《数理逻辑》第七章-4
数理逻辑(课程简介)
《数理逻辑》教学大纲徐海燕 编写535目录前言 (537)第一章数理逻辑的由来 (538)第一节 传统逻辑的不足 (538)一、传统逻辑中命题的限制 (538)二、传统逻辑中三段论的限制 (539)三、传统逻辑中量词的限制 (540)第二节 数理逻辑的兴起 (541)第三节非欧几何带来的问题 (544)第四节微积分基础的争论 (546)第五节集合论悖论 (548)第六节 蕴涵词及其怪论 (549)第二章数理逻辑的主要内容 (552)一、真值联结词真值函项重言式 (552)二、命题演算命题逻辑的公理化和形式化 (552)复习与思考题 (553)第三章数理逻辑的三个发展阶段及三大学派 (554)一、数理逻辑的三个发展阶段 (554)二、数理逻辑的三大学派 (554)第四章 数理逻辑的特征和应用 (555)复习与思考题 (555)536前言本课程由逻辑学研究所开设。
本课程是哲学专业的选修课之一。
主要介绍一阶逻辑的基本理论和方法。
主要内容包括：命题形式语言及其语义理论，命题表列，命题演算系统，命题演算系统的可靠性与完全性定理；一阶语言及其语义理论，一阶表列，谓词演算系统，谓词演算系统的可靠性与完全性定理。
本课程旨在使学生掌握公理化、形式化的现代逻辑理论和方法，提高学生现代逻辑思维的素质和能力，培养学生现代逻辑的意识，为学习哲学专业相关课程以及从事现代西方哲学研究工作打下必要的基础。
537第一章数理逻辑的由来本章教学目的和基本要求：掌握数理逻辑的产生根源学时分配：9到了今天，数理逻辑可以说已经是一门成熟的科学，它的内容十分丰富，与别的许多门学科都有牵连，互相影响，要介绍它的内容，或者描绘它与别的学科有所不同的特征，都是非常困难的，最好的办法是先从它的发展过程来考察。
因为一个事物，无论它所包含的内容如何丰富，它的特性如何复杂，如果能够从它的发展来看，先看它是如何产生的，如何一步步地成长，逐渐地由小而大、由简单而复杂的发展，这样我们便能比较容易地掌握其主要内容、找出它的基本特征。
《数理逻辑》第七章-1
马琦 2010.11.20 maqi08@Hilbert第十问题 第十问题对于任意多个未知数的整系数不定方程， 要求给出一个可行的方法(verfahren)，使 得借助于它，通过有限次运算，可以判定 该方程有无整数解。
Hilbert第十问题1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明： 在一般情况下，答案是否定的。
算法是关于计算过程 不一定是数值的 算法是关于计算过程(不一定是数值的 是关于计算过程 不一定是数值的) 的一个清楚能行的指令集合， 的一个清楚能行的指令集合 ，可用来 求得给定问题类中的任何一个问题的 解答。
解答。
不可解问题递归不可解问题问题类的整数解吗？ 是多项式 是多项式Diophantine方程｝ 方程｝ ｛存在方程E的整数解吗？| E是多项式 存在方程 的整数解吗 方程 的值是什么？ ∈ ｝（ 是确定的函数 是确定的函数） ｛f(n)的值是什么？| n∈DN｝（f是确定的函数） 的值是什么 是否是集A的元素 是确定的集合） ｛n是否是集 的元素？| n∈DN｝（ 是确定的集合） 是否是集 的元素？ ∈ ｝（A是确定的集合 的定理吗？ ｛A是N 的定理吗？| A是N 的wf.｝ ｝问题类和算法问题类是否是n的因数 ｛2是否是 的因数？| n∈DN｝ 是否是 的因数？ ∈算法已知任意数n，求被 除所得的余数 除所得的余数。
已知任意数 ，求被2除所得的余数。
如果余数是零， 如果余数是零，是； 如果余数是1， 如果余数是 ，非。
给定任意数n，对每一 （ 给定任意数 ，对每一m（1<m<n）， ），属于质数集吗？ ∈ ｛n属于质数集吗？| n∈DN｝ 属于质数集吗存在求n被 除所得余数的标准方法 除所得余数的标准方法。
存在求 被m除所得余数的标准方法。
若没有一个余数是0， 是质数。
若没有一个余数是 ，则n是质数。
是质数 若有一个或几个余数是0， 不是质数。
若有一个或几个余数是 ，则n不是质数。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数理逻辑
(5) 分配律 A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C); A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (6) 德摩根律 ¬(A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B; ¬(A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B
(7) 吸收律 A ∧ (A ∨ B) = A; A ∨ (A ∧ B) = A
而 (P → ), (P ∨ ¬ )) 都不 是命 题公式 .
为了简化命题公式中的括号, 作如下规定:
(1) 公 式 (¬ G)的 括号 可省略 , 写 作 ¬ G.
