【素材】《几何概型》辨析几何概型疑点及生活中的应用(人教)-1
几何概型的方法破析高三数学一轮热点难点一网打尽
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第43讲几何概型的方法破析考纲要求：1．了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型）．基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：（1)无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式:P(A)＝错误!应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析:如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为错误!＝错误!。
例2、在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．A ．22B ．32C ．21-D ．31-例3、在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为 ． 解析：若()222f x xmx =++有零点，则2280m∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型"的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度）．类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 。
解析:先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝错误!×错误!π×13＝错误!π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为错误!＝错误!,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝错误!.例5、如图2，长方体ABCD 。
生活中的几何概型案例
生活中的几何概型案例生活中的几何概念案例：1. 汽车刹车距离的计算当一辆汽车需要紧急刹车时，刹车距离的计算就涉及到几何概念。
刹车距离取决于车速、刹车力和摩擦系数等因素。
通过应用几何公式和原理，可以计算出汽车在何时刹车以保持安全距离。
2. 建筑物的结构设计在建筑物的设计中，几何概念被广泛运用。
例如，在设计一座桥梁时，需要考虑桥梁的强度、稳定性和荷载分布等因素。
几何原理可以帮助工程师确定桥梁的几何形状和结构，以确保其安全可靠。
3. 花园景观设计在花园景观设计中，几何概念被用于规划和布局花坛、草地和路径等元素。
几何原理可以帮助设计师确定花园的几何形状、大小和比例，以创建出美观和和谐的景观效果。
4. 厨房瓷砖的拼贴在装修厨房时，几何概念被应用于瓷砖的拼贴。
通过合理地选择和安排瓷砖的几何形状和图案，可以创造出独特和吸引人的装饰效果。
5. 服装设计的图案布局在服装设计中，几何概念被用于图案的布局。
例如，几何形状和对称原理可以影响服装的整体视觉效果，而对比和重复原则可以增加服装的视觉吸引力。
6. 珠宝设计中的切割技术在珠宝设计中，几何概念被用于切割宝石和钻石。
通过几何原理，设计师可以确定最佳的切割方式，以使宝石能够充分反射和折射光线，展现出独特的光彩和闪耀效果。
7. 摄影中的构图在摄影中，几何概念被用于构图。
例如，黄金分割原理可以帮助摄影师确定主题和背景的位置，以创造出平衡和美感的照片。
8. 动画设计中的角色建模在动画设计中，几何概念被用于角色建模。
通过几何原理，设计师可以创建出具有逼真形状和动作的角色模型，使动画更加生动和真实。
9. 家居设计中的空间规划在家居设计中，几何概念被用于空间规划。
通过考虑房间的几何形状、大小和比例，设计师可以合理布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。
10. 网络布线的规划在网络布线中，几何概念被用于规划和布局网络线路。
通过几何原理，可以确定最佳的线路路径和连接方式，以确保网络的高效和稳定运行。
人教教材ppt《几何概型》实用PPT1
几何概型的概率计算公式
P(
A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
7
想一想：
几何概型的特征
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无 限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等
古典概型与几何概型的区别
• 相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； • 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
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4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
几何概型
1
复习回顾
古典概型的两个基本特点: （1）每个基本事件出现的可能性相等; （2）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
古典概型的概率计算公式：
P(A)= A包含的基本事件的个数
基本事件的总数 那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?
试试看
问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图 中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分 别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停 留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停 留在黑砖上的概率大？
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7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
(人教版)高中数学几何概型课件分析1
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6.而批评要做的，就是把真正的创造 性成果 点亮， 让不同 形式、 不同风 格、不 同创造 性诉求 的佳作 ，在反 复的研 读与辨 析中沉 淀价值 。
(1)P(A)阴整 影个 部圆 分的 的面 区积 域 122面 r2r积 r ;
(2)P(A)3 8
①
②
问题3(取水问题)：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水 中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌 的概率.
