学有些异议，可以讨论）【师】从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上帐后在驶回来。
这样对老板来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？这显然不是老板愿意看到的。
那改怎么来做呢？（学生讨论）【生】可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。
【师】看下面这个问题：问题探究 4：若船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1。
5 米，该船在 2：00 开始卸货，货物卸空后吃水深度为 2 米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？（学生课后探究）
3．课时小结，认识深化（师生一起归纳）3-1 回顾我们整个探究过程，经历了这么几个阶段第一阶段：收集数据-----画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）第二阶段：根据图象特征---选择适当函数类型，并求得函数类型第三阶段：函数模型在实际问题中的应用 3-2 在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。
【师】这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中货船进出港问题，这只是三角函数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程做个有心人，学会用数学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时并努力去尝试用学过的数学知识处理一些实际问题。
4．作业布置 P66 A 组第四题。