平均数、中位数、众数与方差

平均数、中位数、众数与方差

【基本概念】

1.总体：在统计学里，所要考察对象的______,叫做总体。

2.个体：总体中的每一个考察对象叫做_______.

3.样本：从_____中所抽取的________个体，叫做总体的一个样本。

4.样本容量：样本中个体的______叫做样本容量（样本容量没有______）.

5.平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本_______. 设一组数据123,,,

,n x x x x 的平均数为x ，

（1）一般平均数：x =_________________________；

（2）加权平均数：在n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（1f +2f +…

k f ＝n ），则x =___________________；

（3）简化计算公式：x x a '=+，其中x '是12,,n

x x x '''的平均数，(1,2,,),i i x x a i n a '=-=为接近样本平均数的较“整”的常数，在数据较大且在平均数左右波动时，用平均数简化计算公式较为简便。

6.众数：在一组数据中，出现次数______的数据叫做这组数据的众数，众数可能不止一个。

7.中位数：将一组数据按_________排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的________）叫做这组数据的中位数（中位数可能不是这组数据中的任何一个）。

例1.为了了解某校初三年级学生的身高状况，从中抽查了50名学生的身高。在这个问题中，下列说确的是（ ）

Ａ.300名学生是总体Ｂ.300是众数Ｃ.50名是学生抽取的一个样本Ｄ.样本容量是50

例2.将一组数据中的所有数都加2,则所得到的一组新数据的平均数与原来那组数据相比( ) Ａ.扩大2倍 Ｂ.增加2 Ｃ.数值不变 Ｄ.增加2倍

例3．要了解某市初中毕业会考的数学成绩情况，从中抽查了1000名学生的数学成绩，样本是指（ ）

（A ）此城市所有参加毕业会考的学生（B ）此城市所有参加毕业会考的学生的数学成绩 （C ）被抽查的1 000名学生 （D ）被抽查的1 000名学生的数学成绩 例4．如果x 1与x 2的平均数是6，那么x 1＋1与x 2＋3的平均数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8 例5．甲、乙两个样本的方差分别是甲2

s

＝6.06，

乙2s ＝14.31，由此可反映（ ）

（A ）样本甲的波动比样本乙大 （B ）样本甲的波动比样本乙小

（C ）样本甲和样本乙的波动大小一样（D ）样本甲和样本乙的波动大小关系，不能确定 例 6.某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表所示，则餐厅所有员工工资的众数是________________，中位数是________________。

例7.如果数据1、4、5、x 、7的平均数是4，那么这组数据的中位数是____。（ 05丰台） 例8.某班的5位同学在向“救助贫困学生”捐款活动中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是_______，中位数是_________，平均数是_______．

例9．n 个数据的和为56，平均数为8，则n ＝_______．

例10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x ，使这组数据的中位数为3，则x ＝_______． 8.极差：一组数据中最大数据与最小数据的差，叫做这组数据的_______。 9.方差：一组数据（或样本）中，各数据与这组数据（或样本）的_______的差的_____的_______,叫做这组数据（或样本）的方差，记作____.方差是反映一组数据（或样本）____________的特征数，方差越大，说明这组数据（或样本）______越大。 设一组数据123,,,

,n x x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则

()()()222

2121n s x x x x x x n ??=

-+-++-?

? 简化计算公式：()22222

121n s x x x nx n =+++-

10.标准差：一组数据（或样本）的方差的_______叫做这组数据（或样本）的标准差，记作_____。 例1．在公式s 2

＝

1n

［（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2］中，符号S 2

，n ，x 依次表示样本的…（ ）

（A ）方差，容量，平均数 （B ）容量，方差，平均数 （C ）平均数，容量，方差 （D ）方差，平均数，容量

11.频数：对一组数据适当分组后，落在每一个小组的数据的_____叫做频数。

12.频率：每一个小组的频数与数据_____的比值叫做这个小组的频率，频率分布反映了一组数据（或样本）落在各个小组围的比例的大小。

13.频率分布：将每一个小组的频数、频率填在相应的频数、频率栏中便得到频率分布表，将频率分布表中的结果，利用图形直观形象地表示出来，就得到______________。

例1．在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于________，各组的频率之和等于________．

例2．已知一个样本含20个数据：

68 69 70 66 68 65 64 65 69 62 67 66 65 67 63 65 64 61 65 66．

在列频率分布表时，如果取组距为2，那么应分________组，64.5～66.5这一小组的频率为________，上述样本的容量是____________．

【典型例】

例1. 公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：

（1）求这15位营销人员销售量的平均数、中位数、众数（直接写出结果，不要求过程）；（2）假设销售部把每位销售人员的月销售定额规定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你从表中选

一个较合理的销售定额，并说明理由．（07西城）

例 2.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛,每个月对他们的学习水平进行一次测验右图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.

（1）别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差. （2）如果你是他们的辅导教师,应选派哪一名学生参加这次数学竞赛,请结合所学统计知识说明理由.

