18.2.2--1菱形的判定和性质基础训练
初二菱形性质及判定练习题
初二菱形性质及判定练习题
菱形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
1. 所有边相等：菱形的四条边都是相等的。
2. 对角线相交于直角：菱形的对角线相交于直角。
这意味着当我们将菱形细分为两个三角形时，这两个三角形的斜边互相垂直。
判定一个四边形是否为菱形，需要满足以下条件：
1. 四边相等：首先，我们需要确认四边是否相等。
如果四边都相等，则满足了菱形的第一个特点。
2. 对角线相等：然后，我们需要测量对角线的长度。
如果对角线也相等，则可以确认这个四边形是一个菱形。
3. 对角线垂直：最后，我们需要检查对角线是否相交于直角。
如果对角线相交于直角，则可以确定这个四边形是一个菱形。
以下是一些初二菱形性质及判定的练题：
1. 给定一个四边形ABCD，AB = BC = CD = DA，AC = BD，判断这个四边形是否为菱形。
2. 给定一个四边形PQRS，PQ = RS，QR = PS，PR ≠ QS，判断这个四边形是否为菱形。
3. 给定一个四边形WXYZ，WX = YZ，WZ ≠ XY，WX与ZY 互相垂直，判断这个四边形是否为菱形。
请注意，在判断四边形是否为菱形时，必须满足所有的菱形特性。
只有当四边都相等、对角线相等且对角线相交于直角时，这个四边形才可以被确定为菱形。
如果您需要更多的菱形性质及判定练题，可以参考相关数学教材或在线资源。
对于初二学生来说，通过解答这些练题，可以更好地理解菱形的特点和判定方法，提高数学能力。
八年级数学下册 18.2.2 菱形练习 (新版)新人教版
菱形一、基础达标知识点1 菱形的性质1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.(2014•长沙)如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB=60°，则对角线BD的长为( )A.1B.C.2D.23.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC4.(2014•上海)如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( )A.△ABD与△ABC的周长相等B.△ABD与△ABC的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍5.(2014•烟台)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°6.(2014•重庆)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为__________.7.菱形的两邻角之比为1∶2，如果它较短的对角线长为2 cm，则它的周长为__________.8.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由.知识点2 菱形的面积9.菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AO=3 cm，BO=4 cm，则菱形ABCD的面积是__________cm2.10.如图，菱形ABCD的边长为 2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为__________cm2.二、能力提升11.如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是( )A.四边形ABCD是平行四边形B.AC⊥BDC.△ABC是等边三角形D.∠CAB＝∠CAD12.(2014•毕节)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1413.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别等于8和6，将BD沿CB的方向平移，使D与A 重合，B与CB延长线上的点E重合，则四边形AEBD的面积等于( )A.24B.48C.72D.9614.(2014•白银)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________.15.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想.16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长.17.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连接__________；(2)猜想：__________=__________；(3)证明：三、挑战自我18.菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上.(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；(2)如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形.参考答案一、基础达标1.C2.C3.B4.B5.C6.287.8 cm8.AE=AF.理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，BC=CD.又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE= BC，DF= CD，∴BE=DF.∴△ABE≌△ADF(SAS).∴AE=AF.9.24 10.2二、能力提升11.C 12.A 13.A 14.1215.DE=DF.证明：连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD.又∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴DF=DE.16.(1)在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形.∴∠ABD=60°.(2)由(1)可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2.又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，∴∠BOE=30°.∴BE=1.17.（1）AF；（2）AF，AE；（3）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD.∴∠ABD=∠ADB.∴∠ABF=∠ADE.在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(SAS).∴AF=AE.三、挑战自我18.证明：(1)连接AC,∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD.∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-60°=30°.∵∠C=180°-∠B=120°，∴∠EFC=30°.∴∠FEC=∠EFC.∴CE=CF.∵BC=CD，∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF；(2)连接AC，由(1)得△ABC是等边三角形，∴AB=AC.∵∠BAE+∠EAC=60°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴∠ACF= ∠BCD=∠B=60°.∴△ABE≌△ACF.∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形.。
人教版数学八年级下册18.2.2 第1课时 菱形的性质1课时练习及答案.doc
18.2.2 菱形第1课时菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD 和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。
9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的性质答案1、【答案】 C2、【答案】 B3、【答案】 D4、【答案】 5 cm；24 cm25、【答案】BD=6，面积是24.6、【答案】B7、【答案】24 cm28、【答案】9.6cm9、【答案】60°10、【答案】（1）BD=12cm，3（2）S菱形ABCD3cm211、【答案】 A12、【答案】 C1213、【答案】5214、【答案】312515、【答案】24【提示】方程加勾股定理中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
《18.2 菱形的性质、菱形的判定》课件(含习题)
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
A 1
E
D
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
O
又∠AOE =∠COF，
B
F
2
C
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
例2 如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8， AD = 5. 求AB的长.
