第十四章 超静定结构
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第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
第十四章材料力学超静定结构
RMB B
第32次作业：习题14— 4 a,b 第33次作业：习题14—5a,14—8 第34次作业：习题14—3a,14—15 第35次作业：习题14—3b,14—11
P
x1
x1
1
1P
2 EI
a
(
0
Px2
)a2dx2
Pa 3 2EI
11
2 EI
[
a
2 0
x12dx1
a
(
0
a 2
)
2dx2
] 7 Pa 3 12 EI
则
7Pa3 Pa3 12 EI X12EI 0
6
X17P
P
P
由平衡方程求得：
RA
RB
6 7
P
H AH B P
M
A
M
B
4 7
P
a
A
B
HA
HB
RA MA
P
PP
X2 P
例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但
P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
A
B
列出一个正则方程求解。
11X11P 0
用莫尔定理求1P和11。
P
P X1 X1
x2 x2
将上述结果代入变形协调方程得 11P
16
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X
1
5 16
P
(f) A
3Pl
⑤求其它约束反力
16
由平衡方程可求得A端反
材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
第十四章超静定结构
1
3 1 a a M 2 ( x ) M 2 ( x ) dx x2 x2 d x2 22 l 0 EI EI 3EI 2 1 a M 3 ( x ) M 2 ( x ) dx a 1 x2 d x2 32 23 l 0 EI EI 2 EI 1 2a 2a M 3 ( x ) M 3 ( x ) dx 1 1 dx 33 l EI EI 0 EI
五、超静定结构的求解方法 材料力学中求解超静定结构的方法均以“力”作 为基本未知量，称为“力法”.主要包括： 变形比较法：适用于简单超静定结构. 力法正则方程：适用于次数较高的超静定结构. 三弯矩方程：适用于连续梁.
六、超静定结构的求解步骤
判断结构是否为超静定的，如果是则应确定其超静定次数.
第十四章 超静定结构
☞§14-1 超静定结构概述 ☞§14-2 用力法正则方程求解超静定结构
☞§14-3 对称及反对称性质
☞§14-4 连续梁及三弯矩方程
§14-1 超静定结构概述
一、相关概念
桁架： 由直杆以铰节点相连接组
成的杆系.若载荷只作用于节点上， 则每一杆件只承受拉伸或压缩.
刚架： 由直杆以刚节点相连接组
去除超静定结构的多余约束，得到基本静定系，用多余广
义反力取代多余约束得到相当系统.
将相当系统与原超静定结构作比较，得到相当系统应满足 的变形协调条件(几何条件或位移边界条件). 使用能量法或其它方法将变形协调条件转换成关于多余(外 力和内力)反力的方程，求解多余反力. 利用静力平衡方程求解其它约束反力.
A
令X3 ＝1时在3个 方向引起的位移
Δ1 F
B X2 X1 X3
三、例题 【例14-3】求超静定梁B端的约束反力. 【解】1）本题为1次超静定问题，视支座B为多余约束， 设X1为多余反力，得相当系统. 2）由单位载荷法求F单独作用时，与X1相对应的位移Δ1F . a (l x ) F ( a x ) dx F a 2 (3l a) M 1 ( x ) M F ( x ) dx Δ1F l 0 EI EI 6 EI A C 3）求令X1＝1时，与X1相对应的位移δ11 a
十四章 超静定结构
1 1 X1 1 X 2 1q 0 2 2 X1 2 X 2 2 q 0
1 11 X 1 12 X 2 1q 0 2 21 X 1 22 X 2 2 q 0
3）由莫尔积分计算相应系数
C
A
2）静不定次数确定方法 静不定次数 = 多余约束数目 = 未知力个数-独立平衡方程数 (1) 外力静不定次数的确定 根据约束的性质及力系的类型来确定。 (2) 含内力的静不定次数的确定
平面桁架 未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数 独立方程数 = 节点数 × 2
平面刚架
对平面刚架，截面上有三个内力。
解：①刚架有两个多余约束 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力 ③建立力法正则方程 q B q B a
a
A
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
X1
A X2
A q
qa 2
2
Mq
a 4
④计算系数δij和自由项ΔiP
反对称变形：若外载荷反对称于结构对称轴，则结构将产生 反对称变形。 EI E1I1
对 称 轴
EI
E1I1 E I 1 1
对 称 轴
EI E1I1 E1I1
对 称 轴
E1I1
2 利用对称性减少未知力数目，简化计算 1）对称内力和反对称内力： X2 X3 X3 X1 X1 X2
对 称 轴
X3 X3 P X1 X1 对称内力 P
22 X 2 0 X 2 0
例4 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C 解：1）图示刚架为三次超静定问题。 P 因结构是对称的，而载荷反对称，故 a 对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只 有一个多余未知力（剪力），只需列 出一个正则方程求解。 A a 2）正则方程
