2020浙教版九年级数学上 圆的有关计算(含答案点拨)
2020浙教版九年级数学上圆的知识点总结及习题
r dd CBAOdrd=rrd图4rRd图5rR d【文库独家】圆的总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。
包括性．质定理．．．与判定定理．．．．及公式．．。
一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1点与圆的位置关系: 点在圆内d<r 点C 在圆内点在圆上d=r 点B 在圆上点在此圆外d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离d>r 无交点直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交d<r有两个交点3 圆与圆的位置关系: 外离（图1）无交点d>R+r 外切（图2）有一个交点d=R+r 相交（图3）有两个交点R-r<d<R+r 内切（图4）有一个交点d=R-r 内含（图5）无交点d<R-r图1rR d图2r R d图3rR d OCDABO EDCBAFEDCBAOCBA ODCBAOCBAOCBAO四垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB ⊥CD③CE=DE④⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》过关自测卷及答案点拨.docx
第3章圆的基本性质过关自测卷（100分，90分钟）一、选择题(每题3分，共27分)1.下列说法：①在同一个圆中，圆心角大的扇形面积大；②半径相等的两个圆叫做等圆；③圆的直径是圆的弦；④小于半圆的弧叫做优弧，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点D是AB边的中点，以点C为圆心，2.4 cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系是（）A.点D在⊙C上B.点D在⊙C外C.点D在⊙C内D.不能确定3.（2013，四川成都）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为( )A.40°B.50°C.80°D.100°图1 图24.（2013，海南）如图2，在⊙O中，弦BC=1.点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O 的半径是( )A.1B.2C.3D.55.（2013，南平）如图3，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A.AD=ABB.∠BOC=2∠DC.∠D+∠BOC=90°D.∠D=∠B图3 6. 点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上不同的四点，∠ABC=65°，∠ADC=( )A.65°B.115°C.25°D.65°或115°7.（2013，浙江嘉兴）如图4，某厂生产横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) A.4π cm B.74π cm C.72π cm D.7π cm图4 图58.如图5，半圆O的直径是6 cm，∠BAC=30°，则阴影部分的面积是（）A.(12π-93) cm2B.（3π-934）cm2C.（3π-932）cm2 D.（3π-334）cm29.已知点A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC—CD—DO的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则图6中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（）图6二、填空题（每题3分，共18分）10.（2013，湖南邵阳）如图7，弦AB，CD相交于点O，连结AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是______.图7 图811.(2012，烟台)如图8为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为______度(不取近似值).12.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是______.13. 如图9，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内的一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合.如果AP=3，那么线段PP′的长是______.图9 图1014.如图10，三角形ABC是等边三角形，以BC为直径作圆交AB，AC于点D，E，若BC=1，则DC=________.15.如图11，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则点B′的坐标是______.图11三、解答题（21题12分，22题7分，其余每题6分，共55分）16.如图12，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径. 求证:∠BAM= ∠CAP.图1217.如图13，△ABC中，∠C=45°，AB=2.(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；图13（2）求△ABC的外接圆⊙O的直径18.如图14，在平面直角坐标系中，三角形②，③是由三角形①依次旋转后所得的图形.图14(1)在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标;(2)在图上画出再次旋转后的三角形④.19.如图15，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，以直线AB为x轴，直线MN为y轴建立坐标系.(1)试求A，B，C，M，N五点的坐标；图15(2)我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，请写出⊙C上的其他整数点的坐标______.20.如图16，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC=EC.图1621. (2012，齐齐哈尔)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图17，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度.图17(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1;(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2;(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积.22.如图18所示，已知⊙O的直径为32，AB为⊙O的弦，且AB=4，P是⊙O上一动点，问是否存在以A，P，B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积.图1823.如图19所示，⊙O的直径AB=12 cm，有一条定长为8 cm的动弦CD在AB上滑动（点C与A不重合，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F. （1）求证：AE=BF；图19（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.参考答案及点拨一、1.C 2.B 3.D4.A 点拨：连结OB ，OC ，先由圆周角定理求得∠BOC=60°，再由OB=OC 可判断出△BOC 是等边三角形，故可得出结论.5.B6.D 点拨：本题用分类讨论思想解答，即分点B 、D 位于弦AC 的同侧和异侧两种情况解答，易忽略点B 、D 可能位于弦AC 的同侧而漏解.7.B 点拨：根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.由题意可得R=72cm ，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，可知此弧所对的圆心角为90°，则“蘑菇罐头”字样的长=790?2180π=74π（cm ）. 