山东省菏泽第一中学高三数学12月月考试题 文(普通班)

山东省菏泽第一中学2017届高三数学12月月考试题 文（普通班）第I 卷（选择题）一、选择题（每题5分共50分）1．已知R 是实数集，集合{3|1,|M x N y y x x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则()R N C M =（ ）A ．[]0,2B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．[]2,32．已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线1ax y -+垂直，则a =（ ）A.12-B.1C.2D.123．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A ．4B ．8C ．34D ．244A 5．设函数()=x f 653123+++x ax x 在区间[]3,1上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),5[∞+- B ．]3,(--∞ C ．),5[]3,(∞+-⋃--∞ D ．[]5,5-6．设条件:23p x -<， 条件:0q x a <<， 其中a 为正常数．若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A.(0,5]B.(0,5)C.[5,)+∞D.(5,)+∞ 7．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( ) A.B.C.D. 不存在8．．函数()ln ||f x x x =-的图象为（ ）9．给出下列四个结论：①已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay a ++=，则12//l l 的充要条件为1a =±；②函数()s i n c o s f x x x ωω=+满足()()2f x f x π+=-，则函数()f x 的一个对称中心为(,0)6π；③已知平面α和两条不同的直线,a b ，满足b α⊂，//a b ，则//a α； ④函数1()ln f x x x=+的单调区间为(0,1)(1,)+∞. 其中正确命题的个数为（ ）A.4B.3C.2D.010．设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t a t ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分共25分）11．P 是圆22(3)(1)2x y ++-=上的动点，Q 是直线y x =上的动点，则PQ 的最小值为 ________________12．当实数y x 、满足约束条件为常数）k k y x y x x (0200⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥-≥时，y x z 3+=有最大值12，则实数k的值是 .13．若向量a 、b 满足||1a =、||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为 ．14．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则sin α= . 15．已知偶函数)(x f 满足)(1)1(x f x f -=+，且当]0,1[-∈x 时，2)(x x f =，若在区间]3,1[-内，函数)2(log )()(+-=x x f x g a 有4个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题（16-19每题12分，20题13分，21题14分）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．已知p ：对[]2,2-∈∀x ，函数)3lg()(2x ax a x f --=总有意义；:q 函数3431)(23++-=x ax x x f 在[)+∞,1上是增函数；若命题“p 或q ”为真，求a 的取值范围。

18．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥; （3）求点D 到平面BEC 的距离.19．（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且358,14a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S，132(2,)n n S S n n N -=-≥∈ （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+(010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值．21．（本小题满分14分）已知函数x x x f 3)(3-=．ABCDFE 图2MFED CBA图1（1）讨论)(x f 的单调区间； （2）若函数m x f x g -=)()(在[23-，3]上有三个零点，求实数m 的取值范围； （3）设函数n n ex e x h x24)(2-+-=（e 为自然对数的底数），如果对任意的]2,21[,21∈x x ，都有)()(21x h x f ≤恒成立，求实数n 的取值范围．参考答案1．D 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D12．9- 13．a 与b 的夹角为34π14．1433 15．[5,)+∞16．（1）3π（2）5717．4>a或2≤a 。

18．（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =． 3分 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． 4分又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BEC ． 5分G M AFBCD EN（2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥． 7分 在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+．所以BC BD ⊥． 8分 所以BC ⊥平面BDE ． 10分 （3）解法一：因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ． 11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 12分在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BEDEBD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 14分 解法二：BE ⊂平面BDE ,所以BC BE ⊥ 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD .26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE 12分 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 14分 19．（Ⅰ）【解析】（Ⅰ） 数列{}n a 为等差数列，公差531()(148)322d a a =-=-=，所以1322a a d =-=，故13-=n a n 2分由已知得当2,n n N ≥∈时，132n n S S -=+，所以有132n n S S +=+ 两式相减得：()113n n n n S S S S +--=-，即13n n b b +=，所以113n n b b +=()2,n n N ≥∈ 5分 又()2122121222,2,33339S S b b ⎛⎫=+∴+=+∴= ⎪⎝⎭分分分所以20．（1）()01035x x ≤≤+f(x)=6x+;（2）即隔热层修建cm 5厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元．试题分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+ (0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C （0）=8，得k=40，进而得到C(x)＝403x+5．建造费用为C 1（x ）=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f （x ），我们不难得到f （x ）的表达式．（2）由（1）中所求的f （x ）的表达式，我们利用导数法，求出函数f （x ）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f （x ）的最小值． （1）当0=x 时，8=c ，40=∴k ，5340)(+=∴x x C2分)100(5380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f 5分（2）1053800)53(2)(-+++=x x x f ， 7分设]35,5[,53∈=+t t x ，701080022108002=-⋅≥-+=∴tt t t y ． 当且仅当时等号成立。

即20,8002==t tt 这时5=x ，因此)(x f 的最小值为70． 即隔热层修建cm 5厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元． 10分 21．（1）)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）． （2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,89 ；（3）[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,试题解析：（1）)(x f 的定义域为R ，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ． （1分）因为当1-<x 或1>x 时，0)(>'x f ；当11<<-x 时，0)(<'x f ；（2分）所以)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．（3分）（2）法1：由（1）知，)(x g 在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以)(x g 在1-=x 处取得极大值m g -=-2)1(，在1=x 处取得极小值m g --=2)1(． （5分）因为)(x g 在[23-，3]上有三个零点，所以有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<>-≤-0)3(0)1(0)1(0)23(g g g g ，（7分）即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<-->-≤-0180202089m m m m ，解得289<≤m ，故实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,89．（8分）法2：要函数m x f x g -=)()(在[23-，3]上有三个零点，就是要方程()()0g x f x m =-=在[23-，3]上有三个实根，也就是只要函数()y f x =和函数y m =的图象在[23-，3]上有三个不同的交点．（5分）由（1）知，()f x 在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以()f x 在1-=x 处取得极大值(1)2f -=，在1=x 处取得极小值(1)2f =-．又39()28f -=，(3)18f =．（7分） 故实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,89．（8分）（3）对任意的]2,21[,21∈x x ，都有)()(21x h x f ≤恒成立，等价于当]2,21[∈x 时，m i nm a x )()(x h x f ≤成立．（10分） 由（1）知，)(x f 在[21，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且811)21(-=f ，2)2(=f ，所以)(x f 在[21，2]上的最大值2)(max =x f ．（11分） e e x h x -=')(，令0)(='x h ，得1=x ．（12分）因为当1<x 时，0)(<'x h ；当1>x 时，0)(>'x h ；所以)(x h 在[21，1]上单调递减，在]2,1[上单调递增；故)(x h 在[21，2]上的最小值2min ()(1)42h x h n n ==-．（13分） 所以2242≥-n n ，解得21-≤n 或1≥n ，故实数n 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, ．（14分）。