高二数学必修4_教材解读：平面向量的数量积
数学必修4教材梳理 2.4向量的数量积 含解析 精品
疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,我们把数量|a ||b |cosθ叫向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b , 即a ·b =|a ||b |cosθ.我们规定零向量与任一向量的数量积为0. 误区警示 两个向量的数量积称为内积,写成a ·b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ·b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替,用a ×b 或ab 表示两个向量的数量积都是错误的. 辨析比较 (1)在实数中,若a ≠0,且a ·b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ·b =0,不能推出b =0,因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc ⇒a =c .但是a ·b =b ·c 并不一定能得到a =c .两向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定. 2.两个非零向量的夹角已知非零向量a 与b ,作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角. 当θ=0时,a 与b 同向;当θ=π时,a 与b 反向;当θ=2π时,a 与b 垂直,记作a ⊥b . 学法一得 在利用两向量的夹角定义求两个向量的夹角时,两个向量必须是同起点的,当起点不同时可通过平移移到同一个起点. 3.两个向量的数量积的性质(1)当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |;特别地,a ·a =|a |2或|a |=a a ∙. 该条性质实现了实数与向量的联系,我们在求向量模时,往往先求模的平方,借助向量的数量积运算进行.设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. (2)a ⊥b ⇔a ·b =0. 若a ⊥b ,则a 与b 的夹角θ=90°,所以a ·b =|a ||b |cos90°=0; 反过来,a ·b =|a ||b |cosθ=0, 因|a |≠0,|b |≠0,所以cosθ=0. 所以θ=90°,则a ⊥b .数量积的这条性质,是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.深化升华 利用性质(2)把平面中几何关系问题转化成向量的计算问题,数与形结合起来. (3)cosθ=||||b a ba ∙.这条性质是数量积定义式a ·b =|a ||b |cosθ的等价变形式,侧重于两向量的夹角问题. (4)|a ·b |≤|a ||b |.由数量积的定义a ·b =|a ||b |cosθ可知 |a ·b |=|a ||b ||cosθ|. ∵0≤θ≤180°, ∴|cosθ|≤1. ∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |,当且仅当两个向量共线时“等号”成立.特别地,对于(1)、(2)、(3)三条性质,用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题.辨析比较(1)在实数中|ab|=|a||b|,而在向量中|a·b|≤|a||b|,这是向量与实数的区别.(2)在实数中a2=|a|2,在向量中也有a2=|a|2,这是向量和实数类似的一个性质.4.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.证明:设a、b夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ,b·a=|b||a|cosθ,∴a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明:若λ＞0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a(λb)=λ|a||b|cosθ,若λ＜0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.如图2-4-2,在平面内取一点O,作=a,AB=b,=c,图2-4-2∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b,即(a+b)·c=a·c+b·c.误区警示在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是(a·b)c=a(b·c)不一定成立.因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.学法一得平面向量数量积的运算就类似于多项式的乘法,展开后再合并同类项.这样就可以很好地理解公式的来龙去脉.从系统的角度讲,我们所学的知识都是紧密联系的.把我们未知的东西转化到已知内容上去,这是我们学习的一种方法.5.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),试用a和b的坐标表示a·b.设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,它们的方向分别和x、y轴的正向相同,那么a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2,又i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.深化升华引入坐标后,实现了向量的数量积的运算与两个向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来,为计算和证明带来了方便,实现了数与形的结合.6.