7.3 不等式的解法(师版)

7.3 不等式的解法【考纲解读】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.不等式是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度中低高都有，在解答题中，经常与数列、三角函数、解析几何等知识相结合，在考查不等式知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查不等式的基本知识或与其他知识相结合，命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.一次型不等式通常等价转换为ax>b 的形式 （1）当a>0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭; （2）当a<0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）当a=0时，若b<0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0时，则该不等式的解集为空集. 2.对于一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)或ax 2+bx+c<0(a>0)，.（1）若△>0， x 1,x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根，且x 1<x 2则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为{}12|x x x x x <>或；不等式ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为{}12|x x x x <<. （2）若△=0，则ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭；ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅. （3）若△<0，则ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅；ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为R. 3.分式不等式的解法 先将不等式整理为()0()f x g x >或()0()f xg x ≥的形式,再转化为整式不等式求解,即()0()f x g x >⇔()()0f x g x >;()0()f x g x <⇔()()0f x g x <;()0()f x g x ≥⇔()()0()0f xg x g x ≥⎧⎨≠⎩;()0()f xg x ≤⇔()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩. 4.绝对值不等式的解法(1)当a>0时,|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x a >或x a <-;|x|<a ⇔x 2<a 2⇔a x a -<< (2)|f(x)|>g(x)⇒f(x)>g(x)或f(x)<－g(x); |f(x)|<g(x)⇒- g(x)<f(x)<g(x). (3)去掉绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法. (4)根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式. 【例题精析】考点一 一元二次不等式解法例1. （2012年高考江苏卷13）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【名师点睛】本小题主要考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 【变式训练】1. (2012年高考天津卷文科5)设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的( )（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【答案】A考点二 分式不等式与绝对值不等式的解法 例2.(2012年高考江西卷文科11) 不等式的解集是___________。

【变式训练】2.(2012年高考天津卷文科9)集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .考点三 不等式的恒成立问题例3. （2010年高考天津卷文科16）设函数f(x)=x-1x,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是 。

【变式训练】3. (2012年高考福建卷文科15)已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【解析】因为 不等式恒成立，所以∆<0，即 242a a -⋅<0 所以 0<a<8 【答案】（0，8） 【易错专区】问题：含有参数的不等式的解法例. (山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)若不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式bx c xba >++2的解集为 .【课时作业】 1.(2011年高考天津卷文科4)设集合{}|20,A x R x =∈->{}|0,B x R x =∈<{}|(2)0,C x R x x =∈->则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. (2012年高考重庆卷理科2)不等式0121≤+-x x 的解集为( ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A3. （2011年高考福建卷文科6)若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A. (-1,1) B. (-2,2)C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）4.(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）5. (2011年高考江西卷理科2)若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ）A. {}x x -1≤<0B. {}x x 0<≤1C. {}x x 0≤≤2D.{}x x 0≤≤1 【答案】B【解析】因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B.6. (2012年高考湖南卷文科12)不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.7.(2011年高考安徽卷文科13)函数y =的定义域是 .【答案】（－3,2）【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<. 8．（2011年高考江西卷文科15)对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为_______【考题回放】1. (2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞2．(2011年高考广东卷文科5)不等式2210x x -->的解集是（ ） A ． 1(,1)2-B (1,)+∞C ． (,1)(2,)-∞⋃+∞D ． 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞3．(2012年高考北京卷文科1)已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=( )A ．（-∞，-1）B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 4.(2012年高考重庆卷文科2)不等式102x x -<+ 的解集是为( ) （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 【解析】10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+. 5. （2009年高考山东卷文科第5题）在R 上定义运算e :2a b ab a b =++e ,则满足(2)0x x -<e 的实数x 的取值范围为( )A.(0,2)B.(2,1)-C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞D.(1,2)-6.（2011年高考江西卷文科3)若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2- 【答案】C【解析】()()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,21112,012,012log 21x x x x7．（2011年高考湖南卷文科3)"1""||1"x x >>是的( )A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件8. (2011年高考江西卷理科4)若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为( ) A. (,)0+∞ B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-109．（2010年高考广东卷理科5）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 【答案】A【解析】由20x x m ++=知，2114()024m x -+=≥⇔14m ≤． 10. (2012年高考广东卷理科9)不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____.11．（2009年高考北京卷理科第13题）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.。