9月23日1.4误差和有效数字
第一章 误差与范数
1.1 误差的来源例1.1.1 用差商ha f h a f a f )()()(-+≈'求x x f ln )(=在3=x 处导数的近似值.取1.0=h ，1000.0=h ，h =0.000 000 000 000 001和h =0.000 000 000 000 000 1分别用MATLAB 软件计算，取十五位数字计算.解 在MATLAB 工作窗口输入下面程序>>a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h运行后得yx = 0.32789822822991 将此程序中h 改为0.000 1，运行后得yx = 0.33332777790385后者比前者好.再取h = 0.000 000 000 000 001，运行后得yx = 0.44408920985006不如前者好.取h = 0.000 000 000 000 000 1，运行后得yx = 0算出的结果反而毫无价值.例1.1.2 分别求方程组b AX =在下列情况时的解，其中A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011111.. （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22b ;（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0122.b . 解 （1） 首先将方程组b AX =化为同解方程b A X 1-=，然后在MATLAB 工作窗口输入程序>> b=[2,2]';A=[1,1;1,1.01]; X=A\b运行后输出当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22b 时，b AX =的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02X ；（2）同理可得，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0122.b 时，b AX =的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11X .例1.1.3 计算e 的近似值. 解 泰勒级数e +++++++=!!4!3!21432 n x x x x x n x)(∞<<-∞x , 取1=x ，得e +++++++=!1!41!31!2111 n . （1.2）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.只能在（1.2）取有限项时计算，再估计误差.如果取有限项!!!!)( n s n 1413121111++++++=作为e 的值必然会有误差，根据泰勒余项定理可知其截断误差为e !)1()1( +=-n e s n θ)10(<<θ.如果取（1.2）的前九项，输入程序>> n =8;s=1;S =1; for k=1:ns=s*k;S=S+1/s, ends,S,R=3/(s*(n+1)) 或>>S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)运行后结果S = R =2.71827876984127 8.267195767195768e-006 因为截断误差为e ),10(101968.267!93!)18()1(6-8<<⨯≈<+=-θθ e s 所以e 的近似值e ≈≈++++++++=!81!71!61!51!41!31!2111)1(8 s 2.718 28.1.2 误差和有效数字例1.2.1 取282.718作为e 的四舍五入近似值时，求其绝对误差和相对误差. 解 在MATLAB 工作窗口输入程序>>juewu=exp(1)-2.71828运行后输出结果为juewu = 1.828 459 045 505 326e-006例1.2.2 计算⎰π20sin x xd x 的近似值，并确定其绝对误差和相对误差.解 因为被积函数xxsin 的原函数不是初等函数，故用泰勒级数求之.++-+-=!!!!sin ９ ７５ ３８６x x x x x x 421 )(∞<<-∞x , （1.5） 这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.可用（1.5）的前四项!!!７５ ３６x x x -+-421代替被积函数xxsin ，得 ⎰π=20sin x x y d ⎰π≈20(x !!!142７５ ３６x x x -+-)d x =!7)2(!5)2(!3)2(2753７５ ３⋅π-⋅π+⋅π-π=y ˆ. 根据泰勒余项定理和交错级数收敛性的判别定理，得到绝对误差!99)2(ˆ9⋅<-=πyy R = WU ， 在MA TLAB 命令窗口输入计算程序如下：>>syms xf=1-x^2/(1*2*3)+x^4/(1*2*3*4*5)-x^6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)^3/(3*3*2)+(pi/2)^5/(5*5*4*3*2)-(pi/2)^7/(7*7*6*5*4*3*2)inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2) ,infd=double(inf) WU =(pi/2)^9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2), R =infd-y11因为运行后输出结果为： =y 1.370 762 168 154 49，yˆ=1.370 744 664 189 38，=R 1.750 396 510 491 47e-005， WU = 1.782 679 830 970 664e-005410-<.