解析：记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A, 事件A发生的概率
P(A)杯取中出所水有的水体 的0积 1.1体 0积 .1.
20米”为事件A, 在如图所示的长30m的区 域内事件A发生所 ， 以 p(A)300.6
50 20m[学生归3]0P纳 m(A)试验构的成全事
变压器
50m
问题2(撒豆子问题)：如图, 假设你 在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计 算它落到阴影部分的概率.
①
②
解析：记“落到阴影部分”为事件A, 在 如图所示的阴影部分区域内事件A发生, 所以
⑶随机地投掷硬币50次，统计硬币正面朝 上的概率。
⑷某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到 达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘 客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
运用1：如图，在边长 为2的正方形中随机撒一 粒豆子，则豆子落在圆内 的概率是____________。
运用2:在500m l 的水中有一个草履虫， 现在从中随机取出2 水m 样l 放到显 微镜
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。
为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。
一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。
在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。
例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。
这就是一个典型的几何概型问题。
二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。
2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。
3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。
三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。
2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。
3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。
五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。
2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。
3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。
六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。
解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。
例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。
最新人教版高中数学必修3第三章《几何概型》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型1.几何概型的概念如果把事件A 理解为区域Ω的某一个子区域A,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，则称满足以上条件的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.深化升华 准确理解几何概型的定义，要注意定义中的两个关键词：“无限性”，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；“等可能性”，即每个基本事件发生的可能性是均等的.对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这里的几何区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形.这样，我们就把随机事件与几何区域联系在一起了.2.几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.辨析比较 几何概型与古典概型的主要区别在于：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是均等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.随机事件A“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型？尽管这里事件A 满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量.故事件A 不是几何概型. 误区警示 几何概型的两个特点(无限性和等可能性)不是判定一个事件是否为几何概型的基本特征，要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行“几何度量”，不过掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型.事实上几何概型是由连续型随机变量所组成随机事件的一类特殊概型，而不是由离散型随机变量(如变量取自然数)组成的随机事件.另外，在判断一个试验是否为古典概型时，其基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的.二、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 设在空间上有一区域G ，又区域g 包含在区域G 内，而区域G 与g 都是可以度量的(可求面积)，现随机地向G 内投掷一点M ，假设点M 必落在G 中，且点M 落在区域G 的部分区域g 内的概率只与g 的度量(长度、面积、体积等)有关，而与g 的位置和形状无关.