(2016-2018)三年高考数学(理)真题分类解析：专题09-三角恒等变换与求值
高考全国3卷理科数学(2016-2018共3套真题)及答案
高考全国3卷理科数学真题2016-2018年共3套2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国3卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．11．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为AB ．2C D12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项版解析专题1 集合解析版
三年高考（2016-2018）数学（理）专题01 集合考纲解读明方向1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B= A. {0，1} B. {–1，0，1} C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】，因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B.C. D.【答案】B点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2018年全国卷Ⅲ理】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。
4．【2018年理数全国卷II】已知集合，，，，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】.，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.5．【2018年理数天津卷】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理1】1}，则（）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5【答案】C【考点】 交集运算，元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性.3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则AB =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3}（C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<-，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1( 【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，， ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解. 2016年高考全景展示1.【2016课标1,理1】设集合2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ） （A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U[3,+∞）【答案】D【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．3.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C【解析】 试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞（-1，+），选C. 考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.5.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=-R R Q x x P Q 痧．故选B ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．6.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.考点：集合交集.【名师点睛】1．首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}|)y=，)},(yx=三者是不同的．yf{(xyf{x|(yfx=，)}|{x(2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．7.【2016年四川理数】设集合{|22}=-≤≤，Z为整数集，则A ZA x x中元素的个数是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z=--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.8．【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},，则A B===-∈A B y y x x A=（）（A）{1}（B）{4}（C）{1,3}（D）{1,4}【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B{1,4}.B==选D.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.9.【2016江苏卷】已知集合则____________.【答案】{}1,2-【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B。
三角恒等变换(试题部分)
4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2021浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质★★★2021浙江,10,6分三角恒等变换分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.答案 √3考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6-α)=-√23,那么cos 2α+√3sin 2α=( )A.109B.-109C.-59D.59答案 A3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6)-sin α=4√35,那么sin (α+11π6)= .答案 -454.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2)+a 的最大值为√22.(1)求实数a 的值;(2)假设f (α+π4)+f (α-π4)=√23,求√2sin (2α-π4)+11+tanα的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sin x 2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4)=1, f(x)取得最大值为√22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)√2sin (2α-π4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα=2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2αcosα+sinαcosα=2sin αcos α①,由(1)知f(x)=√22sin (x -π4),那么f (α+π4)=√22sin α, f (α-π4)=-√22cos α,结合条件,可知sin α-cos α=23, 又因为sin 2α+cos 2α=1,所以2sin αcos α=59②,由①②得√2sin (2α-π4)+11+tanα=59.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.tan α=2 018tan π2 018,那么sin (α+2 017π2 018)sin (α+π2 018)=( )A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案 C2.化简(sin θ2-cos θ2)√2+2cosθ(0<θ<π)= .答案 -cos θ3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4)=1.(1)求m 的值;(2)假设x ∈[0,π4],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f (π4)=cos π4(msin π4+cos π4)=√22(√22m +√22)=1⇒m=1.(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4],所以2x+π4∈[π4,3π4],因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4.当2x+π4=π2时, f(x)max =√2+12,此时x=π8.方法2 三角函数式的求值方法1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .答案 -725;-2112.(2021安徽江南十校联考改编,14)sinα·cosα1+3cos 2α=14,且tan(α+β)=13,其中β∈(0,π),那么β的值为 .答案3π43.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,π2)且tan 2α=43,那么tan (α+π4)tan (α-π4)的值等于 .答案 -9方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域;(2)设α∈(0,π),f (α2)=12-√3,求cos α的值.解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2x2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3)-√3,∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3], ∴sin (2x +π3)∈[-√32,1],∴f(x)∈[-2√3,2-√3].(2)∵f(α2)=2sin(α+π3)-√3=12-√3,∴sin(α+π3)=14.又∵α∈(0,π),∴α+π3∈(π3,4π3),∴α+π3必在第二象限,∴cos(α+π3)=-√154,∴cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-√154×12+14×√32=√3-√158.2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1.(1)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,即2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z,∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)∵x∈[-π4,π4],∴2x+π3∈[-π6,5π6],∴sin(2x+π3)∈[-12,1],∴f(x)∈[0,3].3.