1 11 X 1 12 X 2 1q 0 2 21 X 1 22 X 2 2 q 0
3）由莫尔积分计算相应系数
C
A
2）静不定次数确定方法 静不定次数 = 多余约束数目 = 未知力个数-独立平衡方程数 (1) 外力静不定次数的确定 根据约束的性质及力系的类型来确定。 (2) 含内力的静不定次数的确定
平面桁架 未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数 独立方程数 = 节点数 × 2
平面刚架
对平面刚架，截面上有三个内力。
解：①刚架有两个多余约束 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力 ③建立力法正则方程 q B q B a
a
A
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
X1
A X2
A q
qa 2
2
Mq
a 4
④计算系数δij和自由项ΔiP
反对称变形：若外载荷反对称于结构对称轴，则结构将产生 反对称变形。 EI E1I1
对 称 轴
EI
E1I1 E I 1 1
对 称 轴
EI E1I1 E1I1
对 称 轴
E1I1
2 利用对称性减少未知力数目，简化计算 1）对称内力和反对称内力： X2 X3 X3 X1 X1 X2
对 称 轴
X3 X3 P X1 X1 对称内力 P
22 X 2 0 X 2 0
例4 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C 解：1）图示刚架为三次超静定问题。 P 因结构是对称的，而载荷反对称，故 a 对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只 有一个多余未知力（剪力），只需列 出一个正则方程求解。 A a 2）正则方程
第十四章 超静定结构
得： X 2 0
二、反对称载荷内力特点：
•对称面上对称内力为零。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
MA
5）求作弯矩图：
MC
题14.2 计算图所示桁架各杆的内力。设各杆的材料相同，横截面 积相同。 解: 为一次超静定结构。 1）确定相当系统： 2）建立正则方程：
11 X1 1F 0
3）确定系数和常数：
FNi F Nili 2(1 2) Fa 1F EAi EA F Ni F Nili 4(1 2)a 11 EAi EA
12
l
M 1 M 2 dx EI M M 1dx EI
1F
l
12 21; 13 31; 32 23
4、求未知力： 二、n次超静定结构的正则方程
1n X n 1F 0 2n X n 2 F 0 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nF 0 ij ji (i, j 1, 2,3 n)
二、对称载荷内力特点：
•对称面上反对称内力为零。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
三、基本静定系
•解除超静定结构多余约束 后得到的静定结构。 四、相当系统
•载荷和多余约束力作用下的 基本静定系称为相当系统。
§14—2 用力法解超静定结构 一、方法和步骤 1、确定相当系统： 2、建立正则方程： 由：
二、反对称载荷内力特点：
•对称面上对称内力为零。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
MA
5）求作弯矩图：
MC
题14.2 计算图所示桁架各杆的内力。设各杆的材料相同，横截面 积相同。 解: 为一次超静定结构。 1）确定相当系统： 2）建立正则方程：
11 X1 1F 0
3）确定系数和常数：
FNi F Nili 2(1 2) Fa 1F EAi EA F Ni F Nili 4(1 2)a 11 EAi EA
12
l
M 1 M 2 dx EI M M 1dx EI
1F
l
12 21; 13 31; 32 23
4、求未知力： 二、n次超静定结构的正则方程
1n X n 1F 0 2n X n 2 F 0 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nF 0 ij ji (i, j 1, 2,3 n)
二、对称载荷内力特点：
•对称面上反对称内力为零。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 F 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 F 0
三、基本静定系
•解除超静定结构多余约束 后得到的静定结构。 四、相当系统
•载荷和多余约束力作用下的 基本静定系称为相当系统。
§14—2 用力法解超静定结构 一、方法和步骤 1、确定相当系统： 2、建立正则方程： 由：
材料力学第十四章-超静定结构
材料力学第十四章-超静 定结构
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。
第十四章 超静定结构
则：
Mi Mi ii dx EI l
ij
l
Mi M j EI
dx
i F
Mi M F dx EI l
[例5] 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。 解：①刚架有两个多余约束。 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力。 ③建立力法正则方程 q B q B
2 3
a
C
a
D
X1
