函数依赖公理系统
关系数据理论课后答案
关系数据理论课后答案第五章关系数据理论习题解答和解析1.理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。
解析：解答本题不能仅仅把《概论》上的定义写下来。
关键是真正理解和运用这些概念。
答：函数依赖：设R(U)是一个关系模式,U是R的属性集合,X和Y是U的子集。
对于R(U)的任意一个可能的关系r,如果r中不存在两个元组,它们在X上的属性值相同,而在Y上的属性值不同,则称"X函数确定Y"或"Y函数依赖于X",记作X→Y。
解析：(1)函数依赖是最基本的一种数据依赖,也是最重要的一种数据依赖。
(2)函数依赖是属性之间的一种联系,体现在属性值是否相等。
由上面的定义可以知道,如果X→Y,则r中任意两个元组,若它们在X上的属性值相同,那么在Y上的属性值一定也相同。
(3)要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖,即函数依赖反映了(描述了)现实世界的一种语义。
(4)函数依赖不是指关系模式R在某个时刻的关系(值)满足的约束条件,而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。
答：完全函数依赖、部分函数依赖：在R(U)中,如果X→Y,并且对于X的任何一个真子集X',都有X'Y,则称Y对X完全函数依赖,记作:若X→Y,但Y不完全函数依赖于X,则称Y对X部分函数依赖,记作:?→Z,则称Z对X传递函数依赖。
传递依赖：在R(U)中,如果X→Y,(Y候选码、主码：设K为R<u,f>中的属性或属性组合,若K→U(完全依赖)则K为R的候选码(Candidate key)。
若候选码多于一个,则选运其中的一个为主码(Pdmary key)。
解析：1)这里我们用函数依赖来严格定义码的概念。
在第二章中我们只是描述性地定义码(可以复习若关系中的某一属性组的值能惟一地标识一个元组,则称该属性组为候选码(Candidate key)。
6.第六章关系的规范化
第六章关系的规范化设计第六章关系的规范化设计第一节问题的提出第二节函数依赖第三节范式第四节数据依赖的公理系统第一节关系模式设计问题的提出如何设计一个合理的关系数据库模式？c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno 泛关系模式泛关系：泛关系模式中存在的问题c3c2c1c3c1cno 77OS丁惠s283DS 丁惠s290DB 丁惠s287OS 李立s178DB 李立s1gradecname sname sno反映现实世界操作性能例：设计教学管理关系数据库模型sc问题分析Sno Cno Tno Sname Grade Cname Tname S1C1T1赵民90OS彭S1C2T2赵民90DS杨S1C3T3赵民85C++刘S1C4T4赵民87DB张S2C1T4李军90OS张S3C1T4陈江75OS张S3C2T2陈江70DS杨S3C4T4陈江56DB张S4C1T1魏致90OS彭S4C2T2魏致85DS杨S5C1T1乔远95OS彭S5C4T4乔远80DB张关系SCT产生问题的原因？解：sct（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tname）属性间约束关系（即数据间的依赖关系）太强解一：（sno，（cno，tno，（tno，cno, tname （sno，cno，解二：（sno，（cno，（tno, tname （sno，cno，（tno，cno）分解关系解决问题的方法：例sc解（sno, cno, tno, sname, grade, cname, tnameS n o S n a m e S 1赵民S 2李军S 3陈江S 4魏致S 5乔远StudentsCno Cname C1OS C2DS C3C++C4DBCoursesSnoCno Grade S1C190S1C290S1C385S1C487S2C190S3C175S3C270S3C456S4C190S4C285S5C195S5C480scTno Tname T1 彭 T2 杨 T3 刘 T4 张TeachersTeachCno Tno C1T1C1T4C2T2C3T3C4T4本章要解决的主要问题理想第二节：函数依赖数据依赖函数依赖（1）、函数依赖定义X 函数决定Y Y函数依赖于XX Y例：只能根据语义来确定函数依赖性的存在与否。
第3-4讲函数依赖和公理
定义(传递FD):设关系模式R，X、Y、Z是R的属性子集， 若FD X→Y，Y → X，Y→Z，则有FD X→Z，称FD X→Z为 传递函数依赖。
函数依赖、完全依赖、传递依赖等基本概念是第四章关系 数据库范式的基础。
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算法3.2.3
判定F是否蕴涵X→Y的成员测试算法
输入：函数依赖集F和FD X→Y。
输出：若F蕴涵X→Y输出为true，否则为false MEMBER(F, X→Y) begin if Y CLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.
