苏教版2017高中数学(选修2-3)2.4二项分布导学案 (Word版)

2.4 二项分布
独立重复试验及二项分布
1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对
立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，
也称为伯努利试验．
2．若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
预习交流
下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？
(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；
(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数．
提示：(1)服从二项分布，其参数n＝3，p＝3
100
；
(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．
一、独立重复试验概率的求法
某气象站天气预报的准确率为80%，计算，
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．
解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．2次准确的概率为：P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的反面为“5次预报都不准确或只有1次准确”．
其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C050.25＋C150.81×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99. (3)说明1,2,4,5次恰有1次准确．
所以P ＝C 140.8×0.23
×0.8＝0.020 48≈0.02.
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞碟得2分，击中一个飞碟得1分，不击中飞碟得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中
率为23，第二枪命中率为1
3
，该运动员进行2轮比赛．
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列？ 解：(1)记“运动员得4分”为事件A ，则
P (A )＝23×13×23×13＝481
.
(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.
P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝4
81
；
P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝
2081
；
P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝33
81
；
∴X
(1)有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等．
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题. 二、二项分布的实际应用
某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层
载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
3
，用X 表示这5位乘客在
第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．
思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是1
3
，服从二项分布，利用二项分布的概
率公式求解．
解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，5位乘客即5次独立重复试验．
即X ～B ⎝ ⎛⎪⎫5，1，也就是P (X ＝k )＝C k 5 ⎛⎪⎫1k ⎛⎪⎫25－k
，k ＝0,1,2,3,4,5.从而X 的分布列如表：
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．
解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”．所以
事件A 发生的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝4
27
.
(2)记“这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．
由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (B 2)＝C 2
4×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827
.
由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的
概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝8
9
.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解．
1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，则k ＝__________.
答案：2
解析：依题意有C k
5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫125－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15
，∴k ＝2. 2．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝__________.(用式子表示)
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭
⎪⎫568
解析：由题意知X ～B ⎝
⎛⎭⎪⎫10，16， ∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭
⎪⎫568
.
3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k ＝__________. 答案：1或2
解析：依题意P (X ＝k )＝C k
5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)．
可以求得P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243，P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243，P (X ＝4)＝10
243
，
P (X ＝5)＝1
243
，故当k ＝1或2时，P (X ＝k )最大．
4．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率为1
10
，随机变量X 表示同
时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝__________.
答案：0.008 1
解析：由题意X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，110，
∴P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1103⎝ ⎛⎭
⎪⎫9102
＝0.008 1.
5．在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队
获胜的概率分别为23和1
3
.
(1)若前2局乙队以2∶0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率； (2)求乙队以3∶2获胜的概率．
解：(1)由于前2局乙队以2∶0领先，即乙队已经赢了2局，所以甲队要想获胜，须在
余下的3局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8
27
；
从而乙队获胜的概率为P 2＝1－P 1＝1－827＝19
27
.
(2)依题意，乙队以3∶2获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前4局中乙队有2局获胜
(甲队也有2局获胜)，故乙队以3∶2获胜的概率为P ＝C 2
4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×13＝881
.。