第14讲 函数的应用 2(sl)
第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
(1) 如果 m＝2，求经过多长时间，物体的温度为 5 ℃； 【解答】 若 m＝2，则 θ＝2·2t＋21－t＝22t＋21t， 当 θ＝5 时，2t＋21t＝52， 令 2t＝x≥1，则 x＋1x＝52， 即 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝12(舍去)，此时 t＝1. 所以经过 1 min，物体的温度为 5 ℃.
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第二章 基本初等函数
第二章 基本初等函数 第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
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60 000－100x，x＞400. 当 0≤x≤400 时，P(x)＝300x－12x2－20 000＝－12(x－300)2＋25 000，所以当 x＝300
时，P(x)max＝P(300)＝25 000.
当 x＞400 时，函数 P(x)＝60 000－100x 是减函数，没有最大值，且 p(x)<20 000.
A. 该食品在 6 ℃的保鲜时间是 8 h B. 当 x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 的增大而逐渐减少 C. 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D. 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
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第二章 基本初等函数
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(2) 若物体的温度总不低于 2 ℃，求 m 的取值范围． 【解答】 物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立， 即 m·2t＋22t ≥2 恒成立，亦即 m≥221t－212t恒成立． 令21t＝x，则 0<x≤1，所以 m≥2(x－x2)． 由于 x－x2≤14，所以 m≥12， 因此 m 的取值范围是12，＋∞.
新高考数学通用版总复习一轮课件第二章第14讲函数模型及其应用
【考法全练】 1.个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额 为应纳税所得额.每次收入不超过 4000 元的，定额减除费用 800 元；每次收入在 4000 元以上的，定率减除 20%的费用.适用 20% 的比例税率，并按规定对应纳税额减征 30%，计算公式为： (1)每次收入不超过 4000 元的，应纳税额＝(每次收入额－ 800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在 4000 元以上的，应纳税额＝每次收入额× (1－20%)×20%×(1－30%). 已知某人出版一份书稿，共纳税 280 元，则这个人应得稿 费(扣税前)为________元.
图 2-14-1
A.上午 10：00
B.中午 12：00
C.下午 4：00
D.下午 6：00
解析：当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x，把(4，320)代入，得 k1 ＝80.∴y＝80x.当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20， 0)分别代入，可得42k02k＋2＋b＝ b＝3020，， 解得kb2＝＝4－002.0，
(2)①由(1)，得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6.
∴总利润 y＝8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业 可获总利润为 y 万元. 则 y＝14(18－x)＋2 x，0≤x≤18.
令 x＝t，t∈[0，3 2]，
则 y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋127.
∴
y
＝
400
－
20x.
∴
y
＝
f(x)
＝
80x，0≤x≤4， 400－20x，4<x≤20.
由
y≥240，得800≤x≥x≤2440， 或440<0x－≤2200x，≥240. 解得 3≤x≤4 或
中考数学总复习 第14讲 函数的应用教学案
第14讲函数的应用陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重函数的应用1.能用一次函数解决实际问题，结合具体情境体会一次函数的意义；2.能用反比例函数解决某些实际问题，结合具体情境体会反比例函数的意义；3.能用二次函数解决简单的实际问题，通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义2014 选择题10 3一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算)2013 解答题21 8一次函数的实际应用2012 解答题21 8一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算)6.7%考查，且都稳定在第21题，分值为8分，考查形式一般有两种，一种是结合图象考查，一种为涉及图象，而对于反比例函数和二次函数的实际应用没有考查过．预计在2015年的中考中，本节内容仍会在解答题第21题考查一次函数的实际应用，结合图象考查的可能性较大，考生在复习时应熟练掌握本节的考点，通过做习题多加训练，以便从容应考．1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg 收费22元，超过1 kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？解：(1)由题意，得，当0＜x≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时y ＝28＋10(x －1)＝10x＋18；∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x≤1）10x ＋18（x ＞1） (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)由图象可设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，当x ＝1.5时，y ＝90；所以：1.5k ＝90解得k ＝60即y ＝60x(0≤x ≤1.5)，当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x＋b ，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b 解得：k′＝80，b ＝－30，所以y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5) (3)当x ＝2时，代入得：y ＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 与x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.∴y ＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米一次函数相关应用题【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．解：(1)按优惠方案①可得y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y 2＝(5x ＋20×4)×90%＝4.5x ＋72(x≥4) (2)因为y 1－y 2＝0.5x －12(x≥4)，①当y 1－y 2＝0时，得0.5x －12＝0，解得x ＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y 1－y 2＜0时，得0.5x －12＜0，解得x ＜24，∴4≤x ＜24时，y 1＜y 2，优惠方案①付款较少．