平面内两点间的距离公式(1)设a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.当平面向量用坐标表示而求模时可代此公式.深化升华 求向量的模通常有两种方法:一是通过数量积的坐标表示推导向量的模;二是向量的模的平方等于向量的平方,即利用向量的数量积来求.(2)如果表示向量AB 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么|AB |=221221)()(y y x x -+-(平面内两点间的距离公式).这是因为,若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则a =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1),由(1)可得|a |=221221)()(y y x x -+-.即平面内两点之间的距离等于相应坐标的差的平方和的算术平方根. 向量a 的模也具有一定的几何意义,即|a |=2222)0()0(-+-=+y x y x ,通过简单的构造,体现点(x,y)到原点(0,0)的距离.联想发散 有关二次式的平方和问题,大部分可考虑转化为两点间距离问题,借“形”直观理解“数”的问题.7.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,若设它们的夹角为θ,则有 cosθ=||||b a b a ∙=222221212121y x y x y y x x +++.利用此公式,可直接求出两向量的夹角.利用向量的数量积来求两向量夹角的方法是:先利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积,再利用|a |=22y x +计算出这两个向量的模,然后由公式cosθ=||||b a ba ∙直接求出cosθ的值,进一步求出θ的值.求几何图形中的内角也常用类似的方法.深化升华 运用向量知识求解几何问题的方法称为向量法.向量是沟通数和形内在联系的有力工具,具有多方面的功能.用向量解几何题的主要思想是:将直线形的各边视为向量,把线段的关系式化为向量的关系式,从而把几何问题转化为向量问题,运用向量运算法则,通过向量的化简与计算,推出结论完成解题. 8.向量垂直的判定由于两个非零向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为零,若设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则可得a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.向量垂直的坐标表示是判定两个向量垂直的非常好用的条件,在实际中应通过训练达到灵活运用它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形.误区警示 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0;a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.对于初学者来说,这两个充要条件极易混淆,因此对于这两个充要条件要对比记忆,关键是从公式的推导过程记忆. 典题·热题知识点1 向量的数量积例1 判断正误,并简要说明理由.①a ·0=0;②0·a =0;③0-=;④|a ·b |=|a ||b |;⑤若a ≠0,则对任一非零b 有a ·b ≠0;⑥a ·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦对任意向量a ,b ,c 都有(a ·b )c =a (b ·c );⑧a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2.思路分析:利用向量数量积的定义、性质和运算律. 解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有a ·0=0; 对于②,应有0·a =0;对于④,由数量积定义有|a ·b |=|a |·|b |·|cosθ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a ·b |=|a |·|b |;对于⑤,若非零向量a 、b 垂直,有a ·b =0; 对于⑥,由a ·b =0可知a ⊥b ,可以都是非零向量; 对于⑦,若a 与c 共线,记a =λc , 则a ·b =(λc )·b =λ(c ·b )=λ(b ·c ), ∴(a ·b )c =λ(b ·c )c =(b ·c )λc =(b ·c )a . 若a 与c 不共线,则(a ·b )c ≠(b ·c )a .方法归纳 这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 误区警示 如果不注意零向量与实数零的区别,则易出现“①②正确”的错误结论.例2 已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角. 思路分析:利用两个向量垂直及两向量夹角公式. 解:因为a +3b 与7a -5b 垂直, 则有(a +3b )·(7a -5b )=0, 即7a 2+16a ·b -15b 2=0. ① 又a -4b 与7a -2b 垂直, 则有(a -4b )·(7a -2b )=0, 即7a 2-30a ·b +8b 2=0. ② 两式相减2a ·b =b 2, 代入①或②得a 2=b 2,设a 、b 的夹角为θ,则cosθ=22||2||||b b b a b a =∙=21, ∴θ=60°.方法归纳 向量的数量积是一个实数,充分利用两向量垂直的条件,把问题转化到实数集中去求解是解本题的关键.误区警示 由于a -4b 与7a -2b 都是向量,在求它们数量积时不能书写成(a -4b )(7a -2b ),这种表示方法是错误的,应书写为(a -4b )·(7a -2b ). 例3 已知|a |=|b |=5,a 与b 的夹角为3π,求|a +b |,|a -b |的值. 思路分析:先求|a ±b |2,再求|a ±b |. 解:∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2 =25+25+2|a ||b |cos 3π=75, ∴|a +b |=35.同理|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2 =25+25-2|a ||b |cos3=25. ∴|a -b |=5.方法归纳 求向量模的问题往往先求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模以及向量的数量积联系起来了.例4 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角为120°. (1)求证:(a -b )⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1(k ∈R ),求k 的取值范围.思路分析:证明向量垂直问题,一般考虑利用向量的数量积为零.要解决模的问题,往往转化成与模平方有关的问题来解决.(1)证法一:∵|a |=|b |=|c |=1且a 、b 、c 之间的夹角均为120°, ∴(a -b )·c =a ·c -b ·c =|a ||c |cos120°-|b ||c |cos120°=0. ∴(a -b )⊥c .证法二:如图2-4-3,设=a ,=b ,=c ,图2-4-3由题意可知,连结AB 、AC 、BC 的三条线段围成正三角形ABC,O 为△ABC 中心. ∴OC ⊥AB.又∵=a -b ,∴(a -b )⊥c .(2)解:∵|k a +b +c |＞1, ∴(k a +b +c )·(k a +b +c )＞1, 即k 2a 2+b 2+c 2+2k a ·b +2k a ·c +2b ·c ＞1. ∵a ·b =a ·c =b ·c =cos120°=-21, ∴k 2-2k ＞0.解得k ＜0或k ＞2,即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.方法归纳 证明向量的垂直或判定几何图形中线的垂直关系,往往转化成向量的数量积等于零来证明.与模有关的问题,常先考虑模的平方.深化升华 利用向量的有关知识,可以通过数形结合,提供平面几何中许多问题的新颖、直观、简捷的解法.知识点2 平面两向量数量积的坐标表示例5 设a =(m+1,-3),b =(1,m-1),若(a +b )⊥(a -b ),求m 的值.思路分析:解题时可根据已知条件求出a +b 与a -b ,再利用垂直求得m 的值即可. 解:∵a +b =(m+2,m-4),a -b =(m,-m-2), 又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=0,即m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0. ∴m=-2.方法归纳 解题时可利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示,列出方程解方程即可求解. 例6 已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.思路分析:本题利用向量垂直的坐标表示,设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组解之即可.解法一:设e =(x,y),据题意x 2+y 2=1. ① 又a ⊥e ,∴a ·e =0,即4x+2y=0. ②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧=+=+,024,122y x y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552,5511y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=552,5522y x , 即e=(55,-552)或(-55,552).解法二:如图2-4-4,=a =(4,2).过圆点与垂直的直线与单位圆交于B 、C 两点,则与OC 即为所求.图2-4-4cosα2=sinα1=55,sinα2=cosα1=552. 依据三角函数的定义,可求得B(-55,552), 即=(-55,552). ∵与互为相反向量, ∴=(55,-552).方法归纳 要求的单位向量即为以与a 垂直的直线与单位圆相交的交点为终点,原点为起点的两向量,可通过解直角三角形或三角函数的定义求解.例7 已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的夹角是多少?思路分析:要求a 与b 夹角,需先求a ·b 及|a ||b |,再结合夹角θ的范围确定其值. 解:由a =(1,3),b =(3+1,3-1),则 a ·b =3+1+3(3-1)=４,|a |=2,|b |=22, 记a 与b 的夹角为θ,则cosθ=||||b a b a ∙=22,又∵0≤θ≤π,∴θ=4π. 方法归纳 已知三角函数值求角时,应注重角的范围的确定.例8 在△ABC 中,=(3,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.思路分析:由于没指出哪个内角是直角,故需分别讨论,借助向量减法的运算法则求出△ABC 是一边BC 对应的向量,再用两个向量垂直的充要条件,构造出k 的方程,从而求出k 的值. 解:(1)当∠A=90°时,图2-4-5∵·=0, ∴3×1+3k=0,解得k=-1. (2)当∠B=90°时,-==(1-3,k-3)=(-2,k-3),∵AB ·BC =0,∴2×(-2)+3(k-3)=0,解得k=313. (3)当∠C=90°时, ∵AC ·BC =0,∴-2+k(k-3)=0,即k 2-3k-2=0,解得k 1=2173-或k 2=2173+.综合(1)(2)(3)可知k 的值为k=-1或k=313或k=2173±. 方法归纳 本题在△ABC 的一个内角为直角,但不知道哪个角为直角的情况下,进行分类讨论,分类讨论的数学思想贯穿于中学数学的各门具体课程,在不断总结的基础上,根据具体情况,把握分类的标准.