中位数平均数众数方差
平均数、众数、中位数及方差
第13讲平均数、众数、中位数及方差◆考点链接1．通过实际例子，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、•方差估计总体的平均数、方差．2．会计算加权平均数、极差，并用它们表示数据的离散程度．◆典例精析【例题1】（绍兴）某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）．A．在公园调查了1000名老年人的健康状况;B．在医院调查了1000名老年人的健康状况;C．调查了10名老年邻居的健康状况;D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况答案：D评析：调查、收集数据是统计学中的一个重要环节．因此对调查的对象是采用普查或抽查，选取的样本是否具有代数性都应考虑．【例题2】为了调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：min）分别为：60，55，75，•55，•55，43，65，40．（1）求这组数据的众数、中位数；（2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60min，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？解：（1）这组数据中，55出现了3次，出现次数最多，即这组数据的众数是55；•将数据按从小到大排列，其中间两个数据都是55，即这组数据的中位数是55．（2）平均数是：x=18（60+55+75+55+55+43+65+40）=56（min），∴这8名学生完成家庭作业所需的平均时间为56min．∵56<60，由此估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求．【例题3】（武汉）在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，•通过计算可知两组的方差为S甲2=172，S乙2=256．下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，•甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（）．A．2种 B．3种 C．4种 D．5种解：甲组的平均数是80分，乙组的平均数是80分，所以①正确；S甲2小于S乙2， 所以甲组的成绩要稳定些，②也正确；甲组成绩的众数是90，乙组成绩的众数是70，所以③正确；甲组成绩的中位数是80，乙组成绩的中位数是80，•从中位数来看成绩一样，•成绩≥80的人数甲组比乙组多，甲组成绩总体比乙组好，所以④正确；⑤的说法显然正确，所以选D．评析：要会求平均数、众数、中位数、方差；同时知道方差越大波动就越大，性能越不稳定．◆探究实践【问题1】（广西）数据2，3，m，5，9，n的平均数是3，则m，n的平均数是_____．解：由（2+3+m+5+9+n）÷6=3得m+n=-1，所以m，n的平均数是-0．5．评析：本题用到了平均数的公式和整体思想．【问题2】（宜昌）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶．从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：根据表中数据，可以认为三台包装机中，_______包装机包装的茶叶质量最稳定．解：方差小，波动就小，性能就稳定，所以选乙．◆中考演练一、填空题1．（宁波）在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，•其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为______分．2．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，•某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼（假设这个塘里养的是同一种鱼），先捕上100条做标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼______条．3．（天津）已知一组数据：-2，-2，3，-2，x，-1，若这组数据的平均数是0.5，•则这组数据的中位数是________．二、选择题1．（天津）已知甲乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差是S甲2=0.055，•乙组数据的方差是S乙2=0.105，则（）．A．甲组数据比乙组数据波动性大; B．乙组数据比甲组数据波动性大;C．甲组数据与乙组数据波动性一样大; D．甲乙两组数据的波动性无法比较2．（甘肃）甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲2=2.4， S乙2=3.2，则射击稳定性是（）．A．甲高 B．乙高 C．两人一样多 D．不能确定3．（辽宁）鞋店试销一种新款女鞋，一周内各种型号的鞋卖出的情况如下表所示：对这个鞋店的经理来说，她最关注的是数据的（）．A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差三、解答题1．（山东）为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，•在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下，（单位：分）：（1）请填写下表：（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名学生的成绩进行分析．2．（吉林）下图中给出的条形图是截至2002年44•位费尔兹奖得主获奖时的年龄统计图，经计算费尔兹获得主获奖时的平均年龄是35岁，根据条形图回答问题：（1）费尔兹得主获奖时的年龄超过中位数的有多少人？ （2）费尔兹得主获奖时年龄的极差是多少？（3）费尔兹奖得主获奖时年龄高于平均年龄的人数占获奖人数的百分比是多少？◆实战模拟 一、填空题1．（湘潭）某公司对应聘者进行面试，按专业知识、工作经验、•仪表形象给应聘者打分，这三个方面的重要性之比为6：3：1，对应聘的王丽、张英两人的打分如下，如果两人中只录一人，若你是人事主管，你会录用______．2．（桂林）在我市2004年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17•名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75m ，表中每个成绩都至少有一名运动员，根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是______m （精确到0.01m ）．3．（河南）小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息估计小张和小李中新手是______．二、选择题1．（北京）李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 91质量（kg）14 21271718219231922 据调查，市场上今年樱桃的批发价是每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃的总收入分别是（）．A．200kg，3000元 B．1900kg，28 500元C．2000kg，30 000元 D．1850kg，27 750元2．为了了解汽车司机遵守交通法则的意识，•小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：km/h），情况如图所示．根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是（）．A．60km/h，60km/h B．58km/h，60km/h;C．60km/h，58km/h D．58km/h，58km/h3．（湘潭）下列调查方式，正确的是（）．A．了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查方式;B．了解湘潭市每天的流动人口数，采用抽查方式;C．要保证“神舟6号”载人飞船成功发射，对重要零件采取抽查方式;D．了解湘潭市居民日平均用水量，采用普查方式三、解答题:1．