则关于几何概型的随机事件“向区域g 中任意投掷一个点M ，点M 落在G 内的部分区域g”的概率P 为g 的度量与G 的度量之比，即P(A)=的度量的度量G g 我们把每个基本事件理解为某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型可以用几何概型来求解.在几何概型中，如果A 为随机事件，若P(A)=0，则A 一定为不可能事件；若P(A)=1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？这种说法不正确.如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.本节教材P 130页例1 是一个与长度有关的几何概型问题.解题时，要紧紧抓住以下几个方面：(1)在某个时间段内任取一个时刻，有无穷多个结果，不能用古典概型的思想去分析；(2)事件发生(打开收音机)的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间的位置无关.要体会如果X 落到［0，60］区间内的任一点是等可能的，则X 称为［0，60］区间上的均匀随机数，X 服从［0，60］的均匀分布.均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.教科书中的均匀分布仅仅是描述性的，不是严格的数学定义.用几何概型求解概率问题和古典概型的情况相同，同属于“比例”解法,即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占的总长度(面积或体积)”之比来表示.与古典概型一样，几何概型也有如下的性质：(1)0≤P(A)≤1；(2)如果A 是必然事件，则P(A)=1；如果A 是不可能事件，则P(A)=0.反之不成立；(3)如果A 、B 互斥，则P(A ∪B)=P(A)+P(B)；(4)如果A 、B 相互对立，则P(A)=1-P(B).三、随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样. 随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率.随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的，因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的.利用计算器RAND 函数可以产生[0，1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0，1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的.因此，可以用计算器产生0到1之间的均匀随机数进行模拟.如何产生［a ，b ］上的均匀随机数？利用计算机(或计算器)产生［0，1］上的均匀随机数x 1=RAND ，然后利用伸缩和平移变换x=x 1*(b-a)+a 就可以得到［a ，b ］上的均匀随机数，试验的结果是区间［a ，b ］内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的.典题·热题知识点一 与长度有关的几何概型的求法例1 公共汽车在0—5 min 内随机地到达车站,求汽车在1—3 min 之间到达的概率.思路分析：本题考查几何概型的计算方法.时间是连续的，是无限的，在题设条件下这是几何概型，求出问题的Ω和A ，则问题可以解决.解：将0—5 min 这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1—3 min 是这一线段中的2个单位长度.设“汽车在1—3 min 之间到达”为事件A ，则P(A)=52. 方法归纳 求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例2 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子长度都不小于1 m 的概率有多大？解：从每个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算.记“剪得的两段绳子长度都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31，所以事件A 发生的概率P(A)= 31. 方法归纳 要利用几何概型来求随机事件的概率，关键是在实际问题中建立几何概型的模型.如本例中，由于事件的落脚点在于自绳子的哪一个位置(点)剪断，因而基本事件可以看作在3 m 长的绳子上任取一点，于是所求概率的事件就是从中间的1 m 长的绳子上任意取一点的问题，于是将问题转化为几何概型.本例所建立的是与长度有关的几何概型，对于与长度有关的几何概型的问题，其概率公式为P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 一般地，要想通过一个连续变量建立与长度有关的几何概型的概率模型，只需把这个变量放在坐标轴上即可建立相应的模型.知识点二 与面积有关的几何概型例3 将长为l 的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率.思路分析：本题考查与面积有关的几何概型的求法，要找清楚Ω和A.图3-3-1解：设A=“3段长度能构成三角形”，x 、y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω=｛(x ，y)|0<x<l ，0<y<l ，0<x+y<l ｝.要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度,即x+y>l-x-y ⇒x+y>2l , x+l-x-y>y ⇒y<2l , y+l-x-y>x ⇒x<2l . 故所求结果构成的集合A={(x,y)|x+y>2l ,y<2l ,x<2l }. 由图可知，所求概率为P(A)=412)2(222=∙=Ωll l A 的面积的面积. 