例9 如图2-4-6,在Rt △ABC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·的值最大？并求出这个最大值.图2-4-6思路分析:本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标的转化,与向量的联系. 解法一:∵⊥AC ,∴·AC =0. ∵-=,-=,-=,∴·=(-)·(-) =·-·-·+· =-a 2-AP ·AB AC +·AP =-a 2+(-) =-a 2+21PQ · =-a 2+a 2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与BC 方向相同)时,BP ·最大,其最大值为0.解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-4-7所示的平面直角坐标系.图2-4-7设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0)、B(c,0)、C(0,b), 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y). ∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-,∴cx-by=a2cosθ.∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.方法归纳设定OM的坐标(x,y),用坐标表示出MA与MB的数量积,整理成MA·MB是OM的纵坐标的二次函数,通过二次函数知识求MA·MB的最小值.深化升华与最值有关的问题,往往是先选取适当的变量,建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式),通过求最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.问题·探究思维发散探究问题设a、b是不相等的实数,试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法,即求出不等式两边式子的差,再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示,因此可以根据不等式结构构造向量利用向量知识来达到证明不等式的目的.方法一:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.由于a、b是不相等的实数,则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2＞0,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.方法二:设m=(a2,b2),n=(a,b),则m·n=a3+b3,又a、b是不相等的实数,则a2b-ab2≠0,即向量m、n不共线,所以有|m·n|＜|m||n|,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.。
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿一、引入大家好，我是今天的数学课老师。
本节课我们将学习人教版高二数学必修四中的《平面向量的数量积》这一部分内容。
在这个章节中，我们将学习什么是向量的数量积以及它的性质和应用。
二、概述本节课的重点是向量的数量积。
首先，我们会详细介绍向量的数量积的定义及其几何意义。
然后，我们将讨论数量积的性质，包括交换律、分配律和数量积的几何性质。
最后，我们会应用数量积解决实际问题。
三、向量的数量积及其几何意义1. 向量的数量积定义向量的数量积，也叫点积或内积，定义为两个向量的长度乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
记作 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $。
2. 向量的数量积几何意义向量的数量积有很重要的几何意义。
当两个向量夹角为锐角或直角时，数量积为正；当两个向量夹角为钝角时，数量积为负；当两个向量互相垂直时，数量积为零。
四、数量积的性质1. 交换律向量的数量积满足交换律，即 $ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $。
2. 分配律向量的数量积还满足分配律，即 $ \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} $。
3. 数量积的几何性质数量积的几何性质包括向量的垂直、平行和夹角的余弦值。
•垂直性质：如果两个非零向量的数量积为零，那么它们垂直。
•平行性质：如果两个向量的数量积非零，那么它们平行。
•夹角余弦公式：数量积的定义可以进一步推导出夹角的余弦公式： $ \cos \theta = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|} $。
高中数学必修4平面向量复习4平面向量的数量积
5．4 平面向量的数量积要点透视： 1．两个向量的夹角：两个非零向量a 和b ，作 OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ (0°≤θ≤180°)，叫做两向量a 与b 的夹角。
