实验三 连续和离散系统的复频域分析

∞ 实验三 连续和离散系统的复频域分析

一、实验目的

1.掌握连续时间函数的拉普拉斯正变换及反变换；

2.掌握离散时间函数的 Z 变换和 Z 反变换;；

3.掌握连续系统复频域分析方法；

4.掌握离散系统复频域分析方法。

二、实验仪器

装有 MATLAB 软件的微型计算机 1 台

三、实验原理

3.1 拉氏变换的正变换和逆变换 （1）定义

正变换： F (s ) = ? f (t )e -st dt 反变换： f (t ) =

1 ?

σ + j ∞

F (s )e st ds

-∞

2πj

ο - j ∞

其中 F(s) 可以表示为有理分式 F (s ) =

B (s )

或零极点相乘形式

A (s )

F (s ) =k

(s -z 1)(s -z 2)L (s -z m )

(s - p 1)(s - p 2)L (s - p n )

A(s)和 B(s)都是 s 的多项式，z 1,z 2,…,z m 是 F(s)的零点，p 1,p 2,…,p n 是 F(s)的极点， k 为 F(s)的增益。 （2）拉氏变换的函数调用

正变换： Fs = laplace(f)

逆变换：f = ilaplace(Fs)

□? 3.2 Z 变换的正变换和逆变换 （1）定义

正变换： F (z) = ∑ f (n)z

-n

n =0

反变换： f (n) =

1

2π j c

F (z)z

n -1

dz

其中 F(z)可以表示为有理分式 F (z) = B(z)

或零极点相乘形式

A(z)

F (z ) =k

(z -z 1)(z -z 2)L (z -z m ) (z -p 1)(z -p 2)L (z -p n )

A(z)和 B(z)都是 z 的多项式，z 1,z 2,…,z m 是 F(z)的零点，p 1,p 2,…,p n 是 F(z)的极点， k 为 F(z)的增益。

（2）Z 变换的函数调用

正变换： F = ztrans(f)

f = f (n ) ? F = F (z )

逆变换： f = iztrans (F) F = F (z ) ? f = f (n )

3.3 复频域分析其他相关函数

（1） ezplot 函数

调用格斯：ezplot(f)

功能：符号型函数的绘图函数

（2） dimpulse 函数

调用格式：dimpulse(B,A[,N])

功能：绘制传递函数 H(Z)的单位脉冲响应，其中 B ，A 分别是传递函数按 Z-1 的升幂排列的分子分母系数行向量，N 为指定的单位脉冲响应序列的点数。

（3） dstep 函数

∞

调用格式：dstep(B,A[,N])

功能：绘制传递函数H(Z)的单位阶跃响应，其中B，A 分别是传递函数按Z-1 的升幂排列的分子分母系数行向量，N 为指定的单位脉冲响应序列的点数。

（4）lsim 函数

调用格式：lsim(sys,x,t,zi)

功能：计算系统在任意输入和零状态下的全响应。sys 为状态空间形式的系统函数，zi 是系统的初始状态。

（5）filter 函数

调用格式：y=filter(b,a,x,xic)

功能：求解差分方程。参数x 为输入向量(序列)，b，a 分别为差分方程系数，xic 是等效初始状态输入数组(序列)。

确定等效初始状态输入数组xic(n)，可使用filtic()函数。

调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。其中y=[y(-1),y(-2),…,y(-N)] ，x=[x(-1),x(-2),…,x(-M)]。

四、实验内容

1、拉普拉斯正变换和逆变换

（1）分别求f (t) =1，f (t) = tu(t - 2) ，f (t) =(1 - e-a t )u(t) 的拉氏变换；syms f t a Fs

Fs=laplace(sym(1))

syms f t Fs

f=t*heaviside(t-2);

Fs=laplace(f)

syms f t Fs a

f=(1-exp(-a*t))*heaviside(t); Fs=laplace(f)

syms f s F

F=10*(s+2)*(s+5)/s*(s+1)*(s+3); f=ilaplace(F）

syms f s F

F=exp(-s)/(s^2+5*s+6);

f=ilaplace(F)

2、离散信号的Z 域正变换和逆变换

（1）分别求f (n) = (a)n u(n) , f (n) =1 的Z变换；syms f z Fz n a

f=a^n*heaviside(n);