巧解提示 一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的x 、y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.例4 如图3-3-2，在墙壁上挂着一块正方形飞镖板，其边长为16 cm ，上面的几个圆圈，分别是半径为2 cm ，4 cm ，6 cm 的同心圆.某人站在3 m 之外投掷飞镖，设飞镖投中线上或没有投中飞镖板都不算，可重投，问：图3-3-2(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？思路分析：投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中都不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性是相等的，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件.解：记A={投镖投中大圆内}，B={投镖投中小圆与中圆形成的圆环}，C={投镖投中大圆之外}，S 正方形=162=256(cm 2)，S 大圆=π×62=36π(cm 2)，S 中圆=π×42=16π(cm 2),S 小圆=π×22=4π(cm 2). 所以(1)P(A)=64925636ππ==正方形大圆S S ； (2)P(B)=64325612256416S ππππ==-=-正方形小圆中圆S S ； (3)P(C)=649125636256ππ-=-=-正方形大圆正方形S S S . 所以，(1)投中大圆内的概率是649π； (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是643π； (3)投中大圆之外的概率是1-649π. 巧解提示 要准确把握图形的边界与基本事件所表示的区域的关系.如本题，投中线上或投不中都不算，因而投中正方形内各部分的任何一点都是等可能的.知识点三 与角度有关的几何概型例5 如图3-3-3，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率.图3-3-3解：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的. 落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件.记事件B=｛射线OA 落在∠xOT 内｝.因为∠xOT=60°，所以P(B)=6136060=. 巧解提示 本例中“成比例”的量，既不是长度，也不是面积和体积，而是角度，这与教材中几何概型的定义不相符.但因为一是教材中有关几何概型的定义不是严格的定义；二是教材中的定义只是说明了当随机事件与其基本事件具备这种“成比例”的条件时，我们便可以利用“成比例”求其概率的思想方法,所以在本例中，我们可以利用“角度”成比例来求其概率. 例6 如图3-3-4,在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC.求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.图3-3-4解：A={作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE ，使∠AOD=30°，∠AOE=60°，当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P(A)=31. 巧解提示 其实，本题可以分别求扇形AOB 、扇形DOE 的面积，然后用几何概型的公式进行计算.但是，如果从角度的变化进行分析，显然弧DE 的长度是弧AB 的长度的31，分析、计算更加简便.知识点四 与体积有关的几何概型例7 有一杯2 L 的水，其中含有一个细菌.用一个小水杯从这杯水中取出0.1 L ，求小水杯中含有这个细菌的概率.解：记“小水杯中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.由几何概型的公式，P(A)=20121.0=. 巧解提示 用体积计算概率时，要注意所求概率与取出的体积的关系，确定好基本事件、取出部分的体积的计算.事实上，水中含细菌的概率，只与杯中的水的体积有关.因而，只需求得小水杯与大水杯的水的体积之比，即为小水杯中含有这个细菌的概率.知识点五 会面问题例8 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.图3-3-5思路分析：按照约定，两人在6时到7时之间任何时刻到达会面点是等可能的，因此是一个几何概型，设甲、乙两人到达的时间为x 和y ，则|x-y|≤15是能够会面的先决条件.解：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是|x-y|≤15. 在平面上建立直角坐标系如图3-3-5所示，则(x ，y)的所有可能会面的时间由图中阴影部分所表示.这是一个几何概型问题，由等可能性知P(A)=167604560222=-=ΩS S A . 所以，甲、乙两人能够会面的概率是167. 巧妙变式：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.图3-3-6思路分析：甲比乙早到4小时内甲须等待.所以有一艘船必须等待一段时间的条件是-2≤x -y≤4.可以以x 和y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间， 在图中所示的平面直角坐标系内，(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概率公式得P(A)=288672420212221242222=⨯-⨯-. 所以有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是28867. 知识点六 随机模拟法的应用例9 利用随机模拟的方法计算曲线y=2x 与x 轴，直线x=±1所围成的图形(如图3-3-7中阴影部分)的面积.图3-3-7思路分析：在直角坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值.