2017年中考数学真题三角函数汇总
中考数学练习知识点：三角函数
中考数学练习知识点：三角函数锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1要练说，得练听。
2017年浙江中考数学真题分类汇编--解直角三角形(解析版)
2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题09 解直角三角形一、单选题（共3题；共6分）1、（2017·金华）在直角三角形Rt ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A、B、C、D、2、（2017•湖州）如图，已知在中，，，，则的值是（）A、B、C、D、3、（2017•温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（）A、5米B、6米C、6.5米D、12米二、填空题（共1题；共2分）4、（2017·嘉兴）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算________，……按此规律，写出________（用含的代数式表示）．三、解答题（共6题；共40分）5、（2017·衢州）计算：6、（2017·金华）(本题6分)计算：2cos60°+(−1)2017+|−3|−(2−1)0.7、（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由。
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）8、（2017•绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.（结果精确到0.1m。
参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）(1)求∠BCD的度数.(2)求教学楼的高BD9、（2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．(1)此时小强头部点与地面相距多少？(2)小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方，他应向前或后退多少？（，，，结果精确到）10、（2017·丽水）如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠C=90°，AB=5,BC=3,∴AC===4,∴tanA==;故答案为A。
2017年中考数学真题分类汇编 三角函数
三角函数一、选择题1.（2017·天津）的值等于（ ） AB． C ．D ． 【答案】D.2.（2017·重庆A 卷）如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若3米，2米，平行于江面，迎水坡的坡度1：0.75，坡长10米，则此时的长约为（ ）（参考数据：40°≈0.64，40°≈0.77，40°≈0.84）．A ．5.1米B ．6.3米C ．7.1米D ．9.2米【答案】A.【解析】试题解析：如图，延长交延长线于点P ，作⊥于点Q ，060cos 312221∵140.753 CQBQ==，∴设4x、3x，由222可得（4x）2+（3x）2=102，解得：2或﹣2（舍），则8，6，∴11，在△中，∵11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴﹣﹣13.1﹣6﹣2=5.1，故选A．考点：解直角三角形的应用.3.（2017·重庆B卷）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比）1：2.4，在D 处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物的高度约为（精确到0.1米，参考数据：20°≈0.342，20°≈0.940，20°≈0.364）（ ）A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米【答案】A ．【解析】试题分析：作⊥于E 点，作⊥于F 点，如图，设，2.4，由勾股定理，得x 2+（2.4x ）2=1952，解得x ≈75m ，75m ，2.4180m ，﹣306﹣180=126m ．∵∥，∴∠1=∠20°，∠1∠ =0.364．126m ，∠10.364，0.3640.364×126=45.9，﹣75﹣45.9≈29.1m ，故选A ．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．4.（2017·山东烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房顶部点D 的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（ ）sin 20cos 20DF AFA．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米【考点】：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作⊥于F，于是得到′B′1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作⊥于F，∴′B′1.6米，在△′中，B′，在△中，，∵′′=20，∴﹣B′﹣=20，∴≈34.1米，∴35.7米，答：楼房的高度约为35.7米，故选C．二、填空题1.（2017·山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高1.5米，则这颗树的高度约为米（结果保留一位小数．参考数据：54°≈0.8090，54°≈0.5878，54°≈1.3764）．【答案】15.3．【解析】试题分析：如图，在△中，•54°≈10×1.3764=13.764米，≈1.5+13.764≈15.3米．故答案为：15.3米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2.（2017·江苏无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则∠的值等于．【答案】3.【解析】试题解析：平移到C′D′交于O′，如图所示，则∠′D′=∠，∴∠∠′D′，设每个小正方形的边长为a ，则O′，O′D′=，′=3a ， 作⊥O′D′于点E ，则， ∴O′， ∴′， ∴∠3.考点：解直角三角形． 3.（2017·山东烟台）在△中，∠90°，2，，则 ． 【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据∠A 的正弦求出∠60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵， ∴∠60°，∴30°=． 22(2)5a a a +=22（2a)(2)22a a +=3a 232222BD O F a a O D a''==''2222322(5)()22a a O B BE a '-=-=32a2322BE O E a=='故答案为：．三、解答题1.（2017·安徽）如图，游客在点A 处坐缆车出发，沿A B D --的路线可至山顶D 处.假设AB 和BD 都是直线段，且600AB BD m ==，75α=︒，45β=︒，求DE 的长.（参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，2 1.41≈）【答案】579DE DF EF =+=【解析】试题分析：两次利用三角函数求解即可.试题解析：解：在Rt BDF △中，由sin DF BD b =得， 2sin 600sin 4560030024232DF BD b =???°≈(m).在Rt ABC △中，由cos BC AB a =可得， cos 600cos756000.26156BC AB a =???°(m).所以423156579DE DF EF DF BC =+=+=+=(m).考点： 三角函数的实际应用.2.（2017·山东青岛）如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A地520，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：）[来源]【答案】596【解析】试题分析：作⊥于点D，利用67°和520，求480；利用67°和520，求200；最后利用30°和200，求116；最终得到的长.∴在△中，∠30°，∴∴答：之间的距离约为596。
三角函数中考真题(2017)
9． 三角函数中考真题（ 2017）一．选择题（共 18 小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向距离灯塔 30 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 的值为（ ）C ． 30（ +1）海里 B ． 30（ + ）海里D ． 60 海里2．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度） ，把一根长 5m 的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出杆长 1m 处的 D 点离地面的高度 DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离 AB ＝ 3m ，则石坝的坡 度为（ ）3．如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ）A ．15 海里B ．30 海里C ． 45 海里D ． 30 海里4．某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5 米，∠ BCA 约为 29°，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A ．3.5sin29°米B ． 3.5cos29°米C ．3.5tan29°米D ． 米如图，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 A处时，恰B ．3C ．D ．4 5． 6．7． 8．A ． 在 A ． sin α＝cos α Rt △ABC 中，∠B ．tanC ＝2 C ＝ 90°， AB ＝4， B ． 如图，一艘海轮位于灯塔 达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 A ．60 nmileB ．60 如图，在平面直角坐标系中，点 A ． B ．C ． sin β＝ cos β AC ＝1，则 cosB 的值为D ．）D ． 45°方向，距离灯塔 60nmile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到 B 处，这时， B 处与灯塔 P 的距离为（ nmile C ．30 nmile D ． 30 A 的坐标为（ 3， 4），那么 sin α的值是（ )nmile ) C ． D ．A ． 30（ +1 ）海里 T8好位于处的北偏东 60°方向上； 10 秒钟后，动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米 /秒．A ．20（ +1）B．20（﹣ 1）C．200 D．300△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），AD⊥BC 于D，下列四个选项中，错误的是（10．如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B的仰角为60°，然后在坡顶 D测得树顶 B的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m，DE的长为 10m，则树 AB的高度是（）9．同一条直线上） （ ）14．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A ′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房A ．34.14 米B ．34.1 米C ．35.7 米D ．35.74 米15．如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米（点 C 与点 B 在同一水平面上） ，某同学从点 C 出发，沿同一剖 面的斜坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度（或坡比） i ＝ 1： 2.4，在D 处测得该建筑物顶端 A 的俯角为 20°，则建筑物 AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据： sin20°≈ 0.342，cos20°≈ 0.940 ，tan20°≈ 0.364 ） （ ） A ．29.1 米 B ．31.9 米 C ．45.9 米 D ．95.9 米16．