（南京）某水果店有200个菠萝，原计划以2．6元/kg的价格出售，•现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售，以下是随机抽取的5•个菠萝去皮前后相应的质量统计表（单位：kg）：（1）•计算所抽取的5•个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，•并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量；（2）根据（1）的结果，要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？2．今年“五．一”黄金周期间，小三峡风景区共接待游客约22.5万人，•为了了解该风景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查．•请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：根据表中提供的信息，回答下列问题．（1）所有评分数据的中位数应在第几档内？（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五．•一”黄金周期间对小三峡风景区服务“满意”的旅客人数．参考答案中考演练一、1．71 2．1000 3．-1.5二、1．B 2．A 3．B三、1．（1）（2）甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从成绩的众数看，乙的成绩好；•甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定；甲乙的平均数、中位数都是84，但从85分以上的频率看乙的成绩好．2．（1）因为中位数是35.5岁，所以年龄超过中位数的有22人（2）40-28=12（岁）（3）高于平均年龄的人数为22人，22÷44=50%实战模拟一、1．张英 2．1．69 3．小李二、1．C 2．C 3．B三、1．（1）抽取的5个菠萝去皮前的平均质量为15（1.0+1.1+1.4+1.2+1.3）=1.2kg，抽取的5个菠萝去皮后的平均质量为15（0.6+0.7+0.9+0.8+0.9）=0.79kg，估计这200个菠萝去皮前的总质量为1.2×200=240kg，估计这200个菠萝去皮后的总质量为0.78×200=156kg．（2）设去皮后菠萝的售价应是x元/kg，根据题意得：240×2.6=156x，•解得x=4，答：设去皮后菠萝的售价应是4元/kg2．（1）三档（2）17.1万人.。
北师大必修三数学 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差
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数字特征与统计图表的综合问题 [典例] (1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机 抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假 设得分值的中位数为 me，众数为 mo，平均值为 x ，则( )
A．me＝mo＝ x B．me＝mo＜ x C．me＜mo＜ x D．mo＜me＜ x
x
＝
2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10 30
≈5.97.
于是得 mo＜me＜ x .
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(2)观察图形可得：样本 A 的数据均小于或等于 10，样本 B 的数据均大于或等于 10，故 x A＜ x B，又样本 B 的波动范围 较小，故 sA＞sB.
()
A．平均数
B．极差
C．中位数
D．方差
解析：选 C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前 8 名，
所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是不是有 8 个高于他，
也就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 个的成绩即可，
小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能
进入决赛，这个第 8 名的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数.
1．平均数、中位数、众数
(1)平均数
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么 x ＝
x1＋x2＋…＋xn n
，
叫作这 n 个数的平均数．
(2)中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于 最中间位置的那个
数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
(3)众数
一组数据中重复出现次数 最多的数称为这组数的众数，一组数
§4 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差
在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16 16台自动 例2 在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动 售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示： 售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示： （1）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？ 乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？ （2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差 你能从图中分别比较甲、 的大小吗？ 的大小吗？ 观察茎叶图， 解：(1) 观察茎叶图，我们不难 看出： 看出：甲城市销售额的中位数为 20,众数为10,18,30,极差为53;乙 20,众数为10,18,30,极差为53;乙 众数为10,18,30,极差为53; 城市销售额的中位数为29,众数为 城市销售额的中位数为29,众数为 29, 23,34，极差为38. 23,34，极差为38.
5. 方 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 2 表 示 ， 通 常 用 公 式
1 s 2 = [( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + L + ( xn − x ) 2 ] 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大，数据的离散程度越 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大， n
（2）从茎叶图中我们不难看出：甲城市销售额分布主要在 从茎叶图中我们不难看出： 茎叶图的上方且相对较散， 茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对 集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计：甲城市销售额 集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计： 的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大. 的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.
对数据数字特征内容的评价， 对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本 身意义的理解和在新情境中的应用， 身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的 熟练程度. 熟练程度.