解：(1)利用计算器产生两组［0，1］上的均匀随机数，a 1=RAND ，b 1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a=b 1×2，得到一组［-1，1］上的均匀随机数和一组［0，2］上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1〔满足条件b<2a 的点(a ，b)数〕.(4)计算频率NN 1，即点落在阴影部分的概率的近似值.(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为4S . 所以41S N N ≈，所以S≈NN 14即为阴影部分面积的近似值. 巧解提示 解决本题的关键是利用随机模拟方法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分的面积.例10 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求此海豚嘴离岸边不超过2米的概率.(1)采用设计模拟试验的方法，估计事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2米”的概率;(2)采用“几何概型”求事件的概率.图3-3-8思路分析：本题考查随机模拟法求概率及几何概型的求法.解：(1)用计算机产生随机数来模拟海豚在水中自由游弋的试验.先产生随机数x 、y ，它们表示海豚嘴尖的横坐标与纵坐标，如果(x ，y)出现在图示的阴影区域，我们说事件A 发生了，算法步骤如下：第一步：利用计算器或计算机产生-15—15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，产生-10—10之间的随机数作为海豚嘴尖的纵坐标.第二步：判断(x ，y)是否落在阴影部分，即是否满足||x|-15|≤2或||y|-10|≤2，如果是，则事件A 发生了，记录发生次数m.第三步：记录试验次数n ，若继续试验，则返回第一步，否则程序结束.程序结束后事件A 发生的频率n m 作为A 的概率的近似值，所以P(A)≈nm . 下表是部分模拟的结果，供大家参考：试验次数 事件A 的次数 事件A 的频率100 35 0.351 000 324 0.32410 000 2 997 0.299 7100 000 30 506 0.305 06(2)对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如图3-3-8所示，大矩形表示长30 m ，宽20 m 的水池，图中阴影部分表示事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题转化为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.于是事件P(A)=7523600184==大矩形的面积发生的区域面积事件A ≈0.31. 巧解提示 比较用模拟方法得到的事件A 的概率与几何概型计算得到的事件A 的概率可知，这两个结果极其相似，说明模拟方法是一种非常有效而且广泛使用的方法，尤其是现实的试验难以实施或不可能实施时，模拟可以给我们提供解决问题的方案.问题·探究方案设计探究问题 下面两表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理,说明理由，另外你再提出一个新的合理的模拟方法.表1需研究的问题 用替代物模拟试验的方法新的模拟试验方法 抽屉中2副白手套 不透明袋子中 2双白袜子 用什么实物1副黑手套 1双黑袜子 怎样试验黑暗中摸2只 闭上眼摸出2只 考虑哪一事件的概率 2只手套恰为1副黑手套 2只袜子恰为1双黑袜子表2需研究的问题用替代物模拟试验的方法 新的模拟试验方法 不透明袋子中 2个红球一枚硬币 用什么实物 2个黑球怎样试验 摸出1个球 抛起后落地考虑哪一事件的概率恰好摸出红球 正面朝上 探究思路:表1中用袜子代替手套不合适，因为手套有左右，而袜子不分左右，可以用鞋子，也可以用扑克牌：1张红桃A 、1张黑桃A 代表1副黑手套，2张红桃2和2张黑桃2分别代表2副白手套的左右，充分混合后摸出2张，考虑摸出2张黑桃A ，1张红桃A 的机会.表2用硬币代替小球是合理的，因为出现的机会一样，也可以自制转盘，还可以用计算机产生随机数模拟等.探究结论:由上面的例题可以发现：替代模拟试验必须在相同条件下进行，才能达到替代的目的，因此：①选择适当的替代物，因为替代物选取是否合理决定试验结果的可信度，因此在用替代物的模拟试验中，要求必须在相同条件下进行；②用计算机(器)模拟试验时对随机数范围的确定.例如，有20张大小相同的卡片，分别写有1—20的数字，从中随机抽取一张求结果是5的倍数的概率，在这种情况下，随机数的范围是1—20.材料信息探究问题 国家安全机关的监听录音记录了两个间谍的谈话，发现在30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了.该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？探究过程:包含两个间谍谈话录音的部分在30—40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0—30 s 之间时，全部被擦掉,即在0—32 min 之间的时间段内按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而在0—30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件.设事件A 表示“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在0—32 min 时间段内按错键.所以μa =32 min,μΩ=30 min,P(A)=4513032==ΩμμA . 探究结论:几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验之一，我们必须熟练掌握这一概型.在解决几何概型的有关问题时，首先要抓住几何概型的两个基本特点(每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性)，然后还要抓住它的本质特征(能够进行几何度量)，最后代入概率的计算公式即可求出相应的概率.。
几何概型易错题辨析几则
时， Ｍ一 Ａ 一 Ｂ 符合条件的点 Ｍ 等可能地分布 ｃ ｃ ｃ，
、
正确 区分 古 典 概 型与 几 何 概 型