8.B 点拨：本题用割补法解答，即连结OC 、过点O 作AC 的垂线，构造等腰三角形和扇形求解.主要考查垂径定理、同弧所对的圆周角是圆心角的一半及扇形的面积公式等知识.9.C 点拨：当动点P 在OC 上运动时，∠APB 逐渐减小；当P 在CD 上运动时，∠APB 不变；当P 在DO 上运动时，∠APB 逐渐增大.二、10.∠A=∠C 点拨：本题属于开放题，答案不唯一.如由对顶角相等，可得到∠AOC=∠BOD ，∠AOD=∠BOC ；由同弧所对的圆周角相等，可得到∠A=∠C ，∠B=∠D. 11.9007点拨：方法一:∵正七边形的内角度数相等，∴每个角的度数为2180n n -⨯︒（）=721870-⨯︒（）=9007⎛⎫ ⎪⎝⎭°.方法二:正七边形的一个外角的度数为3607︒，所以一个内角的度数为180°-3607°=9007⎛⎫ ⎪⎝⎭°. 12.6213.32 点拨：由旋转的性质，知∠PAP ′等于90°，AP ′=AP=3，所以PP ′=22AP AP '+=2233+=32. 14.3215.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 点拨：在Rt △AOB 中，∵∠AOB=30°，∴OA=2AB=2.过点B 作BD ⊥OA 于点D ，在Rt △ABD 中，AD=12，BD=32，∴OD=2-12=32，所以点B 的坐标是3322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，.将△AOB 绕着原点顺时针旋转90°，点B 也绕着原点顺时针旋转90°，与点B ′重合，所以点B ′的坐标是3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，.答图1 三、16.证明：如答图1，连结BM.∵AP ⊥BC 于P ，AM 为⊙O 的直径.∴∠BAM=90°-∠M ，∠CAP=90°-∠C.又∵∠M=∠C ，∴∠BAM=∠CAP.17.解：（1）作图略.（2）作直径AD ，连结BD.∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵∠D=∠C=45°，∴AB=BD=2.∴直径AD=22AB BD +=2222+=22.18.解：（1）旋转中心P 的位置如答图2所示.点P 的坐标为（0，1）.答图2（2）旋转后的三角形④如答图2所示. 19.解：（1）如答图3，连结AC ，∵MN 是直径，MN ⊥AB 于点O ，AB=8，∴AO=BO=4.∵MN=10，∴AC=MC=CN=5.在Rt △AOC 中，OC=22AC AO -=2254-=3.∴OM=8，ON=2.∴点A ，B ，C ，M ，N 的坐标分别为（-4，0），（4，0），（0，3），（0，8），（0，-2）.（2）（-4，6），（4，6），（-3，7），（3，7），（-3，-1），（3，-1），（-5，3），（5，3）答图3 答图4 20.证明：连结AC ，如答图4.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，∴∠EBC=∠D.∵C 是BD 的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，∴∠E=∠D ，∴∠EBC=∠E ，∴BC=EC.21.解：（1）分别将点A ，B ，C 向上平移4个单位得到点1A ，1B ，1C ，连结11A B ，11B C ，11A C ，得到△111A B C ，如答图5所示.（2）分别将点B ，C 绕点A 逆时针旋转90°得到点B2，C2，连结AB2，B2C2，AC2，得到△AB2C2，如答图5所示.（3）△ABC 向上平移过程中，边AC 所扫过的区域为11ACC A ，边1CC 长为4个单位，边1CC 上的高为2个单位，所以△ABC 向上平移过程中，边AC 所扫过区域的面积为8个平方单位.答图5 答图6 22.解：存在以A ，P ，B 为顶点的面积最大的三角形.如答图6所示，作PD ⊥AB 于点D ，∵当点P 在优弧AB 上时，PD 可能大于⊙O 的半径，当点P 在劣弧AB 上时，PD 一定小于⊙O 的半径,且AB 的长为定值，∴当点P 在优弧AB 上且为优弧AB 的中点时△APB 的面积最大，此时PD 经过圆心O.作⊙O 的直径AC ，连结BC ，则∠ABC=90°.∴BC=22AC AB -=22(32)4-=2.∵AO=OC,AD=BD ，∴OD 为△ABC 的中位线，OD=12BC =22.∴PD=PO+OD=322+22=22.∴APB S =12AB ·PD=12×4×22=42.23.（1）证明：过点O 作OH ⊥CD 于点H ，∴H 为CD 的中点.∵CE ⊥CD ，DF ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD,则O 为EF 的中点，OE=OF.又∵AB 为直径，∴OA=OB ，∴AE=OA-OE=OB-OF=BF,即AE=BF.（2）解：四边形CDFE 的面积为定值，是216 5 cm .理由：∵动弦CD 在滑动过程中，条件EC ⊥CD ，FD ⊥CD 不变，∴CE ∥DF 不变.由此可知，四边形CDFE 为直角梯形或矩形，∴CDFE S 四边形=OH ·CD.连结OC.∴OH=22OC CH -=2212822⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=25（cm ）.又∵CD 为定值8 cm,∴CDFE S 四边形=OH ·CD=25×8=165（2cm ）,是常数.即四边形CDFE 的面积为定值.。
2020浙教版九年级数学上 圆的有关性质(含答案点拨)
【文库独家】圆的有关性质知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．自主测试1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()A ． 2B ．2 2C ．22 D ．622．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为( )5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点，若点M 的坐标是(－4，－2)，则弦MN 的长为__________．(第5题图)考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为( )A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米分析：如图，油面AB 上升1分米得到油面CD ，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，由OA ＝OC ，列方程求x 即可求得半径OA ，得出直径MN .解析：如图，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2， 在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，∵OA ＝OC ，∴32＋x 2＝42＋(x －1)2，解得x ＝4，∴半径OA ＝32＋42＝5，∴直径MN ＝2OA ＝10(分米)．故选C.答案：C方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．触类旁通1 如图所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__________ cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长． 解：(1)证明：∵AB ＝BC ， ∴AB BC =.∴∠ADB ＝∠BDC ， ∴DB 平分∠ADC .(2)由(1)知AB BC =，∴∠BAE ＝∠ADB .∵∠ABE ＝∠ABD ，∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BDAB.∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27.∴AB ＝3 3.方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．触类旁通2 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝( )A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°解析：根据圆周角定理求得，∠AOD ＝2∠ABD ＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD ＝2∠BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD ＝180°－∠AOD .