生活中的几何概型案例
培养初中几何模型意识的策略——以瓜豆原理为例
教学视点•136【参考文献】[1]刘小翠.初三学生几何思维水平的调查研究[D].湖南师范大学,2015.[2]王晓红."几何概型"教学设计与反思[J].黑龙江教育(教育与教学),2021,(03):22-23.[3]陈霞.考题探究模型解读,深入赏析教学反思--以"一线三等角"模型为例[J].数学教学通讯，2021,(05):81-8[4]徐春凌.分析模型教学对于初中几何数学教学的意义[J].数理化解题研究,2021,(02):25-26.[5]毛小霞.培养模型意识,开拓数学思想--以一道中考几何压轴综合题的教学为例[J].数学大世界(中旬),2021,(01):88-89.[作者简介：罗长英，贵州省六盘水市第二十中学。
]文/罗长英培养初中几何模型意识的策略——以瓜豆原理为例摘要 在初中阶段几何是培养学生推理能力的良好素材，因此研究学生的几何推理能力具有一定的价值。
本文以瓜豆原理为例，谈谈如何培养初中几何模型意识。
关键词 初中;几何模型意识;瓜豆原理通过分析初中北师大版的数学教材可以发现，七年级学习一些简单的几何概念及图形操作与计算；八年级开始学习图形的性质、定理及其运用，开始步入更难内容的几何学习；九年级内容的综合性更强、几何推理难度更大。
教师在教学中要教会学生能从一些复杂的几何图形中抽象出简单的几何图形，培养学生的几何直观能力。
本文以瓜豆原理为例分享如何培养学生的几何意识。
1 案例分享——瓜豆原理之直线型（第一课时）教学目标：(a).从图形变换角度观察，理解定点、主动点和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间的联系。
(b)运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有关的问题。
(c).体会化归、数形结合、图形的变换等数学思想。
教学重点：运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有关的问题；理解定点主动点和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间的联系。
巧设问题情景有效实施启发式教学
巧设问题情景有效实施启发式教学从数学学习的认知本质看，数学学习离不开情境。
事实上，学生学习知识的过程本身是一个建构的过程，无论是对知识的理解，还是知识的运用，都离不开知识产生的环境和适用的范围.新课标强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，“问题——情境”是数学课程标准倡导的教学模式。
它包含两层含义：首先是要有“问题”，即当学生利用已有的认知还不能理解或者不能正确解答的数学问题，当然，问题的障碍性不能影响学生接受和产生兴趣，否则，至少不能称为好问题；其次是“情境”，即数学知识产生或应用的具体环境，这种环境可以是真实的生活环境、虚拟的社会环境、经验性的想象环境，也可以是抽象的数学环境等等.因此，在新课的引入过程中，教师要对教材内容进行二次开发，精心创设问题情境.同时还要激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生最大限度地参与探究新知识活动，促使学生全身心地投入学习.一、问题情景设置的科学性所设置问题情境内容要科学，有针对性，以教学目标为依据，以相应的数学知识点为依托，不可随意编造或东拼西凑，表述要科学，结构要合理，由易到难.案例1 (网载材料) 2006年全国优质课教学比赛，一位教师在讲授人教A版选修2-1中的2.1.1《椭圆及其标准方程》用“神州五号”的太空飞行图来问学生飞行线路是什么?这个情境问题实在难为了学生,都不知怎样回答,“飞行轨迹是椭圆”还是教师自己加上去的,假设学生反问“为什么它的轨迹是椭圆?”恐怕教师就不好回答了.并不是任何问题都能激起学生学习兴趣的，也不是随便地把问题提出来就能使学生产生明显的意识倾向和感情共鸣，其实本例可以用当前学习任务相关的、反映当前学习的内容本质的情境较好.与原来的教材相比，高中数学人教A版的教材可以说是信手拈来、得心应手.章前图（平面截圆锥）的解说；章前引言的实际问题；与之相关的阅读材料；甚至有些联系实际的例题、习题均可作为创设问题情景的材料.当然，如果你把这些素材用现代信息技术教学手段进行适当的加工，效果就会更好.所以利用高中数学人教A版教材创设问题情景，调动学生的学习兴趣显得十分简便、快捷，因此，对情境的设计，最根本的就是“二次开发教材”.二、问题情景设置具有探究性所创设问题应具有探究性，启迪学生思维，引发学生广泛的类比、联想与猜想；还要有挑战性，能促进学生主动参与探究.案例2 教A版必修3第三章3.3.2节内容中的一道几何概型课例的教学。
概率论文---古典概型浅析
浅析古典概型1018202班于春旭1101800214经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。
对于概率的一些基本知识已经有所掌握。
那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。
所谓古典概型是一种概率模型。
古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。
是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。
求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
标题，生活中的全等图形。
在我们的日常生活中，全等图形无处不在。
全等图形是指在形状和大小上完全
相同的图形，它们可以通过旋转、翻转或平移而重合在一起。
这种几何概念不仅存在于数学课本中，也可以在我们周围的生活中找到许多例子。
首先，我们可以看到许多建筑物和结构中的全等图形。
例如，许多房屋的窗户
可能是全等的，它们的形状和大小完全相同。
另外，一些建筑物的立面可能包含许多全等的图形，如正方形或长方形，它们在建筑物的外观中形成了美丽的几何图案。
此外，我们还可以在日常用品中找到全等图形的例子。
比如，许多餐具和厨具
的形状可能是全等的，如餐盘、杯子、刀叉等。
这些全等图形使得我们的生活更加有序和美观。
除了建筑物和日常用品，全等图形还可以在自然界中找到。
例如，许多植物的
叶子可能具有全等的形状和大小，它们在植物上形成了美丽的图案。
另外，一些动物的斑纹或花纹也可能是全等的，它们在动物的身体上形成了独特的外观。
总的来说，全等图形在我们的生活中无处不在，它们不仅存在于数学的世界中，也存在于我们周围的各种事物中。
通过观察和理解全等图形，我们可以更加欣赏和理解我们周围的世界，同时也更加深入地了解数学知识。
因此，让我们在日常生活中多留心观察，发现更多关于全等图形的美妙之处。
高中数学人教A版必修3《概率与统计》中的高考热点问题
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图2
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高三一轮总复习
(1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率； (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在[40,50) 的概率． [规范解答] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以 a ＝0.006.3 分 (2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022 ＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.6 分