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(√32sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).(1)求函数f(x)图象的对称轴;(2)当x∈(0,π2)时,求f(x)的值域.解析此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π6)+4(x∈R).由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.(2)因为x∈(0,π2),所以2x+π6∈(π6,7π6),所以sin(2x+π6)∈(-12,1],可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A=,b=.答案√2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sinα=13,那么cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(π4-α)=35,那么sin2α=()A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2021江苏,13,5分)tanαtan (α+π4)=-23,那么sin (2α+π4)的值是 .答案√2104.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,π2),tan α=2,那么cos (α-π4)= .答案3√1010考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=43,那么sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79答案 A2.(2021四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√22C 组 教师专用题组考点一 两角和与差的三角函数1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12 D.12答案 D2.(2021重庆,9,5分)假设tanα=2tanπ5,那么cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2021江苏,5,5分)假设tan(α-π4)=16,那么tanα=.答案754.(2021江苏,8,5分)tanα=-2,tan(α+β)=17,那么tanβ的值为. 答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2021山东文,4,5分)cos x=34,那么cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案√623.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共12分)1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π6-α)=23,那么cos(5π3+2α)的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,那么△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,sinAsinB +cos C=0,tan A=√24,那么tan B=()A.√2B.2√2C.√23D.√22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,那么f(5π6)=,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是.答案0;[2kπ-7π6,2kπ+π6](k∈Z)5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R,那么f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案π;[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)三、解答题(共90分)6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.所以最小正周期T=2π2=π.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-12,所以g(t)=t(1−t2-12)=t·3−t22=3t-t32,g'(t)=3−3t22,即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;(2)假设f(x0)=6√35,且x0∈(23,143),求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3).由题意得T=8,所以ω=2π8=π4 ,所以f(x)=2√3sin(πx4+π3).令-π2+2kπ≤πx4+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-103+8k≤x≤23+8k,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[-103+8k,23+8k],k∈Z.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx04+π3)=6√35,即sin(πx04+π3)=35,因为x0∈(23,14 3),所以πx04+π3∈(π2,3π2),所以cos(πx04+π3)=-45.所以f(x0+1)=2√3sin(πx04+π4+π3)=2√3[sin(πx04+π3)cosπ4+cos(πx04+π3)sinπ4]=2√3×(35×√22-45×√22)=-√65.8.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π2).(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)假设f(x0)=-110,x0∈(π12,π3),求cos2x0的值.解析(1)f(x)=-sin(2x-π6)+12.易知当sin(2x-π6)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π6=-π2+2kπ,k∈Z,故x=-π6+kπ,k∈Z,所以当x=-π6+kπ,k∈Z时,f(x)max=32.(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π6)+12=-110,所以sin(2x0-π6)=35.因为x0∈(π12,π3 ),所以2x0-π6∈(0,π2),故cos(2x0-π6)=45.所以cos2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=4√3-310.9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,假设f(C)=12,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x=-2sin(2x+π6),∴f(x)的振幅为2.令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),那么π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)∵sin 2C+2sin 2A=1,∴sin 2C=1-2sin 2A=cos 2A=sin (π2+2A),∴2C=π2+2A 或2C+2A+π2=π,所以C-A=π4或C+A=π4.∵C 为锐角,∴2C+π6∈(π6,7π6),∵f(C)=12, ∴-2sin (2C +π6)=12,∴sin (2C +π6)=-14,∴2C+π6∈(π,7π6), ∴C ∈(5π12,π2), ∴C-A=π4,此时cos (2C +π6)=-√154,∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2)=sin 2C=sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6=-14×√32-(-√154)×12=√15-√38.10.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π2)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3]上的值域;(2)假设f(α)=2√55,且α∈[π6,π2],求cos 2α的值.解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6),∵T=2π2ω=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6),∵x ∈[0,π3],∴2x+π6∈[π6,5π6],∴sin(2x+π6)∈[12,1],∴f(x)∈[1,2].(2)易知f(α)=2sin(2α+π6)=2√55⇒sin(2α+π6)=√55,∵α∈[π6,π2],∴2α+π6∈[π2,7π6],∴cos(2α+π6)=-2√55,∴cos2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=√5-2√1510.11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x.(1)求f(π3)的值;(2)假设f(α2)=1310,α∈(0,π3),求cosα的值.解析此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=1+cos2x2+√32sin2x=12+sin(2x+π6),所以f(π3)=12+sin(2π3+π6)=12+sin5π6=12+12=1.(2)由f(α2)=1310,α∈(0,π3),得sin(α+π6)=45,cos(α+π6)=35,所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)·sinπ6=3√3+410.。
【K12教育学习资料】三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值文含
专题09 三角恒等变换与求值 文考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．5．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3. 【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】试题分析：由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，先求23x π+的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7【答案】B 【解析】考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值. 2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．1． 【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．5.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解． 6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可.中小学资料考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．学习永无止境。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题10-三角函数图象与性质
