附录 矢量和微积分初步
矢量运算及微积分初步
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
精品课件
绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
精品课件
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
精品课件
R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
力学数学预备知识(微积分与矢量)
deax2 d(ax2 )
d(ax2 ) dx
1 2
x e 1/ 2 ax2
x1/ 2eax2 (2ax)
eax2 (0.5x1/ 2 2ax3/ 2 )
9
导数的应用
质点沿x轴作直线运动的速度：vx
dx dt
质点沿x轴作直线运动的加速度：ax
dvx dt
d2x dt 2
a
a
c
19
牛顿—莱布尼茨公式
设F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,即 F'(x)=f(x), 则
b
f (x)dx f (x)dx |ba F (x) |ba F (b) F (a)
a
b
f (x)dx F (b) F (a) 称为牛顿—莱布尼茨公式
用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。A
•
矢量的大小又叫矢量的模，用
|
A|
或A
表示。
• 模等于1 的矢量叫单位矢量，用 eˆA或Aˆ 表示。在直角
坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用 iˆ, ˆj, kˆ
表示。
• 矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量 值，也不改变矢量的方向。
则∫udv = uv - ∫vdu
15
分部积分法…
• 例题 ⑴ ∫xexdx = ∫xdex
= xex - ∫exdx = xex – ex + c
⑵ ∫lnx dx = x lnx - ∫xdlnx = x lnx - ∫dx = x lnx - x + c
16
不定积分的应用
• 已知加速度求速度 • 已知速度求位矢（或运动学方程） （见教材P36—37）
微积分初步教学大纲
《微积分初步》课程简介课程编号： 0740704009 课程名称：微积分初步学时： 64 学分： 4适用专业：法学、艺术设计、日语等专业先修课程：初等数学的基础知识（高中数学）课程内容：本课程以微积分学为核心内容，首先介绍了微积分研究的对象---函数,以及微积分研究的重要基础---极限。
在此基础上建立了一元函数微积分学的导数、微分、不定积分、定积分的基本概念、基本理论和简单应用，以及多元函数微积分学的基本概念和理论，并介绍了微积分学的有关理论在经济中的应用．作为微积分学的延伸和应用本课程还简单介绍了微分方程的基本概念和最基本解法．该课程适用于要求对数学作为普通知识了解的人文学科及大专类学生．本课程主要内容包括：函数与极限，导数与微分，微分学的定理及应用，不定积分，定积分，定积分的应用，微分方程（简介），多元函数微分．微积分初步教学大纲课程编号： 0740704009 学时：64 学分：4适用专业：法学、艺术设计、日语等专业一.本课程的教学目的、任务和要求20世纪的重大成果和新兴学科向世人昭示：数学与哲学、社会科学的联系越来越紧密。
在保证掌握必要数学工具和计算技巧的前提下，突出对学生进行数学思维训练是本课程教学的主要目的。
通过本课程的学习，使学生能够建立变量的思想，对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解，在使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能的条件下，培养学生辩证唯物主义观点，并使他们受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
本课程在教学中要求尽量从实际出发，注意概念、定理的直观描述和实际背景，避免过繁、过难的理论推导，使同学们从算数、计算、背定理、套公式的学习方式中解脱出来，让学生们深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，自觉地把数学与现实结合起来，使教学具有生动性和吸引性，提高学生学习的主动性和积极性，努力提高学生综合素质、培养学生科学思维能力。
高中数学微积分初步教案
高中数学微积分初步教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 掌握微积分的基本概念和原理；2. 理解导数和微分的概念，能够应用相关公式求解问题；3. 掌握函数极值的判定方法，能够解决极值相关的应用问题。
二、教学准备1. 教材：高中数学教材；2. 工具：计算器、黑板、粉笔。
三、教学步骤步骤一：引入1. 通过提问和讨论，激发学生对微积分的兴趣，引导学生思考微积分的应用领域和重要性。
2. 引导学生回顾导数和微分的概念，复习相关公式和求解方法。
步骤二：导数与微分的定义1. 结合具体的图像和实例，介绍导数的定义和计算方法。
2. 通过实例演示，引导学生理解导数与切线的关系。
步骤三：导数的性质与应用1. 介绍导数的性质，如加法法则、乘法法则和链式法则。
2. 引导学生应用导数解决相关问题，如切线方程、极值判断等。
步骤四：微分与微分近似1. 介绍微分的概念和计算方法。
2. 引导学生通过微分近似法解决实际问题，如函数近似值的计算、误差估计等。
步骤五：函数极值与应用1. 介绍函数极值的定义和求解方法。
2. 引导学生应用极值解决实际问题，如最优化问题、最大利润计算等。
步骤六：拓展练习1. 分发练习题，包括计算和应用题型，要求学生独立完成。
