离散数学第五版 模拟试题 及答案

《离散数学》模拟试题3
一、填空题（每小题2分，共20分）
1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。

2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___，
A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。

3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___，
ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。

4. 已知命题公式R
Q
P
G→
∧
⌝
=)
(，则G的析取范式为。

5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。

”符号化
，其真值为。

二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。

）
1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）.
A.{1}
B. {1, 3}
C. {3,4}
D. {1,2}
2. 下列式子中正确的有（）。

A. φ＝0
B. φ∈{φ}
C. φ∈{a,b}
D. φ∈φ
3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。

A. {{x},{y}}
B. {φ,{x},{y}}
C. {φ,{x},{y},{x, y}}
D. {{x},{y},{x, y}}
4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}，
则R不具备（）.
三、计算题（共50分）
1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝
{n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D))
（3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D
2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A，
R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用
定义和矩阵运算求R1·R2 ，
2
2
R，R
1
·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。

3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）.
4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝
写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质.
5. （10分）设公式G的真值表如下.
试叙述如何根据真值表求G的
主析取范式和主合取范式，并
写出G的主析取范式和主合取范式.
1 0 0 1 1 0 1 0 0
6. (8分) 设解释I 为：
（1） 定义域D ＝{-2,3,6}； （2） F （x ）: x ≤3 G （x ）: x ＞5
在解释I 下求公式 ∃ x （F(x)∨G(x)）的真值.
7. （6分） 试用克鲁斯卡尔算法求下图所示权图中的最优支撑树.要求画出
其最优支撑树，并求出权和.
四、证明题（每小题8分，共16分）
1. 设A ，B ，C 为三个任意集合，试证明： ( 8分) （1）（A －B ）－C ＝（A －C ）－(B －C ) （2）A ∪(B ∩C )＝A ∪（（B －A ）∩（A ∪C ）） （3）（A ∪（B －A ））－C ＝（A －C ）∪(B －C ) （4）（（A ∪B ∪C ）∩（A ∪B ））－（（A ∪（B －C ））∩A ）＝B －A
2. 证明下面的等价式： ( 8分) （1）（⌝ P ∧（⌝ Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）＝R （2）（P ∧（Q ∧S ））∨（⌝ P ∧（Q ∧S ））＝（Q ∧S ） （3）P → (Q → R )＝（P ∧Q ）→ R
（4）⌝( P ↔Q )＝（P ∧⌝ Q ）∨（⌝P ∧Q ）
《离散数学》模拟试题3参考答案
一、填空题
1. {φ，{φ}，{1}，{φ，1}，{φ，2}，{1，2}，A}
2. {a ，b ，c ，d ，e }；{a }；{b ，c }；φ
3. {3}；{{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}} 4 R Q P ∨⌝∨. 5. P ↔Q ，1
二、单项选择题
1. C
2. B
3. C
4. B
三、计算题
1. （1）A ；（2）{1}；（3）B ；（4）{2，4，8，9，16，32}
2. R 1 ·R 2 =={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，b ），（c ，a ），（c ，b ）}；
2
2
R ={( a ，a )，(a ，b )}；
R 1·R 2 ·R 3 = {( a ，a )，(b ，a )，(c ，a )}；
(R1·R2 ·R3)－1 = {( a，a)，(a，b)，(a，c)}；
3.解：
（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）
＝（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（（Q∨P）∧R）
＝（(﹁P∧﹁Q)∧R））∨（（Q∨P）∧R）
＝（(﹁P∧﹁Q)∨（Q∨P））∧R
＝（﹁(P∨Q)∨（P∨Q））∧R
＝1∧R
＝R
4.解：
R＝{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1) }
其关系图如下：
R是反对称的和传递的.
5. 解：
将真值表中最后一列的1左侧的二进制数，所对应的极小项写出后，将其析取起来，就得到G的主析取范式.
于是，G＝（﹁P∧﹁Q∧﹁R）∨（﹁P∧ Q∧﹁R）∨（﹁P∧ Q∧R）∨（P∧﹁ Q∧R）.
将真值表中最后一列的0左侧的二进制数，所对应的极大项写出后，将其合取起来，就得到G的主合取范式.
于是，G＝（P∨Q∨﹁R）∧（﹁P∨ Q∨R）∧（﹁P∨﹁Q∨R）∧（﹁P∨﹁ Q∨﹁R）.
6. 解：
∃ x ( F(x) ∨G(x))
⇔ ( F(-2) ∨G(-2)) ∨ ( F(3) ∨G(3)) ∨ ( F(6) ∨G(6))
⇔(1∨0) ∨(1∨0) ∨(0∨1)
⇔ 1
7. 解：
下图的粗线条为该权图的最优支撑树，5条边.
权和为2+2+3+3+5＝15.
四、证明题
1.（1）
左边＝（A－B）∩～C＝A∩～B∩～C
2
2
3
5
3
右边＝（A∩～C）∩～（B∩～C）
＝（A∩～C）∩（～B∪C）
＝（A∩～C∩～B）∪（A∩～C∩C）
＝（A∩～B∩～C）∪0
＝A∩～B∩～C
＝左边
（2）
左边＝（A∪B）∩（A∪C）
右边＝A∪（（B∩～A）∩（A∪C））
＝A∪（（B∩～A∩A）∪（B∩～A∩C））
＝A∪（B∩～A∩C）
＝（A∪B）∩（A∪～A）∩（A∪C）
＝（A∪B）∩（A∪C）
＝左边
（3）
左边＝（A∪（B∩～A））∩～C
＝（（A∪B）∩（A∪～A））∩～C
＝（A∪B）∩～C
＝（A∩～C）∪（B∩～C）
＝(A－C) ∪（B－C）
＝右边
（4）
左边＝（A∪B）－A
＝（A∪B）∩～A
＝（A∩～A）∩（B∩～A）
＝B－A
＝右边
2.（1）（⌝P∧（⌝Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）
＝（⌝P∧（⌝Q∧R））∨（（Q∨P）∧R）
＝（（⌝P∧⌝Q）∧R）∨（（Q∨P）∧R）
＝（（⌝P∧⌝ Q）∨（Q∨P））∧R
＝（⌝（P∨Q）∨（Q∨P））∧R
＝1∧R
＝R
（2）（P∧（Q∧S））∨（⌝P∧（Q∧S））
＝（（Q∧S）∧P）∨（（Q∧S）∧⌝P）
＝（Q∧S）∧（P∨⌝P）
＝（Q∧S）∧1
＝Q∧S
（3）P→ (Q→R)
＝⌝ P∨（⌝ Q∨R）
＝（⌝ P∨⌝ Q）∨R
＝⌝（P∧Q）∨R
＝（P∧Q）→ R
（4）⌝(P↔Q)
＝⌝（（P→ Q）∧（Q→P））
＝⌝（（⌝ P∨Q）∧（⌝ Q∨P））
＝⌝（⌝ P∨Q）∨⌝（⌝ Q∨P）
＝（⌝（⌝ P）∧⌝ Q）∨（⌝（⌝ Q）∧⌝P）
＝（P∧⌝ Q）∨（Q∧⌝P）
＝（P∧⌝ Q）∨（⌝P∧Q）。