专题10三角函数图象与性质考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。
2017年高考全景展示1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】试题分析：因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位得到，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】试题分析：函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数的对称轴为，即：，取可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取可得f(x+π)的一个零点为x=，选项C正确；当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误；故选D.【考点】函数的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.4.【2017山东，理16】设函数，其中.已知. （Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．2.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )（A）11 （B）9 （C）7 （D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线对称,则或.3.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．4.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．5.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x–sin x）的最小正周期是（）（A）（B）π （C）（D）2π【答案】B【解析】试题分析：,故最小正周期,故选B.考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.7.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．。
2016-2018三年高考全国卷理科数学试题及答案
2016-2018全国卷语文2018/2017/2016全国I卷2018/2017/2016全国II卷2018/2017/2016全国III卷2018高考理数（全国卷Ⅰ）1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.43AB －41ACB. 41AB －43ACC. 43AB ＋41ACD. 41AB ＋43AC7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【小初高学习】三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值文含解析58
专题09 三角恒等变换与求值 文考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．5．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3. 【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】试题分析：由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，先求23x π+的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7【答案】B 【解析】考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值. 2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．1． 【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．5.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解． 6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可.小初高教育考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．K12资源。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：三角恒等变换与求值
三角恒等变换与求值考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题. 分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 2．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是。
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专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题. 分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 2．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是。
【答案】1【考点】三角变换，复合型二次函数的最值。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。
一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。
2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，这样.【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则，若与关于轴对称，则，若与关于原点对称，则.3.【2017江苏，5】若则 .【答案】【解析】．故答案为．【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.4.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sin x cos x（x R）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由，，得（Ⅱ）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得解得所以的单调递增区间是．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．2.【2015高考新课标1，理2】=( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】原式===，故选D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】由已知，＝，选C. 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年新课标I 卷文】已知函数，则A. 的最小正周期为π，最大值为3B. 的最小正周期为π，最大值为4C.的最小正周期为，最大值为3 D.的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.2017年高考全景展示1.【2017课标II，文13】函数的最大值为. 【答案】【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.2.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，故选C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间;3.【2017天津，文7】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】试题分析：因为条件给出周期大于，，，再根据，因为，所以当时，成立，故选A.【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B 选项错误；，不合题意，C 选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D 选项错误.本题选择A 选项. 4.【2017山东，文7】函数最小正周期为A. B. C. D.【答案】C 【解析】【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|2π,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|π.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.5.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x R ）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由图知，，周期，所以，所以，因为图象过点，所以，所以，所以，令得，，所以，故选A.考点：三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．2.【2016高考天津文数】已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 3.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +4π) （B ）y =2sin(2x +3π) （C ）y =2sin(2x –4π) （D ）y =2sin(2x –3π) 【答案】D 【解析】试题分析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为,故选D.考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数. 4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】【解析】考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．5.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设.（I）求得单调递增区间；（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（）的单调递增区间是（或）（）【解析】试题分析：（）化简得由即得写出的单调递增区间（）由平移后得进一步可得（）由（）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。