2019年高考文科数学题型秘籍【15】导数的综合应用(原卷版)

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2019年高考数学(文)真题及模拟题分项汇编：导数及其应用.docx

2019年高考数学(文)真题及模拟题分项汇编：导数及其应用1. [2019年高考全国II 卷文数】曲线y=2sinx+cosx 在点(兀，T)处的切线方程为A. x — y — 7C — 1= 0B. 2x — y — 2兀一1 = 0C. 2x+_y-2rt + l = 0D. x+ y-n + 1 = 0【答案】C【解析】 / = 2cosx-sinx, :,y'\x=K =2cos7i-sin7r = -2,贝ij y = 2sinx + cosx 在点(n,-l)处的切线方程为 y-(-l) = 一2(x -冗)，即 2x+y-2jt + l=0 . 故选C.【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养•采取导数法，利用函数与方程思想解题.学生易在非切点处直接求导数而岀错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程.2.【2019年高考全国III 卷文数】已知曲线y = ae' + xln 在点（1, ae ）处的切线方程为y=2x+b,则A. a = e, b — —iB. a=e, b=\C. a — e _\ b = 1D. a — e 1 > b = —1【答案】D【解析】T y'= ae"+lnx+l,切线的斜率 k = y' |x=1 = ae+1 = 2,a = e"，将（1,1）代入y = 2x + b ,得2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题型.3. [2019年高考浙江】已知a,beR ,函数/(%)= <恰有3个零点，则B. a<-l, b>01 3 1 ,—.X — （a + l ）x + ax, x > 0 13 2【答案】C【解析】当x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - tz) x - b=0,得x= 丿丿l-a则y=f (x) - ax-b最多有一个零点；当空0 时，y=f (%) - or - b= V-| (a+1) ^+ax - ax-b= |x3- j («+l) ? - b,/ = x2一(a + l)_x,当a+lVO,即a《-l 时，y>0, y=f (x) - ax - b在［0, +oo)上单调递增，则y=/(X)- ax - b最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即a>-l时，令#>0得xW(a+l, +8),此时函数单调递增，令#<0得用［0, a+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y—f (x) - ax - b恰有3个零点o函数y^f (x) - ax- b在(-8, 0)上有一个零点, 在［0, +oo)上有2个零点，如图：b—b>0— <0 且右 1 ,i_a - (a + I)3 - - (a + l)(a + l)2- b<0>3 2解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C.【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应甩当x<0时，y=/(x) - ax - b=x - ax - b= (1 - tz) x -b最多有一个零点；当总0时，y=/(x) - ax -b- |-x3-|(a+1)x2 - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4. [2019年高考全国I卷文数】曲线y = 3(x2+%)e x在点(0,0)处的切线方程为 __________________【答案】3x-y = 0【解析】y' = 3(2%+l)e T + 3(x2 + x)e-' = 3(x2 +3x+l)e x,所以切线的斜率k = y'\x=0=3,则曲线y = 3(x2+%)e T在点(0,0)处的切线方程为y = 即3x-y = 0.【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.Y5. [2019年高考天津文数】曲线y = cosx--在点(0,1)处的切线方程为 _______________ .【答案】x + 2y — 2 = 0【解析】°.° 丁‘= —sinx —3 ,/. /|v_o=-sinO-- = -~ ,-'"0 2 2故所求的切线方程为y _] = _3尢，即x + 2y — 2 = 0.【名师点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(助，/Uo))为切点的切线方程的求解步骤:①求出函数7U)的导数于(X)；②求切线的斜率才(勿)；③写出切线方程y—Axo)=/(xo)(x—Xo),并化简.y0 = f(x0)(2)如果已知点(xi, %)不在曲线上，则设出切点仇，为)，解方程组]开一％—0进而确定切线方程.46. [2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOv中，P是曲线y = x + —(x>0)上的一个动点，则点P到直x线x + y = 0的距离的最小值是▲.【答案】44 4【解析】由y = x-\—(x> 0),得y' = l—兀，x x4 4设斜率为一1的直线与曲线y = x + —（无＞0）切于（x0,x0+—）, 为) ,兀兀0由 1 2 = — 1 得兀0 =（ x 0 = —A /2 舍去）,兀0曲线J = x + -（x ＞0）±，点P （血,3血）到直线x + y = 0的距离最小，最小值为If+ 3血l =d. 尢Vl 2+12【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.7. [2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e, -l ）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_A 【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点 A （x 0,y 0）,则％ =ln 忑.又 y'=~,X当 x = x 0 时，y' = —则曲线严贬在点人处的切线为r 冷（7）,将点（-e,-1）代入，得-l-lnx 0 = ------------ 1,即 x o lnx o = e,考察函数H （x ） = xlnx, 当 x e （0,1）时，H （x ）＜0 ,当时，H （x ）＞0,即 y-lnx 0且 H'(x) = lnx+1,当x 〉l 时，H'(x)>O,H(x)单调递增, 注意到H (e) = e ,故x o lnx o =e 存在唯一的实数根兀。

专题04 导数及其应用(解答题)