【 １ （ ） 区间Ｅ ，０ 上任 意取一个整数 ， 例 １ １在 ｏ １］ 则 不大于 ３的概率为 ．
在 段Ｍ ， 求 概 等 一 ． 线 ｃ上 所 的率 于 等 故
边 Ｂ Ｃ上任取一点 Ｍ ， 求 Ｃ Ｍ％３ 。 Ａ ０的概率． （） ２在等腰 Ｒ △ＡＢ ｔ Ｃ中， Ｃ＝９ 。在 Ｃ Ｂ 内作 ＝ ０， ＝ Ａ 射线交线段 Ｂ Ｃ于点 Ｍ ， 求 Ｃ Ｍ％３ 。 Ａ ０的概率．
度 比公式计算其概率．
设“ 等待的时间不多于 １ ０分钟 ” 这一事件记作事件
疑难 击
ｌ≯日 ＿一
ｍ ｌ％ ｌ ｇ
不
等
式 ． 错
解 之
探 究
≥４ ．
广 西 南宁 市第十 中学（ ３ ０ １ 许红玲 ５ ０３ ）
数 学 教 学 倡 导 有 意 义 学 习 ， 立 足 理 解 知 识 的 学 即 习 ， 完 整 的 学 习 过 程 包 括 理 解 知 识 、 持 知 识 和 运 用 而 保 正 解 ：。／。 ＿ － — ‘ ￣＆ ａ ｂ １ ．Ｖ ／ ￣ ｌ ＿ ＿ ｑ
问题 （） ２ 的测度应定 为角度 ， 点 Ａ 作射线 与线 段 过 Ｃ Ｂ相交 ， 这样 的射线 有无数条 ， 匀分布在 Ｃ Ｂ 内， 均 Ａ ￣Ｃ ＝４ ０所 以所求概率等于 ＡＢ ５， 一３￣ 一２ ０
．
（ ） 区间Ｉ ，ｏ 上任意取一个实数 ， ３不大于 ２在 － ｌＪ ｏ 则 ７
３ 所 以所 求 概 率为 ． ，
１Ｖ
点 评 ： 例 中的 两 个 问题 ， 个 基 本 事 件 都 是 等 可 此 每
高中数学教学课例《几何概型》课程思政核心素养教学设计及总结反思
《几何概型》共分三课时，今天的内容是第一节课，
本课时的教学设计注重课程的发生和开发过程，关注学
生的发展和情感体验，并积极引导学生关注人文、重视
数学与生活的良好品质。
本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概
型与几何概型的异同。在启发式教学方式的引领下，以
问题串的形式开启学生思维之门。我认为本节课有以下
3．情感、态度与价值观：
通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界
观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立
数学模型的能力。
通过最近几年的实际调查发现，学生在学习本节课 时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性” 误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨， 研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不 清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下 功夫，不要浮于表面.
形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美 结合
本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与 技能、过程与方法及情感态度价值观”三个纬度目标有 机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。
一、创设情景，引入新课 二、新知学习 三、讨论研究 四、教材例题讲解 五、拓展提升练习 六、课堂小结 七、布置作业 教师活动 预设学生活动 设计意图
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辨析几何概型疑点及生活中的应用
一、几何概型的定义
1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
二、疑点辨析
1.概率为零的事件不一定是不可能事件
不可能事件的概率一定为零，即若，则。
但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若，则不一定有。
例如,在几何概率中，设，.为圆域，而为其中一圆周.则。
显然，是可能发生的，即若向内随机投点，点落在圆周上的情况是可能发生的。
仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若，则。
2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一。
例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率。
错解:因为所以,于是。
错解分析：本题误把长度看作几何度量．
正确解法：设三条线段的长度分别为则
即.
在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线围成如图所示三角形区域G，每一对对应着G内的点，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当
即
因此图中的阴影区域就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得的面积为,的面积为,则(这三条线段能构成三角形)。
三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静
在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。
小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。
不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？
利用几何概率可以解释这个问题。
由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为
即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若表示事件与同时发生,则)，设={指针与阴影连续重合次}，则
，
可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。
由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。
所以，这是一个骗人的把戏。