如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE ＝3 米， CE ＝2 米， CE 平行 于江面 AB ，迎水坡 BC 的坡度 i ＝ 1：0.75，坡长 BC ＝ 10 米，则此时 AB 的长约为（ ）（参考数据： sin40° ≈0.64，cos40°≈ 0.77， tan40°≈ 0.84）．A ．5.1 米B ．6.3 米C ．7.1 米D ．9.2 米17．如图，在△ ABC 中， AC ⊥ BC ，∠ ABC ＝ 30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则 tan ∠ DAC 的值为 （）A ．2+B ．2C ． 3+D ． 318．如图，在 Rt △ ABC 中，斜边 AB 的长为 m ，∠ A ＝ 35°，则直角边 BC 的长是（ ）二．填空题（共 20 小题） 19．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长 100 米（假设拉线是直的） ，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是 米（结果保留根号） ．20．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D 是 AB 的中点， ED ⊥AB 交 AC 于点 E ．设∠ A ＝α，且m ．A ．5 米B ．6 米C ． 6.5 米D ． 12 米13．如图，电线杆 CD 的高度为 h ，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，∠ CAB ＝ α，则拉线 BC 的长度为（ A 、D 、B 在 A ．B ．C ．D ．h?cos αA ． msin35°B ．mcos35°C ．D ． A ．20 B ．30 C ． 30 D ． 4011．如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝ 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点D ．设 BD ＝x ， tan ∠ ACB ＝ y ，则（ ）12．如图，一辆小车沿倾斜角为 α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos α＝ ，则小车上升的高度是（ ）CD 的高度约为（结果精确到 0.1 米， ≈ 1.414）（）tanα＝，则tan2α＝21．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α＝4522．如图，从楼 AB 的 A 处测得对面楼 CD 的顶部 C 的仰角为 37°，底部 D 的俯角为 45°，两楼的水平距离 BD 为 24m ，那么楼 CD 的高度约为 m ．（结果精确到 1m ，参考数据： sin37°≈ 0.6；cos37°≈0.8； tan37°≈0.75）23．如图，某城市的电视塔 AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔 AB 的高度，在点 M 处测得塔尖点 A 的仰角∠ AMB 为 22.5°，沿射线 MB 方向前进 200 米到达湖边点 N 处，测得塔尖点 A 在湖中的倒影 A ′的俯 角∠ A ′NB 为 45°，则电视塔 AB 的高度为 米（结果保留根号） ． A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60 °方向，继续航行到达 B 处，测得灯塔 P 在它的C 处是港口，点 A ，B ， C 在一条直线上，则这艘货轮由 A 到 B 航行的路25．△ ABC 中， AB ＝12，AC ＝ ，∠ B ＝ 30°，则△ ABC 的面积是 26．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．如图，在△ ABC 中，BD 和CE 是△ ABC 的两条角平分线．若∠ A ＝52°，则∠ 1+∠ 2的度数为B. tan38°15′≈ ．（结果精确到 0.01）27．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，距离灯塔 86n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，此时， B 处与灯塔 P 的距离约为 n mile ．（结果取整数，参 考数据： ≈1.7， ≈ 1.4）28．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A ，小明在岸边点 B 处测得点 A 在点 B 的北偏东 30°方向上，小明沿河岸向东走 80m 后到达点 C ，测得点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上，则点 A 到河岸 BC 的距离 为．29．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 ABCD．已知迎水坡，坡长 AB ＝ 米，背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （i 为 DF 与FC 的比值），则背水坡 CD 的坡长为 米． T21 T22 T2324．一艘货轮由西向东航行，在 东北方向，若灯塔 P 正南方向 4 海里的 程为 海里（结果保留根号） ．面 AB＝12 米，背水坡面 CD＝12 米，∠ B＝ 60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE ＝，则 CE 的长为米．30．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为 α，在 B 处测得塔顶的仰角为 β，又测量出 A 、B 两点的距离为 s 米，则塔高为 米．31．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近 C 处，测得建筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°，随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处，在 D 处测得 A 处的仰角大小为32．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB ，其中一名小组成员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°．已知测角仪的架高 CE ＝ 1.5 米，则这棵树的高度为sin54°＝ 0.8090， cos54°＝ 0.5878， tan54°＝ 1.3764)33．在如图的正方形方格纸中， 每个小的四边形都是相同的正方形， A ，B ，C ，D 都在格点处， AB 与 CD 相交于 O ， 则 tan ∠ BOD 的值等于 ．34．如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A 、 B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B北偏西 45°的方向， AC ＝4km ．游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA 回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B ，设开往码头 A 、 B 的游船速度分别为 v 1、v 2，若回到 A 、B 所用时间相等，则 ＝ 米．（结果保留一位小数．参考数据：T32结果保留根号）35．如图， Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， BC ＝15，t anA ＝ ，则 AB ＝ T36 T3730°，则建筑物 AB 的高度约为米T38 36．如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是40km ，仰角是 30°． n 秒后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上升的高度是37．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从 A 滑行至 B，已知 AB＝ 500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据： sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈ 0.67）38．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA1C＝1， tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算 tan∠ BA4C＝，⋯按此规律，写出 tan∠ BA n C＝（用含 n 的代数式表示）．三．解答题（共 2 小题）39．如图 1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图 2 位置，刀片部分是四边形ABCD ，其中 AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C＝53°，刀鞘的边缘 MN∥PQ，刀刃 BC与刀鞘边缘 PQ 相交于点O，点 A 恰好落在刀鞘另一边缘 MN 上时，∠ COP＝ 37°， OC＝50mm，（ 1）求刀片宽度 h．（ 2）若刀鞘宽度为 14mm，求刀刃 BC 的长度．（结果精确到 0.1mm）（参考数据： sin37°≈ ，cos37°≈ ，40．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB 的宣传牌，点 E和点 D 分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距 E点9米的 C处测得宣传牌底部点 B的仰角为 67°，同时测得教学楼外墙外点 D的仰角为 30°，从点 C沿坡度为 1：的斜坡向上走到点 F时，DF 正好与水平线CE平行．（1）求点 F到直线 CE 的距离（结果保留根号）；（ 2）若在点 F 处测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求出宣传牌 AB 的高度（结果精确到0.01）．（注： sin67°≈ 0.92，tan67°≈ 2.36，≈ 1.41，≈1.73）三角函数中考真题（ 2017）参考答案与试题解析一．选择题（共 18 小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向距离灯塔 30 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 的值为（ ）∵∠ B ＝30°， PC ＝AC ＝40，tanB ＝ ，∴BC ＝ ＝ 30 ，∴AB ＝ AC+BC ＝30+30 ＝30（1+ ）（海里） 故选： C ．2．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度） ，把一根长 5m 的竹竿 AC 斜靠在石坝旁，量出杆长 1m 处的 D 点离地面的高度 DE ＝0.6m ，又量得杆底与坝脚的距离 AB ＝ 3m ，则石坝的坡 度为（ ）解答】 解：如图，过 C 作CF ⊥AB 于F ，则 DE ∥CF，A ． 30（ +1 ）海里 C ． 30（ +1）海里 【解答】 解：由题意得，∠ APC ＝ 45B ． 30（ + ）海里 D ． 60 海里 PA ＝ 30 ，∵sin ∠ APC ＝ ，A ．B ．3C ．D ．4∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 CF ＝ 3， ∴Rt △ACF 中， AF ＝ ＝4，又∵ AB ＝ 3， ∴BF ＝ 4﹣3＝1，∴石坝的坡度为 ＝ ＝ 3， 故选： B ．3．如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ）A ．15 海里B ．30 海里C ． 45 海里D ． 30 海里【解答】 解：作 BD ⊥AP ，垂足为 D根据题意，得∠ BAD ＝30°， BD ＝15 海里， ∴∠ PBD ＝ 60°，则∠ DPB ＝ 30°， BP ＝15×2＝ 30（海里）， 故选： B ．4．某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5米，∠ BCA 约为 29°，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A ．3.5sin29 °米 C ．3.5tan29°米B ．3.5cos29°米 D ．【解答】 解：在 Rt △ABC 中，∵ sin ∠ ACB ＝ ，∴AB ＝ BCsin ∠ ACB ＝3.5sin29°， 故选： A ．5．如图，在距离铁轨 200 米的 B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 A 处时，恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上； 10 秒钟后，动车车头到达 C 处，恰好位于 B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速A ．