专题04 导数及其应用（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3．【2019年高考天津文数】设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R .（Ⅰ）若a ≤0，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若10ea <<，（i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,)+∞内单调递增.；（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xf ax x a a x x x-⎡⎤=-+-=⎣'⎦. 因此当a ≤0时，21e 0x ax ->，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）知21e ()xax f x x-'=.令2()1e x g x ax =-，由10e a <<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)1e 0g a =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011l n x a<<.当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在()0,x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-.从而ln 1111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '=⎧⎪⎨=⎪⎩即()012011e 1,ln e ,1x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得1020ln e ln x x x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力. 4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =．若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27．【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5．【2019年高考北京文数】已知函数321()4f x x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+．令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-．令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 的情况如下：x2-(2,0)-8(0,)3 838(,4)34()g'x+-+()g x6-6427-所以()g x 的最小值为6-，最大值为0．故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->；当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>；当3a =-时，()3M a =．综上，当()M a 最小时，3a =-．【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x ++>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有(),2x f x a ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）20,4⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>． 31(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-+=++，所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得204a <≤．当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于2212ln 0x xx a a+--≥．令1t a=，则22t ≥．设2()212ln ,22g t t x t x x t =-+-≥，则211()(1)2ln xg t x t x x x+=-+--．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1122x+≤，则 ()(22)84212ln g t g x x x ≥=-+-．记1()4221ln ,7p x x x x x =-+-≥，则 2212121()11x x x x p'x x x x x x +--+=--=++(1)[1(221)]1(1)(12)x x x x x x x x -++-=++++.故x171(,1)71(1,)+∞()p'x-0 +()p x1()7p 单调递减极小值(1)p单调递增所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()(22)2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln (1)()12x x x g t g x x ⎛⎫--++= ⎪ ⎪⎝⎭…．令211()2ln (1),,e 7q x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦ ，则ln 2()10x q'x x+=+>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭…．由（i ）得，127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此1()()102q x g t g x x⎛⎫+=-> ⎪ ⎪⎝⎭…．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a …．综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛⎤⎥ ⎝⎦．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．7．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数21()exax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．【答案】（1）210x y --=；（2）见解析.【解析】（1）2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1ex g x x x +=+-+，则1()21ex g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当1a ≥时，21()e (1e)e x x f x x x +-+≥+-+，令21()1e x g x x x +=+-+，求出()g x 的最小值即可证明.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】（1）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减；（2）见解析.【解析】（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =323-或x =323+．当x ∈（–∞，323-）∪（323+，+∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（323-，323+）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<， f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【名师点睛】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.11．【2018年高考北京文数】设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12a =；（Ⅱ）(1,)+∞. 【解析】（Ⅰ）因为2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++，所以2()[(1)1]e xf x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-，由题设知(2)0f '=，即2(21)e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e (1)(1)e xxf x ax a x ax x '=-++=--. 若a >1，则当1(,1)x a∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞.方法二：()(1)(1)e xf x ax x '=--.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞1 (1,)+∞()f x ' + 0 − ()f x↗极大值↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. （2）当a >0时，令()0f x '=得121,1ax x ==. ①当12x x =，即a =1时，2()(1)e 0xf x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞1 1(1,)a1a1(,)a+∞ ()f x '+ 0 − 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a-∞1a1(,1)a1(1,)+∞()f x ' + 0 − 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意. （3）当a <0时，令()0f x '=得121,1ax x ==. (),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a-∞1a1(,1)a1(1,)+∞()f x '− 0 + 0 − ()f x↘极小值↗极大值↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞.【名师点睛】导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数的单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值、最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值、最值问题时常会涉及分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.12．【2018年高考天津文数】设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列．（I ）若20,1,t d ==求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x =与直线2()63y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围．【答案】（I ）x +y =0；（II ）函数f (x )的极大值为63；函数f (x )的极小值为−63；（III ）d 的取值范围为(,10)(10,)-∞-+∞.【解析】（Ⅰ）解：由已知，可得f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ，故()f x '=3x 2−1，因此f (0)=0，(0)f '=−1，又因为曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y −f (0)=(0)f '(x −0)，故所求切线方程为x +y =0．（Ⅱ）解：由已知可得f (x )=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3)=(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 23+9t 2．故()f x '=3x 2−6t 2x +3t 22−9．令()f x '=0，解得x =t 2−3，或x =t 2+3．当x 变化时，()f x '，f (x )的变化如下表：x(−∞，t 2−3)t 2−3 (t 2−3，t 2+3)t 2+3 (t 2+3，+∞)()f x '+ 0 − 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数f (x )的极大值为f (t 2−3)=(−3)3−9×(−3)=63；函数f (x )的极小值为f (t 2+3)=(3)3− 9×(3)=−63．（Ⅲ）解：曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x −t 2+d )(x −t 2)(x −t 2 −d )+(x −t 2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u =x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u +63=0．设函数g (x )=x 3+(1−d 2)x +63，则曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点．()g'x =3x 3+(1−d 2)．当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g x 在R 上单调递增，不合题意．当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=213d --，x 2=213d -．易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增． g (x )的极大值g (x 1)=g (213d --)=32223(1)639d -+>0． g (x )的极小值g (x 2)=g (213d -)=−32223(1)639d -+．若g (x 2)≥0，由g (x )的单调性可知函数y =g (x )至多有两个零点，不合题意．若2()0,g x <即322(1)27d ->，也就是||10d >，此时2||d x >，(||)||630,g d d =+>且312||,(2||)6||2||636210630d x g d d d -<-=--+<-+<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意．所以，d 的取值范围是(,10)(10,)-∞-+∞．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 13．【2018年高考浙江】已知函数f (x )=x −ln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）函数f （x ）的导函数11()2f x xx '=-，由12()()f x f x ''=得1212111122x x x x -=-，因为12x x ≠，所以121112x x +=．由基本不等式得4121212122x x x x x x =+≥．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得12112212121()()ln ln ln()2f x f x x x x x x x x x +=-+-=-．设1()ln 2g x x x =-，则1()(4)4g x x x'=-，所以x（0，16）16 （16，+∞）()g x ' −0 +()g x2−4ln2所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <1()a n k nn --≤||1()a n k n +-<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点．由f （x ）=kx +a 得ln x x a k x--=．设l (n )x ah xx x --=，则22ln )1)((12xx ag x x x a x h '=--+--+=，其中2(n )l xg x x -=．由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根．综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点．【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.14．【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[14，1]；（2）当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2]时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1]．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[14，1]．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2 ]．设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2]，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．令()=0f θ'，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()0f θ'>，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()0f θ'<，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.15．【2018年高考江苏】记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f xg x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）e2；（3）见解析. 【解析】（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-'=-=′，．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a =时，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )xx x x f x a a a a '=--=+-，①若0a =，则2()e xf x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.【答案】（1）在(,12)-∞--和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增；（2）[1,)+∞. 【解析】（1）2()(12)e xf x x x '=--.令()0f x '=得121+2x x =--=-，.当(,12)x ∈-∞--时，()0f x '<；当(12,12)x ∈---+时，()0f x '>；当(12,)x ∈-++∞时，()0f x '<.所以()f x 在(,12)-∞--和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增.（2）()(1+)(1)e x f x x x =-.当a ≥1时，设函数h (x )=（1−x ）e x ，h ′(x )= −x e x＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1，故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1.当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x −x −1，g ′（x ）=e x−1＞0（x ＞0），所以g （x ）在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x≥x +1.当0＜x ＜1时，2()(1)(1)f x x x >-+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取05412a x --=，则2000000(0,1),(1)(1)10,()1x x x ax f x ax ∈-+--=>+故.当0a ≤时，取051,2x -=则0(0,1),x ∈20000()(1)(1)11f x x x ax >-+=>+. 综上，a 的取值范围是[1，+∞）.【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．【答案】（1）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，)(x f 在)21,0(a-单调递增，在),21(+∞-a单调递减；（2）详见解析【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+），()()1211()221x a x f x a x a x x++'=+++=.若0a ≥，则当(0)x ∈+∞，时，()0f x '>，故()f x 在（0，+）单调递增. 若0a <，则当1(0,)2x a ∈-时，()0f x '>；当1()2x a ∈-+∞，时，()0f x '<.故()f x 在1(0,)2a-单调递增，在1()2a-+∞，单调递减. （2）由（1）知，当0a <时，()f x 在12x a=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x '=-.当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当x ∈（1，+）时，()0g x '<.所以()g x 在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时()g x 取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，()0g x ≤.从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a≤--. 【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19．【2017年高考浙江】已知函数f (x )=（x –21x -）e x -（12x ≥）．（1）求f (x )的导函数；（2）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围．【答案】（1）(1)(212)e 1()()221x x x f x x x ----'=>-；（2）121[0,e ]2-．【解析】（1）因为1(21)121x x 'x --=--，(e )e x x'--=-，所以1()(1)e (21)e 21x xf x x x x --'=-----(1)(212)e 1()221x x x x x ----=>-．（2）由(1)(212)e ()021x x x f x x ----'==-，解得1x =或52x =．因为x12（12，1） 1 （1，52） 52（52，+∞） ()f x '–0 +–f （x ）121e 2-521e 2-又21()(211)e 02x f x x -=--≥，所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,e ]2-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f'x ，由()f'x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．20．【2017年高考北京文数】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）1y =；（Ⅱ）最大值为1；最小值为π2-. 【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-.当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '=，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 21．【2017年高考天津文数】设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）[7],1-．【解析】（Ⅰ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-．当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：x (,)a -∞ (),4a a - (4,)a -+∞()f 'x+-+()f x所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（Ⅱ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩．所以，()f x 在0x x =处的导数等于0．（ii ）因为()e xg x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤．又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（Ⅰ）知0x a =．另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，由（Ⅰ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立．由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤．令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-，令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =．因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-．所以，b 的取值范围是[7],1-．【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求b 的取值范围的关键是得出0x a =，然后构造函数进行求解．22．【2017年高考山东文数】已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=,（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x '=-，所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---，()()sin x x a x a x =--- ()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--. 综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．23．【2017年高考江苏】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()'f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23>b a ；（3）若()f x ，()'f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。

考点14 利用导数解决综合问题-2019版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（3）会利用导数解决某些实际问题。

