17.1二次根式
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。
在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。
一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。
其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。
开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。
1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。
2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。
3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。
二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。
如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。
例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。
化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。
二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。
2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。
3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。
化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。
四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。
1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。
2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。
3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。
4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。
掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。
五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。
1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
关于二次根式的知识点总结
二次根式的知识点总结关于二次根式的知识点总结导语：一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。
以下是小编整理关于二次根式的知识点总结，以供参考。
1．二次根式：一般地，式子a,(a0)叫做二次根式.注意：（1）若a0这个条件不成立，则（2）是一个重要的非负数，即；a ≥0. a不是二次根式；2．重要公式：（1）(a)2a(a0),（2）a2aa(a0) ；注意使用a()(a0). a(a0)3．积的算术平方根：abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则：abab(a0,b0).5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：式的'算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）a(a0,b0)； baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb（2）abab(a0,b0)；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a与a，b与ab， mnb与manb，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式。
② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如a,(a0)的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
七年级二次根式知识点归纳
七年级二次根式知识点归纳二次根式是初中数学中非常重要的一部分知识，它常常出现在代数表达式、分式化简、勾股定理等问题中。
在七年级的数学课程中，学生首次接触二次根式，本文将对此部分内容进行详细的归纳总结。
1. 二次根式的概念及表示方法二次根式是指形如$\sqrt{a}$的数学表达式，其中$a$为非负实数。
二次根式可以用有理化的方法表示为$\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a}\times\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}$，其中分母$\sqrt{a}$通常称为二次根式的根数。
2. 二次根式的简化二次根式的简化是指将形如$\sqrt{a}$的二次根式化为最简形式的过程。
有两种情况需要进行二次根式的简化：（1）被开方数$a$是平方数或完全平方数，即$a=b^2$或$a=p\times q^2$，其中$p$为质数，$q$为正整数。
这时，二次根式可以直接化为整数或分数，例如$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
（2）被开方数$a$不是平方数或完全平方数，例如$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$。
这时，需要采用有理化的方法，将二次根式的分母有理化为整数，例如$\sqrt{7}\times\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}$，$\sqrt{10}\times\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=2\s qrt{10}$。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法当两个二次根式的根数相同时，可以直接将根数不变的二次根式相加减，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
当两个二次根式的根数不同时，需要进行有理化处理，例如$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{3\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6} =5\sqrt{6}$。
九年级数学上人教版《二次根式》课堂笔记
《二次根式》课堂笔记
一、二次根式的定义
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
3.公式法：利用平方差公式把一个数分解为两数乘积的形式，然后用直接开
方法求出这个数的平方根。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
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1 3
3
a (a＜0﹚、 a +0.1 、
2
-a (a＜0﹚是不是二次根式？
基础练习：
1.求下列二次根式中字母x的取值范围：
1
x 1;
x 1
2
4x ;
2
x0
3
1 x
;
x 0 4
3x .
x0
2.求下列二次根式中字母a的取值范围：
1
a 3;2 1 3a ;3 a 1.
2
1 2 _____ . 2 2
1
5
2
2 2 _ _ 5_ _ _ _ _ , 5 _ _ _ _ _ _ 3_ _ . _ 3
基础练习：
a
2
| a |
a a 0 a a 0
2
2
2
_ 2_ , _
17.1 二次根式
马鞍山市金瑞中学数学初二备课组
本节课学习目标
• 1.回忆平方根与算术平方根的概念. • 2.理解二次根式的概念. • 3.掌握并应用性质1，2.
自学内容： 课本3页~5页
自学检测：
我们把形如 a （a≥0）的 式子叫做二次根式。 例如 a 1 b 3 2t 2
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
x -1 6、 x -2
课本第5页练习
x-2 x-1 有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？
基础练习：
2
1 4
3
2
a
2
2
a
7
2
______, 2 3
7 _____; 2
1 2 2 1 _ _ _ _ _ _ _ _ , 3 2 _ _ _2 _3_ _ , 7 3 7
提高训练：
2. 已知 2 x y 4 ( x 2 y 7 ) 2 0 ，求( x y ) 2 0 0 4 的值．
2x y 4 0 解：因为 ， 2 (x 2 y 7) 0
又因为两个非负数的和为0，
2 x y 4 0 x5 ． 所以 ， 解得 x 2y 7 0 y 6
提高训练：
1. 已知 a 6 2 1 8 3 a b 7 ，求a、b的值．
(1) a 6 0 解：依题意得： , 1 8 3 a 0 ( 2 )
(1) a 6，
(2) a 6,
所以a6，代入原式得b7． 注： 中 a a
0
即被开方数非负性的应用．
2
0 .5 3
2
0.5 3
5
0
2
_5 _ , _
2
0 ___,
（ 3）
3
基础练习： 6.填空：
1 1
2
_____, 2
1
2 2 ______, 3 3 5 5
2
2
_____,
3
1 1 _ 4 1 _ _ _3 _ , 5 3
2
1
4
2
____, 6
4
2
2
3
8 ____ .
(7) 数 a 在数轴上的位置如图,则
a
a _____ .
2
a
-2
-1
0
1
基础练习：
7.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式 （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
2
a 3 a 3 a取任意实数
基础练习：
3.当x＝－4时，求二次根式
1 2x
的值。 3
4.若二次根式 x 2 的值为3，求x的值. 3或-3
x-2 5.要使 有意义，字母 x 的取值必须满足什么 x-3 条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,
想一想： 如把题目改为： 使 假 要
得 x≥2 且 x≠3。
故 ( x y ) 2004 (5 6) 2004 ． 1
注： a 0 即算术平方根非负性的应 用．
本节课学习了什么内容？
当堂检测：
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 3、 5、 x+3 1 x x -3 + 4 -x 2、 4、 2 -5 x a +1