代数表示论简介
什么是代数学
什么是代数学在学习代数学过程中有人问:"近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去。
"这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群环域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基本的。
我来介绍一下我所接触的代数学：我认为代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群环域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径和技术来研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法, 还有新近的量子化方法等等。
代数有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。
需要注意的是很多书上所说的代数还专门指乘法满足结合律的结合代数，这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环。
下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点, 分类不很科学和完整,请大家指正和补充):[基本理论]: 群及其表示论分支: 一般群论拓扑群（连续群）置换群及其应用可解群幂零群典型群有限群论李群李型单群高阶K-群无限Ablel群半群理论 Ellis半群离散群组合群论(线性)代数群群表示论(常表示与模表示) 等等[基本理论]: 环与模范畴, 代数及其表示论,分支: 一般环论根论正则环局部环非交换环非交换(结合)代数分次环与模有限维代数可除代数 C*代数算子代数V on Neumann代数非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论腔胞代数 Lie代数无限维李代数 Lie超代数 Colored李代数Kac-Moody代数顶点算子代数微分代数(拟)遗传代数(Quasi-hereditary)量子代数拓扑代数等等一些有"名" 的代数:Azumaya代数 Baxter代数 Hecke代数 Boolean代数Cluster代数 Clifford代数 Frobienus代数Grassmann代数 Heisenberg代数 Jordan代数 Koszul代数Loop代数 Leibniz代数 Miscellaneous代数 Nakayama代数Poisson代数带子(Robbin)(Hopf)代数 Ringel–Hall代数Steenrod 代数管子(Tube)代数 W-代数 Weyl代数(Jacobson)-Witt代数 Nichols代数 Poincare代数 Yang-Mills代数等等一些小专题：张量代数交错代数包络代数 Morita理论 Galois扩张理论[基本理论]: 域论与数论相关: 有限域及其应用迦罗瓦理论赋值论数论导引解析数论基础代数数论基础丢番图分析超越数论模型式与模函数论筛法代数编码理论积性数论堆垒数论等等[基本理论]: Hopf代数与量子群相关: 有限维Hopf代数辫子Hopf代数 Hopf C*代数Hopf-伽罗瓦扩张 Multiplier Hopf代数余环与余模理论弱Hopf代数拟Hopf代数 Hopf代数胚点Hopf代数根树Hopf代数(Grossman-Larson, Connes-Moscovici-Kreimer)路Hopf代数(Hopf Quiver) 局部紧量子群非交换(微分)几何李双代数等等[基本理论]: 同调与上同调理论(Homology and Cohomology)相关: 交换代数同调代数代数K-理论高维代数A∞(双)代数L∞(双)代数循环同调群与李群的上同调Lie代数的上同调 Etale上同调 Hochschild同调与上同调等等[基本理论]: 范畴论及表示 (Category)相关: 阿贝尔范畴 n-范畴双范畴(Hopf范畴) 导出范畴(Derived Categories)张量范畴(Tensor or Monoidal Categories)三角范畴(Triangulated Categories) Fusion范畴等等数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有，拓扑学也一样。
代数表示理论的简要介绍与近期发展
代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111 xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。
代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。
由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。
本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。
关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。
o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。
为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。
1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。
”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。
”这两个猜测成为代数表示论的起源。
所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。
代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。
Strongart数学笔记：C星代数的表示论与单、本原和素C星代数
谈谈C*-代数的表示论下面我们来谈谈C*-代数的表示论，先从有限群表示论开始介绍。
就最初级的讲法而言，有限群G的（有限）表示就是指它到矩阵群的一个同态f：G→M_n(k). 我们可以把矩阵群M_n(k)视为n维线性空间V到V上的线性映射，这样就相当于G→（V→V），它又可以等价于（G→V）→V，这就得到了群表示论中的G-模观点。
实际上，只要把G视为被表示对象，V视为表示空间，那么一般的表示论都有这样的类似结构，称为表示论的基本等价关系。
就这里C*-代数的情形而言，被表示对象就是C*-代数A，表示空间是Hilbert 空间H，C*-代数A的表示是指同态f：A→B(H)（这里的同态实际上是指*同态，表示实际上是指*表示，对于C*-代数而言，*结构一般总是被默认的）.由这个基本等价关系出发，我们可以得到C*-代数的两种单射表示。
一是忠实表示，它是指表示同态f：A→B(H)是单射；二是非退化表示，它是指A在B（H）上的作用是单射，即若f（a）h=0对任何h∈H成立，则a=0.下面讨论C*-代数表示的性质，首先它一定是收缩的，即‖f(a)‖≤‖a‖对任何a∈A均成立。
