完整word版,浙江大学高等数学期末考试2009-2010第一学期
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页 共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = ， 求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx ． x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、 证明：若 e < a < b < e 2， 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
第 4 页 共 10 页
e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .
微积分1试卷(10年)浙江大学
y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2：原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1
13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数， f (0) 0, f ( x) 0, 证明：(1) f ( x) 至多有两 个零点，至少有一个零点；(2) 若 f ( x) 的确有两个零点，则此两零点必反号（注： f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根）.
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则， lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |
2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2
1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分，10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.
2009-2010(1)BD
利用对称性,侧压力元素
端面所受侧压力为
即 因为
故
得分
评卷人
五、应用题（10分×2=20）
1、（5分）设有质量为5 kg的物体置于水平面上,受力 作用开始移动,设摩擦系数 ，问力 与水平面夹角为多少时才可使力 的大小最小?
解:克服摩擦的水平分力 ；正压力
即
，则问题转化为求 的最大值问题.
令 解得 因而F取最小值.
2、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。（注：水深为h处的压强: ，为水的密度）
2、设2、 处（C）
A、极限不存在；B、极限存在，但不连续；C、连续，但不可导；D、可导；
3、在区间 内， 的一阶导数 ，二阶导数 <0，则 在区间 内是（B）
A、单增且凸；B、Βιβλιοθήκη 减且凸；C、单增且凹；D、单减且凹；
4、下列命题中正确的是（ D ）
A、若 存在，则 的连续点
B、 在 上连续，是 存在的充要条件
C、 在 处连续，则 一定存在
D、 可导是 可微的充要条件
5、 是 在 内的一个极大点，则 （ C ）
A、 B、 是 的一个连续不可导点
C、存在 ，在 内， D、 必有
得分
评卷人
三、解答题（10分×4=40分）
1、求下列极限
（1） （2） （3） （4）
解： ； ；（3） ；（4）
2、求导数或微分
（1）设函数 ，求 ；（2）求椭圆 ，在点 处的切线方程。
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题
09级上高等数学
学号
2008～2009 第一学年 第 2 学期
B卷
机电一体化 专业 高等数学 课程期末试卷标准答案（即评分
标准）
一. 单项选择题 1—5 C C C B C
二.填空题
6---10 B B B D C 11---15 C B C C D
所以面积为
1
S 0 (
x
x)dx
(2
x
3 2
1
1
x2)
1
32
6
0
（
D y2 xy 0
）
C
1 A
A11
A21
A12 A22
A13
A23
A31 A32 A33
D
1 A
A11
A12
A21 A22
A31
A32
A13 A23 A33
7、反常积分
1
1 x2
dx
A
B1
1
C
3
D 1
（
）
13、 d ( 1 etdt) dx cos x
（
）
A ecos x
本试卷共 2 页，此页为第 2 页
学号
f (b) f (a)
A
2
b
B f (x)dx a
1b
C
f (x)dx
ba a
f (b) f (a)
D
ba
15、设级数 () : un 和级数 () :1 2 1000 un ，则下列正确的是 （
n1
n1
A 若 () 收敛，则 () 发散
B 若 () 发散，则 () 收敛
C 若 () 收敛，则 () 发散
2 1 1
浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续
常见的等价无穷小量：
• 当x → 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ∼ x ； (2) tan x ∼ x ； (3)ln(1 + x) ∼ x ； (4) e x − 1 ∼ x ； x2 ； (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求： lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中： lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
6、 求： lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】：I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】：记 y = (e − x) ，则： lim ln y = lim
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浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
09级上微积分B期末试卷(答案)
浙工大之江学院2009-2010学年第一学期《微积分B 》期末试卷（A ）班级 姓名 学号一．选择题：（每格3分，共15分）1、下列四种趋向中，函数11)(2+++=x x x x x f 不是无穷小量的是（ B ） A.0→x B.1→x C.1-→x D.+∞→x2、关于函数)(x f y =在点x 处连续、可导及可微三者的关系是（ D ）A. 连续是可微的充分条件B. 连续是可导的充要条件C. 可微不是连续的充分条件D. 可微是可导的充要条件3、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f , 则1=x 是)(x f 的 ( A ) A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点4、311-+=x y 的拐点为 ( C )A. )0,0(B.)2,2(C. )1,1(D. 无5、若)(x f 是)(x g 的一个原函数,则 ( B )A.⎰+=c x g dx x f )()( B.⎰+=c x f dx x g )()( C.c x g dx x f +='⎰)()( D.⎰+='c x f dx x g )()(二．填空题：（每格3分，共15分）1、 设x x x f cos )(=, 则='')(x f __-2sinx-xcosx______________2、某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系式为P Q 3100-=，则需求量对价格的弹性是______31003p p-____________3、函数32)(3+-=x x x f 在区间]0,2[-上满足拉格朗日定理的条件，求定理中的=ξ_____4、设x e x f -=)(, 则='⎰dx x x f )(ln ____1c x +______________5、x e x f 2)(=的n 阶麦克劳林公式为 __________22(2)(2)12()2!!nx n x x e x x n ο=+++++ __________________________三. 计算题：1、求极限（每题5分，共10分） (1) x x x )1ln(lim 0+→011lim 11x x→+==(2) 10)xx x →1)0012032lim )lim 1(1)132=x x x x x ex xx e →→-→=++==先求原式2、求不定积分（每题5分，共15分） (1) dx x x ⎰+231()()()()22222312222111122111123x xx x c=+-+=+-++=(2) ⎰+++dxxxx82622221225228(1)71ln282xdx dxx x xx x c+=+++++=++++⎰⎰(3) 3lnx xdx⎰4444344ln4ln ln441ln441ln416xxdx xx d xxx x dxxx x c==⋅-=⋅-=-+⎰⎰⎰3、利用对数求导法求函数35)33()23(4+-⋅+=xxxy的导数y'（7分）解：1ln ln(4)5ln(32)3ln(33)2y x x x=++--+1115(2)33243233yy x x x-'=⋅+-⋅+-+532)1103()(33)2(4)321xyx x x x-'=--++-+4、设曲线方程为33(1)cos()90x y x y π++++=，试求此曲线在横坐标1-=x 的点处的切线方程。
