第5章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成陀螺仪近似讲解
理论力学_第五章_刚体定点运动_自由刚体运动
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2
【理论力学2】第五章刚体运动的合成·陀螺仪近似理论
因为
0 1 e r1 ， 2 e r 2 e r
可得 r1 e ， r 2 r 代入前式 可得
于是
r1 r e r2
r1 2 (1 )e r2
例 5－3 行星齿轮II与固定锥齿轮I相啮合 可绕动轴 OO2转动 而动轴以角速度 e绕定轴 OO1 转动 如图所示 设在点C处轮I的半径为 r1 轮II的半径为 r2 求锥齿轮II相对于动轴的角速度 r
等于绕动轴 O z 转动的角速度
（2）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形 刚体绕轴 O z 转动 同时又沿轴向运动 如图所示 这种称为螺旋运动
O p 称为螺旋率 平移速度与转动角速度的比值 若以s表示刚体沿轴 O z 的轴向位移
为刚体绕轴 O z 的转角 则 O ds ， d dt dt ds p （5－14） 螺旋率可写成 d
（5－12） 于是得结论 当刚体同时绕两相交轴转动时 合成运动为绕瞬轴的转动 绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和 如果刚体绕相交于一点的3个轴或更多的轴转动时
a 1 2
1 2 n i （5－13）
i 1
n
于是得结论 当刚体同时绕相交于一点的多轴转动时 合成运动为绕瞬轴的转动 绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度的矢量和 而瞬轴则沿此合矢量方向
瞬轴与两轴间的距离分别为 O1C 和 O2 C 在点C e r 即 或
e O1C r O2C
O1C r O2 C e （5－9） e与 r 同向的情形如图
O e O1O2 a O2C
2
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理学——刚体的转动PPT课件
mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止． 求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
解：
在走动过程中,人－盘系统 L=Const.
解：
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法：
大小：
方向：//转轴, 符合右手螺旋
r v Ｏr
线速度：
v
r
验证：
大小：
r 方向：
4
F1
an at
F1
4
法向：
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式：
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
刚体的定轴转动PPT教学课件
MC
Nt
l 2
,
JC
1 ml 2 12
Nt
1 4
mg
cos
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。
解 （1）质心的运动
(F mg ) t mv C0
l
vC 0
F
m m
g
t
C
F 质心以vC0的初速做上抛运动。
（2）在上抛过程中棒的转动
绕过质心转轴，列转动定理：
Fl JC JC
d
dt
JC
t
JC
t
Flt
JC
12Flt
mL2
在上抛过程中，棒以恒定角
l
速度绕过质心轴转动。
C F
【演示实验】 质心运动（杠杆）
二、转动刚体的角动量守恒 1、绕定轴转动
若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。
d dt
d dt d
d d
0
0
12 3g sin
2 2l
3g sin
l
3、求转轴受力
（1）Nn 平动：质心运动定理
Nn mg sin ma n
an
1 2
l
2
l 2
Nn
5 2
mg
sin
（2）Nt 转动：关于质心轴列转动定理
MC JC , C O 为什么？
第5章 刚体的定轴转动
目录 一、刚体的定轴转动定律
演示实验
1、茹科夫斯基 转椅（和车轮）
二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能
2、陀螺仪
3、质心运动 （杠杆）
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
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J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
高校大学物理第五章刚体运动学课件
解 （1）转速3000r/min和1200r/min相应的角速 度分别为
2
2π 3000 60
100π
rad/s
1
2π 1200 60
40π
rad/s
19
当t = 12s时
2 1 100π 40 π 15.7rad s2
t
12
（2）飞轮 12 s 内转过的角位移
0
0t
1 t 2
设 ct
由定义, 得 d ct
dt
d ctdt
16
t