OE N
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE
2020春人教版八下数学18.2.2菱形同步课堂练习题
2020春人教版八下数学18.2.2菱形同步课堂练习(学生版)第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的性质1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是()A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A．30°B．25°C．20°D．15°3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是() A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2105．(2019·赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A．2.5B．3C．4D．56．(2019·衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.知识点2菱形的面积7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是6 cm和8 cm，则其面积为cm2.8．(教材P56例3变式)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．易错点点的位置不确定导致漏解9．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝3，则CE的长为．02中档题10．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A．8 B．12 C．16 D．3211．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°12．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，3)13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝．14．(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．03综合题16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP ＋AP的最小值为．17．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．对角线互相垂直的四边形的面积我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为15，AC长为20，垂足为O，求四边形ABCD的面积．(请写出求解过程)结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于．第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)4．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．知识点3四条边相等的四边形是菱形5．(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)求BD的长．6．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H依次是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．易错点对菱形的判定方法掌握不透导致出错7．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是．(填序号)02中档题8．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A．40 B．24 C．20 D．1510．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．11．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF＝3 2.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)求线段EF的长．03综合题12．(2019·滨州)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2020春人教版八下数学18.2.2菱形同步课堂练习(教师版)第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的性质1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B)A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D)A．30°B．25°C．20°D．15°3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(A)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(C) A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2105．(2019·赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(A)A．2.5B．3C．4D．56．(2019·衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF.知识点2菱形的面积7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是6 cm和8 cm，则其面积为24cm2.8．(教材P56例3变式)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°， ∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3.∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.易错点 点的位置不确定导致漏解9．四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上．若OE ＝3，则CE 的长为02 中档题 10．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(C ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．3211．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°12．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为(D )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(3，3)13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝245．14．(2019·百色)如图，在菱形ABCD 中，作BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，分别交AD ，AB 的延长线于点E ，F. (1)求证：AE ＝BF ；(2)若点E 恰好是AD 的中点，AB ＝2，求BD 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，AD ∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为17．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE.(2)连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E为AD中点，∴AE＝ED.∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形．∴AB＝EG.∵在矩形EFGH中，EG＝FH＝2，∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为8.对角线互相垂直的四边形的面积我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为15，AC长为20，垂足为O，求四边形ABCD的面积．(请写出求解过程)解：∵S四边形ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝12AC·OD＋12AC·BO＝12AC·(OD＋OB)＝12AC·BD，∴S四边形ABCD＝12×20×15＝150.结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠FAD＝∠EDA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.∴四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)4．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC.∵DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝FC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．知识点3四条边相等的四边形是菱形5．(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)求BD的长．解：(1)四边形ABCD 为菱形，理由如下：由作法得AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝5，∴四边形ABCD 为菱形．