如果a 与b 的夹角是90°，则说a 与b 垂直，记作a ⊥b 2．两向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则把数量|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a |·|b |·cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量的数量积满足下列运算律： （1）a ·b ＝b ·a ； （2）(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； （3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． 3．向量数量积的坐标运算：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2． 4定理：两个向量a ，b 垂直的充要条件是a ·b =0.活题精析： 例1．(2001年上海卷)若非零向量以α ，β 满足|α +β |=|α －β |，则α 与β 所成角的大小是 . 要点精析：由作向量和与差的平行四边形法则可知：|α +β |，|α －β |正好是以α ，β 为邻边的平行四边形的两对角线的长度，∵ |α +β |=|α －β |．∴ 平行四边形是矩形，∴ α 与β 所成角是90°．思维延伸：作平面向量的某些题目时，应注意与平面几何知识相结合．本例还可采用两边平方，得α ·β =0. 例2．( 2003年天津卷)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线． （1）(a ·b )c －(c ·a )b =0 ；（2）|a |－|b |<|a －b |；（3）(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；（4）(3a ＋2b )· (3a －2b )=9|a |2－4|b }2．其中是真命题的有（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（4） 要点解析：(a ·b )c 是与向量c 平行的向量(c ·a )b 是与向量b 平行的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，因此（1）不正确． 因为a ，b ，c 是任意的非零向量，是相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知（2）正确． [(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，因此(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，答案（3）不正确． (3a ＋2b )·(3a －2b )=9a 2－4b 2=9|a |2－4|b |2，答案（4）正确，应选D 。
必修四平面向量的数量积讲义
2.3平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为v，则数量丨a | x| b | x COST叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a • b，即a • b =| a | x| b | x COST。
注意：(1)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“ • ”不能省略，也不能也成"x”(3)在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00三6^" 1800。
(4) 规定：零向量与任一向量的数量积为0,即_0__b = 0; (5)当向量a与b的夹角为90°时，叫a与b互相垂直，记作：a 丄b，此时：a丄b ：= a • b = 0。
2、平面向量数量积的几何意义：(1)对于a • b =| a |x| b | x COST，其中| b | x COST叫做b在a方向上的投影，当v为锐角时，投影为正；当v为钝角时，投影为负；当二就直角时，投影为0;当二为0度时，投影是| b | ；当二为180度时，投影为一| b | ； (2). 2在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的；(3)) a在b方向—b —1|-a *b上的投影值可以写成b例1：已知| a |= 2, | b | = 5,当(1) a与b夹角为30°时；(2)当a丄b时；(3)当当a // b时；分别计算a与b的数量积。
【解析】：(1) 5 . 3 ；(2) 0； (3)± 10变式练习1:已知| a | = 3,| b | = 5,且a与b的夹角为45°,则a在b方向上的投影是()3-2A: B: 3 C：4 D: 5【解析】：A变式练习2:已知丨a |= 6, | b |= 3,且a • b =- 12,则a在b方向上的投影是()A: - 4 B：- 2 C：4 D: 2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，二是e与a的夹角* f f * * * ——1、e • a = a • e =| a | x| e |x COST2、a 丄b ：= a • b = 03、若a与b同向，则a • b =| a | x| b | (夹角为0度)；若反向，则a • b =—|a | x|b | (夹角为180度)；2 ■ 2特别地，a• a= (a) = | a| 或| a| = •. a・a一一 a ・b4、若日是a与b的夹角，贝U coS = -a江b5、 | a • b | w | a | x | b | (当a与b共线时取等号)三、平面向量数量积的运算律—Ir —Is- f ―b- —fc- —*■—tr—Is- —* f1、a • b = b • a2、(a)・b = (a • b)= a • ( ■ b)—fc- T —►T f3、(a + b ) •C = a • C + b • CL L L L L 2 ' 2 ・ 2 24、(a + b ) •(a —b )= (a) —(b ) = | a | — | b |5、(a + b) = | a | 2+ 2x a • b + | b | 2注意：(1)没有(a • b) • C = a • (b • c)这个运算定律；(2) a • C = b • c，则—+ —+ ―►- f f T不能得到 a = b ；(3)若 a • b = 0，则 a = 0 或 b = 0 或<a， b >= 90。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
