数学分析3-3函数极限存在的条件
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限（一）考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有时的一个子列当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U x Th 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
数学分析3.3函数极限存在的条件
第三章函数极限(下载后可解决看不到公式问题)3 函数极限存在的条件定理3.8(归结原则)：设f在U⁰(x0;δ’)内有定义。
存在的充要条件是：对任何包含于U⁰(x0;δ’)且以x0为极限的数列{x n}，极限都存在且相等. 证：若=A，∀ε>0，有正数δ1(≤δ’)，使当0<|x-x0|<δ1时，|f(x)-A|<ε. 设{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对δ1，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ1，从而有|f(x n)-A|<ε. ∴=A. 其必要性得证.若{x n}⊂U⁰(x0;δ’)且=x0，则对∀δ>0(≤δ’)，有N>0，使当n>N时，有0<|x n-x0|<δ，设=A，∀ε>0，存在正数δ2，使当0<|x n-x0|<δ2，有|-A|<δ2，∴=A，其充分条件得证.注：1、归结原则可简述为：=A 对任何x n→x0(n→∞)有=A.2、若有以x0为极限的数列{x n}，使不存在，或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使与都存在但不相等，则也不存在.例1：证明极限不存在.证：设x’n=, x”n=(n=1,2,…)，则x’n→0，x”n→0(n→∞)，=0→0，=1→1(n→∞)，由归结原则可知不存在.定理3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)有定义. =A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)，有=A.证：若=A，则对∀ε>0，存在正数δ，当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε. 设递减数列{x n}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，当n>N时，有0<x n-x0<δ，即x0<x n<x0+δ，有|f(x n)-A|<ε，∴=A. 其必要性得证。
安徽师范大学考研数学分析教案chap3函数极限
第三章 函数极限教学目标：1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。
2. 掌握极限存在性的判定及应用。
3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限x x sin lim 0x →，x x )x11(lim +∞→及其应用。
4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。
重点：函数极限的概念、性质及计算。
难点：Heine 定理与Cauchy 准则的应用。
教学内容：§3.1 函数极限概念 一、x 趋于∞时函数的极限定义1 设f 为定义在[a, +∞)上的函数，A 为定数。
若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当x ＞M 时有A )x (f -＜ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =+∞→或f(x)→A(x →+∞).注1. A )x (f lim x =+∞→可看作数列极限a )n (f lim n =∞→的直接推广。
它们不同之处在于，这里所考虑的是所有大于M 的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。
注2. A )x (f lim x =+∞→的几何意义。
注3. A )x (f lim x ≠+∞→0ε∃⇔＞0，对M ∀＞a ，'x ∃＞M 使得A )'x (f -≥0ε.例1. 证明：(1)0xxsin limx =+∞→；(2) 231x 21x 3limx =-++∞→；(3) 2x arctan lim x π=+∞→ 定义1' (i)设f 是定义在U （-∞）(即(-∞,b])上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(-M ≤b)，使得当x ＜-M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =-∞→或f(x)→A(x →-∞).(ii)设f 是定义在U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当|x|＞M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =∞→或f(x)→A(x →∞).思考题：①用“ε-M ”语言叙述A )x (f lim x ≠-∞→及A )x (f lim x ≠∞→.②它们的几何意义？例2. 证明：(1) 21x 21x lim x -=--∞→；(2) 0a lim x x =-∞→(a ＞1)；(3) 2x arctan lim x π-=-∞→. 例3. 证明：(1) 0x1limx =∞→； (2) 1x11lim 2x =+∞→.命题 设f 为定义在U(∞)上的函数，则A )x (f lim x =∞→⇔A )x (f lim )x (f lim x x ==-∞→+∞→.注：x arctan lim x ∞→不存在.二、x 趋于x 0时函数的极限定义2(函数极限的δ-ε定义) 设函数f 在点x 0的某空心邻域U 0(x 0；δ')内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ')，使得当0＜|x-x 0|＜δ时有A )x (f -＜ε,则称函数f 当x 趋于x 0时以A 为极限，记作A )x (f lim 0x x =→或f(x)→A(x →x 0).