={AB→E，E→G， BE→I， GI→H}
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定义(函数依赖集F的闭包 F +)
设F是关系r(R)上的函数依赖集，F所蕴含的所有FD的集
合称为F的闭包，记作F +。 F
+
= { X→Y
|
所有F |= X→Y }
例：设F={AB→C，C→B}。 求F+
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设F={AB→C，C→B}。 F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B, AB→B, BC→B，ABC→B，C→C，AC→C，BC→C,ABC→C，AB→AB， ABC→AB，AC→AC，ABC→AC，BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C, AB→AC, AB→BC, AB→ABC，C→B,
（3）并比较两种方法更好用语言来实现。
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（1）设F ={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖
数据库学习摘记——关系模式的函数依赖关系与关系模式的联系：关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的⼀张空表格，是对元组数据组织⽅式的结构描述，⽽关系却是动态变化的，不稳定的，是将若⼲元组填⼊关系模式后得到的⼀个取值实例。
每⼀个关系对应⼀个关系模式，每⼀个关系模式可以定义多个关系。
关系模式R(U)对应的具体关系通常⽤⼩写字母r来表⽰。
函数依赖：设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的⼦集。
若对R(U)的任⼀具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。
则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。
函数依赖要求R(U)的⼀切具体关系r都要满⾜的约束条件。
若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X // 对于任⼀关系模式，平凡函数依赖必然是成⽴的⾮平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X完全函数依赖：如果X→Y，且对于X的任何⼀个真⼦集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：部分函数依赖：如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：传递函数依赖：如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:候选键：对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯⼀确定关系中任何⼀个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。
【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】因G只在右边出现，所以G⼀定不属于候选码⽽B，D只在左边出现，所以B，D⼀定属于候选码BD的闭包还是BD，则对BD进⾏组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进⾏组合先看ABDABD本⾝⾃包ABD，⽽AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U再看BDCCD→E，E→A，A→G，BDC本⾝⾃包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U最后看BDEE→A，A→G，AB→C，BDE本⾝⾃包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE主键：通常在R(U)的多个候选键中任意选定⼀个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
约束数据库中的函数依赖公理系统与设计理论
定 义 和 分 解 为 第 ３范 式 和 Ｂ 范 式 的 算 法 ， 而 基 Ｃ 从 本 完 成 了在 函数 依 赖 范 畴 内 的 约 束关 系 模 式 设 计 工
定 义 １ 设 为 一 类 约 束 ， 为 其 论 域 ， ： Ｄ 则
．
这 是 一 种 与 时 空 数 据 关 系 密 切 的 约 束 ． Ｄ 为 若 定 义 ２ 设 Ｒ是 ｘ 上 的 Ｋ 元 约 束 关 系 ， 的 约 它
一
般的全序集 ， 类 约束称为密序约束． 这
１ ）变 量 集 Ｘ 一 （ ， ， ， ） 的 约 束 Ｋ 元 。 ： … 。 上 组 是 一 个 约 束 合 取 式 ， 一 ＾ … Ａ ， 中每 其
据 库 的 无损 连 接 问 题 ， 到 很 好 的 结 果 ． 文 即 是 研 得 本
