高中数学常用的数学思想等价转化思想方法及训练习题集
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)十、转化与化归思想 含解析
我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。
利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。
在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。
二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。
三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
3。
数形结合法，即数与形的转化。
将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。
特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。
5。
补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高考数学专题突破：转化与化归思想 试题
高考数学专题打破：转化与化归思想本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不标准、复杂的问题转化为熟悉、标准甚至形式法、简单的问题。
1．转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或者必要的，要对结论进展必要的修正〔如无理方程化有理方程要求验根〕，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的打破口。
2．常见的转化方法〔1〕直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题；〔2〕换元法：运用“换元〞把非HY 形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的根本问题； 〔3〕参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵敏性，易于转化； 〔4〕构造法：“构造〞一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题；〔5〕坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； 〔6〕类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；〔7〕特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论合适原问题； 〔8〕一般化方法：假设原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进展转化；〔9〕等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达转化目的；〔10〕补集法：〔正难那么反〕假设过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的根本原那么：〔1〕熟悉化原那么：将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决；〔2〕简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或者获得某种解题的启示和根据；〔3〕和谐化原那么：化归问题的条件或者结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或者其方法符合人们的思维规律；〔4〕直观化原那么：将比拟抽象的问题转化为比拟直观的问题来解决；〔5〕正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）
高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。
一、转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。
(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。
(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。
二、转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。
(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。
(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。
(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。
(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。
(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。
高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】 三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。
数学中考专题17 数学思想方法-转化思想
数学思想方法———转化与化归思想【考向分析】转化思想是数学中非常重要的思想方法，它是平时学习的常用方法，同时也是解决中考综合题的有利武器，一般来说，综合题都有一定的难度，它的解决一定基于我们学过并熟练掌握的基础知识，如何将其转化为自己所熟知的内容就成了解题关键.实际上，所谓的解题不过是将未知转化为已知的过程，即转化是解题时主要的思想方法。
【典型例题】例1 如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分34,120,===∠∠BC BD A ABC ，求梯形的面积。
例2 如图所示，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上的一点，DC AE ⊥，交DC 的延长线于点E ，且AC 平分EAB ∠。
（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若524,6==AE AB ，求BD 和BC 的长。
A DCB例3 如图所示，NM 切⊙O 于P ，AB 是⊙O 弦，MN AM ⊥于M ，MN BN ⊥于N ，AB PQ ⊥于Q 。
求证：BN AM PQ ⋅=2。
例4 已知：如图1，在直角坐标系中，⊙1O 经过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ． （1）若点O 到直线AB 的距离为512，且43tan =∠B ，求线段AB 的长； （2）若点O 到直线AB 的距离为512，过点A 的切线与y 轴交于点C ，过点O 的切线交于D ，过点B 的切线交OD 于点E ，求BECD 11+的值．（3）如图2，若⊙1O 经过点M （2，2），设BOA ∆的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化，若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围.【随堂练习】1．如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30，使点A 落在抛物线()02<=a ax y 的图象上。
（1）求抛物线2ax y =的函数关系式；（2）正方形OABC 继续按顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图象上？并求这个点的坐标；2．如图所示，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，以BC 边为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD 并延长交CA 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥OE 交EC 于点F 。
高考数学选择题例题与训练(等价转化法专题)
高考数学选择题例题与训练（等价转化法专题）解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。
至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。
在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。
【例题】、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）A、 B、 C、D、【解析】问题等价于对函数图象上任一点都满足，只能选A。
【练习1】、设，且sin3+ cos3，则的取值范围是（）A、[-，0） B、[]C、（-1，0）] D、（-，0）（提示：因为sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos2＞0恒成立，故sin3+ cos3t＜0,选A。
另解：由sin3+ cos3知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时，所以排除B、C、D，选A）【练习2】、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（）A、4B、5C、1D、2（提示：设动点P的坐标是，由是椭圆的左、右焦点得，，则，选D。
这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。
特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——）【练习3】、若，则（）。
A、B、C、D、（提示：利用换底公式等价转化。
∴，选B）【练习4】、且，，则（）A、B、C、D、（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，令人眼花缭乱。
对策之一是“符号语言图形化”，如图，用线段代表立马知道选C。
当然这也属于数形结合方法。
对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表容易知道选C。
也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“”收严一些变为“”。
【练习5】、已知若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A、B、C、D、（提示：化简得，∵在上递增，∴，而在上单调递增，又∴选B）【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）A、B、C、D、（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。
高中数学思想四 等价转换思想 专题练习2