还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB ＝90°，则∠DAB ＝90°－∠ABD ＝32°，∵∠DAB ＝∠DCB ，∴∠DCB ＝32°.答案：B方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD 的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.A．CM＝DM B．CD DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()(第3题图)A．45°B．85°C．90°D．95°4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.7．(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为()A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A ．12B ．34C ．32D ．453．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．64．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA ，OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为( )(第4题图)A ．12个单位B ．10个单位C ．4个单位D ．15个单位5．已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B ＝30°，则∠D ＝__________.(第5题图)6．如图，过A ，C ，D 三点的圆的圆心为E ，过B ，F ，E 三点的圆的圆心为D ，如果∠A ＝63°，那么∠DBE ＝__________.(第6题图)7．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的直径等于________．(第7题图)8．如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA 的延长线交于点E .求证：(1)△ABD 为等腰三角形； (2)AC ·AF ＝DF ·FE .参考答案导学必备知识 自主测试1．A 2．D 3．60° 4．90°5．3 如图，过点A 作AB ⊥MN ，连接AM ，设MB 为x ，则AM ＝AO ＝4－x . 在Rt △AMB 中， ∵AM 2＝MB 2＋AB 2，∴(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝32.∴MN ＝2MB ＝3. 探究考点方法触类旁通1．24 连接OA ，当OP ⊥AB 时，OP 最短，此时OP ＝5 cm ，且AB ＝2AP .在Rt △AOP 中，AP ＝OA 2－OP 2＝132－52＝12，所以AB ＝24 cm.触类旁通2．B 由题意，得∠A ＝∠C ＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A ＋∠ABD ＝90°，从而得∠ABD ＝50°. 触类旁通3．48° 因为CD 的度数等于84°，所以∠COD ＝84°.因为OC ＝OD ，所以∠OCD ＝48°.因为CA 是∠OCD 的平分线，所以∠ACD ＝∠ACO ＝24°，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠ACO ＝24°，因为∠ABD ＝∠ACD ＝24°，所以∠ABD ＋∠CAO ＝48°.品鉴经典考题1．A ∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝45°.故选A. 2．D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ， ∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立； B 为CD 的中点，即CB ＝DB ，选项B 成立； 在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ， ∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． 故选D.3．B ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠ABD ＝45°.∵∠C ＝50°，∴∠D ＝50°，∴∠BAD 的度数是180°－45°－50°＝85°.4．8 如图所示，在⊙O 中，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD .∵钢珠的直径是10 mm ， ∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ， ∴OD ＝3 mm. 在Rt △AOD 中，∵AD ＝OA 2－OD 2＝52－32＝4(mm)． ∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)． 故答案为8.5．2 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋(3)2＝2. 故答案为2.6．150 因为∠AOC ＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC 所对的弧度为300°.因为∠ABC 是圆周角，所以∠ABC ＝150°.7．(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°， ∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝12OB ＝4.研习预测试题1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18°7．52 连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE .(如图)∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°. ∴∠ABE ＝∠ADC . 又∵∠AEB ＝∠ACD ， ∴△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝AEAC.∵在Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3， ∴AD ＝4.∴AE ＝5 2.8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD ＝∠DAB ，∠DCA ＝∠DBA ，而∠MCD ＝∠DCA ， ∴∠DBA ＝∠DAB ，故△ABD 为等腰三角形． (2)∵∠DBA ＝∠DAB ，∴AD BD =.又∵BC ＝AF ，∴BC AF =，∠CDB ＝∠FDA ，∴CD DF =，∴CD ＝DF .由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知， ∠AFE ＝∠DBA ＝∠DCA ，① ∠F AE ＝∠BDE .∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠BDA ＝∠FDA ＋∠BDA ＝∠BDE ＝∠F AE ，②由①②得△CDA ∽△F AE .∴AC FE ＝CDAF，∴AC ·AF ＝CD ·FE . 而CD ＝DF ，∴AC ·AF ＝DF ·FE .。
浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质(含答案)
第3章 圆的基本性质班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章 圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。
浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质 含答案