2. 对学生的答题情况进行检查和评价，及时解答他们的疑问。
四、教学延伸1. 鼓励学生参加数学竞赛或相关科研项目，提升对微积分的理解和应用能力。
2. 推荐相关的参考书籍和学习资源，供学生自主学习和深入研究。
五、教学总结1. 对本节课的重点和难点进行总结，强调学生需要重点掌握和复习的内容。
2. 激发学生对数学学习的兴趣，鼓励他们积极参与课后练习和讨论。
六、教学反思本节课采用了多种教学方法和手段，帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
通过举例和应用题的讲解，提高了学生对微积分的应用能力。
然而，在教学过程中，有些学生对抽象的概念和计算方法还存在一定的困惑，需要加强巩固和练习。
在今后的教学中，我将更加注重与学生的互动和激发学习兴趣，帮助他们更好地掌握微积分的知识和技巧。
附录矢量和微积分初步
13.09.2019
26
附录：矢量与微积分
设矢量 A 沿图示曲线变化，求 Ads，
A
A
AA xiA yjA zk
d s d x i d y j d zk d s
A
Ads A x i A y j A z k d x i d y j d z k
i j
Ax
Ay
矢量 A 的方向为：
x
图7 矢量在三维直角坐标轴
上的正交分量
c o s A x /A ,c o s A y /A ,c o s A z /A
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6
附录：矢量与微积分
2、矢量合成的解析法： y
矢量 A 和 B 在两坐标轴上
的分量可分别表示为：
B
C
By
fxdx'fx F'xdxFxC
不定积分运算法则：
k fx d x k fx d xk 0
fx g x d x fx d x g x d x
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基本积分公式：
若 f 'x0 0 而 f ''x00， f ''x0 0, f x0 为极小值 f ''x00, f x0 为极大值
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3. 微分：
附录：矢量与微积分
若函数 y f x 在 x 处可导，则 y f x 在点 x 处的导数 f ' x 与自变量增量 x 的乘积称作函数 y f x在 x 处的
dy dy du dx du dx
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《微积分入门》课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
矢量的代数运算和微积分
Ay Ax Az cos cos cos A A A 用方向余 A A(cos i cos j cos k ) 弦表示
直角坐标系中矢量的模为 y 2 2 2 A Ax Ay Az
y
j A
i
z
o
例：写出以下物理量在直角坐标系中的表达式 vy v v 5m / s 速度
(2) 遵守分配率： C ( A B ) C A C B
(3) 平行或反平行的两矢量的矢积为0。
A B B A
注意坐 标轴的 右手螺 旋定则
五
1.
矢量的微积分
矢量的微分(differential) 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
大学物理补充知识
一 矢量和标量
矢 量
二 矢量的描述 三 矢量的加减
四 矢量的乘除
一
矢量(vector)和标量(scalar quantity)
标量：只具有大小而没有方向的物理量，我们 把它称之为标量。 如：温度 T、功A 等
例：功 A 5J
矢量：既具有大小又具有方向的物理量， 我们把它称之为矢量。
A A B B
A B B
矢量合成的解析法
1. 矢量相加(addition)
A B ( Axi Ay j Az k ) ( Bxi By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
z
k x
x
3 A Ax i Ay j Az k vx v vx i v y j vz k 4 v 4i 3 j 0k 4i 3 j m / s
微积分初步
体积的微分为线性主部，即
dV 4r 2 dr
2、微分的基本公式和运算法则
⑴微分的基本公式
d (a x ) a x ln adx(a 0, a 1); 1 d (loga x) dx(a 0, a 1); x ln a d (sin x) cos xdx; d (tgx) sec2 xdx; d (sec x) tgx sec xdx; d (arcsin x) 1
特别地，当 v c 时， (cu) cdu d
课堂练习
把适当的函数填入下列括号内，使等式成立： ⑴ d(
3x
) 3dx ;
⑵ d ( 1 cos ax ) sin axdx;
a
⑶ d ( 1 x 3 ) x2dx ;
3 ⑸ d ( 1 e 2 x ) e2 x dx ; 2
6 x cos x 1 x
三、高阶导数 如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 可以继续对 x 求 导，则把
( y) [ f ( x)]
称为对 x的二阶导数，记作
d2y f (x) ，y ， 2 dx d3y f (x) ，y， 3 dx
k 渐接近于切线 M 0T ， M N 接近于切线的斜率k 。
0
y 当 x 0 时 ，如果 x 的极限存在，则该极限值就 是切线的斜率k 。即
k lim
y ( x0 x) y ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
2、导数的概念
⑴函数 f (x) 在点 x0 处的导数
f (x )
dy y ， ， dx