所以，yˆ的绝对误差为=ε410-，故⎰π=20sin x xy d 7 1.370≈x .yˆ的相对误差为 =r ε71.37010ˆ4-=y ε<0.007 3%.1.3 误差估计的基本方法例1.3.4 设计三种算法求方程01522=-+x x 在)3,2(的一个正根*x 的近似值，并研究每种算法的误差传播情况.解 为解已知方程，我们可以设计如下三种算法，然后将计算结果与此方程的精确解5.2*=x 比较，观察误差的传播.算法1 将已知方程化为同解方程=x 2215x -.取初值20=x ，按迭代公式21215k k x x -=+依次计算 ,,,,21n x x x ，结果列入表1–3中.算法2 将已知方程化为同解方程1215+=x x .取初值20=x ，按迭代公式 12151+=+k k x x依次计算 ,,,,21n x x x ，结果列入表1–3中.算法3 将已知方程化为同解方程141522+-+-=x x x x x .取初值20=x ，按迭代公式为1415221+-+-=+k k kk k x x x x x 依次计算 ,,,,21n x x x ，结果列入表1–3中.我们为这三种算法的计算编写两套MATLAB 程序如下： （1）MATLAB 主程序function [k,juecha,xiangcha,xk]= liti112(x0,x1,limax) % 输入的量--x0是初值, limax 是迭代次数和精确值x; % 输出的量--每次迭代次数k 和迭代值xk,% --每次迭代的绝对误差juecha 和相对误差xiangcha ， x(1)=x0;for i=1:limaxx(i+1)=fl(x(i));%程序中调用的fl.m juecha = abs(x(i)-x1);xiangcha = juecha /( abs(x(i))+eps);xk=x(i);k=i-1;[(i-1),juecha,xiangcha,xk] end（2）MATLAB 调用函数程序及其计算结果①算法2的MATLAB 调用函数程序function y1=fl(x)y1=15/(2*x+1);② 将MATLAB 主程序和调用函数程序分别命名liti112.m 和fl.m ，分别保存为M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入命令>> [k,juecha,xiangcha,xk]= liti112(2,2.5,100) ③运行后输出计算结果列入表1–3和表 1-4中.④将算法2的MATLAB 调用函数程序的函数分别用y1=15-2*x^2和y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法1和算法3的调用函数程序，将其保存，运行后将三种算法的前8个迭代值821,,,x x x 列在一起（见表 1-3），进行比较.将三种算法的821,,,x x x 对应的绝对误差和相对误差的值列在一起（见表 1-4），进行比较.1.4 数值计算中应注意的问题例1.4.1 求数）181(71915-+⨯=-x 的近似值. 解 （1）直接用MATLAB 命令>> x=(7^15)*(sqrt(1+8^(-19))-1)运行后输出结果x = 0问题出现在两个相近的数1981-+与1相减时，计算机运行程序>>sqrt(1+8^(-19))-1运行后输出结果ans = 0由于计算机硬件只支持有限位机器数的运算，因此在计算中可能引入和传播舍入误差.因为有效数字的严重损失，导致输出18119-+-的结果为0，计算机不能再与数157继续进行真实的计算，所以，最后输出的结果与x 的精确值不符.（2）如果化为18187)181(71919151915++⨯=-+⨯=---x ，再用MATLAB 命令>> x=(7^15)*( (8^(-19))/(sqrt(1+8^(-19))+1))运行后输出结果x = 1.6471e-005 这是因为18119-+-化为18181919++--后，计算机运行程序>> x= (8^(-19))/(sqrt(1+8^(-19))+1)运行后的结果为x =3.4694e-018 由于有效数字的损失甚少，所以运算的结果-18103.4694⨯再与157继续计算，最后输出的结果与x 的精确值相差无几.例1.4.2 求数)13030ln(2--=y 的近似值. 解 （1）直接用MATLAB 程序>> x=30;x1= sqrt(x^2-1)运行后输出结果x1 = 29.9833 输入MATLAB 程序>> x=30; x1=29.9833;y=log(x-x1)运行后输出结果y = -4.0923（2）因为)13030ln(2--中的30=x 很大，如果采用倒数变换法111221-+=--=x x x x z ，即130301ln)13030ln(22-+=--)190030ln(-+-=.输入MATLAB 程序>> x=30;y=-log(x+sqrt(x^2-1))运行后输出结果y = -4.0941（3）输入MA TLAB 程序>> x=30; y=log(x-sqrt(x^2-1))运行后输出结果y = -4.0941 可见，（2）计算的近似值比（1）的误差小.参加计算的数，有时数量级相差很大.如果不注意采取相应的措施，在它们的加减法运算中，绝对值很小的那个数经常会被绝对值较大的那个数“吃掉”，不能发挥其作用，造成计算结果失真.