20（ +1）B ．20（ ﹣ 1）C ．200D ．300 【解答】 解：作 BD ⊥AC 于点 D ．∵在 Rt △ABD 中，∠ ABD ＝60°， ∴AD ＝BD?tan ∠ABD ＝200 （米）， 同理， CD ＝BD ＝200（米）．则 AC ＝ 200+200 （米）． 则平均速度是 ＝ 20（ +1）米 /秒．6．△ ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是（ ）A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ． sin β＝ cos βD ．tan α＝ 1【解答】 解：观察图象可知，△ ADB 是等腰直角三角形， BD ＝AD ＝2，AB ＝2 ，AD ＝2，CD ＝1， AC ＝ ，tan α＝ 1，故 D 正确， ∵ sin β＝ ＝ ， cos β＝ ，∴ sin β≠ cos β，故 C 错误． 故选： C．sin α＝ cos α＝故 A 正确，tanC ＝ ＝ 2，故 B 正确，故选：7．在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝ 4，AC＝1，则 cosB的值为（A．B．C．解答】解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，AB＝4，AC＝1，∴ BC＝＝，则 cosB ＝＝，故选： A ．8．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60nmile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的北偏东 30°方向上的 B处，这时， B 处与灯塔 P的距离为（）A ． 60 nmileB ． 60 nmile C．30 nmile D ． 30 nmile【解答】解：如图作 PE⊥ AB 于 E．在 Rt△PAE 中，∵∠ PAE＝ 45°，PA＝60nmile，∴PE＝ AE＝×60＝30 nmile ，在 Rt△ PBE 中，∵∠ B＝ 30°，∴PB＝ 2PE＝60 nmile ，故选： B ．9．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 3， 4），那么 sinα的值是（）解答】 解：作 AB ⊥x 轴于 B ，如图， ∵点 A 的坐标为（ 3， 4）， ∴ OB ＝ 3，AB ＝ 4， ∴OA ＝＝ 5，在 Rt △AOB 中， sin α＝ ＝ ． 故选： C ．10．如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60° 在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡 CD 的长度为 20m ，DE 的长为 10m ，则树 AB 的高度是（ m ．∠ DCE ＝ 30°∠ BDF ＝ 30° ∠ DBF ＝ 60° ∠ DBC ＝ 30°∴AB ＝BC?sin60°＝ 20 × ＝30m ．故选： B ．方法二：可以证明△ DGC ≌△ BGF ，所BC ＝＝ ＝ 20 m ，A ．B ．C ．D ．，然后 ）A ．20B ．30 【解答】 解：在 Rt △ CDE 中， ∵ CD ＝ 20m ，DE ＝ 10m ，∴ sin ∠ DCE ＝ ＝ ， C ． 30 D ． 40∠ ACB ＝ 60°DF ∥ AE ， ∠ ABC ＝ 30° ∠ DCB ＝90° BF ＝DC ＝ 20，所以 AB ＝ 20+10＝30，以故选： B ．tan ∠ ACB ＝ y ，则（ ）过A 作AQ ⊥BC 于Q ，过E 作EM ⊥BC 于M ，连接 DE ， ∵BE 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝x ， ∴ BD ＝ DE ＝ x ，∵AB ＝ AC ，BC ＝12，tan ∠ ACB ＝y ，＝ ＝y ，BQ ＝CQ ＝ 6， ∴ AQ ＝ 6y ， ∵AQ ⊥BC ，EM ⊥BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为 AC 中点， ∴ CM ＝ QM ＝ CQ ＝ 3， ∴ EM ＝ 3y ，∴ DM ＝ 12﹣ 3﹣ x ＝ 9﹣ x ， 在 Rt△ EDM 中，由勾股定理得： 2即 2x ﹣ y 2＝ 9， 故选：B ．A ．5 米B ．6 米 【解答】 解：如图 AC ＝ 13，作 CB ⊥ AB ，11．如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，BC ＝ 12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D ．设 BD ＝x ，12．如图，一辆小车沿倾斜角为 α的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos α＝ ，则小车上升的高度是（B ．2x ﹣y 2＝92C ．3x ﹣ y ＝D ．4x ﹣ y 2＝ 21解答】 解：2 2 2x 2＝（ 3y ）2+（9﹣ x ）C ． 6.5 米 D ． 12 米∵ cosα＝＝，∴AB＝12，∴ BC＝＝＝ 5，∴小车上升的高度5m．故选： A ．13．如图，电线杆CD的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，∠CAB＝α，则拉线 BC 的长度为（ A、D、B 在同一条直线上））解答】解：∵∠ CAD+∠ACD＝ 90°，∠ ACD+∠BCD＝90°，∴∠ CAD＝∠ BCD ，在 Rt△BCD 中，∵ cos∠ BCD ＝，BC＝故选： B ．14．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为（结果精确到 0.1 米，≈ 1.414）（）A ．34.14 米B ．34.1 米C． 35.7 米【解答】解：过 B 作 BF⊥CD 于 F，作 B′ E⊥BD，∵∠BDB'＝∠ B'DC＝ 22.5°，∴EB'＝B'F，∵∠ BEB′＝ 90°，∴EB′＝ B′ F＝10 ，∴DF ＝ 20+10 ，∴DC ＝DF+FC＝20+10 +1.6≈35.74＝35.7．故选： C ．C．D．h?cosαD．35.74米A．B．15．如图，已知点 C与某建筑物底端 B相距 306米（点 C与点 B在同一水平面上），某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡 CD 行走 195米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度（或坡比） i ＝ 1： 2.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A的俯角为 20°，则建筑物 AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈ 0.342，cos20°≈ 0.940 ，tan20°≈ 0.364 ）（）A ．29.1 米B ．31.9 米C． 45.9 米D． 95.9 米【解答】解：作 DE⊥AB于E点，作 AF⊥DE于F 点，如图，设 DE ＝ xm， CE＝2.4xm，由勾股定理，得2 2 2x 2+（2.4x）2＝ 1952，解得 x≈ 75m，DE＝ 75m， CE＝2.4x＝180m，（方法二：由 i＝ 1：2.4＝5：12，设 DE＝5xm，CE＝ 12xm，由勾股定理，得 CD ＝13x，∴ 13x＝ 195 ，∴ x＝ 15，∴ DE ＝ 75m，CE＝ 180m） EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥ DG，∴∠ 1＝∠ ADG＝ 20°，tan∠1＝ tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝ 0.364，DF＝ 0.364AF＝0.364×126＝45.9， AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣ 45.9≈ 29.1m，故选： A ．16．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE＝3米， CE＝2米，CE平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i＝ 1：0.75，坡长 BC＝ 10 米，则此时 AB 的长约为（）（参考数据： sin40° ≈0.64，cos40°≈ 0.77， tan40°≈ 0.84）．B ．6.3 米C ．7.1 米D ．9.2 米 交 AB 延长线于点 P ，作 CQ ⊥AP 于点 Q ，∵CE ∥AP ， ∴DP ⊥AP ，∴四边形 CEPQ 为矩形， ∴CE ＝PQ ＝2，CQ ＝PE ， ∵ i ＝ ＝ ＝ ， ∵ i ＝＝ ＝ ，∴设 CQ ＝ 4x 、 BQ ＝3x ，由 BQ 2+CQ 2＝BC 2 可得（ 4x ）2+（3x ）2＝102， 解得： x ＝2 或 x ＝﹣ 2（舍）， 则 CQ ＝PE ＝ 8，BQ ＝6， ∴DP ＝DE+PE ＝11，∴AB ＝ AP ﹣BQ ﹣PQ ＝13.1﹣6﹣2＝5.1， 故选： A ．17．如图，在△ ABC 中， AC ⊥ BC ，∠ ABC ＝ 30°，点 D 是CB 延长线上的一点，且 BD ＝BA ，则 tan ∠ DAC 的值为 （）A ．2+B ．2C ． 3+D ． 3 【解答】 解：如图，∵在△ ABC 中， AC ⊥BC ，∠ ABC ＝30°， ∴AB ＝ 2AC ，BC ＝＝ AC ．∵BD ＝BA ，∴DC ＝BD+BC ＝（ 2+ ）AC ， ∴tan ∠ DAC ＝ ＝ ＝2+ ． 故选： A ．A ． 5.1 米【解答】 解：如图，延长在 Rt △ ADP 中，∵ AP ＝≈ 13.1，m，∠ A＝ 35°，则直角边 BC 的长是（C．D．【解答】解： sin∠ A＝，∵ AB＝ m，∠ A＝ 35°，∴BC＝ msin35°，故选： A ．二．填空题（共20 小题）19．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100 米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为50 米（结果保留根号）60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是【解答】解：如图，作 AC⊥ OB 于点 C，∵AO＝ 100米，∠ AOC ＝ 60°，∴AC＝OA?sin60°＝ 100× ＝米．20．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，点 D 是 AB 的中点， ED⊥AB 交 AC 于点 E．设∠ A＝α，且tanα＝，则tan2α＝∵点 D 是 AB 的中点， ED ⊥AB ，∠ A ＝α， ∴ ED 是 AB 的垂直平分线， ∴EB ＝ EA ，∴∠ EBA ＝∠ A ＝ α， ∴∠ BEC ＝ 2α，∵ tan α＝ ，设 DE ＝ a ， ∴ AD ＝ 3a ， AE ＝ ， ∴ AB ＝ 6a ， BC ＝，AC ＝∴ tan2α＝故答案为： ．21．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD ，AE 、DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长AB ＝ 米，背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （i 为 DF 与 FC 的比值），则背水坡 CD 的坡长为 12 米．【解答】 解：∵迎水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长 AB ＝ 米， ∴AE ＝ 6 × sin45°＝ 6（m ），∴∠ C ＝ 30°， 则 DC ＝2DF ＝2AE ＝12m ， 故答案为： 12．22．如图，从楼 AB 的 A 处测得对面楼 CD 的顶部 C 的仰角为 37°，底部 D 的俯角为 45°，两楼的水∴CE ＝ AC ﹣AE ＝∵背水坡 CD 的坡度 i ＝1： （ i 为 DF 与 FC 的比值）， ∴ tan ∠ C ＝ ＝，＝，平距离 BD 为 24m，那么楼 CD 的高度约为 42 m．（结果精确到 1m，参考数据： sin37°≈ 0.6；cos37°≈ 0.8； tan37°≈0.75)【解答】解：在 Rt△ ACE 中，∵ AE＝ 24，∠ CAE＝37°，∴CE＝AE?tan37°≈ 24×0.75＝18，在 Rt△ AED 中，∵∠ EAD＝ 45°，∴AE＝ ED＝24，∴DC＝CE+DE＝18+24≈42．故楼 DC 的高度大约为 42m．23．