(2) 整个命题公式 外层括号可省略.
(3) 五种逻辑联结词的优先级按如下次序递增 : ↔ , → , ∨ , ∧ , ¬.
则上述命题公式
¬(¬p ) ∧ ¬q
命题变元与命题公式
约定: 约定 (1) 在命题演算中, 我们只注意命题的真假值, 而不再 去注意命题的汉语意义; (2) 对命题联结词, 我们只注意其真值表的定义, 而不 注意它日常生活中的含义. 命题常元: 命题常元 T, F 命题变元(命题变量 命题变元 命题变量): 一个取真值为T或F的变量, 常 命题变量 用大写英文字母A,…, Z表示.
A( P , P2 , L , Pn )共有2 n 种解释. 1 成真解释. 使A(a1 , a2 ,L , an )为t的一组值, 称为A的 成真解释
成假解释. 使A(a1 , a2 ,L , an )为f的一组值, 称为A的 成假解释
例3. 构造下列公式的真值表
(1) ¬P ∨ Q
(2) ( P ∧ ¬P) ↔ (Q ∧ ¬Q) (3) ¬( P → Q) ∧ Q
定义1.2 命题公式 由命题变元、常元、联结词、括 命题公式: 定义 号, 以规定的格式联结起来的字符串.其递归定义如下: (1) 单个命题变元或命题常元是命题公式 (原子命题 公式);
数理逻辑讲义
纳法。 （1）（归纳基） P 关于原子命题公式成立。（归纳基） （2）（归纳步） 对 A, B Form(LP ) ，假定 P 关于命题公式 A、B 成立。验证：P 关于命题公
(3)
(A
B)v
0
if Av Bv 0 .
1
o.w.
7
(4)
( .
0
o.w.
(5)
(A
B)v
0
if Av 1 and Bv 0 .
1
o.w.
(6)
(A
B)v
1
if Av Bv .
0 o.w.
命题公式 A 的真值表：在所有可能的赋值 v 下，将取值结果列入表中。
如：自然语言（汉语）。 对象语言：描述“对象所用元语言”的语言。
如：形式语言（符号语言）。 自然语言中语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同。
1
例1：X认识Y。（前提） Y是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）
例2：X认识A班某学生。（前提） A班某学生是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）
询问：是否存在一个赋值 (a1,......, an ) W n 使得 (i)[iv (ai1 ,......, aiq ) 1] ？ （回到命题公式讨论） 重言式一定是可满足式，但反之不真。因而，若公式 A 是可满足式，且它至少存在一个成假 赋值，则称 A 为非重言式的可满足式。
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14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
数理逻辑
(P∧Q)∨(P∧Q)
(4)除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 解(4)设P：a能被2整除，Q：a能被4整除。则原命题 符号化为：
“P是Q的充分条件”； “Q是P的必要条件”等。
2014-10-4
离散数学
29
条件联结词的例子
(1)只要天下雨，我就回家。 (2)只有天下雨，我才回家。 (3)除非天下雨，否则我不回家。 (4)仅当天下雨，我才回家。
解 设P：天下雨。Q：我回家。 则(1)符号化为P→Q。 (2)、(3)、(4)均符号化为Q→P
数理逻辑
本篇概要
数理逻辑是用数学方法(即通过引入表意符号)研究推 理的学问。因此，数理逻辑又名符号逻辑。数理逻 辑中最基本的内容包括命题逻辑和谓词逻辑。 数理逻辑的创始人是德 国哲学家、物理学家、 数学家G.Leibniz(16461716)
2014-10-4
离散数学
2
命题逻辑
本章概要
命题逻辑，也称命题演算。主要研究以命题为基 本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
③最外层的圆括号可以省略。
为了方便计，合式公式也简称公式。
2014-10-4
离散数学
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命题符号化的步骤
分析出各简单命题，将它们符号化 寻找合适的真值联结词 使用联结词将简单命题联结起来，生成对复杂 命题的符号化表示。
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离散数学
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命题的翻译和符号化
将下列自然语言形式化: (1)小王边走边唱。
离散数学
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联结词知识点
命题联结词的概念 常用联结词
否定联结词“” 合取联结词 “∧” 析取联结词 “∨” 条件(蕴含)联结词“→ ” 双条件(等价)联结词“”