假若这个表示是忠实的，那么我们还可以取等号，也就是说f就是一个等距嵌入。
这样为了把C*-代数A嵌入Hilbert 空间H上的算子代数B（H）内，只要证明它有忠实表示就可以了，为此我们要先介绍一个GNS结构。
所谓GNS结构，主要由C*-代数上的一个态可以生成一个对应的表示。
具体来说，就是给定一个C*-代数A上的一个态（或非零正泛函）f，我们可以得到一个呗对应的表示三元组（π，H，ξ），满足条件1）f(a)=<π(a)ξ，ξ>, 对任何a∈A2）π（A）ξ在H内稠密实际上，我们可以令L={a∈A；f（a*a）=0}，借助f在A/L上定义内积：<x+L.y+L>==f(y*x)把H就取为A/L对此内积的完备化。
表示π而由左乘算子直接诱导，同时向量ξ就是A的逼近单位在H上像的极限，其存在性由完备化直接保证。
追梦赤子心
追梦赤子心作者：暂无来源：《科学中国人》 2019年第9期杜月娇1900年，巴黎国际数学家代表会上，数学家希尔伯特发表了题为“数学问题”的著名演讲。
在这个演讲中，他根据19世纪数学研究的成果和趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这些问题后来被统称为“希尔伯特问题”，100多年过去了，希尔伯特问题有的已经得到圆满解决，有的至今悬而未决。
南京大学数学系教授刘公祥十分钦佩希尔伯特，不止源于希尔伯特树起了19世纪末20世纪初国际数学界的一面旗帜，更因为他坚信每个数学问题都可以得到解决的信念。
“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。
”在“数学问题”演讲中，希尔伯特说道。
隔着一个时代，刘公祥依然能感受到这句话中澎湃的激情。
“热爱+坚持+勤奋”，这份赤子之心是他十数年数学之路上的行走秘籍。
“做学问就要有一颗纯粹的心去追求未知的世界，‘功利’只能是一种额外奖赏，而不应该是肩上的负重。
”刘公祥说。
念念不忘，必有回响1941年，德国数学家H.H o p f发现球面的上同调群具有特殊的代数结构，即H o pf代数结构。
从此，Ho pf代数这个崭新的代数结构迅速发展了起来。
“H o p f代数结构最初来源于拓扑学，它描述了一些拓扑空间的对称性，随着研究的发展，人们发现它不仅仅能描述拓扑空间的对称性，也能用来描绘量子世界的某种对称性。
”刘公祥介绍道，“H o p f代数与物理和数学的很多分支有着意想不到的联系，例如共形场论、低维拓扑、非交换几何、特征p域上的代数群表示理论等。
”谈起H o p f代数，刘公祥神采飞扬。
但在进入安庆师范学院学习之前，刘公祥对数学并没有太过偏爱。
“一个农村孩子，也不知道外面的世界是什么样的”，他说。
高考之前，青葱少年刘公祥对未来的唯一概念就是“学好数理化，走遍天下都不怕”。
为此，他毫无意外地在高考志愿表上填写了3个专业志愿：数学、物理、化学，而后顺理成章地被安庆师范学院数学专业录取。
数学中的代数结构与理论知识点
数学中的代数结构与理论知识点代数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学结构及其运算规律。
在代数学中，代数结构是指一组对象以及定义在这些对象上的运算规则。
代数结构的研究是数学中的基础，其中包含了一些重要的理论知识点。
本文将介绍数学中的代数结构与一些相关的理论知识点。
一、群论群是代数学中最基本的代数结构之一。
群由一组对象以及定义在这组对象上的运算组成，同时满足四个性质：封闭性、结合性、存在单位元和存在逆元。
群的研究与理论探索主要包括群的子群、陪集、正规子群、同态映射等。
二、环论环是另一个重要的代数结构。
环由一组对象以及定义在这组对象上的两个运算——加法和乘法组成。
环的研究与理论探索主要包括环的单位元、零因子、整环与交换环、子环和理想等。
三、域论域是在环的基础上进一步扩展得到的代数结构。
域是一个具有两个运算（加法和乘法）的交换环，并满足一些附加条件。
域的研究与理论探索主要包括域的特征、代数扩域、代数元的概念、域上的多项式等。
四、线性代数线性代数是代数学中的一个重要分支，它主要研究向量空间及其上的线性变换等。
向量空间是一个具有加法和数乘两个运算的代数结构，同时满足一些性质。
线性代数的研究与理论探索主要包括线性变换、线性相关性与线性无关性、线性方程组、特征值与特征向量等。
五、模论模是一种广义的环，它是环的一种推广。
模是由一个环和一个可交换群组成，同时满足一定的条件。
模的研究与理论探索主要包括子模、理想与素理想、商模、同态映射等。
六、格论格是代数结构的一种，它主要研究集合之间的包含关系。
格的研究与理论探索主要包括格的性质、半格与全格、格同态、格上的代数元素等。
七、范畴论范畴论是代数学的一个相对较新的分支，它研究的是数学结构与结构之间的关系。
范畴论的基本概念包括对象、态射、同态等。
范畴论的研究与理论探索主要包括范畴的构造、函子、自然变换、极限与余极限等。
总结：数学中的代数结构与理论知识点包括群论、环论、域论、线性代数、模论、格论和范畴论等。
代数学简介
代数学简介
代数学是数学中研究数、结构、变化及空间模型等概念的分支。
代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。
代数在数学中有着悠久的历史，经历了初等代数和抽象代数的划分。
初等代数主要研究的是算术的推广，介绍代数的基本思想，如研究数字的加法、乘法以及变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。
而抽象代数则是在初等代数的基础上发展起来的，更关注代数结构的研究，如群、环、域等。
代数的应用非常广泛，包括物理、工程、计算机科学、经济学等多个领域。
例如，在物理学中，量子力学和广义相对论都大量使用了代数的概念和方法。
在计算机科学中，算法设计和数据结构也常常涉及到代数的知识。
总的来说，代数是数学中的重要分支，对于深入理解数学和物理学的基本概念和原理，以及解决实际问题和进行科学研究都起着至关重要的作用。
代数表示理论的简要介绍与近期发展
代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111 xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。
代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。
由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。
本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。
关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。
o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。
为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。
1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。