例1.4.4 请在16位十进制数值精度计算机上利用软件MATLAB 计算下面的两个数0.30.1111111111111111*++=x 和0.30.11111111111111111*++=y将计算结果与准确值比较，解释计算结果.解 在MATLAB 工作窗口输入下面程序>> x=111111*********+0.1+0.3, y=1111111111111111+0.1+0.3运行后输出结果x = 1.111111*********e+014，y =1.111111*********e+015 从输出的结果可以看出，x *x =，而y *y ≠.为什么*y 仅仅比*x 多一位1，而y *y ≠呢？这是因为计算机进行运算时，首先要把参加运算的数写成绝对值小于1而“阶码”相同的数，这一过程称为数的“对阶”.在16位十进制数值精度计算机上利用软件MATLAB 计算这两个数，把运算的数*x 写成浮点规格化形式为，151515*103000**********.0001010000000000000.000100111111111111111.0⨯+⨯+⨯=x在16位十进制数值精度计算机上，三项的数都表示为小数点后面16位数字的数与1510之积，所以，计算机没有对数进行截断，而是按原来的三个数进行计算.因此，计算的结果x *x =.而161616*10030000000000000.00010010000000000000.000101111111111111111.0⨯+⨯+⨯=y三项的数都表示写成绝对值小于1而“阶码”都为1610的数以后，第一项的纯小数的小数点后面有16位数字.但是，后两项数的纯小数的小数点后面有17位数字，超过了16位十进制数值精度计算机的存储量，计算机对后两项的数都进行截断最后一位，即后两项的数都是16位机上的零，再进行计算，所以计算结果与实际不符.五、向量和矩阵的范数例1．5.1: 用matlab 求下列向量的2,1,5，,-∞∞范数。
有效数字和实验误差分析(精)
有效数字和实验误差分析1 有效数字的定义有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。
显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g滴定时滴定管读数为20.05mL这两个数值中的“0”都是有效数字在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字有效位数及数据中的“0 ”：1.0005，五位有效数字0.5000，31.05% 四位有效数字0.0540， 1.86 三位有效数字0.0054，0.40% 两位有效数字0.5，0.002% 一位有效数字2 有效数字的计算规则2.1 有效数字的修约规则在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。
2.1.1 四舍六入五六双。
即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。
例如，将下列测量值修约为四位数：3.142 45 3.1423.215 60 3.2165.623 50 5.6245.624 50 5.6243.384 51 3.3853.384 5 3.3842.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。
例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。
1.4a误差定义
误差的定义：
测量值与真实值的差异。它存在于 一切测量之中，而且贯穿测量过程的 始终，只能减少，无法消除
误差的分类：1、来源
类型 系统误差
实验原理不完善
偶然误差
各种偶然因素对实验 者和实验仪器所产生 的影响 时大时小但机会相等 求平均值的方法
来源
特点
实验仪器精度不够 实验方法粗略 相同的倾向性
方法
改进上述的三个方 面
误差的分类:2
处理数据结果可分：
绝对误差
相对误差
反映偏离 绝对误差 ＝｜测量值－真实值｜ 真实值 的大小
相对误差
X 1000 0 真实值
反映实验结果 的精确程度， 评价实验和测 量值的依据
有效数字
1、带有一位不可靠数字的近似数字，叫 做有效数字。 2、凡是用测量仪器直接测量的结果，读 数一般要求在读出仪器最小刻度所在 位的数值（可靠数字）后，再向下估 读一位（不可靠数字） 。 3、间接测量的有效数字运算不作要求， 运算结果一般可用2~3位有效数字表示。
实验基础就补充这些
新人教版高一物理必修一 1.4实验：用打点计时器测速度 (共13张PPT)
周期0.02s
上，频率50Hz、周期0.02s
用途:计时
用途:计时
注意事项:交流、电压6V, 注意事项:交流、电压220V,
先通电等待1～2s后拖动 先通电等待1～2s后拖动纸
纸带或释放物体、先切 带或释放物体、先切断脉冲
断电源后拾取纸带
输出开关后拾取纸带
实验1
步骤、要领
1.把打点计时器固定在实验桌上（不许松动!）,（是电磁 式还是电火花式?）连接电源（通电检查!）. 2.把纸带穿过限位孔,复写纸压在纸带上（纸带在下复写 纸在上!试拉检查!）. 3.先通电等待1～2s,后拖动或释放物体（先通电后拉动! 控制快慢!）. 4.先切断电源,后取下纸带（先断电后取带!）. 5.再取2～3条纸带,重复2～4步2～3次. 6.选取纸带（点迹清晰?漏点拖点?）,测量点编号（注意 先后!写下序号!）,数点计时（点数不等于间隔数!）. 7.用刻度尺测量距离（最小分度?有效数字?）,记录数据 （忠实地记录原始数据!）,保留纸带（不能丢失!）. 8.整理实验器材（不要忘记!）.