【命题规律】导数综合问题是高考中的难点所在，题型变化较多，尤其是利用导数证明不等式等相关知识.熟练掌握利用导数这一工具，将试题进行分解，逐一突破，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题，这也是2018年考试的热点问题.【典型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例1.【2015全国2卷（理）】设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【变式1】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求最值】【2017河南郑州三质检】设函数满足，，则时，的最小值为（）A. B. C. D.【变式2】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2018江西南昌二轮复习测试】已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（）A．B．C．D．【变式3】【改编例题条件，利用构造函数思想比较大小】【2018河北石家庄二模】已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且(为函数的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是( )A ．B ．C ．D ．【变式4】【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知对任意实数1k >，关于x 的不等式()2x xk x a e->在()0,+∞上恒成立，则a 的最大整数值为( ) A. 0 B. 1- C. 2- D. 3- （二）方程解（函数零点）的个数问题例2.【2015全国1卷（理）】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．【变式1】【改编例题的条件，依据函数零点个数求参数的取值】【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试】已知函数（）.（1）若，证明：函数有且只有一个零点；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2015天津卷（理）】已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【变式3】【改编例题的条件和结论，函数零点与充要条件综合】【2016北京卷（文）】设函数()32.f x x ax bx c =+++（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（Ⅲ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. （三）函数中的隐零点问题例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【变式1】【改编例题的条件，根据零点个数不同，确定参数取值范围】【2018山西孝义高三入学摸底考试】已知函数()()21f x a x b =-+.（1）讨论函数()()xg x e f x =-在区间[]0,1上的单调性；（2）已知函数()12x x h x e xf ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围. （四）极值点偏移问题例4.【2016全国1卷（理）】已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.【变式1】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明参数的大小】【2018广东深圳高三入学摸底考试（文）】已知函数.（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：.【变式2】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明不等式】【2018吉林三调】已知函数()2(0,)xx ax af x x a R e -+-=>∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）设()()()1f x f xg x x '+=-，若函数()g x 在()()0,11,⋃+∞内有两个极值点12,x x ，求证：()()1224·g x g x e <. 【变式3】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明不等式（乘积型）】【2018河北衡水金卷一模】已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.（五）一元函数不等式的证明例4.【2016山东（理）】已知()221()ln ,x f x a x x a x-=-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立. 【变式1】【改编例题的条件，证明不等式】【2018河北石家庄二模】已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.【变式2】【改编例题的条件，证明不等式（不等式右侧是常数）】【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟】已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（II ）证明：.【变式3】【改编例题的条件，证明参数不等式】【2017黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模（文）】已知0a >，函数()2ln f x x ax =-， 0x >．（()f x 的图象连续不断）(1) 求()f x 的单调区间； (2) 当18a =时，证明：存在()02,x ∈+∞，使()032f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (3) 若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln3ln2ln253a -≤≤．（六）多元函数不等式的证明例6 【2018全国1卷理】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【变式1】【改编例题的条件，双元不等式的证明】【2018江苏省南京市溧水高级中学开学考试】已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．(1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (3)设,m n 为正实数，且m n >，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．【变式2】【改编例题的条件，双元不等式的证明（乘积形式）】【2017江西师范大学附属中学（文）】已知函数()()2ln 1,(,2x f x g x ax aex a R e x ==-∈是自然对数的底数). (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若()()()h x f x g x =-,当0a ≥时,求函数()h x 的最大值; (3)若0,m n >>且n m m n =,求证: 2mn e >.【变式3】【改编例题的条件，证明长串不等式】【2018黑龙江仿真模拟五】已知函数.（1）对于，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，求的最大值；（3）求证：.【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理证明不等式问题注意点】解答此类问题，构造合理的函数非常重要，要对具体的条件加以剖析。

精选新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含标准答案)

5 2答案162019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.函数y=xcosx—sinx在下面哪个区间内是增函数（）3 二，、“、3 二 5 二一A（£'万）B（冗，2冗）（C）（―，万）（D）（2n , 3n ）（2004全国2理）（10）x +12.设曲线y=±」在点（3,2）处的切线与直线ax + y+1=0垂直，则a= x -1二、填空题1000 3 3.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm,体积为-------- c m3.则3制作该容器需要铁皮面积为cm2 （衔接部分忽略不计，72取1.414,冗取3.14,结果保留整数）4.点P在曲线y=x3-x+7上移动，设点P处切线的倾斜角为u ,则角口的取值范围是_. ____25.右曲线f（x） = ax +Inx存在垂直于y轴的切线，则头数a的取值氾围是 . 解析6.已知函数f （x） =aln x-x2 ,若对区间（0, 1）内任取两个实数p, q,且pwq,不等式f（p+1）-f（q+1）＞1恒成立, 则实数a的取值范围是.p -q7,曲线C: f（x）=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为8.已知函数f （x）=x3+ax2+（a+6）x+1有三个单调区间，则实数a的取值范围是9.曲线y =2x4上一点到直线y =-x 一1的距离的最小值为 .310.曲线y=x +x+1在点(1, 3)处的切线万程是。

11.对函数f(x)=xsinx,现有下列命题：①函数f(x)是偶函数②函数f(x)的最小正周期是2n③点(兀,0)是函数f(x)的图象的一个对称中学；④函数f(x)在区间［0, 三।上单调递增，在区间1|—二,0 ।上单调递减。

_ 2 _ 2其中是真命题的是(写出所有真命题的序号)。

12.设直线y = -3x +b是曲线y = x3 -3x2的一条切线，则实数b的值是13.若函数f (x) =ax3—x2+ x —5在R上单调递增，则a的范围是 .3 214.已知函数f(x) = x +3ax +3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是___________ . _________三、解答题15.已知函数f(x)=^n^ x⑴求f (x)的单调区间；(2)若关于x的不等式lnx<mx对一切x w la,2a ta > 0)都成立，求m范围；(3)某同学发现：总存在正实数a,b(a <b)使a b =b a,试问：他的判断是否正确；若正确，请写出a的范围；不正确说明理由.16.设函数f (x )=ln x + ln (2 —x )+ax(a >0)。

2019届高考-导数的综合应用全套复习资料-教师解析版(选择、填空)