B
a
A
q a
D
Δ1F
1 qa3 qa 4 a EI 2 2 EI
1
a
C
a A
由δ11 X 1 Δ1F
FBX
FAX 0, FAY
3qa 0 得 X1 8
a
2
qa 2 2
3qa 0, FBY 8
11qa 8 qa , M A 8 逆
三、超静定次数
结构的多余约束的数目。 判断超静定次数的另一方法：
一次超静定 三次超静定
解除几个约束后结构成为静定，就是称为几次超静定。 解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固
定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个刚性连接相 当于解除三个约束。
四、超静定分类
1、外力超静定； 2、内力超静定； 3、既有内力超静定，又有外力超静定。
4a 3 a3 qa4 X 1 X 2 0 3EI 2 EI 6 EI a3 a3 qa4 X 1 X 2 0 2 EI 3EI 8 EI
⑥求其它支反力 q 由平衡方程得其它支反力， 4 全部表示于图中。 qa 7
A
3 qa 7
B 3 qa 2 28 1 qa 28
1 qa 28
Mi Mi ii dx EI l
ij
l
Mi M j EI
dx
i F
Mi M F dx EI l
[例5] 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。 解：①刚架有两个多余约束。 ②选取静定基，去除多余约束， 代以多余约束反力。 ③建立力法正则方程 q B q B
2 3
a
C
a
D
X1
B
a
A
q a
D
Δ1F
1 qa3 qa 4 a EI 2 2 EI
1
a
C
a A
由δ11 X 1 Δ1F
FBX
FAX 0, FAY
3qa 0 得 X1 8
a
2
qa 2 2
3qa 0, FBY 8
11qa 8 qa , M A 8 逆
三、超静定次数
结构的多余约束的数目。 判断超静定次数的另一方法：
一次超静定 三次超静定
解除几个约束后结构成为静定，就是称为几次超静定。 解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固
定铰或中间铰相当于解除两个约束，解除一个刚性连接相 当于解除三个约束。
四、超静定分类
1、外力超静定； 2、内力超静定； 3、既有内力超静定，又有外力超静定。
4a 3 a3 qa4 X 1 X 2 0 3EI 2 EI 6 EI a3 a3 qa4 X 1 X 2 0 2 EI 3EI 8 EI
⑥求其它支反力 q 由平衡方程得其它支反力， 4 全部表示于图中。 qa 7
A
3 qa 7
B 3 qa 2 28 1 qa 28
1 qa 28
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例题1 如图所示，梁EI为常数，试求支座反力。 q
A l B
（1）去掉多余约束代之 约束反力，得基本静定系 定基） 把 B 支座作为多余约束
q
A B
AB 悬臂梁为基本静定系 X1 为多余反力
X1
q
A l B A
q
B
X1
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件 变形协调条件： B点的 挠度 向的位移。
二、静不定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的, 可称为外力静不定系统; 第二类:仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的， 可称为内力静不定系统; 第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,，即支反力和内 力是静不定的，也称联合静不定结构.
' δ1 δ'3
位移互等定理（reciprocal work theorem）： F1等于 F3时，F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等 于F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A )
代入 Δ1 X 1 Δ1 F 0
l3 ql 4 X1 0 3 EI 8 EI
解得
3 X 1 ql 8
二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method)
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
11 X 1 Δ1F 0
A
1 （4） 用莫尔定理求 11
1
M ( x) x
M ( x) x
l3 1 l x xdx 11 EI 0 3 EI
q
A l B A
q
B
X1
Δ1F
ql 4 1 l qx 2 ( ) xdx 0 EI 2 8 EI
l3 1 l x xdx 11 EI 0 3 EI
一、力法的求解过程（Basic procedure for force method）
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3···代替 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相 当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
l x x l/2 C B x l/2 C
注意（Notice）
（1）力和位移都应理解为广义的. （2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由 变形引起的位移.