”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。
”这两个猜测成为代数表示论的起源。
所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。
代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。
高等代数简介及详细资料
高等代数简介及详细资料初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
高等代数发展内容在高等代数中，一次方程组（也称为“线性方程组”）发展成为线性代数理论；而二次以上的一元方程（也称为“多项式方程”）发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变数论和张量代数等内容的一门高等代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门高等代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。
初等代数线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
线上性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个*** ，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度，散度，镟度就更有说服力。
同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然‘dy/dx’在数学上不过是一个符号，表示包括‘Δy/Δx’的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想像物理上发生的事情）。
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代数表示论简介
在数学研究中，我们随处可见表示的思想。
例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。
狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。
比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。
20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。
有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。
它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。
此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。
目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。
代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。
一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。
给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。
对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。
我们关心的是表示的同构类。
把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。
这是代数表示论的最基本的研究对象。
例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应：
上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并：
(n≥1):••…••
A
n
1 2 n-1 n
• 2
(n≥4):••…••
D
n
1 3 n-1 n
• 3
(n=6,7,8):••••…••
E
n
1 2 4 5 n-1 n
这些图称为Dynkin图，它们最早出现在著名数学家Killing和Cartan关于复半单李代数的分类理论中。
这个结论不但指出了箭图的表示与李代数理论的内在联系，而且也宣告了现代代数表示论的诞生。
Gabriel定理的证明也是很有意思的，它综合应用了整二次型、同调代数以及代数几何等不同的工具，在这里你可以体会到如何从不同的角度刻画同一个数学对象从而把问题的研究引向深入的方法。
这个证明展现了数学的统一性之美。
代数表示论的许多问题用线性代数的语言就可以充分地表达，这些问题常常叫做矩阵问题。
例如，一个有名的问题是分类如下箭图的不可分解表示（称之为Kronecker问题，由Weierstrass提出并研究，最终被Kronecker完全解决）：
••
它等价于如下的矩阵问题：设M和N是两个n阶复矩阵，对它们同时施行相同的初等变换，求矩阵对（M，N）在此变换下的标准形。
解决这个问题需要较高的矩阵技巧，而且人们发现，仅仅用线性代数的方法有很大的局限性。
今天，我们解决这个问题的一般方法是Auslander-Reiten理论，这是代数表示论中基于同调代数建立起来的独特方法。
相比之下，后一种方法更加系统和深刻。
经过近半个世纪的发展，代数表示论形成了一系列独具特色的研究方法，例如：箭图的表示，覆盖理论，倾斜理论，几乎可裂序列，Auslander-Reiten箭图，整二次型，Tame-Wild 分类，等等，这一个个理论异彩纷呈，美不胜收。
另一方面，代数表示论的发展与数学的许多分支发生了深刻的联系。
Gabriel的定理只是代数表示论与李代数的联系的一个起点，著名数学家Kac和Ringel后来更进一步揭示了代数表示论与李理论的内在联系，例如，Ringel 证明了有限维代数的Ringel-Hall代数可以作为相应的李代数的量子群的实现。
本世纪初，人们发现了代数表示论与丛代数（Cluster algebra）的内在联系。
丛代数目前在数学和物理的各个领域找到了越来越多的应用，而在其发展过程中，代数表示论的方法扮演着重要的角色。
今天，代数表示论的理论与方法与同调代数、交换代数、代数几何、群表示论、李理论、量子群、组合方法等数学领域发生着深刻的联系。
可以说，代数表示论是一个前途光明的学科，有大量未解决的问题和激动人心的新发现等待你去揭示。
关于代数表示论的入门读物，我向你推荐墨西哥代数表示论专家Michael Barot的讲义：Introduction to the representation theory of algebras. 如果你想了解代数表示论中更丰富的知识，可以参考代数表示论的专门网站FDLIST: http://www.math.uni-bielefeld.de/~fdlist/
在这个网站中列出了大量的教科书、专著和文献。
你还可以从这个网站上了解到代数表示论的最近进展。