如图，某城市的电视塔 AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔A 的仰角∠ AMB 为 22.5°，沿射线 MB 方向前进 200 米到达湖边AB 的高度，在点 M 处测得塔尖点测得塔尖点 A 在湖中的倒影A′的俯连接 AN，由题意知， BM⊥ AA'，BA＝BA' ∴AN＝A'N，∴∠ ANB＝∠ A'NB ＝45°，∵∠ AMB ＝ 22.5°，∴∠ MAN ＝∠ ANB﹣∠ AMB ＝22.5°＝∠ AMN，∴ AN＝ MN＝ 200 米，在 Rt△ABN 中，∠ ANB ＝45°，故答案为 100 ．24．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔 P 在它的北偏东 60°方向，继续航行到达 B处，测得灯塔 P 在它的东北方向，若灯塔 P正南方向 4海里的 C 处是港口，点 A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由 A到B 航行的路程为（4 ﹣ 4）海里（结果保留根号）．【解答】解：根据题意得： PC＝4海里，∠ PBC＝90°﹣45°＝45°，∠ PAC＝90°﹣60°＝30°，在直角三角形 APC 中，∵∠ PAC＝ 30°，∠ C＝ 90°，∴ AC＝ PC＝ 4 （海里），在直角三角形 BPC 中，∵∠ PBC＝ 45°，∠ C＝ 90°，∴BC＝PC＝4 海里，∴ AB＝ AC＝ BC＝（ 4 ﹣4）海里；故答案为：（4 ﹣ 4）．25．△ ABC中， AB＝12，AC＝，∠ B＝ 30°，则△ ABC的面积是 21 或 15 ．【解答】解：① 如图 1，作 AD⊥ BC，垂足为点 D，在 Rt△ABD 中，∵ AB＝12、∠ B＝30°，在 Rt △ACD 中， CD ＝ ＝ ＝ ，∴BC ＝ BD+CD ＝ 6 + ＝7 ，则 S △ABC ＝ × BC ×AD ＝ ×7 × 6＝21 ；【解答】 解： A 、∵∠ A ＝ 52°，∴∠ ABC+∠ ACB ＝ 180°﹣∠ A ＝128°， ∵BD 平分∠ ABC 、 CE 平分∠ ACB ， ∴∠ 1＝ ∠ABC 、∠ 2＝ ∠ ACB ，则∠ 1+∠2＝ ∠ABC+ ∠ACB ＝ (∠ ABC+∠ACB)＝ 64 故答案为： 64°； B 、tan38°15′≈ 2.5713× 0.7883≈ 2.03，故答案为： 2.03．27．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，距离灯塔 86n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，此时， B 处与灯塔 P 的距离约为 102 n mile ．（结果取整数，参 考数据： ≈1.7， ≈ 1.4）∴AD ＝ AB ＝6， BD ＝ ABcosB ＝ 12 × ＝6 ，由① 知， AD ＝6、BD ＝6 、CD ＝ ，则 BC ＝BD ﹣ CD ＝5 ，∴ S △ABC ＝ × BC ×AD ＝ × 5 × 6＝15 ，故答案为： 21 或 15 ．26．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A ．如图，在△ ABC 中，BD 和 CE 是△ ABC 的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠ 1+∠2 的度数为 64°② 如图 2，作 AD ⊥BC ，交 BC 延长线于点 D ，解答】解：过 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，∵一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 60°方向，距离灯塔 86nmile 的 A处，∴∠ MPA＝∠ PAD ＝60°，∴PD ＝ AP?sin∠ PAD＝86×＝ 43 ，∵∠ BPD＝ 45°，∴∠ B＝ 45°．在 Rt△ BDP 中，由勾股定理，得BP＝＝＝43 × ≈ 102（ nmile ）．故答案为： 102．28．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点 B 处测得点 A 在点 B 的北偏东 30°方向上，小明沿河岸向东走 80m后到达点 C，测得点 A在点 C的北偏西 60°方向上，则点 A到河岸 BC 的距离为20 米．【解答】解：方法 1、过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．根据题意，∠ ABC＝90°﹣ 30°＝ 60°，∠ ACD ＝30°，设 AD＝x 米，在 Rt△ ACD 中，tan∠ACD ＝，DG ＝ 6 米，∴CD ＝ ＝ ＝ x ，在 Rt △ABD 中， tan ∠ABC ＝ ， ∴BD ＝＝＝ x ，∴BC ＝ CD+BD ＝ x+ x ＝80∴ x ＝ 20 答：该河段的宽度为 20 米． 故答案是： 20 米．方法 2、过点 A 作AD ⊥BC 于点 D ．根据题意，∠ ABC ＝90°﹣ 30°＝ 60°，∠ ACD ＝30°， ∴∠ BAC ＝180°﹣∠ ABC ﹣∠ ACB ＝ 90 °， 在 Rt △ABC 中， BC ＝80m ，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝ 40m ，AC ＝40 m ，∴ S △ABC＝ AB × AC ＝ × 40×40 ＝800 ，∵ S △ABC ＝ BC ×AD ＝ × 80× AD ＝ 40AD ＝ 800 ， ∴AD ＝ 20 米答：该河段的宽度为 20 米． 故答案是： 20 米．29．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 ＝12 米，背水坡面 CD ＝12 米，∠ B ＝ 60°，加固后拦水坝的横断面为梯形【解答】 解：分别过 A 、D 作 AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂点分别为 F 、G ，如图所示． ∵在 Rt △ABF 中，AB ＝12米，∠ B ＝60°， ∴sin ∠ B ＝ ， ∴AF ＝ 12× ＝6 ，∴DG ＝6 ．∵在 Rt △ DGC 中， CD ＝ 12，ABCD ．已知迎水坡面 AB ABED ，tanE ＝ ，则 CE 的长为 8 米．∴CE ＝GE ﹣CG ＝26﹣18＝ 8． 即 CE 的长为 8 米． 故答案为 8．解答】 解：在 Rt △ BCD 中，∵ tan ∠ CBD ＝ ， ∴BD ＝在 Rt △ ACD 中，∵ tan ∠ A ＝ ＝ ∴ tan α＝解得： CD ＝ 故答案为：．筑物顶端 A 处的仰角大小为 45°，随后沿直线 BC 向前走了 100 米后到达 D 处，在 D处测得 A 处的仰角大小为注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：30．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔顶的仰角为仰角为 β，又测量出 A 、B 两点的距离为 s 米，则塔高为 米．α，在 B 处测得塔顶的31．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物 AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近 C 处，测得建 30°，则建筑物 AB 的高度约为 137 米． ≈1.41， ≈ 1.73)【解答】解：设 AB＝x 米，在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB＝ 45°，∴BC＝ AB＝ x 米，则 BD ＝BC+CD ＝x+100 （米），在 Rt△ABD 中，∵∠ ADB ＝30°，∴tan∠ ADB＝＝，即＝，解得： x＝ 50+50 ≈137，即建筑物 AB的高度约为 137 米故答案为： 137．32．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 米的点 E处，测得树顶 A 的仰角为 54°．已知测角仪的架高 CE＝1.5 米，则这棵树的高度为15.3 米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝ 0.8090， cos54°＝ 0.5878， tan54°＝ 1.3764）【解答】解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB，垂足为 D．则四边形 CEBD 是矩形， BD＝CE＝1.5m，在Rt△ACD 中，CD＝EB＝10m，∠ ACD＝54°，∵tan∠ ACE＝，∴AD＝CD?tan∠ACD ≈10×1.38＝13.8m．∴AB＝ AD+BD＝13.8+1.5 ＝15.3m．答：树的高度 AB 约为 15.3m．故答案为 15.333．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处， AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠ BOD 的值等于 3 ．∴ tan ∠ BOD ＝ 3 ， 故答案为： 3． 方法二：连接 AM 、 NL ， 在△ CAH 中， AC ＝ AH ， 则 AM ⊥CH ，同理，在△ MNH 中， NM ＝ NH ， 则 NL ⊥MH ， ∴∠ AMO ＝∠ NLO ＝90°， ∵∠ AOM ＝∠ NOL ， ∴△ AOM ∽△ NOL ， ∴， ∴，设图中每个小正方形的边长为则 AM ＝2 a ，NL ＝ a ， ∴ ＝ 2， ∴＝ 2，∵NL ＝ LM ， ∴， ∴，∴tan ∠ BOD ＝tan ∠ NOL ＝ ＝3， 故答案为： 3．方法三：连接 AE 、 EF ，如右图所示，【解答】 解：方法一：平移 CD 到C ′D ′交 AB 于 O ′，如右图所示， 则∠ BO ′D ′＝∠ BOD ，∴tan ∠ BOD ＝ tan ∠ BO ′D ′， 设每个小正方形的边长为 a ， 则 O ′ B ＝，O ′D ′＝， BD ′＝ 3a ，作 BE ⊥ O ′ D ′于点 E ， 则 BE ＝ ，∴O ′E ＝＝ ，∴ tanBOE ＝ ，a ，则 AE∥ CD，∴∠ FAE＝∠ BOD，设每个小正方形的边长为 a，则 AE＝，AF＝，EF ＝a，∵，∴△ FAE 是直角三角形，∠ FEA＝ 90°，∴tan∠FAE＝，34．如图，在一笔直的沿湖道路 l 上有 A、 B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东 60°的方向，在码头 B 北偏西 45°的方向， AC＝4km．游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 CA回到码头 A或沿CB回到码头 B，设开往码头 A、B 的游船速度分别为 v1、v2，若回到 A、B 所用时间相等，则＝（结果保留根号）【解答】解：作 CD⊥AB 于点 B．∵在 Rt△ACD 中，∠ CAD＝90°﹣ 60°＝ 30°，∴CD ＝AC?sin∠CAD ＝4× ＝2（km），∵Rt △BCD 中，∠ CDB ＝90∴BC ＝ CD ＝2 （km ），∴ ＝ ＝ ＝故答案是： ．【解答】 解：∵ Rt △ABC 中，∠ C ＝90°， tanA ＝ ， BC ＝ 15，∴＝，∴＝，解得 AC ＝ 8，根据勾股定理得， AB ＝ ＝ ＝17 ．故答案为： 17．36．如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得40km ，仰角是 30°．n 秒后， 火箭到达 B 点， 此时仰角是 45 °，则火箭在这 n 秒中上升的高度是km ．【解答】 解：在 Rt △ ARL 中，∵LR ＝ AR?cos30°＝ 40× ＝20 35．如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝15，tanA ＝ ，则 AB ＝17AR 的距离是 20 ﹣ 20）km ），AL ＝AR?sin30°＝ 20（ km ），在 Rt△BLR 中，∵∠ BRL＝ 45°，∴RL＝ LB＝20 ，∴AB＝LB﹣AL＝（ 20 ﹣ 20）km，故答案为（ 20 ﹣ 20）km．37．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34°的斜坡，从 A 滑行至 B ，已知 AB ＝ 500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米．（参考数据： sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈ 0.67）【解答】 解：如图在 Rt △ABC 中，AC ＝ AB?sin34°＝ 500×0.56≈280m ， ∴这名滑雪运动员的高度下降了 280m ．【解答】 解：作 CH ⊥ BA 4于 H ，由勾股定理得， BA 4＝ ＝ ，A 4C ＝ ，△ BA 4C 的面积＝ 4﹣ 2 ﹣∴ × ×CH ＝ ，解得， CH ＝ ，则 A 4H ＝ ＝ ，∴tan ∠ BA 4C ＝ ＝ ，4C ＝ ＝ ，21＝ 12﹣1+1，3＝ 22﹣2+1，38．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan ∠BA 1C ＝1， tan ∠BA 2C ＝ ，tan ∠BA 3C ＝，计算 tan ∠ BA 4C ＝ ⋯按此规律，写出 tan ∠BA n C ＝ （用含 n 的代数式表示） ．