带或释放物体、先切断脉冲
输出开关后拾取纸带
实验1
板书
电磁打点计时器
电火花计时器
构造:接线柱、线圈、振 构造:电源插头、脉冲输出
片、振针、永久磁铁、 开关、正负脉冲输出、放电
复写纸、限位孔、定位 针、墨粉纸盘、纸盘轴
轴
原理:脉冲电流经放电针、
原理:电磁铁与永久磁铁 墨粉纸盘到纸盘轴，产生火
相互作用，频率50Hz、 花放电，蒸发墨粉落在纸带
实验2
分析数据
1.列表法:高中实验报告册 物理 必修1 国标·人教版 第
7页。
“瞬时速度”v
x t
,以测量点为时间中点,前后各
实验基础知识——误差和有效数字
第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。
1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。
2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。
一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。
这种差异就叫做误差。
从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。
1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。
其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。
要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。
②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。
偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。
[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。
误差与范数
第一章误差与范数1.1 误差的来源1.2 误差和有效数字1.3 误差估计的基本方法1.4 数值计算中应注意的问题第二章非线性方程（组）的数值解法2.1 方程（组）的根及其MATLAB命令2.1.2 求解方程（组）的solve命令2.1.4 求解方程（组）的fsolve命令2.2 搜索根的方法及其MATLAB程序2.2.1 作图法及其MATLAB程序2.2.2 逐步搜索法及其MATLAB程序2.3 二分法及其MATLAB程序2.3.1 二分法求方程根的迭代次数的MATLAB命令2.3.2 二分法的MATLAB程序2.4 迭代法及其MATLAB程序2.4.2 迭代法的MATLAB程序12.4.5 迭代法的MATLAB程序22.5 迭代过程的加速方法及其MATLAB程序2.5.2 加权迭代的MATLAB程序2.5.4 艾特肯(Aitken)加速方法的MATLAB程序2.6 牛顿(Newton)切线法及其MATLAB程序2.6.2 牛顿切线法的收敛性及其MATLAB程序2.6.3 牛顿切线法的MATLAB程序2.6.6 牛顿切线法的加速及其两种MATLAB程序2.7 割线法及其MATLAB程序2.7.2 割线法的MATLAB程序2.8 抛物线法及其MATLAB程序2.8.2 抛物线法的MATLAB程序2.9 求解非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.1 求解二阶非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.2 求解n阶非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.9.3 求解n阶非线性方程组的拟牛顿法及其MATLAB程序第三章解线性方程组的直接方法3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序3.2 三角形方程组的解法及其MATLAB程序3.2.2 解三角形方程组的MATLAB程序3.3 高斯消元法和列主元素消元法及其MATLAB程序3.3.1 高斯消元法及其MATLAB程序3.3.2 列主元素消元法及其MATLAB程序3.4 LU分解法及其MATLAB程序3.4.1 判断矩阵LU分解的充要条件及其MATLAB程序3.4.2 直接LU分解法及其MATLAB程序3.4.3 含交换阵的LU分解法及其MATLAB程序3.4.4 正定对称矩阵的Cholesky分解及其MATLAB程序3.4.5 正定对称矩阵的Cholesky分解及其MATLAB程序3.5 求解线性方程组的LU方法及其MATLAB实现3.5.1 求解线性方程组的Cholesky分解及其MATLAB实现3.5.2 