浙教版九年级上册数学第3章圆的基本性质含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕点B顺时针旋转到▱A1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1=（）A.30°B.40°C.45°D.50°2、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为A.46°B.53°C.56°D.71°3、在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）A.0＜r＜4B.3＜r＜4C.4＜r＜5D.r＞54、如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（）A.16B.8C.32D.105、如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）A. B. C. D.6、如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.7、下列说法中，正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C.圆的切线垂直于这个圆的半径D.90°的圆周角所对的弦是圆的直径8、如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点处，折痕交OB于点C，则弧的长是（）A. B. C. D.9、如图，圆内接四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C的度数为（）A.100°B.90°C.80°D.70°10、在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆；选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为( )A. <r<B. <r≤C. <r≤5D.5<r<11、是圆的两条弦，是圆的一条直径且平分，下列结论中不一定正确的是（）A. B. C. D.12、已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm13、如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD,旋转角为α（0°<α<180°）。
浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质 含答案
浙教版九年级上册数学第3章圆的基本性质含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是（）.A. B. C. 或 D. 或2、将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A.96B.69C.66D.993、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C.1+ D.14、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A.40°B.60 °C.70 °D.80 °5、如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.6、若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是 ( )A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定7、如图，EF为⊙O的直径，弦CD⊥EF于M.已知CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A.4B.5C.6D.88、如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，则∠BAD等于（）A.15°B.18°C.22.5°D.30°9、如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B 在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A. B. C. D.（0，﹣4）10、如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（）A. B. C.2 D.11、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O的半径为（）A.3B.4C.5D.无法确定12、如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A.2π﹣4B.4π﹣8C.D.13、如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）A.100°B.72°C.64°D.36°14、如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°15、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=12，则⊙O的直径为（）A.12B.20C.24D.30二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6 ，则n=________.17、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4㎝，F是弦BC的中点，∠ABC=60°，若动点E以1 ㎝/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为________18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．19、如图是圆心角为 30°，半径分别是 1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为 S1、S2、S3、…，则 S3=________,Sn=________.结果保留π）20、为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为________21、如图，已知为的直径，，则________．22、平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O________（填：“内”或“上“或“外”）23、如图，等边三角形ABC的边长为cm，在AC，BC边上各取一点E，F，使得AE=CF，连接AF，BE相交于点P．（1）则∠APB=________度；（2）当点E 从点A运动到点C时，则动点P经过的路径长为________cm.24、是⊙内接三角形，是⊙的直径，，，弦所对的弧长为________．25、将直角△ABC绕顶点B旋转至如图位置，其中∠C=90°，AB=4，BC=2，点C、B、A′在同一直线上，则阴影部分的面积是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC 的度数．27、如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：28、如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝12，以AC为直角边，点A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长.29、如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）．①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留）30、如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、B4、D5、D6、A7、B8、A9、C10、A11、C12、D13、C14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
2020年九年级上册数学第六单元专练与圆有关的计算(含答案