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诚信考试 沉着应考 杜绝违纪
浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期
《 高等数学 》课程期末考试试卷
开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟
考生姓名： _____学号： 专业： ______
一、填空题（每个空格3 分，共33 分）
1.设函数⎩
⎨⎧<+≥-=0 ,0
,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。
2.计算极限：11
lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0x
x x -
→= 0 。
3.设函数x x y sin =，则
=dx
dy
sin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。
4.设1=-y
xe y ，则==0|x dx
dy
e 。
5.5
001.1的近似值为 1.0002 。
6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。
7.设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。
8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。
从中一次随机
地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为217030
3100 C C C 。
9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。
二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。
要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？
解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价
2()22P r r rh ππ=+．
由2V r h π=得到2V
h r
π=，代入上式消去h ，得
22()2V
P r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0V
P r r r
π'=-
，得到唯一驻点r =
点，即底面半径r ===
三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）
1.
解：()3
222
111(1)23x x C =+=++⎰
2.解：
()()()()11sin 2sin 22cos 2221111
cos(2)cos 2cos(2)sin 22224
x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C =
=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰
3.解：
()()()(
)2420
4
42
4
2404
sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x x x π
π
π
πππ
ππ
π
π
=
=-=
-+-=
-+-=++--=⎰
⎰
⎰⎰⎰
四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2
x y =所围成平面图形的面积。
解： ()1201
6
S x x dx =-=⎰
五、矩阵与行列式计算（每小题6分，共 12分）
1.求与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=1 10 1
A 可交换的矩阵
B 。
解：设 , a b B c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭则
,
1 0 1 0 , 1 1 1 1 AB BA a b a b c d c d =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , -a b b a b c d d a c b d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭
可得 0,,
b d a ==
即 0, a B c a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭其中,a c 为任意值。
2.计算行列式：3 1 2 14 0 215
4 0 32 3 1 2-
2
1 3 2
2 1
3 22 1
3 23 0
4 53 0 4 53 0 4 512 0 412 0 450 6 81
2
1 3
2 0 1 72 0 1 7345
5
68921
7
==--=-=
六、（本题 8分）求解线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-++--=++--=++-8
42 32 32 65 32 432143214321x x x x x x x x x x x x
°231
5
60777231248077721231212312000001231207772077721231200000410112
12312722
01110111770000000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪------⎝
⎭⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭
⎛
⎫- ⎪
--⎛⎫
⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
解为134234427
,27x x x x x x ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=+-⎪⎩
其中34,x x 可取任意实数。
七、随机事件概率计算（每小题7分，共 14分）
1. 甲、乙、丙三厂向某商场供应某种商品，分别占该商场总进货量的40%，35%和25%。
又已知甲、乙、丙三厂该种产品的次品率分别为0.02，0.03，0.04。
现某人购一件该种产品发现是次品，则三厂家应承担多大责任？
解：设： 1A 为事件“甲厂生产商品”； 2A 为事件“乙厂生产商品”；
3A 为事件“丙厂生产商品”； B 为事件“商品是次品”； 则
111112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.40.02
0.281
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++⨯=
=⨯+⨯+⨯
222112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)0.350.03
0.368
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
333112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.250.04
0.351
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
2. 某彩票每周开奖一次，每注获大奖的机会为十万分之一，若某人每周买一注彩票，坚持十年（每年按52周计算），问该人十年中一次都未中大奖的概率。
解：
52051
(1)10.00520.9948
10((1)1)P x x x αα=-≈-=+≈+当很小时，
八、（本题 7分）如果电源电压在不超过200V 、200～240V 之间和超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是0.1、0.001和0.2，设电源电压)25,220(~2N X ，求该电子元件损坏的概率（其中7881.0)8.0(≈Φ）。
解：
()()()()()()200220(200)0.810.80.2119;
25240220200220(200240)2525 0.80.820.810.5762;
240220(240)1(240)110.80.211925P X P X P X P X -⎛⎫
≤=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫
≤≤=Φ-Φ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=Φ-Φ-=Φ-=-⎛⎫
≥=-≤=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭
;
电子元件损坏的概率：
0.21190.10.57620.0010.21190.20.0641;P =⨯+⨯+⨯≈。