2019届高考-导数的综合应用全套复习资料-教师解析版（选择、填空）一、选择题1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：设()()xf xg x e =．由()()fx f x '>，得()()()()()()20x xxx f x e f x e f x f x g x ee ''--'==<，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以()()0001f g e ==-．不等式()0x f x e +<等价于()1xf x e<-，即()()0g x g <，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式()0x f x e +<的解集为()0,+∞，故答案为B.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即()()f x f x >'得()()0<-'x f x f ，当是形如()()0<-'x f x f 时构造()()xf xg x e =；当是()()0<+'x f x f 时构造()()xe xf xg ⋅=，在本题中令()()x f x g x e=，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集． 2．设定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()11ln ,xf x f x x x f e e⎛⎫'-==⎪⎝⎭，则()f x （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值【答案】DR ()f x ()f x 'x ()()f x f x >'()1f x +()0xf x e +<(),0-∞()0,+∞1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析： ()()2ln 2x x f x cx =+，由11f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得12c =，()()2ln 122x x f x x =+，()()21'1ln 02f x x =+≥，故()f x 没有极值. 考点：函数导数与极值.【思路点晴】本题是一个逆向思维的题目，由()()ln xf x f x x x '-=，得()'ln f x x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出ln xx 的原函数，得到()()2ln 2x x f x cx =+，由11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭得12c =，从而得到()()2ln 122x x f x x =+，在通过导数判断函数()f x 的单调性即可，类似的，我们还可以将题目的已知条件改为()()ln xf x f x x x '+=，利用同样的方法，也可以求出()f x 的表达式.3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为f '（x ），满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）[来源:学科网]A ．()2,-+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== ∵()()f f x x '<，∴()0g x '<． ∴()g x 在R 上单调递减． ∵函数(2)f x +是偶函数， ∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数图象关于2x =对称， ∴(0)(4)1f f ==，原不等式等价为()1g x <， ∵0(0)(0)1f g e == ∴()1g x <⇔()(0)g x g <，∵()g x 在R 上单调递减， ∴0x >．∴不等式()x f x e <的解集为(0,)+∞.故选B.考点：1. 导数的运算；2函数单调性的性质．【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于难题．利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得0(0)(0)1f g e==，即可得出. 4．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为f '（x ），满足()()f f x x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．()2,-+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：令()()xf xg x e =,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e ''--'== ∵()()f f x x '<，∴()0g x '<． ∴()g x 在R 上单调递减． ∵函数(2)f x +是偶函数， ∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数图象关于2x =对称， ∴(0)(4)1f f ==，原不等式等价为()1g x <， ∵0(0)(0)1f g e== ∴()1g x <⇔()(0)g x g <， ∵()g x 在R 上单调递减， ∴0x >．∴不等式()xf x e <的解集为(0,)+∞.故选B.考点：1. 导数的运算；2函数单调性的性质．【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于难题．利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得0(0)(0)1f g e==，即可得出. 5．函数()x x x f 33-=在区间[]2,1-上的最大值和最小值分别为 A ．2和2- B ．2和0 C ．0和2- D ．1和0 【答案】A 【解析】试题分析：由题：()x x x f 33-=，求导22()33,330,1f x x x x '=--==±，有两个极值，则；(1)2,(1)2,(2)2f f f -==-=．可得最大值和最小值分别为；．2和2- 考点：运用导数求最值．6．已知二次函数()c bx ax x f ++=2的图象开口向下,且顶点在第一象限,则它的导函数()x f y '=的大致图象是【答案】D 【解析】试题分析：由()c bx ax x f ++=2的图象开口向下,且顶点在第一象限，则单调增区间为(,),2b a-∞-单调递减区间为(,),2b a -+∞ 则在区间(,),2ba-∞-上()0f x '>，则在区间(,),2ba-+∞上()0f x '<，对应函数图像为；D 考点：函数的单调性与导数的正负．7．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax '=+-=有两个不相等的实数根，所以()120f x a x ''=-=必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴102a <<．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.8．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（）A.02=-y xB.02=+y xC.0144=+-y xD.0144=++y x【答案】C 【解析】试题分析：幂函数中1m =，代入点)21,41(A 得()()11''221111224a f x x f x x f -⎛⎫=∴=∴=∴= ⎪⎝⎭1k ∴=直线方程为11441024y x x y -=-∴-+= 考点：幂函数及导数的几何意义9．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+，则()0f '等于（） A ．0 B ．-4C ．-2D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()()()'221'1221'12'24'(0)4f x x f f f f f x x f ''=+⇒=+⇒=-⇒=-⇒=-,故选B.考点：函数的导数.【方法点晴】本题考查函数的导数，涉及方程思想、数形结合思想、特殊一般思想、和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型.首先()()()()()()'221'12f x x f f f ''=+⇒=+⇒=-⇒=-⇒=-，方程思想是解决本题的关键.10．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足'()()0xf x f x -≤，对任意正数a ，b ，若a b <，则必有（）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 【答案】A【解析】试题分析：记)(0)()(')(')()(2x F xx f x x f x F x x f x F ⇒≤-=⇒=在(0,)+∞上是减函数⇒()()f b f a b a≤⇒()()af b bf a ≤，故选A. 考点：导数及其应用.11．曲线()(),n f x ax a n R =∈在点()1,2处的切线方程是42y x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是偶函数且有最大值B ．函数()f x 是偶函数且有最小值 C. 函数()f x 是奇函数且有最大值 D ．函数()f x 是奇函数且有最小值【答案】B 【解析】试题分析：()12(1)2'2()2'(1)4n f a f x anxa n f x x f an -==⎧=⇒⇒==⇒=⇒⎨==⎩函数()f x 是偶函数且有最小值，故选B.考点：1、导数的几何意义；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、函数的奇偶性、函数的最值，涉及函数与方程思想、特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.()12(1)2'2()2'(1)4n f a f x anxa n f x x f an -==⎧=⇒⇒==⇒=⇒⎨==⎩函数()f x 是偶函数且有最小值.12．已知函数()53353f x x x x =---+，若()()26f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．()1-∞，B ．()3-∞，C ． ()1+∞，D ．()3+∞，【答案】A 【解析】试题分析： ()53353f x x x x =---+，353)(35+++=-∴x x x x f ，可得6)()(=+-x f x f 对任意的x 均成立，因此不等式()()26f a f a +->，即)()2()(6)2(a f a f a f a f ->-⇒->-，0595)(24'<---=x x x f 恒成立，)(x f ∴是R 上的单调减函数，所以由)()2(a f a f ->-得到a a -<-2，即1<a ，故选：A.考点：利用函数的性质解不等式.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数)(x f 在区间上单调递增，则)()(,,2121x f x f D x x >∈且时，有21x x >，事实上，若21x x ≤,则)()(21x f x f ≤，这与)()(21x f x f >矛盾，类似地，若)(x f 在区间上单调递减，则当)()(,,2121x f x f D x x >∈且时有21x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.13．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【答案】D 【解析】试题分析：A 项,直线为导函数的图象,抛物线为原函数图象,故A 正确；B 项,导函数单调递减,且大于0,原函数单调递增,故B 正确；C 项,导函数单调递增且恒大于0,原函数递增,故C 正确；D 项,若上线为导函数,则导函数恒大于0,原函数应单调递增；若下线为导函数,则导函数恒小于0,原函数应该单调递减,均不符合,故D 错误.综上可知选D. 考点：导函数的几何意义. 14．设R a ∈，若函数R x x ey ax∈+=,3有大于零的极值点，则（）A ．3->aB ．3-<aC ．31->aD ．31-<a 【答案】B【解析】试题分析：()300,ax y ae '=+=+∞在上有解,即3,0,0,001ax ax ax ae e a a e =->∴<<<<又时，,要使3,3ax ae a =-<-则,故选B.考点：函数极值的计算.15．