福建2020九年级上册数学第六单元专练：与圆有关的计算|夯实基础|1.在半径为12 cm的圆中,长为4π cm的弧所对的圆心角的度数为()A.10°B.60°C.90°D.120°2.如图K33-1,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为()图K33-1A.π+1B.π+2C.π-1D.π-2⏜的长为() 3.如图K33-2,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则BB图K33-2A.πB.3πC.2πD.3π24.如图K33-3,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()图K33-3A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-1π25.如图K33-4,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为()图K33-4A.6B.7C.8D.96.如图K33-5,圆锥底面半径为r cm,母线长为 5 cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形,则r的值为()图K33-5A.3B.4C.5D.67.如图K33-6,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3 cm.若点C,D是弧AB的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是 cm2.图K33-6⏜所对的圆心角大小为90°,弓形ACB(阴影部8.如图K33-7,小明自制一个乒乓球拍,正面是半径为8的圆,BB分)粘贴胶皮,则胶皮面积为.图K33-79.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.⏜中点,连接BM,CM.10.如图K33-8,正方形ABCD内接于☉O,M为BB(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求BB⏜的长.图K33-811.如图K33-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.⏜的长.(2)若DE=√3,∠C=30°,求BB图K33-9|能力提升|12.一个扇形的弧长是20π cm,面积是240π cm2,那么扇形的圆心角是()A.120°B.150°C.210°D.240°13.如图K33-10,△ABC内接于圆O,∠B=65°,∠C=70°,若BC=2√2,则弧BC的长为()图K33-10A.πB.√2πC.2πD.2√2π⏜的长为()⏜恰好经过圆心O,若☉O的半径为3,则BB14.如图K33-11,将☉O沿弦AB折叠,BB图K33-11πB.πC.2πD.3πA.1215. 如图K33-12,在△AOC中,OA=3 cm,OC=1 cm,将△AOC绕点D顺时针旋转90°后得到△BOD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为()图K33-12A .π2 cm 2B .2π cm 2C .17π8 cm 2D .19π8cm 216.如图K33-13,正五边形ABCDE 的边长为2,分别以点C ,D 为圆心,CD 长为半径画弧,两弧交于点F ,则BB ⏜的长为 .图K33-1317.如图K33-14,菱形ABCD 中,BC=√6,∠C=135°,以点A 为圆心的☉A 与BC 相切于点E. (1)求证:CD 是☉A 的切线; (2)求图中阴影部分的面积.图K33-14|思维拓展|18.把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图K33-15所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于 .图K33-15答案1.B2.D [解析]由图可知,圆的面积为4π,正方形的对角线长度等于圆的直径4,所以正方形的边长为2√2,即正方形的面积为8,根据图形的对称性,知阴影部分的面积为4π-84,化简得π-2,故选D .3.C [解析]∵∠BAD=12∠BOD=12∠BCD ,∠BAD +∠BCD=180°,∴∠BOD=120°. 又∵☉O 的半径为3,∴BB ⏜的长为120π×3180=2π.故选C .4.C [解析]在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD=AB=4,∠BAD=90°,∠ABE=45°,∴S △ABD =12·AD ·AB=8,S 扇形ABE =45·π·42360=2π,∴图中阴影部分面积=8-2π,故选C .5.D6.A [解析]∵圆锥底面半径为r cm,母线长为5 cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形, ∴2πr=216π×5180,解得r=3.故选:A .7.π28.48π+32 [解析]连接AO ,OB ,作OD ⊥AB 于D.因为BB ⏜所对的圆心角大小为90°,所以∠AOB=90°,所以S 弓形ACB =34×π×82+12×8×8=48π+32.9.4√33[解析]如图,连接OE ,作OM ⊥EF 于M ,则OE=EF ,EM=FM ,OM=2,∠EOM=30°,在Rt △OEM 中,cos ∠EOM=BB BB ,∴√32=2BB,解得OE=4√33,即外接圆半径为4√33.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=CD , ∴BB ⏜=BB ⏜, ∵M 为BB ⏜中点,∴BB ⏜=BB ⏜,∴BB ⏜+BB ⏜=BB ⏜+BB ⏜,即BB ⏜=BB ⏜, ∴BM=CM.(2)连接OB ,OM ,OC.由(1)知BB ⏜=BB ⏜, ∴∠BOM=∠COM ,∵正方形ABCD 内接于☉O , ∴∠BOC=14×360°=90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式可得BB ⏜的长为135×π×2180=32π.11.解:(1)证明:如图,连接OD ,∵OC=OD ,AB=AC , ∴∠1=∠C ,∠C=∠B. ∴∠1=∠B. ∵DE ⊥AB , ∴∠2+∠B=90°. ∴∠2+∠1=90°, ∴∠ODE=90°, ∴DE 为☉O 的切线. (2)连接AD ,∵AC 为☉O 的直径,∴∠ADC=90°. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C=30°,BD=CD. ∴∠AOD=60°. ∵DE=√3, ∴BD=CD=2√3, ∴OC=2, ∴BB ⏜的长=60180π×2=23π.12.B13.A [解析]在△ABC 中,∠A=180°-∠B -∠C=45°, 连接OB ,OC ,则∠BOC=2∠A=90°,设圆的半径为r ,由勾股定理,得r 2+r 2=(2√2)2,解得r=2或r=-2(舍去), 所以弧BC 的长为90π×2180=π.14.C [解析]连接OA ,OB ,过点O 作OD ⊥AB 于点D ,交BB ⏜于点E ,由题可知OD=DE=12OE=12OA ,在Rt △AOD 中,sin A=BB BB =12,∴∠A=30°,∴∠AOD=60°,∠AOB=120°,∴BB ⏜的长=B πB 180=2π,故选C .15.B [解析]如图,AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB -S 扇形OCD -S △ODB ①,由旋转知:△OCA ≌△ODB ,∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB -S 扇形OCD =90π×32360−90π×12360=2π(cm 2),故选B .16.815π [解析]如图,连接CF ,DF ,则△CFD 是等边三角形, ∴∠FCD=60°, ∵在正五边形ABCDE 中, ∠BCD=108°, ∴∠BCF=48°, ∴BB ⏜的长=48×π×2180=815π,故答案为815π.17.解:(1)证明:如图,连接AE ,过点A 作AF ⊥CD ,垂足为F ,则∠AFD=90°,∵四边形ABCD 为菱形, ∴AB=AD ,∠B=∠D.∵BC 与☉A 相切于点E ,∴AE ⊥BC ,∴∠AEB=∠AFD=90°,在△AEB 和△AFD 中,{∠BBB =∠BBB ,∠B =∠B ,BB =BB ,∴△AEB ≌△AFD.∴AE=AF.∴CD 是☉A 的切线.(2)在菱形ABCD 中,AB=BC=√6,AB ∥CD ,∴∠B +∠C=180°,∵∠C=135°,∴∠B=180°-135°=45°.在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,∴AE=AB ·sin B=√6×√22=√3. ∴S 菱形ABCD =BC ·AE=3√2.设AB ,AD 与☉A 分别交于M ,N.在菱形ABCD 中,∠BAD=∠C=135°,AE=√3,∴S 扇形MAN =135360×π×(√3)2=98π,∴S 阴影=S 菱形ABCD -S 扇形MAN =3√2−98π. 18.4-π [解析]如图:∵新的正方形的边长为1+1=2,∴恒星图形的面积=2×2-π×12=4-π, 故答案为4-π.。