两边积分 d c td t
0
0
由题意 在t 300s时
1 ct 2
2
18000r min1
18000 2π 600πrads-1 60
所以
c
2
t2
2 600π 3002
π rad s3 75
17
任意时刻的角速度
第5章 刚体运动学
1
第5章 刚体运动学
5.1 刚体和自由度的概念 5.2 刚体的平动 5.3 刚体绕定轴转动
2
§5.1 刚体和自由度的概念
一. 特刚殊体的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少 3
§ 5.2 刚体的平动
1. 刚体的平动 刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都
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第5章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成∙陀螺仪近似理论5-1 曲柄OA 绕固定齿轮中心的轴O 转动，在曲柄上安装一双齿轮和一小齿轮，如图所示。
已知：曲柄转速r/min 300=n ；固定齿轮齿数600=z ，双齿轮齿数401=z 和502=z ，小齿轮齿数353=z 。
求小齿轮的转速和转向。
解：以曲柄OA 为动系分析轮系的运动，轮系相对于动系作定轴转动，0z 齿轮与1z 齿轮相对OA 作反向转动。
设0z 齿轮相对于动系OA 转动角速度为r ω，且0r ωω-=则 r 102r ωωz z -= 因 2z 齿轮与3z 齿轮相对OA 作反向转动 2r 323r ωωz z -= 003012r 10323r 3ωωωω-=-==z z z z z z z z 根据合成运动定理 00312003r 3e 32)(ωωωωωω-=-+=+=z z z z rad/min 60203-=-=n n （3n 与0n 转向相反）5-3 在齿轮减速器中，主动轴角速度为0ω，齿轮Ⅱ与定齿轮V 相内啮合。
齿轮Ⅱ和Ⅲ又分别与动齿轮I 和Ⅳ相外啮合。
如齿轮I 、Ⅱ和Ⅲ的半径分别为1r 、2r 和3r ，求齿轮I 和Ⅳ的角速度。
解：将动系固连在系杆，则轮系相对于系杆作定轴转动，原来静止不动的轮V 相对于系杆运动的角速度为05ωω-=r于是轮I 和Ⅳ相对于系杆的角速度分别为015r 51225r 1)1(ωωωr r r r r r =⋅-= 04253r 54325r 4)1(ωωωr r r r r r r r =⋅-= 根据角速度合成定理 0150r 1e 1ωωωωωr r +=+= 042350r 4e 4ωωωωωr r r r +=+= 由啮合关系知3214r r r r -+=，2152r r r +=代入上式得)1(21201r r +=ωω（与0ω同向） )())((3212322104r r r r r r r r -+++=ωω（与0ω同向）5-5 图示一双重差动机构，其构造如下：曲柄Ⅲ绕固定轴ab 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮Ⅳ，此行星齿轮由两个半径为mm 501=r 和mm 202=r 的锥齿轮牢固地连接而成。
这两个锥齿轮又分别与半径各为m m 1001=R 和mm 502=R 的另外两个锥齿轮I 和Ⅱ相啮合。
齿轮Ⅰ和Ⅱ均可绕轴ab 转动，但不与曲柄相连，其角速度分别为rad/s 5.41=ω，rad/s 92=ω。
如两齿轮转动方向相同，求曲柄Ⅲ的角速度3ω和行星齿轮相对于曲柄的角速度43ω。
解：行星齿轮作定点运动，定点为轴Ⅲ与铅垂轴的交点，将动系固连在曲柄Ⅲ上，研究锥齿轮上点的运动。
3e ωω=，43r ωω=图（a ）为从左侧面看行星齿轮Ⅳ上的A 和B 点的速度分析显然 r e A A A v v v +=，r e B B B v v v -=由已知得 m /s 45.022==ωR v A ，m /s 45.011==ωR v B又 32e ωR v A =，432r ωr v A =31e ωR v B =，431r ωr v B =将已知数据代入得 4525432=+ωω，45510432=-ωω解之得 r a d /s 73=ω，rad/s 543=ω5-7 锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心O ，如图所示。
锥齿轮在支座齿轮上滚动，每分钟绕铅垂轴转5周。
如r R 2=，求锥齿轮绕其本身轴OC 转动的角速度r ω和绕瞬时轴转动的角速度ω。
解：用刚体绕相交轴转动的合成法求解，把动系固连于OA 轴上。
由于锥齿轮与平面齿轮的啮合点C 的速度为零，所以OC 为瞬时转动轴，于是绝对运动的角速度ω沿CO 方向，牵连运动是绕过O 的铅垂轴的转动，角速度e ω，相对运动是绕本身轴线的转动，角速度r ω，作角速度矢平行四边形如图。
在直角三角形OCA 中，由于r R 2=所以 ︒=30θ由角速度图得 e e r 2s i n 30ωωω=︒= e e 330cot ωωω=︒=由于 r a d /s 6π30πe ==n ω 代入上式得 r a d /s 047.12e r ==ωω rad/s 907.03e ==ωω5-9 图示圆盘以角速度1ω绕水平轴CD 转动，同时轴CD 以角速度2ω绕通过圆盘中心点O 的铅直轴AB 转动。
rad/s 51=ω，rad/s 32=ω，求圆盘的合成角速度ω和瞬时角加速度α的大小和方向。
