立体几何基础知识汇总
(完整版)立体几何知识点总结完整版
立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。
4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。
5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。
立体几何知识点归纳
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
立体几何知识点总结(全)
立体几何知识点总结(全)重合直线：完全重合，有无数个公共点。
三．点与平面的位置关系点与平面的位置关系有以下三种情况：点在平面上；点在平面外；点在平面内。
四．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有以下三种情况：直线与平面相交，相交点为一点；直线在平面内；直线与平面平行，没有交点。
五．平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有以下三种情况：平面相交，相交线为一条直线；平面平行，没有交点；平面重合，完全重合。
1)定义：两个平面相交于一条直线，且这条直线与两个平面的法线垂直，则这两个平面垂直；2)判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
符号：a,b简记为：线面垂直，则面面垂直.符号：aba b4．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则它们的交线垂直于这两个平面。
符号：a b。
a简记为：面面垂直，则线线垂直.符号：abb定义：当两个平面所成的二面角为直角时，这两个平面互相垂直。
判定定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
可以简记为：线面面垂直，则面面垂直。
符号表示为l，推论是如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。
平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
可以简记为面面垂直，则线面垂直。
证明线线平行的方法包括三角形中位线、平行四边形、线面平行的性质、平行线的传递性和面面平行的性质。
证明线线垂直的方法包括定义中的两条直线所成的角为90°，线面垂直的性质，利用勾股定理证明两相交直线垂直，以及利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直。
立体几何的基本知识点总结
立体几何的基本知识点总结立体几何是几何学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、位置等特征。
在学习立体几何时，我们需要了解一些基本的知识点。
本文将对立体几何的基本概念、性质、公式等进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 点、线、面和体立体几何研究的对象主要有点、线、面和体。
点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无限多个点连起来形成的，用来表示长度和方向；面是由无限多条线组成的，具有长度和宽度，用来表示平面；体则是由无限多个面组成的，具有长度、宽度和高度，用来表示立体物体。
2. 四面体、正方体和圆柱体四面体是由四个面组成的立体体，每个面都是一个三角形；正方体是由六个面组成的立体体，每个面都是一个正方形；圆柱体是由一个底面和一个平行于底面的曲面组成的立体体，底面为圆形。
3. 长方体、棱柱和棱锥长方体是由六个矩形面组成的立体体，每个面都有四个直角；棱柱是由两个平行且相等的多边形组成的立体体，这两个多边形分别称为底面和顶面；棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体。
4. 体积和表面积体积是用来衡量立体体所占空间的大小，常用单位有立方厘米、立方米等；表面积是用来衡量立体体外部所包围的面积，常用单位有平方厘米、平方米等。
不同形状的立体体计算体积和表面积的方法也不同，例如长方形的体积为长乘宽乘高，表面积为底面积的两倍加上侧面积。
5. 平行四边形的性质平行四边形是指有两对边分别平行的四边形，其性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线长度平方等于两条对边长度平方和、对角线互相垂直等。
6. 圆锥的性质圆锥是由一个底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体，其性质包括：底面与侧面接触于一条直线上、侧面都是直角三角形、顶点到底面的垂线与底面的切点连线垂直等。
7. 球的性质球是由无数个平行的点组成的立体体，其性质包括：球心到球面上任意一点的距离都相等、球面上任意两点之间的最短距离是球心到这两点连线的长度、球表面积等于4πr²（其中r为半径）、球体积等于4/3πr³等。
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,mlα方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征（1）棱柱：①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。
②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形； Ⅱ、两底面是全等多边形；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。
（2）棱锥：①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ∆，POB Rt ∆，PBH Rt ∆，BOH Rt ∆实现边，高，斜高间的换算棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面AB CD OHP2、旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征（2）性质：① 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫 小圆）② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且22d R r -=，其中R 为球半径，r 为截面半径，d 为球心的到截面的距离。
3、柱体、锥体、球体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（C 底为底面周长，h 为高，h '为棱锥的斜高或圆锥的母线）直棱柱、圆柱的侧面积S C h =⋅侧底；正棱锥、圆锥的侧面积12S C h '=⋅侧底（3）柱体、锥体的体积公式V S h =⋅柱底， 13V S h =⋅锥底（4）球体的表面积和体积公式：34=3V R π球 ； 24S R π=球面（5）球面距离（注意识别经度和纬度）球面上,A B 两点的球面距离AB R α=⋅,其中α为劣弧AB 所对的球心角AOB ∠的弧度数.4、空间几何体的三视图空间中的点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
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3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．三个推论
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形， AD CD．证明： AB 平面 ADF ．
18. 如图，四棱锥 S ABCD 中，SD 底面 ABCD ，AB / /CD ，AD DC ，AB AD 1 ，DC 2 ， SD 2 ， E 为棱 SB 的中点．求证： SC 平面 ADE ．
13. 己知三棱 柱ABC A1B1C1, 点A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ， BCA 90 ， AC BC 2, 又知 BA1 AC1. 求证： AC1 平面A1BC ．
14. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD 平面 ABCD ，E 为棱 PB 的中点，PB 2 ，PD 1，BPC 45 ．证 明： PC 平面 ADE ．
9. 如图，在三棱锥 P ABC 中，G 是棱 PA 的中点，PC AC ， 且 PB AB AC BC 2 ， PC 1.求证：直线 BG 平面 PAC ．
10. 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 面 AABBCC,,AACC AABB,,PPAA AADD22DDCC22,,AAEE AABB 33．求证：
立体几何系统提升精讲
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面
面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
16.