27＝ 3 ﹣3+1，∴tan∠ BA n C＝故答案为：；三．解答题（共 2 小题）39．如图 1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图 2 位置，刀片部分是四边形ABCD ，其中 AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C＝53°，刀鞘的边缘 MN∥PQ，刀刃 BC 与刀鞘边缘 PQ 相交于点O，点 A 恰好落在刀鞘另一边缘 MN 上时，∠ COP＝ 37°， OC＝50mm，（ 1）求刀片宽度 h．（ 2）若刀鞘宽度为 14mm，求刀刃 BC 的长度．（结果精确到 0.1mm）（参考数据： sin37°≈ ，cos37°≈ ，【解答】解：（ 1）作 DE⊥BC 于 E，在 Rt△DEC 中，∠ CDE ＝90°﹣ 53°＝ 37°，∴DE＝DC?cos37°＝ 15× ＝12，即：刀片的宽度 h 为 12mm；2）作 AF⊥PQ 于 F，延长 AB 交 PQ于 G，∵∠ COP＝ 37°，∴∠ BOG＝∠ FAG＝37°，在 Rt△AFG 中， AF＝14，∴∠ OBG＝ 90°，在 Rt△BOG 中， BO＝∴ AG ＝，BG＝AG﹣AB＝， AB⊥ BC ，∴BC＝ OC+OB＝ 50+ ≈57.3．40．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点 E和点 D 分别是教学楼底部和外墙上的一点（ A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距 E点9米的 C处测得宣传牌底部点 B的仰角为 67°，同时测得教学楼外墙外点 D的仰角为 30°，从点 C沿坡度为 1：的斜坡向上走到点 F时，DF 正好与水平线CE平行．（1）求点 F到直线 CE 的距离（结果保留根号）；（ 2）若在点 F 处测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求出宣传牌 AB 的高度（结果精确到0.01）．（注： sin67°≈ 0.92，tan67°≈ 2.36，≈ 1.41，≈1.73）【解答】解：（1）过点 F作 FH⊥CE 于H．∵FD ∥CE，∵ FH ∥ DE，DF ∥ HE ，∠ FHE＝90°，∴四边形 FHED 是矩形，则 FH ＝DE，在 Rt△CDE 中， DE ＝ CE ?tan∠ DCE ＝ 9× tan30°＝ 3 （米），∴FH ＝DE＝3 （米）．答：点 F 到 CE 的距离为 3 米．（2）∵ CF 的坡度为 1：，∴在 Rt△FCH 中， CH＝ FH ＝ 9（米），∴EH＝DF＝18（米），在 Rt△BCE 中， BE＝CE?tan∠BCE＝9×tan67°≈21.24（米），∴AB＝ AD+DE﹣BE＝18+3 ﹣21.24≈1.95（米），答：宣传牌 AB 的高度约为 1.95 米．。
中考复习初中数学中的三角函数计算题
中考复习初中数学中的三角函数计算题三角函数是中学数学中的重要内容之一，在中考中也是一个常见的考点。
掌握好三角函数的计算方法对于解题非常有帮助。
本文将从不同角度介绍三角函数的计算问题。
一、三角函数的基本概念在介绍计算问题之前，我们首先来回顾一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数sin，余弦函数cos，正切函数tan等。
它们的定义如下：正弦函数sinθ = 对边 / 斜边余弦函数cosθ = 临边 / 斜边正切函数tanθ = 对边 / 临边这些基本的定义是我们进行计算的基础。
二、三角函数的计算方法1. 已知一个角度求三角函数值有时题目可能给出一个角度，要求计算该角度对应的三角函数值。
这种情况下，我们根据角度的定义可以直接计算出sin、cos、tan的值。
例如，如果给定一个角度θ，求sinθ的值，只需根据sin的定义计算出对应的比值即可。
2. 已知一个三角函数值求角度另一种情况是已知一个三角函数值，要求求出对应的角度。
这时我们需要运用反函数来计算。
例如，如果已知sinθ的值，要求求出对应的角度θ，我们需要使用反正弦函数arcsin。
3. 利用三角函数求解三角形的边长和角度三角函数不仅可以应用在一个角度的计算中，还可以在解决三角形的问题中发挥作用。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数计算出第三边的长度。
又如，已知一个三角形的两边长度和一个角度，可以利用三角函数计算出另外两个角度的大小。
4. 利用三角函数解决实际问题除了在纯数学计算中应用，三角函数还可以应用在实际问题的解决中。
例如，要计算一个倾斜面上物体的滑动速度、计算两个建筑物之间的高度差等等。
在这些问题中，我们会利用三角函数的计算来求解。
三、例题分析为了更好地理解三角函数的计算问题，我们来看几个例题：例题1：已知三角形ABC中，∠B = 30°，边AC = 4cm，边BC =6cm，求边AB的长度。
解析：根据已知条件，我们可以利用余弦定理来计算边AB的长度。
2017中考数学真题汇编-----解直角三角形(含解析)
2017中考数学真题汇编-----解直角三角形一．选择题（共12小题）1．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．33．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=214．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=，则BC等于（）A．B．1 C．2 D．37．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（）A．B．C．D．8．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°C．AC=2D．BC=49．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（）A．2 B．C．D．10．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（）A．B．7C．4+3D．3+411．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共12小题）13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB=．14．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=．16．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC=．18．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．19．如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD 上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是．20．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．21．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．22．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC 上，若，则=．23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=．24．如图，已知∠BAC=60°，在角的内部有一点P，P到AB的距离为，P 到AC的距离为3，则点P到顶点A的距离为．三．解答题（共16小题）25．把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1=，sin2A2+cos2A2=，sin2A3+cos2A3=；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．26．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．27．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．29．阅读下面的材料：（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c==，于是就有（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c•sinB，∴S△ABC=a•AD=ac•sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b•sinC．∴S△ABC =a•AD=ab•sinC．同理可得S△ABC=bc•sinA．因此有S△ABC=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．每项都除以abc，得，故请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求问题（1）中△ABC的面积；（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）30．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．（1）求证：CB=CD；（2）若∠BCD=90°，AO=2CO，求tan∠ADO．31．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，求BE的长．32．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=．（1）求BC的长；（2）点D在边AB上，且AD=1，M为边BC上一动点，连接DM．当△BDM是直角三角形时，求BM的长．33．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．34．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E，AB=9，cos∠BAC=，tan∠DBC=．求：（1）边CD的长；（2）△BCE的面积．35．定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦，记作thi A，即thi A==．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thi A的值；（2）若thi A=，则∠A=°；（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．36．在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．经过同学们的思考后，甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；丙同学说那就要先求出AD=，BD=；（用含c，∠B的三角函数表示）丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2=（其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．37．如图，在平面直角坐标内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．（1）求点B的坐标；（2）求tan∠BAO的值．38．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线．（1）比较∠BAD和∠DAC的大小．（2）求sin∠BAD．39．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=10，tan∠BAC=，求菱形ADCE的面积．40．喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研究，他发现：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，于是他大胆猜想：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（α和β为锐角）．将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（a）和图2（b）．如图，锐角为α的直角三角形斜边为m，锐角为β的直角三角形斜边为n，请你借助图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立．参考答案与解析一．选择题（共12小题）1．（2017•安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC==，∴cos∠A=cos∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．故选B．