2020年浙教版数学九年级上册 3.1 圆 第1课时(含答案)
拓展训练2020年浙教版数学九年级上册 3.1 圆第1课时基础闯关全练1．（2019北京顺义一模）如图所示是一个圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是( )A.1 cmB.2 cmC.4 cmD.πcm2．下列说法错误的是( )A．长度相等的两条弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧3．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A= 65°，则∠DOE=___________.4．在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，7为半径的圆，那么A（-3，4）与⊙O 的位置关系是( )A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为( )A．E、F、G B．F、G、HC．G、H、E D．H、E、F6. ⊙O的半径为R，圆心O到点A的距离为d，且R、d分别是方程x²-4x+4=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是__________．7．已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为________．8．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F.(1)求AF、AE的长；(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．能力提升全练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于D，已知AC=6，BC=8，以点D为圆心，5为半径画圆，则点C在( )A.⊙D上B.⊙D内C.⊙D外D.都有可能2．有一半圆片（其中圆心角∠AED= 52°）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置，当点A沿y轴正半轴上下滑动时，点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB=n°时，半圆片上的点D与原点O之间的距离最大，则n为( )A.64B.52C.38D.263．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC，DNMO均为矩形，BC=a，MD=b，则a、b 的关系为( )A.a＞bB.a=bC.a＜bD.a≤b4．如图，已知P(3，4)，⊙P的半径为2，A(2.8，0)，B( 5.6，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是______________.5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD =a（a＞5）．点P在以A为圆心、AB长为半径的⊙A 上，且在矩形ABCD的内部，P到AD、CD的距离|PE|、|PF|相等．(1)若a=7，求AE的长；(2)若⊙A上满足条件的点P只有一个，求a的值；(3)若⊙A上满足条件的点P有两个，求a的取值范围．三年模拟全练选择题1．（2019浙江嘉兴桐乡期中，3，★☆☆）⊙O的半径为4，点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为( )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．以上都不对2．（2019浙江杭州富阳期中，5，★☆☆）如图，在△ABC中，已知AB=AC=8 cm，BC= 12 cm，P是BC的中点，以P为圆心作一个半径为6 cm的圆P，则A，B，C三点在圆P内的有( )A.0个B．1个 C.2个D．3个3．（2018浙江杭州拱墅锦绣育才中学期中，10，★☆☆）已知点A的坐标为(1，0)，点B 的坐标为（a，0），圆A的半径为2，则下列说法中不正确的是( )A．当a=-1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜-1时，点B在圆A外D．当-1＜a＜3时，点B在圆A内五年中考全练一、选择题1．（2016浙江杭州中考，8，★★☆）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A，C重合），点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E．若∠AOB=3∠ADB，则( )A.DE= EB B．C．D．DE= OB2．（2018山东泰安中考，12，★★☆）如图，OM的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于点A、B，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )A.3B.4 C．6 D．8二、解答题3．（2015浙江杭州中考，19，★★☆）如图①，⊙O 的半径为r(r＞0)，若点P’在射线OP 上，满足OP’·OP=r²，则称点P’是点P关于⊙O的“反演点”，如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA= 60°，OA =8，若点A’，B’分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A’B’的长．核心素养全练课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：(1)在地平面上选两个点，钉上两个钉子；(2)测量两个钉子间的距离；(3)选用大于两钉子间距离长度的绳子；(4)将绳子两端分别系在钉子上；(5)将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方画线；(6)将绳子绕一圈，就得到椭圆啦！（如图所示）根据这个过程，请你给椭圆下一个定义：___________________.3.1 圆第1课时点与圆的位置关系1.C．∵点A与点B的距离是2 cm，∴圆的直径是4 cm，故选C．2．A能够完全重合的弧是等弧，并不是长度相等，故选项A符合题意；直径是圆中最长的弦，故选项B不符合题意；面积相等的两个圆半径相等，因此是等圆，故选项C不符合题意；半径相等的两个半圆是等弧，故选项D不符合题意，故选A．3．答案50°解析∵∠A =65°，∴∠B+∠C=115°，∵OB= OD= OE= OC，∴∠ABC=∠BDO，∠ACB=∠CEO，∴∠B+∠BDO+ ∠C+∠CEO=230°，∴∠BOD+∠COE=360°- 230°= 130°，∴∠DOE= 180°-130°= 50°.4.C．∵点A（-3，4），∴，∵⊙O是以原点O(0，0)为圆心，7为半径的圆，∴点A在⊙O 内，故选C．5．A设题图中小正方形的边长为1，易知OA=，OE=2，OF=2，OG=1，OH=，所以E、F、G、H四棵树中需要被移除的为E、F、G，故选A．6．答案点A在⊙O上解析解方程x²-4x+4=0，得x₁=x₂=2．∴R、d分别是方程x²-4x+4=0的两根，∴R=2，d=2，∴点A在⊙O上．7．答案2或6解析当点P在圆外时，∵点P到圆周上点的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径为8-4 =4，∴圆的半径是2；当点P在圆内时，∵点P到圆周上点的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径为8+4=12，∴圆的半径为6．8．解析(1)∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴AC=BD==5．∵，∴，同理可得，在Rt△ADE中，，(2)易知AF＜AB＜AE＜AD＜AC，若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．