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A BCD ．11e e +-【答案】C【解析】试题分析：由圆的对称性知,只需考虑圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,1e e C 到()x x f ln =图象上一点距离的最小值.设函数()x x f ln =图象上任一点()()()tt f x x f t t P 1,1,ln .='∴=',即经过P 的切线斜率为t1,由切线垂直于直线PC,所以01ln ,110ln 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--t e e t t e e t t 化简得.不妨设()21ln g x x x e x e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()1120,230,2,3g x x e x x g x g x x e ⎛⎫''=+-+><<>∴ ⎪⎝⎭时，在为增函数,又()01ln 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=e e e e e e g ,即当()1,e P 时线段PQ 长度最小,为eee e -+=-+221111,故选C. 考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上任意一点的切线方程,属于中档题.由圆心到圆上任意一点的距离为1,本题转化为圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,1e e C 到函数()x x f ln =上一点距离的最小值,由导数的几何意义,求出切线斜率为t1,由两直线垂直的条件,求出01ln 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t e e t t ,判断函数()x e e x x x g ⎪⎭⎫⎝⎛+-+=1ln 2的单调性,求出零点,再由两点间距离公式求出最小值. 16．已知定义在R上的函数()f x 和()g x 分别满足()()()2221202x f f x e x f x -'=+-，()()20g x g x '+<，则下列不等式成立的是（） A ．()()()220152017f g g < B ．()()()220152017f g g > C ．()()()201522017g f g < D ．()()()201522017g f g > 【答案】D 【解析】试题分析：当0x =，()()'2102f f e -=，()()()''22'2121x f x f e x f e --=+-，令1x =，解得()'212f e =，所以()()2242,2x f x e x x f e =+-=.令()()()()()2'22',20x x x G x e g x G x e g x e g x ==+<，所以()G x 为减函数，()()20152017G G >，()()()()40304034420152017,20152017e g e g g e g >>，即()()()201522017g f g >. 考点：构造函数，函数与导数.【思路点晴】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查构造函数法，考查导数与单调性.第一步是求函数()f x 的表达式，主要采用赋值法：先令0x =求得()()'2102f f e -=，对函数求导后，令1x =，求得()'212f e =，由此函数()f x 的表达式就求出来了，注意到选项，故求出()42f e =.构造函数()()2x G x e g x =利用导数判断出这是一个减函数，故代入2015,2017可得出选项. 17．将函数(x)2cos(x )cos(x )44g ππ=-+的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原来的2倍，得到函数(x)h 的图象，设函数21(x)(x)4f x h =+，则(x)f 的导函数'()f x 的图象大致为（）【答案】A 【解析】试题分析：由题意得(x)2c o s (x )c o44442g x x πππππ=-+=++=，将函数(x )g 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原来的2倍，得到函数(x)cos h x =，所以2211(x)(x)cos 44f x h x x =+=+，则()()f x f x -=，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，且1(x)sin 2f x x '=-，如当4x π=，则1()sin 0424482f ππππ'=⨯-=-<，所以函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选A. 考点：三角函数的图象变换；函数的性质.18．已知实数b a ,满足R c b a a ∈=--,0ln 522，则22)()(c b c a ++-的最小值为（） A ．21B ．22 C.223 D ．29【答案】C【解析】试题分析：用x 代换a ，用y 代换b ，则,x y 满足225ln 0x x y --=，即225l n y xx=-，以x 代换c ，可得点(,)x x -，满足0x y +=，所以求解22)()(c b c a ++-的最小值即为求解曲线225ln y x x =-上的点到直线0x y +=的距离的最小值，设直线0x y m ++=与曲线225ln y x x =-相切于点00(,)P x y ，则()54f x x x'=-，则()000541f x x x '=-=-，解得01x =，所以切点(1,2)P ，又由点P 到直线0x y +=的距离为2d ==，故选C. 考点：导数的应用问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到导数的运算、导数的几何意义、曲线在某点的切线方程的求解与应用，以及点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中求解22)()(c b c a ++-的最小值转化为求解曲线225ln y x x =-上的点到直线0x y +=的距离的最小值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.19．已知函数323()32ax ax x f x -+=+，232()2g x a x ax x a =-++（a R ∈），在同一直角坐标系中，函数'()f x 与()g x 的图像不可能的是（）试卷第11页，总186页【答案】B 【解析】试题分析：()2,2af x ax x '=-+B 选项中，由()g x 的图象可知0a <，此时()22a f x ax x '=-+的判别式2120a ∆=->，图象与x 轴有两个交点，不符合题意，故选B.考点：二次函数的图象.20．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B．C.D ．【答案】B 【解析】试题分析：由'()y f x =的图象知，'()y f x =在区间()1,0-上递增，()y f x =的图象切线斜率越来越大，'()y f x =在区间()0,1上递减，()y f x =的图象切线斜率越来越小，故选B.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数的几何意义. 21．数列{}n a ，满足212n n n a a a ++=-，且2014a ，2016a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22000201220182030log ()a a a a +++的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：令2()860f x x x '=-+=，则由题意可知201420168a a +=，由212n n na a a ++=-知数列{}n a 为等差数列，所以[]220002012201820302201420162log ()log 2()log (28)4a a a a a a +++=+=⨯=.故选 C ．考点：1、等差中项；2、函数极值与导数．22．物体的运动位移方程是210t t S -=（S 的单位：m ；t 的单位：s ），则物体在st 2=的速度是（）导数的综合运用第12页，总186页A ．s m /2B ．s m /4C ．s m /6D ．s m /8 【答案】C 【解析】试题分析：因为210t t S -=，所以102S t '=-，所以210226t S ='=-⨯=.故选C ．考点：导数的概念．23．定义在R 上的函数f(x)满足f(4)=1，f (x)'为f(x)的导函数，已知函数y=f (x)'的图象如图所示，若两正数a,b 满足f(2a+b)<1，则b+2a+2的取值范围是（）A ．(13，12)B ．(－∞，12)∪(3，+∞) C ．(12，3) D ．(－∞，－3)【答案】C 【解析】试题分析：由y=f (x)'图象知，0>x 时，()0>'x f ，0<x 时，()0<'x f ，∴y=f(x)在()0,∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∵两正数a ，b 满足()12<+b a f 且()14=f ,∴42<+b a ，如图，b+2a+2表示点()2,2--A 与线段BC 上的点连线的斜率，其中()0,2B ，()4,0C ，∵21=AB k ，3=AC k ，0>a ，0>b ，∴32221<++<a b ，故选C.考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用斜率的几何意义是解决该问题的关键.若在某区间上有有限个点使()0='x f ，在其余的点恒有()0>'x f ，则()x f 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内()0>'x f 是()x f 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．24．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，试卷第13页，总186页2(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（）A ．[,)e +∞B ．2[,)2e +∞C. 22[,)2e e D ．2[,)e +∞【答案】B 【解析】试题分析:由题设可得22ln ln x xx a b x x a bx -≤⇒-≤，因(,0]b ∈-∞,故对任意的2(,]x e e ∈，都有0ln 2≥-x x x a ，即x x a ≥ln 对一切2(,]x e e ∈恒成立，也即x x a ln ≥对一切2(,]x e e ∈恒成立，令x x x h ln )(=，则0)(l n 1ln )(2/>-=x x x h 在2(,]x e e ∈恒成立，故2)(2max e x h =，所以22e a ≥.应选B.考点：转化化归思想及导数与函数的单调性的关系等知识的综合运用.【易错点晴】不等式恒成立的问题及转化化归思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从依据题设中的已知条件将问题22ln ln xxx a b x x a bx -≤⇒-≤入手，进而运用转化化归思想将问题化为也即x x a ln ≥对一切2(,]x e e ∈恒成立，然后借助导数的知识求得22e a ≥，从而使得问题巧妙获解．25．若存在两个正实数x ，y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=得()0ln223=-+xyex y a x ，即0ln 223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xye x y a ，即设x y t =，则0>t ，则条件等价为()0ln 223=-+t e t a ，即()a t e t 23ln 2-=-有解，设()()t e t t g ln 2-=，()tet t g 21ln -+='为增函数，∵导数的综合运用第14页，总186页()021121ln =-+=-+='eee e g ，∴当e t >时，()0>'t g ，当e t <<0时，()0<'t g ，即当e t =时，函数()t g 取得极小值为：()()e e e e e g -=-=ln 2，即()()e e g t g -=≥，若()a t e t 23ln 2-=-有解，则e a -≥-23，即e a ≤23，则0<a 或ea 23≥，故选：D ．考点：函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．