例题2 刚架的两杆抗弯刚度都是EI，解此刚架.
l B l/2 C
F
D A
l/2
l B l/2 C l/2 D A l/2 C
l B
F
l/2
F
D A
X1 解:取固定端处的反力偶为多余约束。 变形协调条件是：A点的转角等于零。
位移互等定理（Reciprocal displacement theorem)
若第一组力 F1,第二组力只有 F3,则
' F1δ1 F3 δ'3 ' ' δ δ 如果 F1= F3,（是数值相等，量纲不一定相同）则有 1 3
注意：上式中两个位移可以有不同的量纲，上式只表达了两个位 移的数值相等。
Δ1 X 1 Δ1 F 0
1X1表示由于X1单独作用在静定基上时，X1作用 点B沿X1方 1F表示荷载 F (广义力，这里是均布荷载q)单独作用在静定
基上时，X1作用 点B沿X1方向的位移。
q
A l B A
q
B
X1
移.
若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位 由于X1作用，B点的沿X1方向位移是11的X1倍。
n1 X 1 n2 X 2 nn X n ΔnF 0
由位移互等定理知:
ij ji
回忆：
' ' F1δ1 F2 δ'2 F3 δ'3 F4 δ4
功的互等定理（reciprocal work theorem）:第一组力在第二 组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位 移上所作的功。 注意：两组力最终同时、共同作用在杆件上。
12
A
B2 B
F B3 1
B
11
A
1
A
13
Δ1 X 1 Δ1 X 2 Δ1 X 3 Δ1 F 0 Δ1 X 1 11 X 1 Δ1 X 2 12 X 2 Δ1 X 3 13 X 3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1F 0
第十四章 超静定结构
主讲：韩玉林 东南大学 工程力学系
第十四章 超静定结构(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述(Instruction about statically indeterminate structure) §14-2 用力法解静不定结构(Solving statically indeterminate structure by force method) §14-3 对称及反对称性质的应用 (Application about symmetrical and antisymmetrical properties )
ij ji
( i , j 1,2,3)
31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3 F 0 三次超静定系统的正则方程
正则方程的推广:
11 X 1 12 X 2 1n X n Δ1F 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n Δ2 F 0
四、超静定次数的判定 （Determine the degree of statically indeterminacy）
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数，二者的 差即为结构的超静定次数； （2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍 的节点数。
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;
1F —在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿X1方
向的位移;
对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下： F
B
F
B
X3
X1
X2
A A
这是三次超静定问题
判断下列结构属于哪类超静
（a ）
外力超静定
（ b）
内力超静定
（c ）
混合超静定
（ d）
外力超静定
（e ）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering） 在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
1 1/l
1 M ( x) x l M ( x ) 1
1 M ( x) x l M ( x ) 1
l x C D l/2 x A B l/2 C D l/2 x A
l x B
l/2
1/l
1/l
1 1/l
1 1/l
l 1 l x 2 11 [ ( ) dx (1)2 dx ] 0 EI 0 l
§14-1 超静定结构概述 （Instruction about Statically indeterminate structure）
一、静不定结构（Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称 为静不定结构或系统（statically indeterminate structure）,也称 为超静定结构或系统. 在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数 为结构的静不定次数（degree of statically indeterminate）.
如何得到变形 协调方程？如何得到变形 如何得到 协调方程？如何得到
普遍形式的莫尔定理 （General formula for mohr’s theorem）
FN ( x )FN ( x ) M ( x)M ( x) T ( x )T ( x ) Δ dx dx dx l l l GI p EI EA
五、分析方法（Analytical method）
1.力法（Force method）:以未知力为基本未知量的求解方 法; 2.位移法（Displacement method）:以未知位移为基本未知 量的求解方法.
§14-2 用力法解静不定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method）
注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相 对应的广义力.
使用莫尔定理的注意事项
（1）M（x）：结构在原载荷下的内力; （2） M ——去掉主动力，在所求 广义位移点，沿所求广 义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力; （3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲; （4）M（x） 与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可 自由建立; （5）莫尔积分必须遍及整个结构。 （6）如果施加的是一对大小相同，方向相反，作用线重合 的单位力，最终得到的就是两个单位力的作用点的相对位移。