★如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，ABC
3
四边形 ABEF 是直角梯形，FAB 2
， AF
BE ， AF
Hale Waihona Puke AB 2BE2 ．证明：CE
平
面 ADF ．
17. 在三棱锥 P ABC 中， H 为 PA 的中点， M , N 分别为棱 PA, PB 上的点，且 PN 3NB ， MN 平面 HBC ，求 PM : PA 的值．
11. ★如图所示,在四棱锥 C ABED 中,四边形 ABED 是正方形,点 G, F 分别是线段 EC, BD 的中点. 求证： GF / /平面ABC
12. ★如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，E 是棱 CC1 的中点，F 是 AB 的中点．求证：CF∥平面 AB1E ．
13. ★如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，△ABC 是边长 为 4 的正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，D, E 分别是 线段 BB1, AC1 的中点． 求证： DE 平面 ABC ．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线互为异面直线．
1．直线与平面平行的判定与性质 判定
定义
定理
性质
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β ＝b
2
结论
a∥α
2.面面平行的判定与性质
定义
b∥α
判定
定理
a∩α＝∅
a∥b
性质
图形
条件
8
14. ★如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， E, F 分别为 PC, BD 的中点．证明： EF / / 平面 PAD ．
15. ★如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ， P 为 AA1 的中 点， Q 为 BC 的中点． 求证： PQ / / 平面 A1BC1 ．
12
7. 如图，四面体 P ABC 中，PA 平面 ABC ，PA AB 1，BC 3 ，AC 2 ．证明：BC 平面 PAB ．
8. 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ， CA CB CD BD 2 ．求证： AO 平面 BCD．
14
15. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA，CD 都垂直于平面 ABC，且 EA AB 2 ， DC 1，F 是 BE 的中点， AF 平面 EDB．
16. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AB 2 2 ， BC 2 ， AA1 2 ．证明： A1C 平面 AB1C1 ．
4. 如图，在三棱柱 ABC–A1B1C1 中，D 为 AC 的中点，O 为四 边形 B1C1CB 的对角线的交点．求证：OD∥平面 A1ABB1．
6
5. 如图，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，面 BMD1N 与棱 CC1 ，AA1 分别交于点 M，N，且 M，N 均为中点．求证：AC∥平面 BMD1N
为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为
；
3 在正四面体中，其侧面积与底面积之差为 8 3 ，则该正四面体外接球的
体积为
。
4 如果一个球的内接圆锥的母线长是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为
5 已知圆柱的体积为 1，则圆柱的表面积最小时，底面半径为
5
a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定 理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l⊂β ⇒α⊥β
l⊥α
3
性质定 理
如果两个平面互相垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直
名称
表面积
体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋2S 底 S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
球
S＝4πR2
V＝Sh
V＝1Sh 3
V＝1(S 3
上＋S
下＋
S 上 S 下)h V＝4πR3
3
【知识拓展】 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2.
11
4. 如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ， AE ⊥ 平面 CDE ．求 证： AB 平面 ADE ．
5. 如图所示，已知 P ABC 为正三棱锥，设 D 为 PB 的中点，且 AD PC ．求证：PC 平 面 PAB ．
6. 如图所示，已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 平面 ABCD ， ABC 60 E 是 BC 的中点．证明： AE ⊥ 平面 PAD ．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
平行直线 共面直线
相交直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直0，线π a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围： 2 .
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(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
1．四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行．
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18. 如图，正方形 ABCD 的边长是 13，平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是 13， M , N 分别是 PA, BD 上的点，且 PM : MA BN : ND ．求证：直线 MN 平面 PBC ．
19. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM DN ．求证： MN 面 AA1BB1
证明类：
线面平行
1. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， A B / / C D ．求证：CD∥ 平面 ABE．
2. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是棱长为1的菱形， M 是 PB 的中点．求证： PD //平面 ACM ．
3. 如图， 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是 AB 的中点．求 证： BC1 / / 平面 A1CD ．
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面面平行
1. 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，D 是 BC 上一点，且 A1B 平 面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D ．
2. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 、 N 、 P 分别是 C1C 、 B1C1 、 C1D1 的中点．求证：平面 MNP∥平面 A1BD ．