４ ）约 束 数 据 库 定 义 为 有 限 个 约 束 关 系 组 成 的 集合． ５ ）设 Ｒ（ ｘ）是 约 束 关 系模 式 ， Ｒ（ 上 的 数 则 ｘ）
据 依 赖 Ｄ 定 义 为 一个 映 射 ， 的定 义 域 为 Ｒ（ 它 ｘ）所
成 了约 束数据 库设 计 的核 心工 作 ： 约束 关 系模式 分解 为 ３ 把 ＮＦ或 Ｂ ＮＦ的算 法． Ｃ
关 键 词 ：约束 数 据 库 ； 函数 依赖 ； 函数依 赖 公理 系统 ； 式设 计 模
中 图分 类 号 ： Ｐ３ １１ １ Ｔ １．３
文 献 标 识 码 ： Ａ
个 （ ≤ ｉ Ｎ） １ ≤ 是 中 的定 义 在 变 量 集 Ｘ 上 的一
据 库 可 看 成 是关 系 数 据 库 的 自然 扩 充 ， 此 自然 希 因
数据库第九章
a f1 b h2
a f3
c f4
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函数依赖
函数依赖：一种完整性约束，表示特定的属性值之间的关系，可以用来 判断模式规范化和建议改进
例，考虑r(A,B)及其下列实例r
AB 14 15 37 对此实例，A B不成立，但B A成立 ∵若B属性值确定了，则A属性值也唯一确定了。于是有 B → A
由于包含n个元素的集合含有个2n子集，因此共有2nX2n个可能的函数依 赖
后面会介绍完成此任务的另一过程
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属性集的闭包
如何判断集合是否为超码
一种方法是：计算F+ ，在F+中找出所有 i ，检查{ 1 2 3 … }= R。 但是这么做开销很大，因为F+可能很大
另一种方法是：计算的闭包
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函数依赖
设R是一个关系模式，且有属性集 R， R
函数依赖
借用了数学上的函数概念： x → f(x)
在R上成立当且仅当对任意合法关系r(R)，若r的任意两条元组t1和t2
在属性集上的值相同，则他们在属性集上的值也相同。即，
t1[] = t2[] t1[] = t2[]
AG I：用G增补A C得AG CG，再由CG I根据传递规则得到
CG HI：由CG H和CG I，可根据函数依赖的定义导出“并规则”
得到，或增补CG I得到CG CGI，增补CG H得到CGI HI，再利
用传递规则得到
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Armstrong公理的补充定律
使用空值(null)：存储一个不知道所在系的教师信息，可以使用空值表 示dept_name, building, budget数据，但是空值难以处理
关系数据模型之函数依赖
函数依赖的重要性
保持数据完整性
通过函数依赖，可以确保数据库中的数 据满足一定的约束条件，从而保持数据
的完整性。
提高查询效率
在数据库查询过程中，可以利用函数 依赖优化查询计划，提高查询效率。
简化数据库设计
通过合理地利用函数依赖，可以简化 数据库设计，减少冗余数据和数据不 一致的情况。
关系数据模型之函数依赖
contents
目录
• 引言 • 函数依赖的定义与分类 • 函数依赖的推理规则 • 函数依赖在关系数据库设计中的应用 • 关系数据模型中的其他概念 • 关系数据模型的实际应用案例
01 引言
什么是函数依赖？
函数依赖是关系数据模型中的一个基本概念，它表示一个或多个属性的值决定另一个属性的值的关系 。
部分函数依赖
要点一
定义
如果一个属性集合Y中的所有属性决定了一个属性集合X中 的部分属性，则称X部分函数依赖于Y。
要点二
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，性别只依赖于 学号，因此学号→性别。
传递函数依赖
定义
如果Y→X，且X不决定Y，则称X传递依赖于Y。
举例
在关系模式"学生(学号,姓名,年龄,性别)"中，学号→姓名，性别→年龄，因此姓名传递依赖于学号，年龄传递依赖 于性别。
数据完整性维护案例
案例二：银行账户管理系统 账户表：账户号、客户号、余额等字段。 交易表：交易号、账户号、交易金额等字段。
设计一个银行账户管理系统，包括账户、客户、交易等 表。
客户表：客户号、姓名、身份证号等字段。
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函数依赖公理系统
函数依赖公理系统是一种逻辑框架，用于描述数据库中各种数据之间的依赖关系。
这个系统包括多个公理和规则，它们定义了函数依赖的基本性质和相关的推理规则。
其中最基本的公理是函数依赖传递公理，它表明如果X → Y，且Y → Z，则X → Z。
这个公理说明了函数依赖的传递性质，也是其他推理规则的基础。
另外，函数依赖公理系统还包括了等式推理规则、合并规则、拆分规则等等，这些规则可以用来简化和优化函数依赖的描述。
通过这些公理和规则，我们可以更加精确地描述数据库中不同数据之间的依赖关系，并推导出一些重要的结论和性质，比如关系模式的最小化、函数依赖的规范化等等。
总之，函数依赖公理系统是数据库理论中的一个基础概念，它不仅对于理论研究有重要的意义，也为实际的数据库设计和优化提供了一定的指导和支持。
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