高中数学必修四《平面向量的数量积》说课PPT
本节课内容巩固了前三节平面向量的相关 知识，使学生进一步明确数量与向量的区别与 联系，同时为下一节课“数量积的坐标表示、 模、夹角”及今后的学习打下基础。
一、教材分析
3．教学重点、难点
（1）教学重点 平面向量的数量积的定义、性质及运算。（解
决办法：通过物理学中力的做功帮助学生认识平面 向量所成的角及数量积的定义，通过解决问题让学 生掌握数量积的运算、性质。）
（2）数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)
（3）分配律:(a﹢b)·c=a·c﹢ b·c
[设计意图] 让学生利用向量数量积的定义 思考得到，既复习了向量数量积的定义，又发 现了向量数量积的基本运算法则。
（3）向量数量积的运算法则
[例题分析] 课本第105页 例3.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°，求 （a+2b）(a-3b) 例4.已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线。k为何值 时，向量a+kb与a-kb互相垂直。
五、教学程序设计
2．探索研究，建构新知
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的运算法则
（1）平面向量的数量积
[定义]已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记 作a • b，即a •b= |a||b|cosθ，其中θ是a与b的 夹角，|a|cosθ叫做a在向量b上的投影， |b|cosθ叫做在b向量a上的投影。 注（1）零向量与任一向量的数量积为0；
２．不利因素
平面向量的加、减、数乘运算结果是一个向 量，而平面向量的数量积是一个数量，相对来说 比较抽象，这给学生对知识的理解带来一定的困 难。高中学生的学习能力与学习习惯存在着一定 的差异，因此在教学中应循序渐进，兼顾课堂分 层。
平面向量数量积说课稿
平面向量数量积说课稿平面向量数量积说课稿1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和手段1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
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平面向量的数量积
1．两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的乘法是有
区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆，如·a b ，不能写成ab
或a b ⨯．两向量的数量积的结果是数量，它的值为两个向量的模与两个向量的夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
2．向量数量积的几何意义是：一个向量的长度
乘以另一个向量在其上的投影值．这个投影值可正、
可负、也可为零，向量的数量积的结果是一个实
数．当a ≠0时，由0a
b =·不能推出b =0，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有0a b =·；若(0)≠，，a b
c b 为实数，则ab bc a c =⇒=；但对于向量来说，就不一定正确，如图，
可以看出，=··a
b b
c 但a c ≠． 3．两向量的数量积只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘
法结合律，即()a
b c ·不一定等于()a b c ·，这是由于()a b c ·表示一个与c 共线的向量，而()·a b c 表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线（由上图也可看出）．
4．两个非零向量的夹角，规定0πθ≤≤，应明确当0θ=时，a 与b 同向；当πθ=时，a 与b 反向；当90θ=，a 与b 垂直．
5．向量的坐标表示可以将平面内任一向量用一有序数对来表示，这样，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示，另一种就是坐标法，即用一对有序实数对表示．向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，即若平面上有点1122()()，，，A x y B x y ，则向量
2121()AB x x y y =--，．
6．平面内两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即若=a 11()x y ，，
b =22()x y ，，则a b =·1212+x x y y ，这样就将向量的数量积运算转化为向量的坐标运算，把向量的数量积的两种表示方法相结合，即得a b 1212cos θ=+x x y y ，其左边
具有形的特征，右边显示数量化，可谓数形合一，并可由此推导出向量的长度（模）、两向量垂直及两向量夹角的坐标表示．
7．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标无关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两向量相等时其坐标是相同的，而起点、终点的坐标可以不同．所以向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
8．在利用向量的数量积判断两向量的位置关系时应注意以下两点：
（1）0a
b =·不能推出a b ⊥，应强调a 与b 为非零向量． （2）非零向量a 与b 的夹角θ为钝角时0a
b <·，反之，0a b <·时，a 与b 的夹角θ不一定为钝角，原因是当πθ=时，0a
b <·；同理， a 与b 的夹角θ为锐角时，0a b >·，反之0a b >·时，a 与b 的夹角θ不一定为锐角，原因是当0θ=时，0a b a b =>·．。