求解线性方程组的直接LU分解法及其MATLAB实现3.5.3 解线性方程组的选主元的LU方法及其MATLAB实现3.6 误差分析及其两种MATLAB程序3.6.1 用MATLAB软件作误差分析AX=解的性态的MATLAB程序3.6.2 求P条件数和讨论bAX=解和A的性态的MATLAB程序3.6.3 用P范数讨论b第四章解线性方程组的迭代法4.1 迭代法和敛散性及其MATLAB程序4.1.2 用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB程序4.2 雅可比（Jacobi）迭代及其MATLAB程序4.2.2 判别雅可比迭代收敛性的MATLAB程序4.2.3 雅可比迭代的两种MATLAB程序4.3 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代及其MATLAB程序4.3.3 高斯—塞德尔迭代两种MATLAB程序4.4 解方程组的超松弛迭代法及其MATLAB程序4.4.2 超松弛迭代法收敛性及其MATLAB程序4.4.3 超松弛迭代法的MATLAB程序第五章矩阵的特征值与特征向量的计算5.2 幂法及其MATLAB程序5.2.2 幂法的MATLAB程序5.3 反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3 原点位移反幂法的两种MATLAB程序5.4 雅可比(Jacobi)方法及其MATLAB程序5.4.3 雅可比方法的MATLAB程序5.5 豪斯荷尔德方法及其MATLAB程序5.5.1 豪斯荷尔德方法及其MATLAB程序5.5.2 矩阵约化为上Householder阵及其MATLAB程序5.5.3 实对称矩阵的三对角化及其MATLAB 程序5.6 QR 方法及其MATLAB 程序5.6.2 QR 方法的MATLANB 程序5.6.5 最末元素位移QR 法计算实对称矩阵特征值及其MATLAB 程序5.6.6 求根位移QR 方法计算实对称矩阵A 的特征值及其MATLAB 程序5.7 广义特征值问题及其MATLAB 程序5.7.2 用MATLAB 计算BX AX λ=型的广义特征值和特征向量第六章 函数的插值方法6.1 插值问题及其误差6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数6.2 拉格朗日（Lagrange ）插值及其MATLAB 程序6.2.1 线性插值及其MATLAB 程序6.2.2 抛物线插值及其MATLAB 程序 6.2.3 n 次拉格朗日（Lagrange ）插值及其MATLAB 程序6.2.5 拉格朗日多项式和基函数的MATLAB 程序6.2.6 拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB 程序6.3 牛顿（Newton ）插值及其MATLAB 程序6.3.3 牛顿插值多项式、差商和误差公式的MATLAB 程序6.3.4 牛顿插值及其误差估计的MATLAB 程序6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序6.4 埃尔米特（Hermite ）插值及其MATLAB 程序6.4.3 埃尔米特插值多项式的MATLAB 程序6.5 分段插值及其MATLAB 程序6.5.1 高次插值的振荡和MATLAB 程序6.5.3 分段线性插值的MATLAB 程序6.5.4 作有关分段线性插值图形的MATLAB 程序6.5.5 用MATLAB 计算有关分段线性插值的误差6.6 分段埃尔米特（Hermite ）插值及其MATLAB 程序6.6.2 Hermite 插值的MATLAB 程序6.6.3 作有关分段Hermite 插值图形的MATLAB 程序6.6.4 用MATLAB 计算有关分段Hermite 插值的误差6.7 三次样条插值及其MATLAB 程序6.7.4 用一阶导数计算的几种样条函数和MATLAB 程序6.7.6 用MATLAB 计算三次样条6.7.7 几种作三次样条有关图像的MATLAB 程序6.7.8 用MATLAB 计算有关分段三次样条的误差6.8 高元插值及其MATLAB 程序6.8.1 MESHGRID 命令的功能和调用格式6.8.2 单调数据点上的二元插值及其MATLAB 程序6.8.3 三元插值及其MATLAB 程序第七章 函数逼近与曲线（面）拟合7.1 曲线拟合、误差及其MATLAB 实现7.2 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序7.3 函数)(x r k 的选取及其MATLAB 程序7.4 多项式拟合及其MATLAB 程序7.5 拟合曲线的线性变换及其MATLAB 程序7.6 函数逼近及其MATLAB 程序7.7 三角多项式逼近及其MATLAB 