26．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式()()112f p f p p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(]12,30B ．(],18-∞C ．[)18,+∞D ．(]2,18- 【答案】C 【解析】试题分析：∵()()2ln 1f x a x x =+-，∴()()[]()2111ln 1+-++=+x x a x f ，∴()()1221+-+=+'x x ax f ，∵()1,0,∈q p ，且p q ≠，∴不等式()()112f p f p p q+-+>-恒成立()()()()21111>+-++-+⇔q p q f p f 恒成立()21>+'⇔x f 恒成立，即()2122>+-+x x a（10<<x ）恒成立，整理得：()222+>x a （10<<x ）恒成立，∵函数()222+=x y 的对称轴方程为2-=x ，∴该函数在区间()1,0上单调递增，∴()18222<+x ，∴18≥a ．故选：C ．考点：函数恒成立问题.27．若存在两个正实数x ，y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭试卷第15页，总186页【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=得()0ln223=-+xyex y a x ，即0ln 223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xye x y a ，即设x y t =，则0>t ，则条件等价为()0ln 223=-+t e t a ，即()a t e t 23ln 2-=-有解，设()()t e t t g ln 2-=，()t et t g 21ln -+='为增函数，∵()021121ln =-+=-+='eee e g ，∴当e t >时，()0>'t g ，当e t <<0时，()0<'t g ，即当e t =时，函数()t g 取得极小值为：()()e e e e e g -=-=ln 2，即()()e e g t g -=≥，若()a t e t 23ln 2-=-有解，则e a -≥-23，即e a ≤23，则0<a 或ea 23≥，故选：D ．考点：函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．28．已知函数()f x 的定义域为[)2,-+∞，且()()421f f =-=，()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如图所示．则平面区域()0021a b f a b ⎧≥⎪≥⎨⎪+<⎩所围成的面积是（）A ．4B ．2C ．5D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x '=的图象可得：当[)0,2-∈x 时，()0<'x f ，此时函数()x f 单调递减；当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，此时函数()x f 单调递增．∵0≥a ，0≥b ，∴02≥+b a ．又∵()14=f ，()12<+b a f ，∴()()42f b a f <+．∴420<+≤b a ．由()021a b f a b ⎧≥⎪≥⎨⎪+<⎩，画出图象如图，∴阴影部分的面积44221=⨯⨯=S ．故选A ．导数的综合运用第16页，总186页考点：二元一次不等式（组）与平面区域；函数的单调性与导数的关系.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法、线性规划的有关知识等基础知识与基本方法，属于中档题．由函数()y f x '=的图象可得：当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，此时函数()x f 单调递增．由()12<+b a f ，()14=f ，及()()42f b a f <+．可得420<+≤b a ．再利用简单线性规划的有关知识即可得出．29．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()23f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()132f x x '+<，若()()27392f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是（） A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， C ．[)1-+∞， D ．[)2-+∞，【答案】A 【解析】试题分析：∵()()23f x x f x =--，∴()()0232322=--+-x x f x x f ，设()()223x x f x g -=，则()()0=-+x g x g ，∴函数()x g 为奇函数．∵(),0x ∈-∞时，()132f x x '+<，()()213-<-'='x x f x g ，故函数()x g 在()0,∞-上是减函数，故函数()x g 在()+∞,0上也是减函数，若()()27392f m f m m +--≤+，则()()()22233233m m f m m f --≤+-+，即()()m g m g -≤+3，∴m m -≥+3，解得：23-≥m ，故选：A ．考点：利用导数研究函数的单调性. 30．已知曲线()21:0,0C y t x y t =>>在点4,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线试卷第17页，总186页12:1x C y e+=-也相切，则24ln e t t的值为（）． A ．24e B ．8e C ．2 D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：曲线tx y C =:1，txt y 2='，当t x 4=时，4ty ='，切线方程为：⎪⎭⎫⎝⎛-=-t x t y 442，化简为：14+=x t y ①，与曲线2C 相切，设切点为()00,y x ，()4100t e x f x =='+，14ln 0-=t x 那么141100-=-=+t e y x ，切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--14ln 414t x t t y ，化简为124ln 44-+-=t t t x t y ②，①②是同一方程，所以t t t t t t 824ln 1124ln 4-=⇔=-+-，即4=t ，那么8ln 44ln22==e te t ，故选D.考点：导数的几何意义【思路点睛】本题考查了导数的几何意义，求曲线切线方程的问题，其中有两个问题，一个是在曲线某点处的切线方程，如果切线斜率存在时，()x f k '=，对应的切线方程是()()000x x x f y y -'=-，如本例求曲线()21:0,0C y tx y t =>>在点4,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线，就是这种方法，另一种情况是过曲线上某点()00,y x P 的切线方程，那么这点可能是切点，也可能不是切点，关键是设切点()11,y x Q ，利用()()()⎩⎨⎧-'=-=111011x x x f y y x f y 求切点，再求切线方程，如本例，切线与曲线2C 相切，这样切线是同一条直线，可求得t 后代人求值.31．设函数()3236222xx f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（）A ．312e --B ．322e -- C ．3142e -- D ．11e--【答案】C 【解析】导数的综合运用第18页，总186页试题分析：∵()02262323≤--⎪⎭⎫⎝⎛+-+=x ae x x x e x f x x ，∴x exx x x a 213432123-+-+≥，令()x exx x x x g 213432123-+-+=，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+-+='x x e x x e x x x x g 21323121323232，故当[)1,2-∈x 时，()0<'x g ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，故()x g 在[)1,2-上是减函数，在()+∞,1上是增函数；故()()e e g x g 2143211343211min --=-+-+==；则实数a 的最小值为3142e--故选C ．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性转化与化归思想，将不等式有解转化为恒成立为题，由()0>'x f ，得函数单调递增，()0<'x f 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()x h a >或()x h a <恒成立，即()x h a max >或()x h a min <即可，利用导数知识结合单调性求出()x h max 或()x h min 即得解.32．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =-+D ．23y x =-- 【答案】B 【解析】试题分析：设0>x ，则0<-x ，∵()f x 为奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，∴()()[]2ln 2ln -+=+---=--=x x x x x x x f x f ，∴()2ln +='x x f ，∴()21='f 且()11-=f ，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程是23y x =-．故选B ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.33．过点()0 1，且与曲线11x y x +=-在点()3 2，处的切线垂直的直线的方程为（） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y -+= D ．220x y +-=【答案】B 【解析】试题分析:因22/)1(2)1()1(1--=-+--=x x x x y ,故切线的斜率21-=k ,故所求直线的斜率2=k ,方程为)0(21-=-x y ,即012=+-y x ．故应选B ．试卷第19页，总186页考点：导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用．34．已知函数x e x x f 2)(=，当]1,1[-=x 时，不等式m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．),1[+∞eB ．),(+∞eC ．),[+∞eD ．),(+∞e 【答案】D 【解析】试题分析:因x x e x x x x e x f )2()2()(2/+=+=,故当01<<-x 时,0)(/<x f ,函数)(x f 单调递减；故当10<<x 时,0)(/>x f ,函数)(x f 单调递增,且)1()1(->f f ,故e x f =)(max ,则e m >,故应选D ．考点：导数与函数的单调性之间的关系及运用．35．已知函数xe x xf 2)(=，当]1,1[-=x 时，不等式m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．),1[+∞eB ．),(+∞eC ．),[+∞eD ．),(+∞e 【答案】D 【解析】试题分析:因x x e x x x x e x f )2()2()(2/+=+=,故当01<<-x 时,0)(/<x f ,函数)(x f 单调递减；故当10<<x 时,0)(/>x f ,函数)(x f 单调递增,且)1()1(->f f ,故e x f =)(max ,则e m >,故应选D ．考点：导数与函数的单调性之间的关系及运用．36．已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()xf xg x e =的递减区间为（）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭导数的综合运用第20页，总186页C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：结合图象，）（1,0x ∈和），（∞+∈4x 时，0)()(<-'x f x f ，而xex f )(x f x g -'='）（）（，故）（x g 在）（1,0,），（∞+4递减，故选：D ．考点：函数的单调性.37．