(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝4，OB ＝OD ，AC ⊥BD. 在Rt △AOB 中，OB ＝52－42＝3，∴BD ＝2OB ＝6.6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，E ，F ，G ，H 依次是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴EH ，FG 分别是△ABD ，△BCD 的中位线，EF ，HG 分别是△ABC ，△ACD 的中位线．∴EH ＝FG ＝12BD ，EF ＝HG ＝12AC. 又∵AC ＝BD ，∴EH ＝FG ＝EF ＝HG.∴四边形EFGH 是菱形．易错点 对菱形的判定方法掌握不透导致出错7．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是①③⑤．(填序号)02中档题8．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(B)A．40 B．24 C．20 D．1510．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．解：(1)证明：在△ADC 和△ABC 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ，DC ＝BC ，∴△ADC ≌△ABC(SSS )．∴∠1＝∠2.(2)四边形BCDE 是菱形．理由：∵∠1＝∠2，CD ＝BC ，∴AC 垂直平分BD.∵OE ＝OC ，∴四边形DEBC 是平行四边形．∵AC ⊥BD ，∴四边形DEBC 是菱形．11．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝DF ＝32. (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)求线段EF 的长．解：(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，∴CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝2，CD ∥AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∴AF ＝CE ＝22＋（32）2＝52. ∵BE ＝DF ＝32，∴CF ＝AE ＝4－32＝52. ∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ＝52. ∴四边形AECF 是菱形．(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，则四边形AHFD 是矩形，∴AH ＝DF ＝32，FH ＝AD ＝2. ∴EH ＝52－32＝1. ∴EF ＝FH 2＋HE 2＝22＋12＝ 5.03 综合题12．(2019·滨州)如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG .(1)求证：四边形CEFG 是菱形；(2)若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠CEB.∴∠FGE ＝∠FEG.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103. ∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203.。
18.2.2《菱形的判定》教案
b.掌握菱形的性质：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；
c.熟练运用三种菱形的判定方法：
-一组邻边相等的平行四边形是菱形；
-对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形；
-四边相等的四边形是菱形。
教学过程中，教师应通过实例演示、练习题强化等方法，使学生深刻理解这些核心内容。
c.四边相等的四边形是菱形。
本节课将围绕这些内容展开教学，使学生掌握菱形的判定方法，并能运用所学知识解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的几何直观与空间观念，通过观察和分析菱形的性质，提高学生对几何图形的认识和理解；
2.培养学生的逻辑推理能力，使学生掌握菱形判定的逻辑推理过程，并能运用判定方法解决相关问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“菱形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
b.对于判定方法的区分，教师要引导学生通过比较、分析，了解不同判定方法的使用场景。例如，判定方法1适用于已知平行四边形的一组邻边相等的情况；判定方法2适用于已知四边形的对角线互相垂直平分且相等的情况；判定方法3适用于已知四边形四边相等的情况。
c.在解决实际问题时，学生需要学会根据题目给出的条件，选择合适的判定方法。教师可以设置一些综合性较强的练习题，让学生在实际操作中学会灵活运用不同判定方法，提高解决问题的能力。
2019八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定练习 (新
18.2.2 菱形第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．图11．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF.∴四边形DEBF是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形DEBF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．3．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD// BC.∵DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF.∴AE＝FC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．知识点3四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是(C)A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形5．(2017·宁夏)如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠MAB＝∠MAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴AD＝DM.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．易错点对菱形的判定方法掌握不透导致出错6．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是①③⑤．(填序号)02 中档题7．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是(B )A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．无法表示第7题图 第8题图8．如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是菱形．9．如图，在▱ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 作EF⊥AC 与边AD ，BC 分别相交于点E ，F ，求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC∥AD. ∴AE∥CF. ∴∠OAE ＝∠OCF.∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC. 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF， ∴△AOE≌△COF (ASA )． ∴AE ＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF 与AC 垂直， ∴四边形AECF 是菱形．10． 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝2DE ，连接CE ，AF.(1)求证：AF ＝CE ；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．解：(1)证明：∵点D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE∥AC，AC ＝2DE. ∵EF ＝2DE ， ∴EF∥AC，EF ＝AC.∴四边形ACEF 是平行四边形． ∴AF ＝CE.(2)当∠B ＝30 °时，四边形ACEF 是菱形． 理由如下：∵∠ACB ＝90 °，∠B ＝30 °， ∴∠BAC ＝60 °.在Rt△ACB 中，E 为AB 的中点， ∴AC ＝12AB ＝AE.∴△AEC 是等边三角形． ∴AC ＝CE.又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．03综合题11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC.∴AF＝DC.11 (2)四边形ADCF 是菱形．证明：由(1)知，AF ＝DC ，∵AF∥DC，∴四边形ADCF 是平行四边形． 又∵AB⊥AC，∴△ABC 是直角三角形．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝12BC ＝DC. ∴四边形ADCF 是菱形．。
八年级数学菱形的性质和判定(人教版)(基础)(含答案)
对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项不能判断．
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，则∠CDE的度数为( )
A.30° B.25°
C.20° D.35°
答案：A
解题思路：