【点评】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．2．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2 C．3+D．3【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，∴AB=2AC，BC==AC．∵BD=BA，∴DC=BD+BC=（2+）AC，∴tan∠DAC===2+．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．3．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴==y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2=9，故选B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．4．（2017•怀化）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】作AB⊥x轴于B，如图，先利用勾股定理计算出OA=5，然后在Rt△AOB 中利用正弦的定义求解．【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB=3，AB=4，∴OA==5，在Rt△AOB中，sinα==．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形：充分利用勾股定理和三角函数的定义计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=，则BC等于（）A．B．1 C．2 D．3【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：如图：∵cosA=，∴=，又∵AC=，∴BC==1．故选B．【点评】本题主要考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键．7．如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（）A．B．C．D．【分析】方法1、利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．方法2、先求出AD，即可得出结论．【解答】解：方法1、设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得，则直线AB的解析式是y=﹣x+2．在y=﹣x+2中令y=0，解得x=．则B的坐标是（，0），即OB=．则tan∠OAB===．故选B．方法2、过点C作CD⊥y轴，∵C（﹣2，5），∴CD=2，OD=5，∵A（0，2），∴OA=2，∴AD=OD﹣OA=3，在Rt△ACD中，tan∠OAB=tan∠CAD=，故选B．【点评】本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得B 的坐标是关键．8．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°C．AC=2D．BC=4【分析】A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAF，利用勾股定理即可AF=OE==，从而得出AC=2AF=2，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM=，OM=AO﹣AM=，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵∠OBC=∠AOB，∴OA∥BC，∴∠OAC=∠ACB．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠ACB，∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、∵OA=OB，∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．∵∠OAC=∠OCB=∠AOB，∠OAB=∠OBA，∴∠OAB+∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．∵OA=OB，∴∠AOE=∠AOB=∠OAF．在△AOE和△OAF中，，∴△AOE≌△OAF（AAS），∴AF=OE==，∴AC=2AF=2，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，∴∠AOE=∠ABM．∵∠AEO=∠AMB=90°，∴△AOE∽△ABM，∴，∴AM=，OM=AO﹣AM=．∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，∴四边形MBNO为矩形，∴BN=OM=．∵OB=OC，ON⊥BC，∴BC=2BN=7，结论D错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若点E是BC的中点，则sin∠CAE的值为（）A．2 B．C．D．【分析】如图，由于在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的边长可以利用勾股定理求出，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：依题意得AB==，AC==2BC==5，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，又∵E为BC的中点，∴AE=CE，∴∠CAE=∠ECA，∴sin∠CAE=sin∠ECA==．故选D．【点评】此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形求出三角形的边长，然后利用勾股定理及其逆定理和三角函数即可解决问题．10．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（）A． B．7 C．4+3D．3+4【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长．过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD．根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长．【解答】解：过B作BF⊥DE于F．在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=，∴BD=8．在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，∴BE=5．在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，∴DF=BD•cos30°=4．在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5，∴EF=BE•cos∠BEF=3．∴DE=DF+EF=3+4，故选D．【点评】此题主要考查的是圆周角定理和解直角三角形的综合应用，难度适中．11．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1，若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点A到OC的距离为sin36°sin54°C．点B到AO的距离为tan36°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、C；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断B、D．【解答】解：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、C选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故B选项正确，D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．12．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A．B．C．D．【分析】过点A构造∠ADB所在的直角三角形，设AE为1，得到DE的值，相除即可．【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延长线于点E．由题意可得：∠ABE=∠CBD=45°，设AE=1，则AB=∴BC=，∵Rt△BCD是等腰直角三角形，∴BD=，∴DE=1+，∴tan∠ADB=1÷（+1）=．故选D．【点评】考查解直角三角形的知识；构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点．二．填空题（共12小题）13．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB=17．【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，∴=，解得AC=8，根据勾股定理得，AB===17．故答案为：17．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．14．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E==，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3，故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．15．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=．【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2α的值，本题得以解决．【解答】解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠EBA=∠A=α，∴∠BEC=2α，∵tanα=，设DE=x，∴AD=3a，AE=，∴AB=6a，∴BC=，AC=∴CE=，∴tan2α==，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．16．（2017•舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．【解答】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4==，A4C=，△BA4C的面积=4﹣2﹣=，∴××CH=，解得，CH=，则A4H==，∴tan∠BA4C==，1=12﹣1+1，3=22﹣2+1，7=32﹣3+1，∴tan∠BA n C=，故答案为：；．【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC=8．【分析】可设DE为未知数，表示出AC，CD，根据∠B的正弦值得到BD的值，易得∠B的正切值，进而在△ABC中利用得到的正切值即可求得未知数，也就求得了BC长．【解答】解：设DE为x，则CD=x，AC=9﹣x，∵sinB=，∴BD=x，tanB=，∴=，=，解得x=3，∴BC=x+x=8，故答案为8．【点评】考查解直角三角形的相关知识；熟练掌握三角函数的定义并灵活进行应用是解决本题的关键．18．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，∴=，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴AD===10，∴cos∠ADC==．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．19．如图，在等腰三角形中，AB=AC，BC=4，D为BC的中点，点E、F在线段AD 上，tan∠ABC=3，则阴影部分的面积是6．【分析】由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，阴影部分的面积是三角形面积的一半．根据BC=4，D为BC的中点，tan∠ABC=3可求AD，然后利用阴影部分即可求解．面积=S△ABC【解答】解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC是轴对称图形，AD所在直线是对称轴，．∴阴影部分面积=S△ABC∵AB=AC，BC=4，D为BC的中点，∴BD=DC=BC=2，AD⊥BC，∴tan∠ABC===3，∴AD=6，=××4×6=6．∴阴影部分面积=S△ABC故答案为6．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现阴影部分的面积是三角形面积的一半是正确解答本题的关键．20．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．21．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8．