程序7.8 随机数据点上的二元拟合及其MATLAB 程序7.9 随机数据点上的n 元拟合及其MATLAB 程第八章 数值微分8.2 一阶导数的数值计算及其MATLAB 程序 (117)8.2.1 差商求导及其MATLAB 程序8.2.2 中心差商公式求导四种MATLAB 程序8.2.3 Richardson 外推法求导及其MATLAB 程序8.2.4 牛顿多项式求导及其MATLAB 程序8.2.5 diff 和gradient 函数在数值求导中的应用8.3 高阶导数的数值计算及其MATLAB 程序8.3.1 插值或拟合高阶数值导数及其MATLAB 程序8.3.2 高阶泰勒数值导数及其MATLAB 程序8.4 数值梯度和数值偏导数的计算及其MATLAB 程序8.4.1 梯度和偏导数的数值计算及其MATLAB 程序8.4.2 计算雅克比矩阵及其行列式的MATLAB 方法第九章 数值积分9.1 积分的符号计算9.1.1 定积分的MATLAB 符号计算9.1.2 变限积分的MATLAB 符号计算9.2 数值积分的思想及其MATLAB 程序9.2.3 矩形公式的MATLAB 运算9.3 插值型数值积分及其MATLAB 程序9.3.2 梯形公式的四种MATLAB 程序9.3.4 辛普生（Simpson ）数值积分的MATLAB 程序9.3.6 牛顿-科茨（Newton-Cotes ）数值积分和误差分析的三种MATLAB 程序9.3.7 利用三次样条求表格型数值积分的MATLAB 方法9.3.8 利用拉格朗日插值等方法求表格型数值积分的MATLAB 方法9.4 龙贝格公式及其MATLAB 程序9.4.2 龙贝格积分的MATLAB 程序9.5 自适应积分及其MATLAB 程序9.6 高斯（Gauss ）型积分公式及其MATLAB 程序9.6.2 在]1,1[ 上的高斯-- 勒让德积分公式及其MATLAB 程序9.6.3 在],[b a 上的高斯-- 勒让德积分公式及其MATLAB 程序9.6.4 Radau 和Lobatto 积分公式及其MATLAB 程序9.7 反常积分的计算及其MATLAB 程序9.7.1 无穷积分的符号计算及其MATLAB 程序9.7.2 无穷积分的近似计算及其MATLAB程序9.7.3 无界函数反常积分的符号计算的五种MATLAB程序9.7.4 无界函数反常积分的近似计算的两种MATLAB程序9.8 多重积分的计算及其MATLAB程序9.8.1 二重积分的符号计算及其MATLAB程序9.8.2 二重积分的梯形公式及其MATLAB程序9.8.3 矩形域上的辛普生公式及其MATLAB程序9.8.4 一般域上二重积分的数值计算及其MATLAB程序9.8.5 三重积分的计算及其MATLAB程序第十章常微分方程（组）求解10.1 常微分方程（组）的MATLAB符号求解10.1.1 MATLAB求常微分方程（组）的通解10.1.2 MATLAB求常微分方程（组）的特解10.1.3 线性常微分方程组的MATLAB解法10.3 欧拉方法及其MATLAB程序10.3.2 向前欧拉方法的三种MATLAB程序10.3.4 向后欧拉方法的MATLAB程序10.4 改进的欧拉方法及其MATLAB程序10.4.2 梯形公式的两个MATLAB程序10.4.4 改进的欧拉公式的MATLAB程序10.5 龙格—库塔方法10.5.2 二阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.3 三阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.4 四阶龙格—库塔方法及其MATLAB程序10.5.5 自适应龙格—库塔方法及其MATLAB库函数10.6 线性多步法及其MATLAB程序10.6.2 亚当斯显式公式及其MATLAB程序10.6.3 亚当斯隐式公式及其MATLAB程序10.6.4 米尔恩公式及其MATLAB程序10.6.5 汉明公式及其MATLAB程序10.6.6 预测-校正系统及其MATLAB程序10.7 一阶（高）阶微分方程（组）的数值解及其MATLAB程序10.7.1 一阶微分方程组的数值解及其MATLAB程序10.7.2 高阶微分方程（组）的数值解及其MATLAB实现10.8 边值问题的数值解及其MATLAB程序10.8.1 打靶法及其MATLAB程序10.8.2 有限差分方法及其MATLAB程序10.8.3 求解常微分方程（组）边值问题数值解的MATLAB库函数。
4.2 误差和有效数字
代表了x 的上、下限. 越小, 近似值x* 的精度越高.
例如, 光速C 的近似值为
C 2.997902 1010 厘米 / 秒
又其绝对误差限为
ε* = 0.000009×1010厘米/秒
则把C 写成
C =(2.997902±0.000009)×1010厘米/秒 它表示了光速C 的准确值所在的范围.