③当y 1－y 2＞0时，得0.5x －12＞0，解得x ＞24，当x ＞24时，y 1＞y 2，优惠方案②付款较少【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x 的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧250＝50k ＋b ，100＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝300，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋300 (2)∵y＝－x ＋300，∴当x ＝120时，y ＝180.设甲品牌进货单价是a 元，则乙品牌的进货单价是2a 元，由题意得120a ＋180×2a＝7200，解得a ＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒的进货(－m ＋300)个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧15m ＋30（－m ＋300）≤6300，4m ＋9（－m ＋300）≥1795，解得180≤m≤181，∵m 为整数，∴m ＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W 元，由题意得W ＝4m ＋9(－m ＋300)＝－5m ＋2700.∵k＝－5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m ＝180时，W 最大＝1800元反比例函数相关应用题【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y ＝360x ，把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x，得x ＝2，∴自变量的取值范围为2≤x≤3，∴y ＝360x(2≤x≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x 万立方米，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万立方米，根据题意得360x －360x ＋0.5＝24，解得x ＝2.5或x ＝－3.经检验x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p ＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元) (2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小 (3)购x 元(200≤x＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x ，当0.4x ＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC —CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M 点的坐标为(12，0)，顶点P 的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y ＝a(x －6)2＋6，∵抛物线y ＝a(x －6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a ＝－6，a ＝－16.∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6＝－16x 2＋2x (3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m)，D(m ，－16m 2＋2m)．∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m 2＋2m)＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵a＝－13＜0.∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x ＋40 90 每天销量(件) 200－2x(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x＜50）－120x ＋12000（50≤x≤90） (2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y ＝ax 2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解 解：(1)由题意，得x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2，故y ＝2x.(2)纯收益g ＝33x －150－2x ＝31x －150.(3)由g ＝31x －150可知，x 越大，g 越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g ＞0，∵x ＝4时，g ＝－26＜0；x ＝5时，g ＝5＞0，∴5个月后，能收回投资．剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x ＝2时y ＝4，而应该是“x ＝2时，y ＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯．正解 解：(1)由题意，得x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，6＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故y ＝x 2＋x.(2)纯收益g＝33x－150－(x2＋x)＝－x2＋32x－150.(3)∵g＝－x2＋32x－150＝－(x－16)2＋106，∴x＝16时，g有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；又当x＝5时，g＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x＝6时，g＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本．。
第14课时 二次函数的综合应用课件课件
二次函数应用——销售 利润问题解题策略
（2）运用公式或配方法，求出二次函数的最大 值或最小值； 若二次函数的取值范围是全体实数，那么二次函 数在顶点处取值. 若自变量的取值范围是x1≤x≤x2,此时往往有最大 值，又有最小值，解决的方法是：画出函数的草 图，数形结合，对最大值或最小值作出判断.
考点2 二次函数与几何图形综合应用（高频考点）
2450=k(50-5)+b 2350=k(50-15)+b，
k=10 解得
b=2000.
∴z=-10x+2500;
②∴w=(-10x+2500)-(x2-30x+2000),
w=-x2+20x+500;
（3）由（2）知：w=-x2+20x+500. ∴w=-(x-10)2+600. ∴由x=10.即生产含A 20％的C产品时，利润最高， 最高利润为600元； （4）由（2）知w=-x2+20x+500, ∴ 50000 =-x2+20x+500,
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直.所 以AC应为正方形的对角线，根据抛物线的对称性 及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，-1）重 合，N点为点P关于x轴的对称点，此时， MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形 AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即 可求出正方形的边长.
润最大，最大利润为25元；
（2）∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线 x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13， 16）， 又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下， ∴当7≤x≤13时，y≥16． 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种 商品每天的销售利润不低于16元.