能力提升全练1．B由勾股定理知，∵，∴，∴点C 在⊙D内．故选B．2．D 连结OE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O 之间的距离最大，此时∠AED=∠EAO+∠EOA，而AE= BE，∴EA= EO= EB，∴∠EAO=∠EOA，∴，即n=26．故选D．3.B如图，连结ON、OA，∵点A、N在半圆上，∴ON= OA，∵四边形ABOC，DNMO均为矩形，∴ON= MD，OA= BC，∴BC=MD，即a=b，故选B．4．答案解析如图，连结OP交⊙P于M’，连结OM.∵OA =AB，CM=CB，∴，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M'时，OM最小，此时AC最小，为OM’=(OP-PM’)=．5．解析(1)连结AP．设AE =x，则PE=ED=7-x，∴（7-x)²+x²= 25，解得x=3或x=4．所以AE的长为3或4．(2)设AE=x，则（a-x）²+x²= 25，即2x²-2ax+a²-25=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-2a）²-8(a²-25)=0，解得或（舍），∴a的值为．(3)设AE=x，则(a-x) ²+x²= 25，即2x²-2ax+a²-25=0有两个不相等的实数根，∴Δ=（-2a）²-8(a²-25)＞0，解得，∵a＞5，∴a的取值范围为5＜a＜．三年模拟全练选择题1.B根据点到圆心的距离5大于圆的半径4知，该点在圆外，故选B．2．B ∵AB=AC=8 cm，BC= 12 cm，P是BC的中点．∴CP= BP=BC=6 cm．∵⊙P的半径r=6 cm，∴点B与点C在⊙P上，连结AP，则AP⊥BC，∴．∴点A 在⊙P内，故选B．3．B如图所示，∵A(1，0)，⊙A的半径为2．∴AC=AE=2，∴OE=1，OC=3，∴E(-1，0)，C(3，0)，由图可知，当a＜1时，点B(a，0)可能在⊙A内，可能在⊙A上，也可能在⊙A外，故B选项不正确，故选B．五年中考全练一、选择题1.D 连结OE，∵∠AOB= ∠ADB+∠B=3∠ADB，∴∠B=2∠ADB，∵OE= OB，∴∠OEB=∠B=2∠ADB= ∠ADB+∠EOC，∴∠ADB=∠EOC，∴DE=EO，∴DE= OB．故选D．2.C ∵PA⊥PB．∴∠APB= 90°，∵AO =BO，∴AB= 2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连结OM．交⊙M于点P＇，当点P位于P＇位置时，OP＇取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3，MQ=4．∴OM =5，又∵MP＇=2，∴OP＇=3，∴AB=2OP'＝6．故选C．二、解答题3．解析因为OA＇·OA= 16，且OA =8，所以OA’=2．同理可知．OB’=4，即B点的反演点B＇与B重合，设OA交⊙O于点M，连结B＇M，因为∠BOA= 60°，OM= OB’，所以△OB'M为正三角形，易知点A＇为OM的中点，所以A＇B＇⊥OM，根据勾股定理，得OB'²= OA'²+A'B'²，即16= 4+A'B'²，解得A'B＇=（负值舍去）．核心素养全练答案平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹。
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【文库独家】圆的有关计算关系填空题的形式出现.知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝__________或S ＝12lr ；扇形的周长＝2r ＋l .二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于__________．温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． 3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解． 自主测试1．已知圆柱的底面半径为2 cm ，高为5 cm ，则圆柱的侧面积是( ) A ．20 cm 2 B ．20π cm 2 C ．10π cm 2 D ．5π cm 22．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A ．1B ．34C ．12D ．133．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm ，则此扇形的半径是__________cm ，面积是__________cm 2.(结果保留π)4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC ＝60°，OC ＝2.(1)求OE 和CD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．考点一、弧长、扇形的面积【例1】如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4 cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A ，C ，B ′三点在同一条直线上，则点A 所经过的最短路线的长为( )A ．43cmB ．8 cmC ．163π cmD ．83π cm解析：点A 所经过的最短路线是以点C 为圆心、CA 为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，A ，C ，B ′三点在同一条直线上， ∴∠ACA ′＝120°.又AC ＝4，∴'AA 的长l ＝120×π×4180＝83π(cm)．故选D.答案：D方法总结 当已知半径r 和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S 扇＝n πr 2360，当已知半径r 和弧长求扇形的面积时，应选用公式S 扇＝12lr ，当已知半径r 和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l ＝n πr180.触类旁通1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为9，贴纸部分的宽BD 为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )A ．24πB ．36πC ．48πD ．72π 考点二、圆柱和圆锥【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是( ) A ．5π B ．4π C ．3π D ．2π解析：侧面积是：12×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C.答案：C方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．触类旁通2 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.考点三、阴影面积的计算【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF ，EO ，若DE ＝23，∠DP A ＝45°.(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ＝ 3.∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE .又∵∠OCE ＝90°，∴∠CEO ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝CE cos 30°＝332＝2.∴⊙O 的半径为2.(2)连接OF ，如图所示．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°， ∴∠D ＝90°－45°＝45°. ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°.∵S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π，S △OEF ＝12×OE ×OF ＝12×2×2＝2.∴S 阴影＝S 扇形OEF －S △OEF ＝π－2.