或
df ( x ) dx
即
y lim
y f ( x x) f ( x) lim x 0 x x 0 x
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y f x
如果当 y 为 z 的函数，z 又是 x 的函数，则 y为 x 的复合函数。
y x f g x
简谐振动表达式：
z g x 中间变量
x A cos t
附录一 矢量
13
物理学
第五版
2、导数：
附录：矢量与微积分
如果函数 y =f (x) 在 x=x0 处有增量△x ，因此相应函数 y 也会 有一增量 则
dy x x0 , dx
x x0
f x0 x f x0 y f ' x0 lim lim x 0 x x 0 x
附录一 矢量
14
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函
数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B 的合矢量。
附录一 矢量
3
物理学
第五版
利用矢量平移不变性：
附录：矢量与微积分
d
A
c
B
b
B a
C
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
C A B 2 AB cos B sin arctan A B cos
2 2
C
A
B
B sin
x
B cos
图5 合矢量的计算
4
附录一 矢量
物理学
第五版
附录：矢量与微积分 3、同一平面内多矢量的相加
C
B A
D
R
图6 同平面多矢量相加
附录一 矢量
5
物理学
第五版
三 矢量合成的解析法
A Ax Ay Az
A Ax i Ay j Az k
矢量 A 的模为：
B
A
90o
A B 0
B cos
A B AB cos
180 A B AB
附录一 矢量
B
A
o
8
物理学
第五版
标积的性质：
附录：矢量与微积分
(1) 标积的交换律：
A B AB cos BA cos B A
(2) 标积的分配律：
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、矢量平移的不变性：
把矢量 A 在空间平移，则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
附录一 矢量
2
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
c
C
a
B
b
A B C
A
图3 两矢量相加的三角形法则
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
一
标量和矢量
1、基础物理学中的两类物理量：
标量物理量(标量) —遵循代数运算法则, 如m, t, V
矢量物理量(矢量) —遵循矢量代数运算法则, 如 r , v , F
用有向线段表示矢量，
A
A
图1 矢量的图像表示
1
矢量的大小叫做矢量
的模，用符号 A 表示。
附录一 矢量
y f x0 x f x0
y f x0 x f x0 x x
叫做函数 y 在x0 到x0 + △x 之间的平均变化率。 若当 x 0 时， y / x 有极限，则称 f (x) 在 x0 处可导，并把 极限称作f (x) 在 x0 处的导数。 f ' x0 , y '
(3) 矢积的分配率：
C A B C ACB
附录一 矢量
11
物理学
第五版
A B Ax i Ay j Az k Bx i By j Bz k
利用
附录：矢量与微积分
i j k ,i k j,i i 0 ，
Ax By k Ax Bz j Ay Bz i Ay Bx k Az Bx j Az By i
2 y
图8 矢量合成解析法
C C C
2 x
arctan C y / C x
7
附录一 矢量
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
四 矢量的标积和矢积
物理学中，矢量乘积有两种：标积(点乘)，矢积(叉乘)
1、矢量的标积： A B
B
A
B 0o
A B AB
AB cos A
A B C A C B C
A Axi Ay j Az k B Bxi By j Bz k A B Ax Bx Ay By Az Bz
附录一 矢量
9
物理学
第五版
2、矢量的矢积：
附录：矢量与微积分
C A B
矢量 C 的大小为： C AB sin
矢量 C 的方向为：
平行四边形面积
C
B A
C
B
B sin
图9 两矢量的矢积
A
10
附录一 矢量
物理学
第五版
矢积的性质：
(1) 矢积不遵守交换律：
附录：矢量与微积分
A B B A
(2) A B AB sin 当 0 or
A B B A
时， A B 0
物理学
第五版
2、矢量合成的解析法： 矢量 A 和 B 在两坐标轴上 的分量可分别表示为：
附录：矢量与微积分 y
B
C
A
By Ay
Ax A cos Ay A sin Bx B cos By B sin
o
Ax
Bx
x
Cx Ax Bx Cy Ay By
附录：矢量与微积分
1、矢量在直角坐标轴上的分矢量和分量：
z
Az
k o
A
y
A A A A
2 x 2 y
2 z
i
j
Ax
Ay
矢量 A 的方向为：
x
图7 矢量在三维直角坐标轴 上的正交分量
cos Ax / A,cos Ay / A,cos Az / A
附录一 矢量
6
Ay Bz Az By i Az Bx Ax Bz j Ax By Ay k A B Ax Ay Az Bx By Bz
k
j
i
附录一 矢量
12
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
五 函数、导数和微分
1、函数：
如果当 x 在其变域内任意取一数值时，y 都有确定的值与其对 应，则称 y为 x 的函数。