例4. 证明：(1) 6)4x 2(lim 1x =+→；(2) 42x 4x lim 22x =--→；(3) 1x sgn lim 0x =→.例5. 证明：(1) o x x x sin x sin lim 0=→；(2) o x x csox x cos lim 0=→.例6. 证明：321x x 21x lim221x =---→ 例7. 证明：(1) o x x x x lim=→；(2) 202x x x 1x 1lim 0-=-→(|x o |＜1).由ε-δ定义立得c c lim 0x x =→，0x x x x lim 0=→(c 为常数，x 0为定实数)注1. 定义2中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的N ，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些.注2. A )x (f lim 0x x =→研究的只是x →x 0这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)在点x 0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在x 0的空心邻域中考虑. 注3. 0＜|x-x 0|＜δ⇔x ∈U 0(x 0;δ); |f(x)-A|＜ε⇔f(x)∈U(A;ε).于是, A )x (f lim 0x x =→⇔ε∀＞0，δ∃＞0，当x ∈U 0(x 0; δ)时有f(x)∈U(A; ε).⇔ε∀＞0，δ∃＞0，使得f(U 0(x 0; δ))⊂U(A; ε). 注4. ε-δ定义的几何意义.定义3 设函数f 在0U +(x 0; δ')=(x 0, x 0+δ'）（或0U -(x 0; δ')=(x 0-δ', x 0）)内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ'），使得当x 0＜x ＜x 0+δ(或x 0-δ＜x ＜x 0)时有|f(x)-A|＜ε,则称数A 为函数f 当x 趋于x +0(或x -0）时的右(左）极限，记作A )x (f lim 0x x =+→（A )x (f lim 0x x =-→）或 f(x)→A(x →x +0)（f(x)→A(x →x -0)）右极限与左极限统称为单侧极限。
数分极限知识点总结
数分极限知识点总结1. 极限的定义和性质极限是数学分析中的一个重要概念，用来描述一个函数在某一点附近的表现。
通俗地讲，极限就是描述函数在某一点“接近”的程度。
在数学上，极限可以用严谨的定义来描述，即对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数f(x)的取值趋于某一个常数L，那么就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。
极限有许多重要的性质，其中最重要的包括极限的唯一性、极限的局部有界性、极限的保号性等。
这些性质在研究极限时起到了非常重要的作用。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的计算极限的方法，包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的放缩定理、极限的L'Hospital法则等。
这些方法对于计算复杂的极限非常有帮助，能够让我们更好地理解函数在某一点的表现。
3. 极限存在性的判定在实际问题中，我们常常会遇到需要判断一个函数在某一点是否存在极限的问题。
对于这类问题，我们需要掌握一些判定极限存在性的方法，包括柯西极限存在准则、极限存在性与函数连续性的关系、函数单调有界准则等。
熟练掌握这些方法能够帮助我们更好地解决实际问题中的极限存在性问题。
4. 极限与无穷大在数分中，我们经常会遇到一些极限涉及到无穷大的问题。
对于这类问题，我们需要掌握无穷大的性质、无穷大的比较定理等方法，来帮助我们更好地理解和计算这类复杂的极限。
5. 极限与级数级数是数学分析中的另一个重要概念，它是无穷多个项的和所组成的一种数列。
在研究级数时，极限起着非常重要的作用，我们需要掌握级数收敛的判定条件、级数与函数极限的关系等，来帮助我们更好地理解和计算级数的性质。
6. 极限与微积分微积分是数学分析中的一个重要分支，而极限是微积分中的基础概念。
在学习微积分时，我们经常会用到极限的概念。
我们需要掌握一些常见函数的极限性质，包括指数函数、对数函数、三角函数的极限等，以及极限在微积分中的应用，比如导数的定义、微分方程的求解等。
极限总结知识点
极限总结知识点极限的概念最早起源于17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨，并在此后的数学发展中被不断完善和深化。
极限的概念是微积分中的基础，也是分析数学和实变函数理论中的核心内容之一。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些基本概念和相关定理，下面就是对极限相关知识点的总结：一、极限的定义1. 函数极限的定义设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么就称limf(x)=A，即称A是当x趋于a时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A，或者limx→af(x)=A。
2. 数列极限的定义数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限趋向于一个确定的常数A，即limn→∞an=A。
二、极限的性质1. 唯一性如果f(x)的极限存在，那么极限是唯一的。
2. 有界性如果f(x)在某一点a的邻域内有界，那么f(x)在a处的极限也有界。
3. 保号性如果函数f(x)的极限存在并且大于（或小于）一个常数A，那么函数f(x)在a附近的某个去心邻域内也大于（或小于）A。
4. 夹逼性如果函数f(x)在点a的某个领域内与另外两个函数g(x)和h(x)夹在一起，并且当x趋于a 时，g(x)和h(x)的极限相等且等于A，那么函数f(x)的极限也等于A。
5. 收敛性与发散性如果函数f(x)的极限存在，那么称f(x)是收敛的，否则称f(x)是发散的。