数理逻辑导引
内容Байду номын сангаас要
总体而言，《数理逻辑导引》是一本优秀的数理逻辑教材，它系统地介绍了数理逻辑的基础知识， 并通过丰富的例子和练习帮助读者深入理解数学推理的本质。无论是对于数学专业的学生还是对 于对数学推理感兴趣的读者，这本书都是一本值得一读的优秀书籍。
精彩摘录
《数理逻辑导引》是一本深入浅出地介绍数理逻辑的教材，其作者是著名的 数学家和逻辑学家。这本书被广大读者誉为数理逻辑入门必读经典之一，深受喜 爱。以下是《数理逻辑导引》中的一些精彩摘录，让我们一起领略其中的智慧和 魅力。
在绪论中，作者分析了传统逻辑的局限，特别是推理研究方面的局限。他指 出，传统逻辑的局限性源于自然语言的歧义性。因此，发展一种无歧义的人工语 言来分析表示各种命题形式和推理形式显得尤为重要。这让我意识到，逻辑学不 仅仅是关于推理的学问，更是关于如何清晰、准确地表达思想的学问。
作者从对简单命题的初步分析入手，非形式地论述了命题逻辑所研究的基本 对象。这包括五个基本真值联结词、真值形式、命题形式、真值函数和重言式等。 这些概念虽然有些抽象，但通过作者的深入浅出的解释，我逐渐理解了它们的含 义和应用。我发现，这些概念不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际生活中 也有着广泛的应用。例如，在解决复杂的数学问题、法律争议或日常生活中的推 理问题时，这些概念都能提供有力的工具。
“数理逻辑是数学的根基，也是计算机科学的基石。它不仅能够帮助我们更 深入地理解数学和逻辑的本质，还能够为计算机科学的发展提供理论支持。”
这句话简洁明了地阐述了数理逻辑的重要性和应用价值。数理逻辑作为数学 和计算机科学的一个交叉学科，对于深入理解数学的本质以及推动计算机科学的 发展都具有重要意义。
在阅读过程中，我特别被作者关于命题逻辑的论述所吸引。他强调了命题逻 辑在推理中的重要性，指出通过命题逻辑可以更清晰地表达推理过程，进而提高 推理的准确性和可靠性。这使我意识到，在日常生活和工作中，我们都需要具备 良好的逻辑思维能力，以便更有效地进行推理和解决问题。
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马琦 2010.12.18 maqi08@
考察形式系统及其扩张的递归可判定性。
考察形式系统及其扩张的递归可判定性。
可对任何形式系统提出可判定性和不可判定性问题， 因为哥德尔编码对它们都适用。
而这个问题正是DN中 一个特殊的子集的递归性或非递归性的问题。
命题 2.24 可判定的 即有一种能行的方法， L 是可判定的，即有一种能行的方法， 用它可判定， 用它可判定，L 的任意给出的 wf. 是否是 L 的定理。
的定理。
第二章的命题2.24说明命题演算的形 式系统L是可判定的。
可以证明
命题7.41 命题 L的定理的哥德尔数的集合是一个递归集。
的定理的哥德尔数的集合是一个递归集。
的定理的哥德尔数的集合是一个递归集
谓词演算系统KL是否为递归不可判定的，这 依赖于语言L。
取一个特殊情形，设L1 是不含函数字母，不 含个体常项，而只有一个谓词字母的一阶语言。
命题7.42 命题 KL1是递归可判定的。
是递归可判定的。
命题7.43 命题 设L是不包含函数字母和个体常项而只包含一元谓 词字母(可能有无穷个)的一阶语言，则KL 是递归可判定 的。
一阶语言 L
变元 个体常项 谓词字母 函数字母 x1,x2,… a1,a2,… Ain fin
命题7.44 命题 系统N 是递归不可判定的（在它是相容的假定下）。
系统N 是递归不可判定的 因为一个递归集可以有非递归的子集，而一个非递归集 可以有递归的子集，所以已知一个系统是递归可判定(或不可 判定)的，无法判定其扩张的递归可判定性。
但在某些情况下， 可以找出一种联系。
命题7.45 命题 设S和 S+是有相同语言的一阶系统，又S+是S的有穷扩张 有穷扩张， 有穷扩张 即存在wf.的有穷集A1,…,An ，当这个wf.的有穷集增加到S中去 作为S的公理后，我们就得到S+ 的公理集。
若S+ 是递归不可判 若 定的， 也是递归不可判定的。
定的，则S也是递归不可判定的。
也是递归不可判定的
不完全性 • 定理集与真语句集是不同的。
递归不可判定性 • 不存在判定哪些语句对应于N 定理的算法。
N
算术的形式系统因这两种局限而受到损害。
成书为止，还没有找到其他的解决办法。
一个谓词演算的系统是递归可 判定或递归不可判定与语言L有关。
而且，不可判定是常规，不是例外。
命题7.46 命题 存在一阶语言L 使得K 是递归不可判定的。
存在一阶语言L ，使得 L是递归不可判定的。
推论7.47 推论 全一阶谓词演算（具有第3章给出的所有符号）是递归不可判定的。
是递归不可判定的。
全一阶谓词演算 是递归不可判定的
命题7.48 命题
下列系统是递归不可判定的。
▪ 一阶群论。
▪ 一阶环论。
▪ 一阶域论。
▪ 一阶半群理论。
▪ 系统ZF。
下列系统是递归可判定的。
▪ 一阶Abel群理论。
▪ 没有乘法的一阶算术 （类似N ，不包括符号f22，而且删去公理(N5)和(N6)）。
。