称为近似值 x* 的绝对误差 , 简称误差.
当 e* >0时, 称 x* 为强
e x x
(1)
为近似值x* 的绝对误差限, 简称误差限或精度. 称此
也可用 x x 来表示(1). x 和 x
* r
* r
* 显然 r 称为近似值 x 的相对误差限.
* r
*
x
例如, 两个量 x 10 1, y 1000 5 (*x ) 1 x 10 , (*x ) 1, r*( x ) 10%
x 10
y 1000 ,
* ( y)
二. 相对误差和相对误差限
定义2 近似值x* 的绝对误差e*与准确值x 的比值
e x x er x x
称为近似值x* 的相对误差. 由于真值 x 总是无法知道, 通常取 e x x er x x
作为相对误差的另一个定义.
若找到一个正数 r , 使
e
解: 上述各数具有5位有效数字的近似值分别为
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.1783.
四. 小 结
1. 误差与误差限 2. 相对误差和相对误差限 3. 有效数字
第四章
数值分析误差
I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
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di xi x
（ 2 ）相对偏差：绝对偏差占平均值的百
分比
xi x di dr 100% 100% x x
（3）平均偏差： 各测量值绝对偏差的 绝对值的算术平均值
d
x x
i
n
续前
（4）相对平均偏差： 平均偏差占平均值的百分比
d d r 100% x
xi x
2）仪器分析法——测低含量组分，E
r 大 化学分析法——测高含量组分， E r小
活动与探究
分组讨论一下： 1、误差表示方法有哪些种？ 2、什么是绝对误差？如何表示。 3、什么是相对误差？如何表示。
3、误差表示方法
（1）绝对误差：测量值与真实值之差
Ea=X-XT （2）相对误差：绝对误差占真实值的百分 比 Er=Ea/XT*100%
分析铁矿石中Fe的含量（以FeO﹪表示 分析结果）测定5次，其结果分别为：
67.48﹪，67.37﹪，67.47﹪，67.43﹪， 67.40﹪。 求平均偏差，标准偏差和相对偏差。
活动与探究
分组讨论一下： 1、误差有哪些类呢？ 2、什么是系统误差？特点、定义。 3、什么是偶然误差？定义、特点。
四、误差种类、产生原因及减免 方法
两种误差都小， 有系统误差
丙：精密度低 然误差
准确度也低
有系统误差和偶
丁：精密度很低 但准确度很高（碰到的）
注：只有消除系统误差条件下的高精密度才是 可靠的.
准确度与精密度的关系
1.精密度是保证准确度的前提。 2.精密度高，不一定准确度就高。 即:精密不一定准确,但准确必须精密。
作业题
1、以下情况产生的误差属于系统误差的是 (1)指示剂变色点与化学计量点不一致; (2) 滴定管读数最后一位估测不准; (3) 称样时砝码数值记错; (4) 称量过程中天平零点稍有变动。 答案： (1)
2、在分析过程中,下列情况造成什么性质的误 差 (1)在重量分析中沉淀溶解损失； (系统误差) (2)称量时读错砝码； (过失误差) (3)试剂中存在少量被测离子； (系统误差) (4)滴定管读数小数点后第二位估计不准确。 (随机误差)
练 习丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果
为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次分析 结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。
x 10.43%
d x 100 %
解：
d d n
i
0.18 % 0.036 % 5
0.036 % 100 % 0.35 % 10 .43 %
特点： 单向性，规律性（恒定可测）和重复性。 克服： 校正（方法，仪器），空白实验，对照实 验
偶然误差：（随机误差、不可测误差） 定义： 由某些难以控制、无法避免的偶然因素引起的， 使分析结果出现随机的波动。它决定分析结果的 精密度。 来源：偶然因素:如室温，气压，温度，湿度