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高三一轮总复习
[规律方法] 1.本题(1)中，指针连续地变化，是几何概型，第(2)问是顾客获 得优惠券的各种可能，是有限的可以一一列举的离散问题，满足古典概型．
2．题目以“市场销售手段”为背景，认真审题，实现知识迁移，恰当选择 概型是解题的关键．
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高三一轮总复习
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高三一轮总复习
[温馨提示] 1.本题的易失分点： (1)不能利用频率分布直方图的频率求出 a 值． (2)求错评分落在[50,60)，[40,50)间的人数． (3)没有指出基本事件总数与事件 M 包含的基本事件个数，或者只指出事件 个数，没有一一列举出 10 个基本事件及事件 M 包含的基本事件，导致扣 3 分或 2 分．
18
30
总计
36
24
60
2分
在患“三高”疾病人群中抽 9 人，则抽取比例为396＝14，
所以女性应该抽取 12×14＝3(人).5 分
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概率了解概率的概念和简单计算
概率了解概率的概念和简单计算概率：了解概率的概念和简单计算概率是数学中的一个重要概念，用来描述某个事件发生的可能性。
我们在日常生活中经常会遇到各种各样的概率问题，掌握概率的概念和简单计算方法对我们做出正确的决策具有重要意义。
本文将介绍概率的概念，并分析简单的计算方法。
一、概率的概念概率是指某个事件发生的可能性大小，它通常用一个范围在0到1之间的数来表示，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
例如，抛一枚硬币出现正面的概率是0.5，表示这个事件的发生有一半的可能性。
概率的计算中，常用的方法有几何概型方法、频率统计方法和古典概型方法等。
几何概型方法是指通过确定几何图形的面积或体积来计算概率；频率统计方法是通过观察实验的频率来估计概率；古典概型方法是指根据事件的样本空间和事件发生的样本点数目来计算概率。
二、概率的计算方法1. 加法法则加法法则是概率计算中最基本的法则之一，用于计算几个事件中至少有一个事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么A和B至少有一个事件发生的概率可以用如下公式表示：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，P(A 且 B)表示事件A和B同时发生的概率。
2. 乘法法则乘法法则是概率计算中另一个重要的法则，用于计算几个事件同时发生的概率。
假设事件A和事件B相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，那么事件A和事件B同时发生的概率可以用如下公式表示：P(A 且 B) = P(A) × P(B)如果事件A和事件B不相互独立，则需要使用条件概率来计算事件的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，P(A 且 B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B 发生的概率。
三、案例分析为了更好地理解概率的概念和计算方法，以下以一个抛硬币的案例来进行分析。
2013年四川高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ） A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.∅ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】{+2=0}{2}.A x x A =∴=-Q ，2{40},{2,2}.B x x B =-=∴=-Q {2}.A B ∴=-I 故选A.2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）第2题图【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0,0a b <>，则z 的共轭复数为i a b -,其中0,0a b <-<，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）第3题图A B C D第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ B.:,2p x A x B⌝∀∉∉C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∈∈.故选D.5．函数ππ()2sin(),(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 （ ）第5题图A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】35π3π()π41234T =--=Q,πT ∴=2ππω∴=2ω∴=.由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+122k k ϕ⨯∈Z （）,即π2π()3k k ϕ=-∈Z .π3ϕ∴=-.故选A.6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ） A.12C.1【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离12d ==或22d ==. 7．函数331x x y =-的图象大致是 （ ）A B C D第7题图【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】由3100,xx -≠≠∴得函数331x x y =-的定义域{0},x x ≠可排除A ，当2x =时，y =1，当x=4时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数25A 20,=但lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3-=--=-，所以不同值的个数为20-2=18，故选C.9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.14 B.12 C.34 D.78【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,x y ,则04,04x y 剟剟，而事件发生的概率为2x y -…，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==. 第9题图10．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.1[e 1]--1，C.