4.1平均数、中位数、众数、极差、方差
安边中学高一年级2学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：王广青包级领导签字：学生：上课时间：集体备课个人空间一、课题：4.1平均数、中位数、众数、极差、方差二、学习目标1.了解平均数、中位数和众数的含义，并掌握各自的求法。
2.了解极差、方差的含义，能通过实例理解样本数据方差的意义和作用，会计算数据的极差、方差。
3.在分析和解决具体具体实际问题过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能通过统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释三、教学过程【自主预习】1.回顾什么是平均数、中位数、众数、极差和方差？2.刻画数据离散程度的度量，其理想形式应满足什么原则？3.某公司员工月工资情况如下表所示.月工资/元50004000200100900 800 700 600 500员工/人2 4 6 7 6 8 20 5 2分别计算该公司员工月工资平均数、中位数和众数。
2.甲乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。
为了检查产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表：甲机床生产的零件直径/mm 39.940.40.239.840.239.840.39.840.140.2乙机床生产的零件直径/mm 40.140.40.139.939.940.39.940.140.40.（1）分别计算上面从甲乙两台机床抽取的10件产品直径的极差、方差（2）通过上面的计算，我们可以看到那个机床所生产的零件更标准？【合作探究】1为了了解面包的销售情况，面包店随机选取24个营业日，分别纪录下每天销售的新鲜面包的数量（个）53，49，27，48，60，52，44，38，47，52，82，4655，31，39，54，51，47，50，45，50，61，43，64（1）请用不同的方式分别表示上面的数据；（2）分别计算以上数据的平均数、中位数和众数（3）根据以上结果，你认为该面包店每天应该生产多少新鲜面包？2在1976～1998年间的几届冬季奥运会中，男子、女子1500米速滑的冠军成绩分别如下表所示：年份1976年1980年1984年1988年1992年1994年1998年男子1´59.38´´1´55.44´´1´58.36´´1´52.06´´1´54.81´´1´51.29´´1´47.87´´女子2´16.58´´2´10.95´´2´03.42´´2´00.68´´2´05.87´´2´02.19´´1´57.58´´1´59.38´´表示1分59.38秒。
数学基本概念（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差、加权平均值..
一．平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差的数学内涵：平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。
中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。
方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差标准差：方差的算术平方根叫做标准差算术平均值A rithmeticmean：等差中项：n个数字的总和除n.[(a1+a2+……+an)/n是算术平均值]几何平均值G eometric mean：n个数字的乘积的n次根 .[(a1*a2*……*an)^(1/n)是几何平均值]n个数的平方根，就是n个数的平方和除n，再开根号。
例如a b c 的均方根即[(a*a+b*b+c*c)/3]^(1/2)均方根值（RMS）、均方根误差（RMSE）、各种平均值论文写作中经常需要比较几个算法的优略，下面列举的是一些常用的评估方法。
均方根值也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。
比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。
这是为什么呢？举一个例子，有一组100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。
如果这组电池带动的是10Ω电阻，供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。
那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W，这相当于70.71V的直流电向10Ω电阻供电所产生的功率。
高中数学必修三 18-19 第1章 §4 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差
难
(6)样本的标准差和方差都是正数．( )
返 首 页
[解析] (1)×，根据平均数的定义可知错误．
自
当
主 预
(2)×，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个．
堂 达
习
标
•
(3)×，由中位数的定义可知错误．
•
探
固
新 知
(4)√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度．
双 基
(5)×，平均数与数据的波动性无关．
究 •
(4)算出(3)中 n 个平方数的平均数，即为样本方差．
攻
重 难
(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差．
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
2．标准差(方差)的两个作用：
标 •
探
固
新
(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的 双
知
基
离散程度越小．
达 标
•
•
探
A．茎叶图
B．频率分布直方图
固
新
双
知
C．频率折线图
D．频率分布表
基
合
作
探 究
B [当收集到的数据量很大时，一般用频率分布直方图．]
攻
重 难
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
课 时 分 层 作 业
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[解] (1) x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
自 主
x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
人教版八年级数学下册教学课件 20.2.3 平均数、中位数、众数、方差的综合应用
因为s甲2<s乙2，所以甲的成绩更稳定，应该选择运动员甲参赛．
随堂练习
3.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同 条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的 成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙的 成绩
82
86
87Leabharlann 907981
93
90
74
78
随堂练习 （1）填写下表：
（1）可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？ 每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性．
（2）如何获取数据？ 抽样调查．
合作探究 为了确定选择哪家的鸡腿，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取 15个，记录它们的质量(单位：g)如表所示.根据表中数据，你认为快 餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5
8
10 1.6
合作探究
(2)根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分 析哪个班的成绩较好．
解：从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好； 从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好； 从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好； 从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
s甲2＝
1 ×[(5.85－6.01)2＋(5.93－6.01)2＋…＋(6.19－6.01)2]＝0.009 54(m2)，
第 11次课 平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差(学生版)
【教师寄语：昨天很残酷，明天很残酷，不要倒在今天晚上！】 平均数、中位数、众数、方差、 标准差 一、考点、热点回顾考点一、平均数1、平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。
2、求平均数的方法 （1）定义法当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x nx +++= （2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x kk ++=2211，其中n f f f k =++ 21。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。
)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。
考点二、中位数1、中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。
2、中位数的找法：将该组数从小到大排列，取中间的数3、当一组数有偶位数时，该组数的中位数为中间两个数的平均数；当一组数有奇位数时，该组数的中位数为中间那个数。
考点三：众数众数：在一组数据中出现次数最多的数众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
考点四：极差、频数、频率1、极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。
2、频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数。
3、频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。
4、频数和频率的基本关系式：频率 = ——————频数样本容量5、各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1。