高中数学思想四 等价转换思想 专题练习2一．选择题1.已知函数()2x xe ef x --=，若2233a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3322b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cosCcosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．C ．D3.已知a ，b 为任意实数，则“a b ≥”是“lg lg a b ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数()ln(1)f x x =+的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数图象的一条对称轴为,记函数的两个极值点分别为，则的最小值为（ ）A ．B ． C. D ． 6.己知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在区间[0,1]上恰有1个纵坐标是最高点，则ω的取值范围为（） A ．5[,)44ππB ．5[,)22ππC ．9[,)44ππD ．3[,2)2ππ ()sin cos f x x a x =-34x π=()f x 12,x x 12x x +34π2π4π7.关于函数()()()33111f x x x =---，下面4个判断错误．．的有（ ） ①函数()f x 的图象是中心对称图形； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 在()1,x ∈+∞单调递增； ④函数()f x 在()1,0x ∈-单调递减； A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④8.已知()y f x =的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=-恒成立，当10x -≤<时，()2xf x =，则()2021f =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．19.已知,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1cos 2sin 212a a =+，则cos a =（ ）A ．B ．-C ．10- D ． 10.已知函数()xf x xe =，()2ln 2g x x x =，若()()12f x g x t ==，0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ） A ．21eB ．24eC ．1eD ．2e二、填空题11.设点G 是ABC 的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cosC ______________。
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高中数学常用的数学思想等价转化思想方法及训练习题集等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.52.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于______。
A. x+89 B. 9x－8 C. x D.132x-3. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A. a b+2B. abC.a b222+D. aba b+4. 如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1B. 2C. 2D. 55. 设椭圆y a22＋x b 22＝1 （a>b>0）的半焦距为c ，直线l 过(0,a)和(b,0)，已知原点到l 的距离等于2217c ，则椭圆的离心率为_____。
A. 14 B. 12 C. 33 D. 226. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，则四棱锥S-BCED 的体积为_____。
A.152B. 10C. 252D. 352【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B ；2小题：设f(x)＝y ，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C ；3小题：由mp ＋nq ≤m p 222+＋n q 222+容易求解，选A ；4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ； 5小题：ab ＝2217c×a b 22+，变形为12e 4－31e 2＋7＝0，再解出e ，选B ；6小题：由S ∆ADE ＝14S ∆ABC 和三棱椎的等体积转化容易求，选A 。
Ⅱ、示范性题组：例1. 若x、y、z∈R+且x＋y＋z＝1，求(1x －1)(1y－1)( 1z－1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。
所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】(1x －1)(1y－1)( 1z－1)＝1xyz（1－x）(1－y)(1－z)＝1xyz (1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝1xyz(xy＋yz＋zx－xyz)＝1x ＋1y＋1z－1≥313xyz－1＝33xyz－1≥33－1＝9【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。
将问题转化为求1x ＋1y＋1z的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。
此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。
【分析】设k＝x2＋y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。
其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x2＝2y2≥0得0≤x≤2。
设k＝x2＋y2，则y2＝k－x2，代入已知等式得：x2－6x＋2k＝0 ，即k＝－12x2＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【另解】数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y 232＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
x2＋y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。
由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。
设圆方程为x2＋y2＝k，代入椭圆中消y得x2－6x ＋2k＝0。
由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【再解】三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y 23 2＝1，设xy-==⎧⎨⎪⎩⎪162cossinαα，则x2＋y2＝1＋2cosα＋cos2α＋32sin2α＝1＋32＋2cosα－12cos2α＝－12cos2α＋2cosα＋52∈[0,4]所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。
此题还可以利用均值换元法进行解答。
各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。
【解一】ctg10°－4cos10°＝c o s s i n 1010°°－4cos10°＝c o s s i n c o s s i n 104101010°°°°-＝sin sin sin 8022010°°°-＝sin sin sin sin 80202010°°°°--＝250302010cos sin sin sin °°°°-＝sin sin sin 402010°°°-＝2301010cos sin sin °°°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）【解二】ctg10°－4cos10°＝c o s s i n 1010°°－4cos10°＝c o s s i n c o s s i n 104101010°°°°-＝sin sin sin 8022010°°°-＝2128022010·°°°sin sin sin -＝2608022010cos sin sin sin °°°°-＝sin sin()sin sin 1402022010°°°°---＝sin sin sin 1402010°°°-＝2806010cos sin sin °°°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）【解三】ctg10°－4cos10°＝c o s s i n 1010°°－4cos10°＝c o s s i n c o s s i n 104101010°°°°-＝sin sin sin 8022010°°°-＝sin()sin sin 602022010︒+︒-°°＝3220122022010cos sin sin sin ︒+︒-°°＝31220322010(cos sin )sin ︒-︒°＝3602010cos()sin ︒+︒°＝3（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式） 【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。
此种题型属于三角变换型。
一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。
对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
例4. 已知f(x)＝tgx ，x ∈(0, π2)，若x 1、x 2∈(0, π2)且x 1≠x 2，求证：12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) （94年全国高考）【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
【证明】12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) ⇔ 12[tgx1＋tgx 2]>tgx x 122+ ⇔12(sin cos x x 11＋sin cos x x 22)>sin()cos()x x x x 12121+++ ⇔12sin()cos cos x x x x 1212+>sin()cos()x x x x 12121+++⇔ 1＋cos(x 1＋x2)>2cosx 1cosx 2 ⇔ 1＋cosx 1cosx 2＋sinx 1sinx 2>2cosx 1cosx 2⇔ cosx 1cosx 2＋sinx 1sinx 2<1 ⇔ cos(x 1－x 2)<1由已知显然cos(x 1－x2)<1成立，所以12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) 【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。