[1,e 1]+D.1[e 1,e 1]--+【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】由已知点00(,)x y 在曲线000sin sin ,[0,1],y x y x y ==∈上，得即存在000[0,1](())y f f y y ∈=，使成立，则点0000(,()),((),)A y f y A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以0000()()0,[()][()]0,A A A A x x y y f y y y f y ''--∴--厖200[()]0f y y ∴-„∴00()f y y =，所以()f x x =在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1],()x x x x x x ϕϕ=+-∈在[0,1]上单调递增，又(0)1,(1)e,()[1,e],x ϕϕϕ==∴∈即[1,e]a ∈.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10【试题解析】3232345C 10,T x y x y ==故填10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ=_________．【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r又O 是AC 的中点，2,2,, 2.AC AO AC AO AB AD AO λλ∴=∴=∴+=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等. 3【试题解析】由题意得1cos 2α=-而π(,π)2α∈，24ππ,tan2=tan π=tan 3333αα∴=∴=14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x …0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是________ ．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】73x -<<【试题解析】220,0.0()4()4x x x f x x x f x x x <->=-∴-=-Q 设则当时，…故()f x 为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0x x x f x x x x ⎧-∴=⎨<⎩…由()555f x x x ===-得或，所以()555,(2)5,73f x x f x x <-<<+<-<<得由得,所以不等式的解集为73x -<<.15．设12,,,n P P P L 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P L 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P L 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④【试题解析】+CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P 为点A ，C ,则点P 在线段AC 上，若点P 是B ,D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A,B,C,D 的中位点，则p 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，318a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和． 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n 项和. 【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d ,前n 项和为n S .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,（步骤1）解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n S n =或232n n n S -=（步骤2）.17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.【试题解析】()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-. (步骤1)()II 由3cos ,0π5A A =-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故π4B =.根据余弦定理,有()2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). （步骤2）故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为2cos 2BA B =u u u r . （步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i 1,2,3)=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数… ………运行次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数…………第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。
高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案
教学资料范本高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案编辑：__________________时间：__________________3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=的测度的测度D d .这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1. （2）求古典概型概率的步骤： ①求区域D的“测度”； ②求区域d的“测度”； ③代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率. 【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t -5,t］内来到车站,于是D={x|t -5＜x≤t}. 若乘客候车时间不超过3分钟,必须t -3≤x≤t,所以A={x|t -3≤x≤t}据几何概率公式得P（A）=53=的长度的长度D d =0.6规律总结（1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内. 案例2甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率. 【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形.事件A发生的条件是0＜x -y＜6或0＜y -x＜6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.∴P（A）=167242824222=-. 规律总结 (1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可. （3）这一类问题我们称为约会问题. 案例3在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率. 【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x ＞0,y＞0且x+y＜a,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y＞(如图阴影部分).