【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，于是，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为 4.8．【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．22．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC 上，若，则=．【分析】如图所示，作出辅助线，可知三角形ABK是等边三角形，设出正方形的边长，解直角三角形求出BG．再计算比值．【解答】解：如图，作EK⊥FG，K是FG的中点，连AK、KB，易知E、K、G、B 和E、K、F、A分别四点共圆∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°．∴三角形ABK是等边三角形作KM⊥AB，M是AB的中点，设AB=6则EB=AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=3∴EK=；；．故．故答案为．【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=14．【分析】延长AB与DC的延长线相交于点E，构造了两个30°的直角三角形，首先在直角三角形CBE中求得BE的长，再进一步在直角三角形ADE中，求得AD 的长，再在直角三角形BAD中由勾股定理求得BD．【解答】解：如图，延长AB与DC的延长线相交于点E．在Rt△ADE中，∵∠ADE=60°，∴∠E=30°．在Rt△BCE中，sinE=，∴BE==4，∴AE=AB+BE=11+4=15．在Rt△DAE中，tanE=，∴AD=AE•tanE=15×=5，在Rt△BAD中，BD===14，故答案为：14．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键要特别注意构造30°的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解．24．如图，已知∠BAC=60°，在角的内部有一点P，P到AB的距离为，P 到AC的距离为3，则点P到顶点A的距离为5．【分析】延长BP，AC交于点D，构造出两个特殊的直角三角形，易得PD的值，也就求得了BP的值，进而求得AB的值，利用勾股定理即可求得AP的值．【解答】解：延长BP，AC交于点D，连接AP．∵∠D=30°，PC=3，∴PD=6，∴BD=BP+PD=4.5+2，∴AB=+2，PA===5．故答案为5．【点评】考查解直角三角形的相关知识；把四边形转换为直角三角形求解是常用的解题思路．三．解答题（共16小题）25．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1=1，sin2A2+cos2A2=1，sin2A3+cos2A3=1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．【解答】解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，故答案为：1、1、1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，故答案为：1；（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，即sin2A+cos2A=1；（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，∵sin2A+cos2A=1，∴（）2+cosA2=1，解得：cosA=或cosA=﹣（舍），∴cosA=．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．26．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴BE=AE=×80=40（米）；（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠CED=∠AEB=60°，∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），则BD=DE+BE=40+40=80（米）．【点评】本题考查了解直角三角形，正确理解三角函数的定义，理解边角关系是关键．27．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）【分析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin ，∴mm在Rt△ADF中，cos ，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．【点评】本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC =S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC =S△ADC，∴S△BDC =S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．29．阅读下面的材料：（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA=，sinB=是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c==，于是就有（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c•sinB，∴S△ABC=a•AD=ac•sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b•sinC．∴S△ABC =a•AD=ab•sinC．同理可得S△ABC=bc•sinA．因此有S△ABC=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．也就是=ac•sinB=ab•sinC=bc•sinA．每项都除以abc，得，故请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：（1）在锐角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求问题（1）中△ABC的面积；（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）【分析】（1）根据阅读材料得到，则=，可计算出b=；（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，利用余弦的定义得cosB=cos60°=，可计算出BD=1，在Rt△ADC中，根据等腰直角三角形的性质得AD=CD=AC=，所以BC=BD+CD=+1，然后根据三角形面积公式计算得到△ABC的面积=；（3）先根据三角形内角和定理得到∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，再根据阅读材料得到△ABC的面积=bcsinA，即••2•sin75°=，可计算出sin75°=．【解答】解：（1）∵，∴=，∴b==；（2）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中，cosB=cos60°==，∴BD=1，在Rt△ADC中，AD=CD=AC=×=，∴BC=BD+CD=+1，∴△ABC的面积=××（+1）=；（3）∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=75°，∴△ABC的面积=bcsinA，∴••2•sin75°=，∴sin75°=．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．30．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．（1）求证：CB=CD；（2）若∠BCD=90°，AO=2CO，求tan∠ADO．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角的和差得到∠CBD=∠CDB，于是得到结论；。
中考数学热点专练17 锐角三角函数
(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作 sinA ＝ ∠A 的对边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作 cota ＝ ∠A 的邻边热点 17 锐角三角函数【命题趋势】锐角三函数是中考数学中必考内容之一，所占比例 8—15 分，题目数量 2-3 题。
一般小题会有一个，一般为填空或计算，考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。
大题一般也会有一题，主要是考查锐角三角函数的实际应用，往往会结合仰角和俯角，坡度等概念进行设计问题，当然在其他解答题中也可能会用到三角函数，比如在计算一些线段长度，会与解直角三角形，或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。
【满分技巧】一、 整体把握知识结构二．重点知识1.Rt △ABC 中斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作 cosA ＝(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作 tanA ＝∠A的邻边 斜边∠A 的对边∠A 的邻边∠A 的对边30°322160°3∴sin∠BAC＝＝2.特殊值的三角函数：a sina cosa tana cota13322345°122312233【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.(2019湖北省宜昌市)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1△，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝AD2+CD2＝5．CD4AC5故选：D．【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝ ，2. (2019 湖南省湘西市)如图，在△ ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，连接 BD ，若 cos ∠BDC ＝ ，则 BC 的长是（）A ．10B ．8C ．4D ．2【答案】D57设 CD ＝5x ，BD ＝7x ，∴BC ＝2 6 x ，∵AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D ，∴AD ＝BD ＝7x ，∴AC ＝12x ，∵AC ＝12，∴x ＝1，∴BC ＝2 6 ；故选：D ．3. (2019 湖南省长沙市)如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE上的一个动点，则 CD + BD 的最小值是（ ）∵tanA ＝ =2，设 AE ＝a ，BE ＝2a ，A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】B【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ，CM ⊥AB 于 M ．∵BE ⊥AC ，∴∠ABE ＝90°，BEAE则有：100＝a 2+4a 2，∴a 2＝20，∴a ＝2 5 或﹣2 5 （舍弃），∴BE ＝2a ＝4 5 ，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AC ，∴CM ＝BE ＝4 5 （等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH ＝ ＝ ＝ ，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥45，∴CD+BD的最小值为45．故选：B．4.(2019山东省泰安市)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30【答案】BB．30+10C．10+30D．30【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，，在△Rt ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30∴AE＝BE＝AB＝30km，在△Rt CBE中，∵∠ACB＝60°，，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．5.(2019陕西省)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。
09-17年陕西中考数学正题副题三角函数与三角形相似汇编