Fz=ztrans(f)

syms f z Fz n a

Fz=ztrans(sym(1))

syms f z Fz n a

Fz=z^2/(z^2-1.5*z+0.5);

f=iztrans(Fz)

syms f z Fz n a

Fz=z^2/(z^2-3*z+2);

f=iztrans(Fz)

3、连续系统和离散系统的系统函数

（1）将微分方程转化为系统函数H (s) ，并求冲激响应h(t) 和阶跃响应g(t)

试求该系统的系统函数H (s) ，并求冲激响应h(t) 和阶跃响应g(t) 。Fs=s/(s^2+5*s+6);

syms f s Fs

Fs=s/(s^2+5*s+6);

f=ilaplace(Fs)

、

ezplot(f)

syms f t k1

f=int(3*exp(-3*t) - 2*exp(-2*t)); k1=int(f,t,0,t);

ezplot(k1)

（2）将方程转化为系统函数H (z) ，并求冲激响应h(z) 和阶跃响应g(z)

已知系统的差分方程如下：

y(n + 2) - 3y(n +1) + 2 y(n) = x(n +1)

试求该系统的系统函数H (z) ，并求冲激响应h(z) 和阶跃响应g(z) 。syms hz hn n z gn

hz=z/(z^2-3*z+2);

hn=iztrans(hz);

gn=int(hn,n,0,n);

simplify(hn)

simplify(gn)

subplot(211);ezplot(hn);

subplot(212);ezplot(gn);

4、连续系统和离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应

(1)已知连续系统的系统函数

H (s) =

R(s) =

E(s) s s 2 + 5s + 6

式中e(t) = 3u(t) ，y(0)=1,y'(0)=1；分别求该系统的零状态响应，零输入响应和全响应 y 。

%零输入响应

a=[1 0];

b=[1 5 6];

sys=tf(a,b);%确定传递函数，一种新的表示方法

t=0:0.01:3;

sys1=ss(sys);%将传递函数模型转化为状态空间模型

y=[1 1];

u=zeros(1,length(t)); %自己建立一个1行的矩阵

rzi=lsim(sys1,u,t,y); %求解零输入响应

subplot(311);

plot(t,rzi)

%零状态响应

syms s f

f=ilaplace(3/((s+2)*(s+3)));%把分母分解因式

t=0:0.01:3;

rzs=3*exp(-2*t)-3*exp(-3*t);%已经将u(t)拉式变换过，整理出来的式子subplot(312);

plot(t,rzs)

%全响应

R=rzi+rzs'; %必须要加“’”，要不然图像跟预期的不相符。

subplot(313);

plot(t,R)

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%零输入响应

den=[1 3 2];

num=[1];

n1=0:5;

count=length(n);

y01=[2 1];

x01=[0 0];

x1=zeros(1,count);

xzi=filtic(num,den,y01,x01) yzi=filter(num,den,x1,xzi)

%零状态响应

y02=[0 0];

x02=[0 0];

x2=(0.2).^n;

xzs=filtic(num,den,y02,x02) yzi=filter(num,den,x2,xzs)

%全响应

y0=[2 1];

x0=[0 0];

x=(2).^n;

xz=filtic(num,den,y0,x0)

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y=filter(num,den,

五、心得体会

1、这次我整体感觉是最难的，主要体现在第4题上，因为涉及到零输入响应和零状态响应的系统分析，加上差分方程等系统，还有自己对filtic 和filter 的参数调用不了解，在上网查阅资料看过其他的应用之后才把这求零状态和零输入响应的表示求出来。

2、对于第1、2题是最简单的拉普拉斯和Z 变换的函数应用很简单。但是第三题自己遇到的第一个自己利用拉氏变换的微分性质把传函表示出来，第二个就是阶跃响应如何求，因为之前老师也说过就是对冲激响应在0-t 上积分，直接调用int 函数即可，自己比要求多做了一步画图，是为了更清楚地了解这个系统。

3、第四个首先遇到的是不知道怎么下手，而题目中给的那些函数有些不会调用，后面通过与同学讨论和查阅资料，知道了一些函数的使用方法，但还是有很多细节没考虑到，比如语句的调用sys=tf(a,b);%确定传递函数，一种新的表示方法

sys1=ss(sys);%将传递函数模型转化为状态空间模型

…………

4、通过本次实验我感觉我的MATLAB编程能力还很欠缺，以及对系统的分析也不够透彻，之后我会多多练习分析系统方面的知识，并且能用MATLAB来实践。

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