又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即△DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y＜,z＜）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的.所以所求的概率为.规律总结解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3 ］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点 的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A 发生的频率.【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1 m}.①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.②经过伸缩变换,a=a1*3.③统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.④计算频率fn (A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.规律总结用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】（1）利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,a 1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b＜2a的点（a,b））.（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴≈.∴S≈即为阴影部分面积的近似值.规律总结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ）A.0B.0.1C.0.01D.1解析：1个细菌在1L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）==0.1.答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（ ）A.50B.100C.150D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支×=100支.答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.①P（A）==.②P（A）==.答案：6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P==；（2）P==；（3）P===.7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A. B. C. D.解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为.答案：A8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______.解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.答案：9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A发生,所以P(A)==87.5%.10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落∠xOT内的概率.分析：以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.解：设事件A“射线OA落在∠xOT内”.事件A的角度是60°,区域D的角度是360°,所以,由几何概率公式得P（A）=.11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x1*24,y=y1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*4-2,y=y1*2.（3）统计出试验总数N和满足条件x2+y2＜4的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.半圆的面积为S1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得P（A）=,所以=.所以即为π的近似值.13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形）的面积.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*3,y=y1*3.得到两组［0,3］的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件y＜log3x的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(B)=,即为频率P（A）的近似值.设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P（A）=.所以=,故S=即为阴影部分面积的近似值.。
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生活中的几何概型案例
生活中的几何概念案例：
1. 汽车刹车距离的计算
当一辆汽车需要紧急刹车时，刹车距离的计算就涉及到几何概念。
刹车距离取决于车速、刹车力和摩擦系数等因素。
通过应用几何公式和原理，可以计算出汽车在何时刹车以保持安全距离。
2. 建筑物的结构设计
在建筑物的设计中，几何概念被广泛运用。
例如，在设计一座桥梁时，需要考虑桥梁的强度、稳定性和荷载分布等因素。
几何原理可以帮助工程师确定桥梁的几何形状和结构，以确保其安全可靠。
3. 花园景观设计
在花园景观设计中，几何概念被用于规划和布局花坛、草地和路径等元素。
几何原理可以帮助设计师确定花园的几何形状、大小和比例，以创建出美观和和谐的景观效果。
4. 厨房瓷砖的拼贴
在装修厨房时，几何概念被应用于瓷砖的拼贴。
通过合理地选择和安排瓷砖的几何形状和图案，可以创造出独特和吸引人的装饰效果。
5. 服装设计的图案布局
在服装设计中，几何概念被用于图案的布局。
例如，几何形状和对
称原理可以影响服装的整体视觉效果，而对比和重复原则可以增加服装的视觉吸引力。
6. 珠宝设计中的切割技术
在珠宝设计中，几何概念被用于切割宝石和钻石。
通过几何原理，设计师可以确定最佳的切割方式，以使宝石能够充分反射和折射光线，展现出独特的光彩和闪耀效果。
7. 摄影中的构图
在摄影中，几何概念被用于构图。
例如，黄金分割原理可以帮助摄影师确定主题和背景的位置，以创造出平衡和美感的照片。
8. 动画设计中的角色建模
在动画设计中，几何概念被用于角色建模。
通过几何原理，设计师可以创建出具有逼真形状和动作的角色模型，使动画更加生动和真实。
9. 家居设计中的空间规划
在家居设计中，几何概念被用于空间规划。
通过考虑房间的几何形状、大小和比例，设计师可以合理布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。
10. 网络布线的规划
在网络布线中，几何概念被用于规划和布局网络线路。
通过几何原
理，可以确定最佳的线路路径和连接方式，以确保网络的高效和稳定运行。