特点： 不确定性和不可避免性.即： 随机误差的 大小、正负都不固定，但多次重复测得的数 据仍遵循一定的规律(正态分布)。 克服： 通过增加测定次数予以减小，用数理统计 方法表达结果，不能通过校正而减小或消除。 增加平行测定次数，一般测3～4次以减小偶 然误差
n x
100%
活动与探究
分组讨论一下： 准确度和精密度的关系是什么呢？
三、准确度与精密度的关系
例：甲、乙、丙、丁 四个分析工作者对同一铁标
样（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果 如图示，比较其准确度与精密度。
续前
甲： 精密度高 准确度也高 两者都高最好。 乙： 精密度高 但准确度低
过失误差：
违反操作规程或粗心大意造成。如读错， 记录错，计算错，溶液溅失，沉淀穿滤等。
公 差
由于随机误差是不可避免的，各 生产部门对分析结果允许误差的一种 限量规定值称公差。如果误差超出允 许的公差范围，该项分析工作就得重 做。 例如 铁矿分析允许误差范围
小结
通过这节课的学习，我们学习了: 1、准确度、误差的定义 2、精密度、偏差的定义、表示方法 3、准确度、精密度的关系 分组归纳总结，同学们下去巩固练习。
1.误差的分类：
系统误差（可测误差），偶然误差（随机 误差）和过失误差。
系统误差
定义：由某种固定的原因所造成的误差。 特点： 其大小可测，单向性、可重复性、可校
正。
来源： 方法误差：方法不完善；如：终点误差 仪器误差：仪器本身的缺陷,如天平，法码， 容量器皿等 试剂误差：试剂不纯，含杂质等。 主观误差：操作人员主观因素造,颜色判断， 偏见，习惯等
活动与探究
1、什么是误差呢？ 2、误差和准确度的关系是什 么呢？
2、误差：
定义：测定值与真实值的差值。 关系：误差越小，准确度越高。反之， 误差越大，准确度越高。
误差与准确度的关系
准确度可用误差来表示，误差是衡量准确度 高低的尺度。
注：1）测高含量组分，E r可小；测低含 量组分，E r 可大
教学科目 章节标题
分析化学
教案序 号
4
1.4 误差和有效数字
授课日期
授课班级 出缺勤数
23/9
1305
应到 实到 课堂类 新授 型 14 14 教学目的和要 1、掌握有误差、准确度定义 求 2、掌握偏差、精密度定义 3、掌握准确度、精密度关系 分组安排活动 将知识点框架全部划分为思考讨论题， 方式 分组讨论，得出答案，教师点评
活动与探究
分组讨论一下： 1、什么是偏差呢？ 2、偏差的表示方法是什么呢？ 3、绝对偏差、相对偏差、平均偏 差的表示？
2、偏差
定义：同一样品进行多次重复测定时，某 测定值与各测定值的算术平均值之间的差值。 表示方法：绝对偏差、相对偏差
（1）绝对偏差 ：单次测量值与平均值之 差
di=Xi-X平均
知识回顾
1、化工分析过程？ 2、采样的定义？ 3、试样的定义？ 4、四分法解释？ 5、试样处理原则？
引言
上一节学习了试样采集处理方法。在化 工分析操作中，是不是百分百的精确呢， 会有误差吗？大家想一下，用什么值来衡 量实验的准确性呢？衡量分析结果的准确 性呢？这就是咱们今天的学习内容：误差， 偏差，准确度，精密度的认识。
一、误差与准确度 第四节 分析化学中的误 差 二、偏差与精密度 三、准确度与精密度的
关系
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活动与探究
1、化工分析的要求是什么呢？ 2、控制分析的要求是什么呢？ 3、一般分析的要求确度 化工分析要求：准确、快速、节约 控制分析：快速为主，准确其次 一般分析：准确度为主 定义：试样多次测定的平均值与真实值之 间相符的程度。准确度的高低用误差表 示。
8.6 10 7 s 4.6 10 4 0.046 % n 1 4 s 0.046 % 100 % 100 % 0.44 % 10 .43 x
d i2
练一练 某铁矿石中磷的测定结果为：
0.057﹪，0.056﹪，0.057﹪，0.058﹪， 0.055﹪。 试求算术平均值和标准偏差？
x
实际工作中,以下数值可视为真值: 如某化合物的理论组成----理论真值 国际计量大会上确定的长度、质量等单位---约 定真值 标准试样给出的各组分的标准值---相对真值
活动与探究
分组讨论一下： 1、什么是精密度呢？ 2、精密度用什么表示呢？
二、精密度与偏差
1、精密度
定义：在确定的条件下，重复测定的各测 定值彼此之间相符的程度。 表示：偏差
好好学习 天天向上
再见！