已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()xf xg x e=的递减区间为（）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ． 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：结合图象：）（1,0x ∈和），（∞+∈4x 时，0)()(<-'x f x f ，而xe xf )(x f x g -'='）（）（，故）（x g 在）（1,0,），（∞+4递减，故选：D ．考点：函数的单调性.38．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170xf x e +<的解集是（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：设()()xf xg x e=，则()()()0x f x f x g x e '-'=<，所以()g x 是R 上的减函数，由于()2017f x +为奇函数，所以()()02017,02017f g =-=-，因为()()201702017xx f x f x e e+<⇔<-即()()0g x g <，结合函数的单调性可知0x >，所以不等式()20170xf x e +<的解集是()0,+∞，故选B.考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了考生的发散思维能力，属于中档题.本题解答的关键是根据条件()()f x f x '>，进行联想构造函数()()xf xg x e=，并得到其单调性，把要解得不等式转化为()2017x f x e <-，由()2017f x +为奇函数得到()02017g =-，即可得到不等式的解集.39．函数()()()3223100ax x x x f x e x ⎧++⎪=⎨⎪⎩≤＞，在[]2,3-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,ln 23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],0-∞D ．1,ln 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】试题分析：当0x ≤时，()()'26661fx x x x x =+=+，在[]2,1--递增，在[]1,0-递减，最大值为()12f -=.所以当0x >时，函数的最大值不超过2.由于xe 为增函数，故3ln 212,ln 23aee a ≤=≤.考点：分段函数的性质，最值问题.【思路点晴】本题主要考查分段函数的性质，考查单调性与最值.题目所给分段函数其中一个部分是没有参数的，所以我们先研究这个部分，利用导数可求得函数在[]2,1--递增，在[]1,0-递减，最大值为()12f -=.所以当0x >时，函数的最大值不超过2.第二段函数含有参数，需要根据指数函数的单调性来判断指数的取值范围. 40．函数225()1x f x x -=+的图象在(0,(0))f 处的切线斜率为（） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由函数225()1x f x x -=+，则()()()()222212251x x x f x x +--'=+()22221021x x x++=+，则()()22010020201f -⨯+⨯+'==+，故选D.考点：导数的几何意义.41．已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m为常数），则()ln5f -的值为（） A.4 B.-4 C.6 D.-6 【答案】B 【解析】试题分析：由题意()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，即函数()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()000,1f e m m =+=∴=-则当0x ≥时，()1xf x e =-，ln 50>故()()()ln5ln 5ln 514f f e -=-=--=-，选B考点：奇函数的性质，对数的运算42．设函数()()31x f x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A.23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C.2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】D【解析】试题分析：设()()31x g x e x =-，()h x ax a =-，则()()'32x g x e x =+，∴2 3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，，()'0g x <，()g x 单调递减；2 3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，()'0g x >，()g x 单调递增，所以23x =-处取得最小值233e --，所以()()010g a h =-<-=，()()1120g h e -=>，直线()h x a x a =-恒过定点()1 0，且斜率为a ，所以()()111420e g h a ----=-+≥，∴2ea ≥而1a <，∴a 的取值范围 12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于0（或小于0）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.43．设()(32log f x x x =+，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（） A.()()0f a f b +≤ B.()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D.()()0f a f b -≥【答案】B 【解析】试题分析：()(32log f x x x =+定义域为R ，∵()((()333222log log log f x x x x x x f x -=-+-+=-+=--=-，∴()f x 是奇函数，∵()f x 在()0 +∞，上是增函数，故()f x 在R 上为增函数，而0a b a b +≥⇒≥-，所以()()()()0f a f b f a f b ≥-⇒+≥,故选B.考点：函数的奇偶性与单调性.44．已知函数),0(ln 3)(2R b a bx ax x x f ∈>++-=，若对任意0x >都有)3()(f x f ≥成立，则（）A.ln 1a b >--B.ln 1a b ≥--C.ln 1a b ≤--D.ln 1a b <-- 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意0x >都有)3()(f x f ≥成立所以)(x f 的最小值为)3(f因为函数),0(ln 3)(2R b a bx ax x x f ∈>++-=所以xbx ax b ax x x f 3223)(2-+=++-=' 因为0>a所以方程0322=-+bx ax 在0>x 范围内只有一根3=x所以a b b a 6101318-=⇒=-+ 所以26ln 1ln +-=++a a b a 设26ln )(+-=x x x gxx x x g 6161)(-=-=' 所以)(x g 在），（610单调递增，在），（∞+61单调递减所以06ln 1161ln )61()(max <-=+==g x g即1ln 01ln --<⇒<++b a b a 故答案选D考点：函数的恒成立；构造函数.【名师点睛】本题函数的定义域为），（∞+0，且由题目条件任意0x >都有)3()(f x f ≥成立，可以确定)(x f 的最小值为)3(f ，继而得知3=x 为函数)(x f 的一个极小值点，可得a b 61-=的关系式，所以本题即可转化为求26ln 1ln +-=++a a b a 的最大值或最小值问题.45．已知函数xx ae e x f -+=)(为偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率为23，则切点的横坐标等于（）A ．2lnB ．2ln 2C ．2D ．2 【答案】A【解析】试题分析：因为)(x f 是偶函数所以)()(x f x f -=，即）（x x xxae e aee ----+=+，解得1=a所以xx e e x f -+=)( 所以xxee xf --=')(设切点横坐标诶0x所以23)(000=-='-xx e e x f 设00>=t ex所以231=-t t ，解得2=t 即2ln 200=⇒=x ex故答案选A考点：函数的奇偶性；导数的几何意义.46．已知函数),0(ln 3)(2R b a bx ax x x f ∈>++-=，若对任意0x >都有)3()(f x f ≥成立，则（）A.ln 1a b >--B.ln 1a b ≥--C.ln 1a b ≤--D.ln 1a b <-- 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意0x >都有)3()(f x f ≥成立所以)(x f 的最小值为)3(f因为函数),0(ln 3)(2R b a bx ax x x f ∈>++-=所以xbx ax b ax x x f 3223)(2-+=++-=' 因为0>a所以方程0322=-+bx ax 在0>x 范围内只有一根3=x所以a b b a 6101318-=⇒=-+ 所以26ln 1ln +-=++a a b a 设26ln )(+-=x x x gxx x x g 6161)(-=-=' 所以)(x g 在），（610单调递增，在），（∞+61单调递减所以06ln 1161ln )61()(max <-=+==g x g即1ln 01ln --<⇒<++b a b a 故答案选D 考点：函数的恒成立；构造函数.【名师点睛】本题函数的定义域为），（∞+0，且由题目条件任意0x >都有)3()(f x f ≥成立，可以确定)(x f 的最小值为)3(f ，继而得知3=x 为函数)(x f 的一个极小值点，可得a b 61-=的关系式，所以本题即可转化为求26ln 1ln +-=++a a b a 的最大值或最小值问题.47．已知函数()()sin f x x x x R =+∈，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 1f a f a θ+-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()2C.(1,2+D.(,2-∞【答案】D 【解析】试题分析:因函数()()sin f x x x x R =+∈是奇函数,故0)1()sin (>-+a f x a f 等价于01sin >-+a x a ，即222211sin 11+=->-<xa ，故22+≤a .故应选D.考点：奇函数的性质及单调函数的性质的综合运用.【易错点晴】本题以定义在,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x x x R =+∈为背景,考查的是不等式恒成立的前提提下参数a 的取值范围问题.解答时借助题设条件,合理运用化归转化的数学思想将参数a 分离出来.将问题转化求函数xx g sin 11)(-=的最小值问题.然后再依据函数xx g s i n 11)(-=的单调性,求出该函数的最小值,求出22+≤a ,使得问题获解.48．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析:因1)(2/+-=ax x x f ,故由题设012≤+-ax x 在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-031002145a a ，即310≥a .故应选C. 考点：导函数与函数的单调性的关系及综合运用. 49．设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ,ln ln ln x y z b b bαααα===若(),,0,142b ππα⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系为（）A.x y z >>B.y x z >>C.z x y >>D.x z y >> 【答案】A 【解析】试题分析:由0ln 10<⇒<<b b ,又)2,4(ππα∈, 故)21,0(2sin 21cos sin ),22,0(cos ),1,22(sin ∈=∈∈ααααα, 即ααααcos sin cos sin >>,则ααααcos sin ln cos ln sin ln 0>>>, 故z y x ln ln ln >>,故z y x >>,应选A.。