6. 局部有界性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么f(x)在a的某个去心邻域内有界。
7. 局部半连续性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么函数f(x)在a的左、右邻域内至少有一个是半连续的。
三、极限的计算方法1. 用极限的定义计算极限利用极限的定义，可以求出一些函数在特定点处的极限。
2. 用夹逼准则计算极限当函数f(x)所在的区间内有另外两个函数g(x)和h(x)，并且g(x)≤f(x)≤h(x)在区间内成立，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=A，那么可以利用夹逼准则求出函数f(x)的极限。
数学分析中的极限概念及限制条件
数学分析中的极限概念及限制条件数学分析是数学学科中的一门核心课程，因为它涉及到数学中最基本的概念：数与数量之间的关系。
其中，极限概念是数学分析中最重要的一个概念之一，它在数学研究中扮演着非常重要的角色，因此必须要有清晰的理解。
极限概念是在数学分析中实现量的无限可分性的基础。
极限是指数列或函数在某一点的近似值，是指序列中的一个元素趋近于无穷大或无穷小时的特殊值。
严格来说，对于一个无限数列中任意一个元素 a n，当 n 趋于无限大时，若 a n 趋近于一个确定的值 L，即当 n 充分大时，a n 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称其为数列的极限，数学上可以表述为：当n→∞ 的时候，a n →L同样的，对于一个函数 y=f(x)，若 x 趋近于 a 时，f(x) 趋近于一个确定的值 L，即当 x 趋近于无穷大或无穷小时，f(x) 与 L 之间差距可以任意的小，我们就称 f(x) 在 x 为 a 的极限为 L，数学上可以表述为：当x→a 的时候，f(x)→L极限的研究使得我们能够更加深入地了解自然界中的变化规律，可以用来解决各个领域的问题。
但是，极限的概念也存在着许多限制条件，这些限制条件是我们在研究极限时必须要注意的问题。
首先，极限存在定理是寻找极限时需要遵循的一个基本原则。
其表述是：如果一个数列有极限，那么这个极限是唯一的。
数学上可以表示为：如果数列 a n 有极限 L，那么当 n 趋近于无限大时，a n 与 L 之间的差距可以任意小。
另外，如果存在一个数L’，当 n 趋近于无限大时，a n 与L’ 之间的差距也可以任意小。
那么，我们就有L=L’。
也就是说，如果不同的极限存在，则不是真正的极限。
其次，序列的有界性也是寻找极限时需要注意的限制条件之一。
对于一个数列 a n 来说，如果存在一个固定的数字 M，使得a n ≤M 对于所有的 n 都成立。
则这个数列就是有界的。
当数列 a n 是有界的时候，我们可以通过极值定理来证明该数列具有极限。
《数学分析》第三章 函数极限教案
f (x) A (x x0 ) 。
下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特
别注意以下各例中 的值是怎样确定的。
例 3 设 f (x) x 2 4 ，证明 lim f (x) 4 。
Байду номын сангаас
x2
x2
证 由于当
时， f (x) 4 x 2 4 4 x 2 4 x 2 , x2
证 任给 0 ，由于
arctan x ( ) 2
（2）
等价于 arctan x ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，
2
2
所以只要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，首先限制 ，则有 2
. 4.
x
tan(
)
tan(
)
2
2
故对任给的正数
，只须取 M
tan(
lim f (x) A lim f (x) A, lim f (x) A
x
x
x
例 1 证明 lim 1 0 。 x x
（1）
证
任给
0 ，取 M
1
，则当
x
M
时,有:
1 0 1 1
x
xM
所以 lim 1 0 。 x x
例 2 证明：1） lim arctan x ；
x
2
2） lim arctan x x
) ，则当 x
M
时,便有
2
2
（2）式成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。
注 由结论（1）可知，当 x 时 arctan x 不存在极限。(为什么？)
二． x 趋于 x0 时函数的极限
设 f (x) 为定义在 x0 某个空心邻域U 0 (x0 ) 内的函数。现在讨论当 x 趋于 x0 (x x0 ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数 A 。
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x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
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证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
(
x0
)
由确界定义, 对于 0, x* U ( x0 ), 使
A f ( x*) A.
令 x* x0, 当 0 x x0 时,
由 f (x) 的递减性,
1、为什么这样取？
n
1 yn
,
故
lim
x0
sin
1 x
不存在.
同理可取
xn
2nπ
,
yn
2nπ
π 2
,
有
lim cos
n
xn
1
0
lim cos
n
yn ,
故 limcos x 不存在. x
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y
1
-1 -0.5
0.5 1 x
-1
从几何上看，y sin 1 的图象在 x = 0 附近作无比
x
密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. 为了让大家更好地掌握其他五类极限的归结原则, 我们写出 x x0 时的归结原则如下：
但是
lim
n
f
( xn )不存在,
则 lim f ( x)不存在. x x0
4、可以利用归结原则证明函数极限的很多命题.
