第7章 数字控制器的离散化设计

这种设计法也称直接设计法或Z域设计法。
7.1 数字控制器的离散化设计步骤
Φ(z)
G1(z)
R(z)
Y(z)
E(z) D(z) U(z)
H0(s)
G(s)
r(t) + _ T
T
y(t)
（1）由H0(s)和G(s)求取广义对象的脉冲传递函数；
G1 ( z )
Z
H0
(s)G(s)
Z
1
eTs s
G(s)
实现最少拍一般取 M 。N同样
E(z)
要使
E(z) 成为
z
1
有限项的多项式，应使
e
(
z)
R(
z)
e (z
(1
) A( z) z 1 ) N
e (z) (1 z1)N
FHale Waihona Puke (z)F(z) 为不包含 (1 z1)因式的 z1 的多项式，
F(z) 应尽可能简单，故取
F(z) 1 ，
据此，对于不同的输入信号，可选择不同的误差传递函数 e (z)
1 R(z) 1 z1 R(z) Tz1
(1 z1)2
（4）单位加速度函数 （5）典型输入函数
r(t) 1 t 2 2
T 2 z1(1 z1) R(z) 2(1 z1)3
r(t) 1 tq1 (q 1)!
R(z)
B(z) (1 z1)q
2. Z变换的性质
线性定理 延迟定理 超前定理 初值定理 终值定理 卷积定理
第7章 数字控制器的离散化设计
7.1 数字控制器的离散化设计步骤 7.2 最少拍随动系统的设计 7.3 最少拍无纹波随动系统的设计 7.4 大林算法
课前准备
1. 典型信号的Z变换
（1）单位脉冲函数
r(t) (t) R(z) 1
（2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数
r(t) 1 r(t) t
iT )g(iT ) F(z)G(z)
3、采样系统的稳定性
如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单位圆内， 则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一 有限值；
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的 输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳 定的，对于有界的输入，系统的输出发散
（2）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉
冲传递函数；
(z) Y (z) D(z)G1(z)
偏差闭环脉冲传递函数；
R(z) 1 D(z)G1(z)
e (z) E(z) R(z) Y (z) 1 (z)
1
R(z) R(z)
1 D(z)G1(z)
3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z) D(z) U (z) 1 (z) 1e (z) (z) E(z) G(z) 1(z) G1(z)e (z) G1(z)e (z)
Z[af (t) bg(t)] aF(z) bG(z)
Z[ f (t kT )] zk F (z)
Z[
f
(t
kT )]
zk
F ( z)
k 1 i0
f
(iT )zi
lim f (kT) lim F(z)
k 0
z
lim f (kT) lim(z 1)F(z)
k
z1
Z
k i0
f (kT
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。
差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。
差分方程由输出序列y，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、 y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、 u(k-2)、u(k-3)、……，所构成。（ k = 0, 1, 2, …… ）
序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为 当前时刻，而(k-1) T为前一采样时刻。
例：惯性系统
G(s) U2(s) 1 U1(s) T0s 1
被采样后的差分方程：
(T T0 ) u2 (k) T0u2 (k 1) Tu1(k)
5.离散化设计方法
所谓离散化设计方法是指在Z平面上设计的方法，对象 可以用离散模型表示，或者用离散化模型的连续对象，根 据系统的性能指标要求，以采样控制理论为基础，以Z变换 为工具，在Z域中直接设计出数字控制器。
4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式
m
设数字控制器D(z)的一般形式为：D(z)
U (z) E(z)
bi zi
i0
n
1 ai zi
,
i 1
m
n
数字控制器的输出U(z)为：U (z) bi ziE(z) ai ziU (z)
i0
i 1
(n m)
将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器
最少拍控制系统设计的要求
（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样 点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差
（2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准 确跟踪输入信号所需的控制周期数最少
（3）数字控制器必须在物理上可以实现 （4）闭环系统必须是稳定的
几种典型输入信号及其Z变换表达式如下：
D(z)的计算机控制算法为： m
n
u(k) bie(k i) aiu(k i)
i0
i 1
按照上式，就可编写出控制算法程序。
7.2 最少拍随动系统的设计
在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。 所谓最少拍控制，就是要求设计的数字控制器能使闭环系统
在典型输入作用下，经过最少拍数（最少个采样周期）达到 无静差的稳态。 最少拍控制实质上是时间。 最优控制，最少拍控制系统也 称为最小调整时间系统或最快响应系统
系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即：
e
lim(1
z 1
z 1 ) E ( z )
lim(1
z 1
z1)R(z)e (z)
lim(1
z 1
z
1
)
e (z
(1
) A( z) z 1 ) N
0
很明显，要使稳态误差为零， e (z中) 必须含有 (1 z因1)M子，且 M，要N
单位阶跃函数： R(t) 1(t);
R(z) 1 1 z1
单位速度函数：
R(t) t;
R(z)
T (1
z 1 z 1)2
单位加速度函数：
R(t) 1 t2; 2
T 2 z1(1 z1) R(z) 2(1 z1)3
输入信号的一般表达式
A(z) R(z)
(1 z1)N
式中 A(z) 为不包含 (1 z1) 因式的的多项式。根据Z变换的终值定理，求
，
从而得到最少拍控制器 D(z)
e (z) (1 z1)N F (z) 1 z1