文科数学高考真题分类汇编导数的综合应用答案

f ' (x) = 3x2 − 2(b +1)x + b ．
因为 0 b 1，所以 = 4(b+ 1)2 − 12b = (2b − 1)2 + 3 0 ，
则 f ' ( x) 有2个不同的零点，设为x1, x2 (x1 x2 ) ．
由 f ' (x) = 0 ，得 x1 = b +1 −
b2 3
x
e
可知 g (x ) 在 (0, +)内单调递减，又 g(1) = 1− ae 0 ，且
g
ln
1 a
=
1−
a
ln
1 a
2
1 a
=
1−
ln
1 a
2
0
.
故 g (x) = 0 在 (0, +) 内有唯一解，从而 f (x) = 0 在 (0, +) 内有唯一解，不妨设为 x0 ，
则1
x0
令 f ' (x) = 0 ，得 x = −3或 x = 1．列表如下：
x
(−, −3)
−3
(−3,1)
1
(1, +)
f '(x)
+
0
–
0
+
f (x)
极大值
极小值
所以 f (x) 的极小值为 f (1) = (1− 3)(1+ 3)2 = −32 ．
（3）因为a = 0, c = 1，所以 f (x) = x(x − b)(x −1) = x3 − (b +1) x2 + bx ，
）知，
f
(
x)
在
0,

文科数学高考真题分类汇编导数的综合应用

6．（2014 新课标 2）设函数 f (x ) =
3 sin
x ．若存在 m
f
( x) 的极值点 x0
满足
x02 + f (x0 )2 m2 ，则 m 的取值范围是
A． (−, −6) (6,+)
B． (−,−4) (4,+)
C． (−,−2) (2,+ )
D． (−,−1)(1,+)
7．（2014 辽宁）当 x [−2,1] 时，不等式 ax3 − x 2 + 4x + 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范
使 f ( f (b)) = b成立，则 a 的取值范围是（）
A．[1, e]
B．[1,1+ e]
C．[e,1+ e]
D．[0,1]
12．（2013 福建）设函数 f (x) 的定义域为 R，x0(x0 0) 是 f (x) 的极大值点，以下结论一
定正确的是
A．x R, f (x) f (x0)
则当 MN 达到最小时 t 的值为
A．1
1
B．
2
5
C．
2
2
D．
2
二、填空题
18．（2016 年天津）已知函数 f (x) = (2x+1)ex , f (x)为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为____.
19．（2015 四川）已知函数 f (x) = 2x ， g(x) = x2 + ax(其中 a R)．对于不相等的实数
围是
A．[−5, −3]
B．[ −6, − 9] 8
C．[−6, −2]
8．（2014 湖南）若 0 x1 x2 1，则

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高考数学精品复习资料2019.5专题十五导数的综合应用【高频考点解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．【热点题型】题型一函数的最值与导数例1、已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．【举一反三】已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；【热点题型】题型二生活中的优化问题例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x 个月内累计的需求量p (x )(单位：百件)满足p (x )＝x2(39x －2x 2＋41)(1≤x ≤12且x ∈N *)．(1)求第x 个月的需求量f (x )的表达式；(2)若第x 个月的销售量满足g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －21x x <7，x ∈N *x 2e x ⎝⎛⎭⎫13x 2－10x ＋96x ≤12，x ∈N * (单位：百件)，每件利润q (x )＝100e x －6元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值，最大是多少？(e 6取值为403)【举一反三】某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，出厂价为x 元(25≤x ≤40)．根据市场调查知，日销售量q (单位：个)与e x 成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．(1)求该玩具厂的日利润y 元与每个玩具的出厂价x 元之间的函数关系式；(2)若t ＝5，则每个玩具的出厂价x 为多少元时，该工厂的日利润y 最大？并求最大值．【热点题型】题型三不等式的证明问题例3、已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝0，A (a ，f (a ))、B (b ，f (b ))是函数f (x )图象上不同的两点，且a >b >0，f ′(x )为f (x )的导函数，求证：f ′⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<f a －f ba －b<f ′(b )；【提分秘籍】1．要证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义，可知对任意的x ∈(a ，b )，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．2．对于和形式的不等式的证明，一般地根据条件先构造一恒成立的不等式，将和式拆解，再利用同向不等式的可加性，进行转化放缩以证明结论．【举一反三】已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a >0)． (1)当x >0时，求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (2)在区间(1，e)上f (x )>x 恒成立，求实数a 的范围；(3)当a ＝12时，求证：f (2)＋f (3)＋…＋f (n ＋1)>2(n ＋1－n ＋1)(n ∈N *)．【热点题型】题型四由不等式恒成立求参数范围例4、设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx .(1)当a ＝b ＝12时，求函数f (x )的最大值；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；【提分秘籍】利用不等式恒成立求参数范围的方法 (1)根据不等式分离参数．(2)利用分离参数后的不等式构造新函数F (x )． (3)判断F (x )的单调性及求其最值．(4)根据参数m ≥F (x )max 或m ≥F (x )min 求参数范围．【热点题型】题型五由不等式存在成立求参数范围例5、已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m >0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围．【提分秘籍】1．对于任意x 1∈D 1存在x 2∈D 2使得g (x 1)≥f (x 2)成立其解决方法是：(1)求出g (x )在D 1的最大值． (2)求出f (x )在D 2的最小值． (3)转化g (x )大≥f (x )小，求出参数范围． 2．若存在成立的不等式中参数可得如M ≥F (x )，则只需求出F (x )的最小值可解决问题．【举一反三】已知函数f (x )＝a2x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－x －1.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M ，求满足该不等式的最大整数M ； (2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．【高考风向标】1．（20xx·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1. 2．（20xx·安徽卷）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 3．（20xx·安徽卷）设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 4．（20xx·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)5．（20xx·福建卷）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 6．（20xx·湖北卷）π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数． 7．（20xx·湖南卷）若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 28．（20xx·湖南卷）已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n＜23. 9．（20xx·江西卷）若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．10．（20xx·江西卷）将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤20xx 时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．11．（20xx·辽宁卷）当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．（20xx·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)13．（20xx·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．14．（20xx·全国新课标卷Ⅰ）已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)15．（20xx·全国新课标卷Ⅰ）设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 16．（20xx·山东卷）设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．17．（20xx·陕西卷）设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．18．（20xx·天津卷）已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．19．（20xx·浙江卷）已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ＞0)．若f (x )在[－1，1]上的最小值记为g (a )．(1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1，1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.19．（20xx·重庆卷）已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【随堂巩固】1．已知函数f(x)＝ax 2＋c ，且f′(1)＝2，则a 的值为( ) A. 2 B ．1 C ．－1 D ．02．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋23．若函数f(x)的定义域为[a ，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为( ) A ．[a ，b] B ．[－b ，－a]C ．[－b ，b]D ．[a ，－a] 4．过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}7．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )8．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，则log 2 012x 1＋log 2012x 2＋…＋log 2 012x 20xx 的值为()A ．－log 2 0122 011B ．－1C ．－1＋log 2 0122 011D ．19．函数f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)在x ＝1处有极值，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程是________．10．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．13．已知函数f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)设a >0，讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝－1，证明：对任意x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2. 14．已知函数f (x )＝e x ＋1x －a.(1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)当a >1时，判断方程f (x )＝0实根的个数．。