在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠B=∠ADC
∴∠DAE=∠AEB
∵∠DAE=∠B=80°
∴∠B=∠AEB，∠ADC=80°
∴AB=AE
∴AE=AD
在等腰三角形ADE中，
∵∠DAE=80°
∴∠ADE=50°
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°
故选A
试题难度：三颗星知识点：略
8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )
答案：B
解题思路：
选项A：
对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；
选项B：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形的定义，
故B选项正确；
选项C：
角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误．
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
菱形的对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角，C错，D对．
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线互相平分B.邻角互补
C.每条对角线平分一组对角D.对角相等
答案：C
解题思路：
概念辨析，考查平行四边形和菱形的性质，需要对比菱形和
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18.2.2菱形的判定和性质基础训练
一知识要点：
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、菱形的性质（4和5是补充性质）
1）、菱形具有平行四边形的一切性质；
2）、菱形的四条边都相等；
3）、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角
4）、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形
5）、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高
3、菱形的判定方法：1）.有一组邻边相等的平行四边形。
2）.对角线相互垂直的平行四边形。
3）.四条边都相等的四边形。
二例题教学：
题型一菱形的性质
例1 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于的F.
(1)求证：CE=CF；(2) 求证：DF=BE.
题型二菱形的面积
例2 如图，已知菱形的周长为40cm,两邻角度数比为1:2.
（1）求菱形的两条对角线的长；
（2）求菱形的面积
题型三 菱形的判定 （有一组邻边相等的平行四边形）
例3 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD,E,F 为对角线AC 上两点，且AE=CF,DF ∥BE,AC 平分∠BAD.求证：四边形ABCD 为菱形
题型四 菱形的判定 （对角线相互垂直的平行四边形）
例4 如图平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC 分别交于点E,F.
求证：四边形AFCE 是菱形。
题型五 菱形的判定 （四条边都相等的四边形）
例5 如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，求证：四边形EFGH 是菱形。
题型六 菱形的性质和判定综合运用
例6 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE ≌△BCF ；
（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；
（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．
H G F E D C
B A
三巩固练习：
1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．
2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．
3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．
4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边
形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即
可).
6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．
A. 两组对边分别平行
B. 菱形对角线互相平分
C. 菱形的对边相等
D. 菱形的对角线相等
7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．
A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等
8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在
9、下列说法不正确的是（）．
A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离
10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm
11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直D．垂直且平分
12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．
A．2 B．4 C．6 D．8
14.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )
15.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A.10
B.8
C.6
D.5
16.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的
周长为28，则OH 的长等于( )
A.3.5
B.4
C.7
D.14
17.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.
18.如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点
O ，若BD=6，则菱形ABCD 的面积是( )
A.6
B.12
C.24
D.48
19、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离
为（ ）．
A ．15
B ．32
15 C ．7.5 D ．315 20、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它
的周长为（ ）．
A ．8cm
B ．9cm
C ．12cm
D ．15cm
21、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）．
A ．3：1
B ．4：1
C ．5：1
22.如图，已知AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD 与△ABC 的周长相等
B.△ABD 与△ABC 的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
23.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
24.已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )
A.12 cm 2
B.24 cm 2
C.48 cm 2
D.96 cm
2 25.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为
( ) A.4 B.125 C.245
D.5
26.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分
别为点E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是__________.
27.如图，将菱形纸片ABCD 折叠.使点A 恰好落在菱形的对称中
心O 处，折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120°，
则EF ＝__________cm.
28.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB=5，
AO=4，求BD 的长.
29.如图，已知四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别是边CD ，AD 的中点.求证：AE=CF.
30、如图，菱形ABCD 中，E 是AB 中点，DE ⊥AB ，AB=4.
求（1）∠ABC 的度数； （2）AC 的长； （3）菱形ABCD 的面积．
31.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO.
32、如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，
求证：四边形BEDF 是菱形
33、如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC 的中点，AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．
34.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，连接OE.求证：OE ＝BC.
35.如图所示，等边三角形CEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等.
(1)求证：∠AEF=∠AFE ；
(2)求∠B 的度数.。