解：圆盘的运动是绕其中心点的定点运动，将动系固连在支架ADC 上，其牵连角速度为2ω，相对角速度1ω。
作角速度矢平行四边形图如图（a ）。
有21ωωω+=21ωω⊥ rad/s 83.52221=+=ωωω6.0tan 12==ωωα 由于 2ω始终垂直1ω，所以圆盘作规则进动12r e ωωωωα⨯=⨯=代入已知数据得 212r a d /s 1590sin =︒⋅=ωωα，α的方向沿y 轴正向。
5-11 人造卫星以恒定的角速度rad/s 5.01=ω绕其z 轴转动，太阳能电池板以恒定角速度rad/s 25.02=ω绕y 轴转动。
坐标轴Oxyz 固结在卫星上，尺寸如图。
图示瞬时︒=30θ，忽略O 点的加速度，求此瞬时电池板的绝对角加速度α和点A 的绝对加速度A a 。
解：取固连于卫星的动坐标系Oxyz 如图，以O 为基点，则太阳能电池板对基点O 作定点运动，它的绝对角速度（平动坐标系过O ，图中未示出）r e a ωωω+=k j j k 5.025.021+-=-=ωω① 翼板的角速度t d d a ωα=tt d d 5.0d d 25.0k j +-=k j ⨯+⨯-=e e 5.025.0ωωk k j k ⨯+⨯-=115.025.0ωω 21rad/s 125.025.0i i ==ω或 r e ωωα⨯=21ωω⨯=j k )25.0(5.0-⨯=2r a d /s 125.0i = ② 0=O ar a v ωr αa a ⨯+⨯+=A O A当︒=30θ时，A 点矢径：k j i r A ︒++︒-=30cos 6.04.230sin 6.0A 点相对速度A r v ⨯=a r ωk j i k j 5196.04.23.0(5.025.0(++-⨯+-=)075.0150.033.1(k j i ++-= )5.025.0()5196.04.23.0(125.00k j k j i i a A +-+++-⨯+=)075.0150.033.1)(1(k j i ++-⨯k j i 0325.0730.009375.0--= 2m/s 033.0730.0094.0k j i --=2222m /s 737.0033.073.0094.0=++=A a5-13 图示电机托架OB 以恒角速度rad/s 3=ω绕z 轴转动，电机轴带着半径为120 mm 的圆盘以恒定的角速度rad/s 8=ϕ自转。
设︒=30γ，此时圆盘最高点A 的速度、加速度，以及圆盘的绝对角速度、角加速度。
解：γγsin 120cos 300350e -+=r 2112023300350-+=8.549=mm m m 8.549e j r =，k ω==ωωe i r ωv 16498.549e e e -=-=⨯=i ω，k j ωγϕγϕϕsin cos r +== k j r γγcos 120sin 120r +-=i i r ωv 960120r r r ==⨯=ϕ r e a v v v +=m/s 689.0i -=C n r n e a a a a a ++= （0t e =a ，0tr =a ）j j r a 49482e n e -=⋅-=ωj i k v a 576096022r e C =⨯=⨯=ωω76801202n r =⋅=ϕa ，k j a γγcos 7680sin 7680n r -=k j 66153840-= 22a m/s )651.6652.4(mm/s )66514652(k j k j a -=-=r e a ωωω+=k j k γϕγϕωsin cos ++= rad/s )7928.6(30sin 830cos 83k j k j k +=︒+︒+=r e a e a ωωωωα⨯=⨯==j k j k γϕωγγϕωcos )sin (cos -=+⨯ 2rad/s 8.202383i i -=⋅⨯-=5-15 AB 轴长l = 1 m ，水平地支在中点O 上，如图所示。
在轴的A 端有一质量为m 1 = 2.5 kg 不计尺寸的重物；B 端有一重量为m 2 = 5 kg 的圆轮，AB 轴的质量忽略不计。
设轮的质量均匀地分布在半径为r = 0.4 m 的圆周上，轮的转速为600 r/min ，转向如图所示。
求系统绕铅直轴转动的进动角速度ω。
解：刚体绕点O 作定点运动，其自转角速度1ω和外力矩M 0方向如图（a ）所示。
刚体作规则进动，且ωω⊥1从 10ωωM J ⨯=得 ωω10J M =由于 g m m l M n )(2,30π1201-==ω 故 n J g m m l J M π)(151210-==ωω 式中 22r m J =，并将数据代入上式得 rad/s 244.0=ω5-17 如图所示，飞机发动机的涡轮转子对其转轴的转动惯量为2m kg 22⋅=J ，转速n = 10000 r/min ，轴承A 、B 间的距离l = 0.6 m 。
若飞机以角速度rad/s 25.0=ω在水平面内绕铅直轴x 按图示方向旋转，试求发动机转子的陀螺力矩和轴承A 、B 上的陀螺压力。
解：当飞机摆动时、涡轮转子作受迫进动如图（a ），陀螺力矩为 m N 576090sin 25.0π2601000022),sin(11⋅=︒⋅⋅⨯==ωωωωJ M 轴承A 、B 上的陀螺压力为 kN 6.9N 96006.05760N ===='l M F A (方向垂直向下) kN 6.9N 9600N ==='lM F B (方向垂直向上)。