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例1 证明 lim sin 1 , lim cos x 都不存在.
x0 x x
解
取
xn
1 2nπ
0,
yn
1 2nπ
π 2
0
,
有
lim sin
n
1 xn
0
1
lim sin
2、还可以取什么值？
A f (x*) f (x) A A .
这就证明了 lim f ( x) A. x x0
易证:设f
(
x
)
是U
(
x0
)中的单调函数，则
lim
x x0
f
(x) 存在的
充要条件是：f ( x) 在U ( x0 )中的有界. 前页 后页 返回
对于单调函数, 归结原则பைடு நூலகம்条件就要简单得多:
使得 f x f x 0.
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容易证明， 柯西准则有以下数列形式：
注2. lim f ( x) 存在的充要条件是： x {xn} ,{yn} , (xn M , yn M ) 当xn ，yn 时，
恒有 lim n
f xn f yn
0.
lim f ( x) 不存在的充要条件是：
这就说明lim sin x 不存在 x 问：limsin 1 是否存在？ x0 x
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复习思考题
1.定理3.8 中的条件“并且相等”这几个字是否可以 省略? 可以 3.总结证明函数收敛或发散的常用方法
作业
P57 1. 2. 3. 4.
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)上有定
义. 那么 lim f ( x) A 的充要条件是任给严格递减 x x0
的
{
xn
}
U
0
(
x0
,
),
xn
x0 ,
必有 lim n
f ( xn )
A.
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证 必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性.
假若 x x0 时, f(x) 不以 A 为极限. 则存在正数
0 ,
0,
存在
x
U
(
x0
,
),使
|
f
( x
)
A|
0.
取 1 , x1 , 0 x1 x0 1 , | f ( x1 ) A | 0 ;
2
min{
2
,
x1
x0 },
x2 , 0 x2 x0 2 , | f ( x2 ) A | 0 ;
n
min{
, n
xn1
x0 },
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x
任给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x, x X , 均有
f ( x) f ( x)
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证（必要性）设 lim f ( x) A, 则对于任意 0, x
存在 X ( M ), 对一切 x >X，
| f ( x) A | .
2
所以对一切 x, x X , 有:
例3*
设
f
(
x)
在U
(
x0
,
)上单调，则
lim
x x0
f (x)
存在的充要条件是存在一个数列
{ xn}
U
(
x0,
)
,
xn
x0
,
使
lim
n
f
( xn )
存在
.
证 必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充分
性. 假设 f ( x)递减．
设 {xn} U (x0,) , xn x0 ,
lim
n
f
( xn )
x x0
的充要条件是: 对于在 U ( x0,) 内以 x0 为极限的
任何数列
{xn} ,
极限 lim
n
f ( xn ) 都存在,
并且相等.
证 (必要性) 设 lim f ( x) A, 则对任给 0, 存 x x0
在 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
| f (x) A| .
则对
{xn
},
若
lim
n
xn
=x0时,
有 lim n
f
( xn)
A
2、若存在 { xn }, { yn } U ( x0 ), xn x0 , yn x0 ,
但是
lim
n
f
( xn )
A
B
lim
n
f
(
yn ),
则 lim f ( x)不存在. x x0
3、若存在 { xn } U ( x0 ), xn x0 ,
设 { xn } U ( x0 ,) , xn x0 ,
那么对上述 , 存在N , 当 n N 时 , 有
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0 | xn x0 | ,
所以
|
f ( xn )
A|
.
这就证明了
lim
n
f
( xn )
A.
(充分性)（下面的反证法很有典型性，大家必须
学会这种方法.）
设任给 { xn } U ( x0 , ), xn x0 ,
xn , 0 xn x0 n , | f ( xn ) A | 0;
1、为什么这样取？ 2、还可以取什么值？
这样就得到一列严格递减的数列
{
xn
}
U
(
x0
,
),
xn x0, 但 | f ( xn ) A | 0, 这与条件矛盾.
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二、单调有界定理
定理 3.11
设
恒有
lim
n
f
( xn )
A
.
若 f ( x) 在 x x0 时, 不以 A 为极限, 则存在正数
0 , 对于任意正数 , 存在 x U ( x0, ), 使得
| f ( x ) A | 0 .
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现分别取
1、为什么这样取？
2、还可以取什么值？
1
,
2
2
,,
n
n
,
,
存在相应的
f ( x) f ( x) | f ( x) A | | f ( x) A | .
(充分性)
任给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x, x X , 均有
f ( x) f ( x)
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任取 { x n } , xn ，
对上面的X , 存在 N， 当 n N 时, xn X .
A.
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故 0, N , 当 n N 时, 有：