方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想： (1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解． (2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解． (4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．1．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3 cm ，母线长为10 cm ，则这个圆锥的侧面积为( )A ．15π cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．391cm 2 2．(2012浙江衢州)用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A ．2cmB ．32cmC ．42cmD ．4 cm3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300° 4．(2012山东临沂)如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为( )(第4题图)A ．1B ．32C ． 3D ．2 3 5．(2012四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__________．(结果保留π)(第5题图)6．(2012湖南长沙)在半径为1 c m 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm. 7．(2012四川乐山)如图，△ABC 内接于⊙O ，直径BD 交AC 于E ，过O 作FG ⊥AB ，交AC 于F ，交AB 于H ，交⊙O 于G .(第7题图)(1)求证：OF ·DE ＝OE ·2OH ；(2)若⊙O 的半径为12，且OE :OF :OD ＝2:3:6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)1．如图，⊙O 半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC ＝36°，则劣弧BC 的长为( )A ．π5B ．2π5C ．3π5D ．4π52．已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则圆锥的侧面积为( )． A ．48 cm 2 B ．48π cm 2 C ．120π cm 2 D ．60π c m 23．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是母线BC 上一点且PC ＝23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．⎝⎛⎭⎫4＋6πcm B ．5 cm C ．3 5 cm D ．7 cm4．如图，如果从半径为9 cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A ．6 cmB ．35cmC ．8 cmD ．53cm5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是__________．6．如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2 cm ，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm 2.(第6题图)7．如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D ，E ，F 是AB 的五等分点，P 是AB 上的任意一点．若AB ＝4，则图中阴影部分的面积为__________．(第7题图)8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝5，∠BOC ＝50°，OE ⊥AC ，垂足为E .(1)求OE 的长；(2)求劣弧AC 的长(结果精确到0.1)．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 2．C 3．24 240π 4．解：(1)在△OCE 中， ∵∠CEO ＝90°，∠EOC ＝60°，OC ＝2，∴OE ＝12OC ＝1，∴CE ＝32OC ＝3，∵OA ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CD ＝2 3.(2)∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×4×3＝23，∴S 阴影＝12π×22－23＝2π－2 3.探究考点方法触类旁通1．C S ＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.触类旁通2．4 因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4(cm)．品鉴经典考题1．B 因为底面半径为3 cm ，则周长为6π cm ， 所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm 2)．2．C 由题意知l ＝120π×6180＝4π(cm)，圆锥的底面半径为4π÷2π＝2(cm)，∴这个圆锥形纸帽的高为62－22＝42(cm)． 故选C.3．B 设圆锥的底面半径为r ，母线为R ，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n ，则扇形的面积为12×2πr ×R ＝πrR .由题意得πrR ＝2πr 2，n πR 2÷360＝πrR ，则R ＝2r ，所以n ＝180°.4．C 如图，连接AE .∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°.又∵∠BED ＝120°，∴∠AED ＝30°， ∴∠AOD ＝2∠AED ＝60°.∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠OAD ＝60°. ∵点E 为BC 的中点，∠AEC ＝90°， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．由△AOD ，△ABC 是等边三角形知△DEC ，△BOE ，△DOE 也是等边三角形， ∴BE 和弦BE 围成的部分的面积＝DE 和弦DE 围成的部分的面积，∴阴影部分的面积＝S △EDC ＝12×2×3＝ 3.故选C.5．68π 圆锥的母线长是32＋42＝5，圆锥的侧面积是12×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π. 故答案是68π.6．23π 扇形的弧长l ＝120×π×1180＝23π(cm)． 7．(1)证明：∵BD 是直径，∴∠DAB ＝90°. ∵FG ⊥AB ，∴DA ∥FO ，∴∠EOF ＝∠EDA ，∠EFO ＝∠EAD ， ∴△FOE ∽△ADE ， ∴OF AD ＝OEDE，即OF ·DE ＝OE ·AD . ∵O 是BD 的中点，DA ∥OH ，∴AD ＝2OH ， ∴OF ·DE ＝OE ·2OH .(2)解：∵⊙O 的半径为12，且OE :OF :OD ＝2:3:6， ∴OE ＝4，ED ＝8，OF ＝6， 代入(1)结论得OH ＝6，AD ＝12.在Rt △OBH 中，OB ＝2OH ，∴∠BOH ＝60°，∴BH ＝BO ·sin 60°＝12×32＝63，∴S 阴影＝S 扇形GOB －S △OHB ＝60°×π×122360°－12×6×63＝24π－18 3.研习预测试题1．B 2．D 3．B4．B 留下的扇形的弧长为⎝⎛⎭⎫1－13×2×π×9＝12π， 所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π. 则底面圆的半径为12π＝2πr ，所以r ＝6. 而圆锥的母线长为9，所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝35(cm)．5．8－2π 6.2π 7．25π8．解：(1)∵OE ⊥AC ，垂足为E ，∴AE ＝EC .∵AO ＝BO ，∴OE ＝12BC ＝2.5.(2)∠A ＝12∠BOC ＝25°，在Rt △AOE 中，sin A ＝OE OA ，∴OA ＝ 2.5sin 25°.∵∠AOC＝180°－50°＝130°，∴劣弧AC的长＝130×2.5π180sin 25°≈13.4.。