高考数学总复习 第二章 函数 第14讲 函数模型及函数的综合应用课件 文
12/12/2021
第二十九页，共四十页。
(2)车辆从 A 经 B 到 C 爬坡，定义车辆上桥过程 中某点 P 所需要的爬坡能力为：MP＝(该点 P 与桥顶 间的水平距离)×(设计图纸上该点处的切线的斜率)， 其中 MP 的单位：米．若该景区可提供三种类型的观 光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力．它 们的爬坡能力分别为 0.8 米，1.5 米，2.0 米．又已知
得 k1＝－2，b1＝50， ②设当 x∈20，28时， P＝k2x＋b2，代入点(20， 10)，(28，2),
得 k2＝－1，b2＝30, 故周销量 P(件)与单价 x(元)之间的函数关系式为 P＝－－2xx＋＋3500，，2102<≤x≤x≤282. 0，
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其中，点 A、E 为 x 轴上关于原点对称的两点，
曲线段 BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y＝4＋8x2(x∈[－ 2，2])，曲线段 AB、DE 均为开口向上的抛物线段，
且 A、E 分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持 两曲线在各衔接处(B、D)的切线的斜率相等．
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第十五页，共四十页。
(2)由(1)得 f(x)＝4·(－x2＋3x＋378)
＝4－x－322＋94＋378
＝－4x－322＋9＋1 512
＝－4x－322＋1 521≤1 521.
所以当 x＝32时，f(x)取得最大值 1 521 元．
此时定价为 30－32＝28.5 元．
故定价为 28.5 元时，一星期的商品销售利润最大，
第14讲 函数的应用
襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2015年3月 课题 第14讲 函数的应用 课时 班级 姓名 组别1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．中考真题再现1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg 收费22元，超过1 kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？解：(1)由题意，得，当0＜x ≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时y ＝28＋10(x －1)＝10x ＋18；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x ≤1）10x ＋18（x ＞1） (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)由图象可设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，当x ＝1.5时，y ＝90；所以：1.5k ＝90解得k ＝60即y ＝60x(0≤x ≤1.5)，当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x ＋b ，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b 解得：k′＝80，b ＝－30，所以y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5) (3)当x ＝2时，代入得：y ＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 与x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.∴y ＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米一次函数相关应用题【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．解：(1)按优惠方案①可得y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60(x ≥4)，按优惠方案②可得y 2＝(5x ＋20×4)×90%＝4.5x ＋72(x ≥4) (2)因为y 1－y 2＝0.5x －12(x ≥4)，①当y 1－y 2＝0时，得0.5x －12＝0，解得x ＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y 1－y 2＜0时，得0.5x －12＜0，解得x ＜24，∴4≤x ＜24时，y 1＜y 2，优惠方案①付款较少．③当y 1－y 2＞0时，得0.5x －12＞0，解得x ＞24，当x ＞24时，y 1＞y 2，优惠方案②付款较少【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x 的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎨⎧250＝50k ＋b ，100＝200k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝300，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋300 (2)∵y ＝－x ＋300，∴当x ＝120时，y ＝180.设甲品牌进货单价是a 元，则乙品牌的进货单价是2a 元，由题意得120a ＋180×2a ＝7200，解得a ＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m 个，则乙品牌文具盒的进货(－m ＋300)个，由题意得⎩⎨⎧15m ＋30（－m ＋300）≤6300，4m ＋9（－m ＋300）≥1795，解得180≤m ≤181，∵m 为整数，∴m ＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W 元，由题意得W ＝4m ＋9(－m ＋300)＝－5m ＋2700.∵k ＝－5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m ＝180时，W 最大＝1800元【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y ＝360x ，把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x，得x ＝2，∴自变量的取值范围为2≤x ≤3，∴y ＝360x(2≤x ≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x 万立方米，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万立方米，根据题意得360x －360x ＋0.5＝24，解得x ＝2.5或x ＝－3.经检验x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x ＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p ＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x ＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元) (2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小 (3)购x 元(200≤x ＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x ，当0.4x ＜100，即200≤x ＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD —DC —CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M 点的坐标为(12，0)，顶点P 的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y ＝a(x －6)2＋6，∵抛物线y＝a(x －6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a ＝－6，a ＝－16.∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6＝－16x 2＋2x (3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m)，D(m ，－16m 2＋2m)．∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m 2＋2m)＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵a ＝－13＜0.∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x ＜50 50≤x ≤90售价(元/件) x ＋4090 每天销量(件) 200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． (1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50）－120x ＋12000（50≤x ≤90） (2)当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y ＝ax 2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解 解：(1)由题意，得x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎨⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2，故y ＝2x.(2)纯收益g ＝33x －150－2x ＝31x －150.(3)由g ＝31x －150可知，x 越大，g 越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g ＞0，∵x ＝4时，g ＝－26＜0；x ＝5时，g ＝5＞0，∴5个月后，能收回投资．剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x ＝2时y ＝4，而应该是“x ＝2时，y ＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯．正解 解：(1)由题意，得x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎨⎧2＝a ＋b ，6＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故y ＝x 2＋x.(2)纯收益g ＝33x －150－(x 2＋x)＝－x 2＋32x －150.(3)∵g ＝－x 2＋32x －150＝－(x －16)2＋106，∴x ＝16时，g 有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x ≤16时，g 随x 的增大而增大；又当x ＝5时，g ＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x ＝6时，g ＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本．教学反思;。