例 3.为了普及环保知识,增强环保意识,某中学组织了环保知识竞赛活动.初中三个年级根据初赛成现分别选 出了10名同学参加决定,这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表 决赛成绩（单位：分）

初一年级 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二年级 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 初三年级 82 80 78 78 81 96 97 88 89 86

平均数 众数 中位数 初一年级 85.5 87 初二年级 85.5 85 初三年级

84

（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： ①从平均数和众数相结合看（分析哪个年级成绩好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）. （3）如果在每个年级参加决赛的选 手中分别是选出3人参加决赛,你认为哪个年级的实力

每人销售件数 1800 510 250 210 150 120

人数 1 1 3 5 3 2

更强一些？并说明理由.

成绩（分）50 60 70 80 90 100

人数（人） 2 x 10 y 4 2

①若这个班的数学平均成绩是69分，求x和y的值；

②设此班40名学和成绩的众数为a, 中位数为b（a-b）2的值。

【效果测试】

1.已知一组数据2,5,2,8,3,2,6.这组数据的中位数和众数分别是（）

（A）3,2 （B）3,3 （C）4,2 （D）3,4

2.某校四人绿化小组一天植树如下：10,10,x,8.已知这组数据的众数与平均数相等,那么这组数据的中位数是（）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

3.当五个数从小到大排列后，其中位数为

4.如果这组数据的唯一众数是6,那么这5个数可能的最大的和是（）（A）21 （B）22 （C）23 （D）24

4.期中考试后,学习小组长算出全组5位同学数学成绩的

平均分为M,如果把M ,当成另一个同学的分数,与原来的5

个分数一起,算出这6个分数的平均值为N,那么M:N为

（）（A）5/6 （B）1 （C）6/5 （D）2

5.小洪和小斌两人参加体育项目训练，近期的5次测试成

绩如图所示，根据分析，你认为他们中成一较为稳定的

是。

6.数据0、1、2、3、x的平均数是2，则这组数据的标准差是。

7.某同学进行机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况,并绘制了统计图.请你根据统计图给了的信息回答：

（1）填写完成下

表：

这20个家庭的年平均收入为万元；

（2）样本中的中位数是万元,众数是万元;

（3）在平均数、中位数两数中, 更能反映这个地区家庭

的年收入水平.

8.观察与探究:（1）观察下列各组数据并填空:

x：，S2A= （A）1 2 3 4 5

A

x：，S2B= （B）11 12 13 14 15

B

x：，S2C= （C）10 20 30 40 50

C

x：，S2D= （D）3 5 7 9 11

D

（2）分别比较A与B、C、D的计算结果,你能发现什么规律？

（3）若已知一组数据x1,x2…,x n 的平均数为x ,方差为S2，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,…,3x n

－2的平均数为，方差为。

【中考】

1．为了了解学校运动队的训练情况，该校对运动队中的甲、乙两名运动员的训练进行了跟踪记录。下图是他们在同一训练项目中连续十次的测试成绩：

（1）请根据图中提供的信息填写下表：

平均数众数

甲

乙

（

运动员的训练成绩进行比较；

（3）请依据折线图分析哪位运动员的训练

效果更好？(07一模)

2．某高速公路检测点抽测了200辆汽车的车

速，并将检测结果绘制出部分车速频率分布直

方图（每组包含最大值不包含最小值），如图所

示。根据以上信息，解答下列问题：（1）补全

频率分布直方图；（2）按规定，车速在70千米

/时—120千米/时围为正常行驶，试计算正常

行驶的车辆所占的百分比；

（3）按规定，车速在120千米/时以上时为

超速行驶，如果该路段每天的平均车流量约为1万辆，试估计每天超速行驶的车辆数。（07崇文一模）

3．在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和想两位同学周六来到市中心的十字路口，观察、统计上午7：00~12：00中闯红灯的人次，制作了如下的两个数据统计图。

填空：

（1）图（1）提供的五个数据（各时段

闯红灯人次）的众数是______________；平

均数是______________。

（2）估计一个月（按30天计算）上午7：

00~12：00在该十字路口闯红灯的未成年人

约有______________人次。

（3）请你根据统计图提供的信息向交通管理部分提出一条合理化建议。 _________________________________________________________________。（07东城一模）

4．某鞋店试销一种新款运动鞋，试销期间销售情况如下表：

对于这个鞋店的经理来说最关心的是哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ） A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．标准差(07丰台一模) 5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次。他们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是

3S ,6.2S 2

2==乙甲，则成绩较为稳定的是

_______。（填“甲”或“乙”） (07海淀) 6．图8－①是市2007年4月5日至14日每天的最低气温的折线图。

（1）根据图8－①提供的信息，在图8－②中补全频数分布直方图；

（2）这10天的最低气温的众数是_________℃，中位数是___________℃，平均数是__________℃。(07海淀) 7．数学老师对小方中考前的6次模拟考试成绩进行了统计分析，判断小方的数学成绩是否稳定，于是数学老师需要知道小方这6次数学成绩的（ ）

A ．平均数

B ．众数

C ．频数

D ．方差 （07西城一模）

8．(07延庆) 在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动．八年级学生小青想了解她所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 根据以上提供的信息，解答下列问题：补全频数分布表：

（1） 补全频数分布直方图； （2） 请你估计该居民小区家庭

收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？