09-17年陕西中考数学正题副题三角函数与三角形相似汇编09年：20．（本题满分8分）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼在墙上的影子高度 1.2CD =m ，0.8CE =m ，30CA =m （点A E C 、、在同一直线上）． 已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．10年20 再一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A 与他正东方向的亭子B 之间的距离，如图他们选择了与码头A 、亭子B 在同一水平面上的点P 在点P 处测得码头A 位于点P 北偏西方向30°方向，亭子B 位于点P 北偏东43°方向；又测得P 与码头A 之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A 与B 的距离。
11年：20．（本题满分8分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①、先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②、甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A,点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米，（π取3.14，结果精确到0.1米）S12年20．（本题满分8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45︒方向（点A B C、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：，，，sin250.4226cos250.9063tan250.4663sin650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈，，）cos650.4226tan65 2.1445︒≈︒≈13年：20.（本题满分8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度.如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立向高AM 与其影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高度CD 的长.（精确到0.1m ）14年：20、（本题满分8分） 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺来测量这一条河流的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距离地面的距离CB=1.2米。
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2017年中考数学真题三角函数汇总1、如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，2、18．（7分）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）3、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．4、海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在正西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）5、如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）6、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）≈1.73）7、如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：A． 40海里 B． 40海里C． 80海里D． 40海里sin2A1+sin2B1= ；sin2A2+sin2B2= ；sin2A3+sin2B3= ．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．8、如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈） B 36.9° C P 67.5°A （第22题图）9、钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B 处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）10、如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A． 20海里B． 10海里 C． 20海里 D． 30海里2017年中考数学专题复习三角函数一选择题：1.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米2.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA 与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．2米 B．2米C．（4+22）米 D．（4+4tanθ）米3.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°米C．AC=1.2tan10°米 D．AB=4.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A． B．2 C． D．5.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A 的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．25第 1 页共 1 页2017年中考数学专题复习6.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里 B．45海里 C．20旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的值为（）海里 D．30海里7.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则kA．3 B．4 C．6 D．88.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）A．169米 B．204米 C．240米 D．407米8.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4第 2 页共 2 页2017年中考数学专题复习29.已知抛物线y=﹣x﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A． B． C． D．210.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A． B． C． D．二填空题：11.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．12.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．13.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC= ．AC．14.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，若∠B=56°∠C=45°tan56°≈1.5），，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为米．（sin56°≈0.8，第 3 页共 3 页2017年中考数学专题复习15.如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D 是l2上的两点,某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°,再沿AB 方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．16.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）（参考数据：sin43°17.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．第 4 页共 4 页2017年中考数学专题复习18.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°19.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．β为任意角时，sinsin=sinα?cosβ+cosα?sinβ；20.一般地，当α、（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：（α+β）sin=sinα?cosβ﹣cosα?sinβ．=sin+30°=sin60°?cos30°+cos60°?sin30°=（α﹣β）例如sin90°（60°）×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．21.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）2017年中考数学专题复习22.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A 到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）23.某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）24.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）第 6 页共 6 页2017年中考数学专题复习25.2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）26.如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全现要作一个不锈钢C）扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC （杆子的地段分别为D、，且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92）（1）求点D与点C的高度DH；（2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米）27.南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B 的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第 7 页共 7 页2017年中考数学专题复习28.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？29.芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，≈1.732）请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，30.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈用根号表示，不取近似值）．，计算结果第 8 页共 8 页2017年中考数学专题复习31．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．（1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）（2）求旗杆CD的高度．32.如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．33.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．第 9 页共 9 页2017年中考数学专题复习34.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）35.在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC 为80m．她先测得∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D 点，又测得塔顶E的仰角为50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）36.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）。