2019届高考数学总复习 第二单元 函数 第14讲 函数模型及其应用课件
1
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2
1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异 在区间(0，＋∞)，尽管 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝ xn(n>0)都是___增__函__数__，但它们的增长速度不同，而且不在同 一“档次”上，随着 x 的增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会超过并远远___大__于___y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝ logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ，因而总存在一个 x0， 当 x>x0 时，就会有__lo_g_a_x_<_x_n<_a_x_(_a_>_1.)
答案：y＝a(1＋p%)x(x∈N*，且 x≤m)
8
5．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙， 要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为 x，矩形的面积为 S.
(1)S 关于 x 的函数关系为__________________； (2)当 x＝______时，S 有最大值______.
ห้องสมุดไป่ตู้答案：(1) S＝－2x2＋12x(0<x<6) (2) 3 , 18
建立适当的数学模型；
(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问
题的结论；
(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的
回答．
4
1．当 x>0 时，比较 y＝log5x，y＝5x，y＝x5 三个函数， 下列说法正确的是( )
第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
栏
目 导
链教材 ·夯基固本 研题型 ·融会贯通
航
链教材 ·夯基固本
激活思维
1. 用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则
隔墙的长度为( A )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
【解析】 设隔墙的长为 x m(0＜x＜6)，矩形的面积为 y m2，则 y＝x×24－2 4x＝2x(6
(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程．如图所示描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况，则下列叙述不正确的是( AC )
A. 消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最少 C. 甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 10 L 汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
目标 2 已知函数模型求解实际问题 (2020·宣城期末)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班
生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产 x 万箱，需另投入 成本 p(x)万元，当产量不足 90 万箱时，P(x)＝12x2＋40x；当产量不小于 90 万箱时，p(x) ＝101x＋8 1x00－2 180.若每箱口罩售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可 以全部销售完．
－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，y 的值最大．故选 A.
2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量/L
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1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时， 水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
2．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小 军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手 时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离 地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离 地高度相同，则t= ．
100
需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价 格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数， 1 2 10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x 元的附加费，设 100 月利润为w外（元）． （1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最 大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
第三章 函数及其图象
3.6 二次函数的应用
（1）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析. （2）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出 函数值. （3）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关 系. （4）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数
3．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线 APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水 珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能 使喷出的水流不落在水池外．
4.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天 （1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品 的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售 量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）． 时间x（天） 每天销售量p （件） 1 198 30 140 60 80 90 20
（1）求出w与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大 利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600元？请直接写出结果．
5.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选 择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件） 1 y x 150 的函数关系式为 ，成本为20元/件，无论销售多少，每月还
6．某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天 结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销 售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a （x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C 的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20． （1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k； （2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的 利润； （3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润 是多少万元？
时间（第x天） 1≤x＜50 销售价格（元/件） x+60 50≤x≤90 100
（1）求m关于x的一次函数表达式； （2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达 式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是 多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每 件成本）】 （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400 元，请直接写出结果
7．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠， 优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每 只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10） =0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每 只计算器的最低售价为16元． （1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ （2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只） 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚 的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
8.某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部 分数据如下表： 1 3 6 10 … 时间（第x天） 日销售量（m 198 件） 194 188 180 …
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函
数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面． 2．实际问题中函数解析式的求法 设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应 用题一样先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y.利 用题中的不等关系或结合实际求出自变量x的取值范围．