规划模型专题二-非线性规划
有的队员这样考虑：
就所有飞机而言， 让调整弧度最大的 尽可能小， 即
min max
1 i 6
i i
0
令为 ,转化为二次规划 用到经验模型中确定参数的近似准则: Chebshavf 准则
全国数学建模竞赛开展之初, 竞赛题大多 是优化类型的题目, 那时的计算机性能没有 现在好, 速度也没有现在快, 因此在模型的计 算方面花的培训时间比较多。 虽然目前可供选择的软件比较多，但是 必要的优化知识是必须掌握的。
其次讨论一下约束条件是否有其它表达？
若考虑区域内不发生碰撞（若时间允许，也 可以考虑出了区域的情况，另外建模）、错层 飞行（飞高或者飞低避免碰撞），进行模型的 进一步改进，重点应放在解决问题的方法上。 如
i i0 6 , i 1, 2, , 6, d 2 , 60, i , j 1, 2, , 6, i j ij i j
解：为解决该问题，补充假设： (1)不考虑飞机的尺寸，用点代表飞机； (2)已在区域内的5架飞机按给定的方向角作 直线飞行，则必不会碰撞，也不会发生 意外；(应该根据题目中所给出的数据简 单的 验证一下) (3)飞机调整方向角的过程可在瞬间完成,(不 计调整方向所花费的时间)。
变量、参数的符号假设（为了建模）
进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
最多需考虑六架飞机；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 区域内的飞机不超过架(包括新进入的)。
不必考虑飞机离开此区域后的状况。
个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下， 若时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模 型一、模型二……；或者经讨论后，选择一个认 为更合理的。费时较多的是计算（那时侯是自己 编程解NLP） 现在看来，无论是构建模型，还是计算，都不太 难。 本例题未给出数据，将重点放在如何构建模型上
首先思考一下目标函数是否有其它的表达？ 同学们首先想到的可能是
min i i0
i 1
6
Oh, Sorry! 有正有负 抵消
为 了 避 免 抵 消
min i i0
i 1
6
最小一 乘法
or
min i i0
i 1
6
2
最小二 乘法
因最小一乘法带绝对值，不好计算，以上两式， 比较而言，后者较好。
x
i0
, yi0 ——第i架机的初始位置, ( i 1， 2， 6)
i ——第i架机的整前的方向角, ( i 1 ， 2， 6)
0
i ——第i架机的整后的方向角, (i 1， 2， 6)
Ti ——第i架飞 机按方向角i 在区域内飞行
时间（可以根据数据算出来）
四种情况：
四个象限，易用4个表达式表示
规划模型专题二
非线性规划、动态规划与多目标规划
第一部分 非线性规划
前面有老师介绍了线性规划问题，典型 的问题“下料问题”、“运输问题”等，这 些问题都比较简单。但实际中的问题不仅仅 是简单的线性规划问题，可能是比较繁杂的 非线性规划问题。
下面我们从一个竞赛题目出发，以理解非 线性规划的定义、建模过程及其求解过程。
d i , j min xi0 x j0 vt cos i cos j 0 t Tij
2 ij
2
yi0 y j0 vt sin i sin j
பைடு நூலகம்
2
为此，我们可以给出原问题的模型如下：
min i i0
i 1 2 d ij i , j 60, i , j 1, 2, , 6, i j , s .t . i i0 , i 1, 2, , 6. 6 非线性 思考：是否还有其他的表达形式？ 规划模 型 分别从目标函数和约束条件角度思考
6
i
i
0
i
现在看来，那年的题目建模不难，只是在 条件的考虑上和建模中目标函数的表达方面较 难一点。但在当时不然。
无论选择哪一种表达，怎样考虑约束条件， 目标函数都不可能是线性的。 是一个带不等式约束的非线性规划问题。 而且不可能转化成线性的形式。
若目标函数或约束条件中含有非线性函数， 则称这种模型问题为非线性规划（NonLinear Prog-ramming），简记为NLP。 NLP的一般形式
一、例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
min f x , x x1 , x2 , , xn R ,
说明：用初等数学的知识即可完成， 思考：在哪个时间段某两架飞机可能相撞？
Ti ?Tj ? or other else
记为Tij In fact, 我们只需考虑两架飞机同时在区域内 飞行时的情况，也就是说，
min Ti , T j 才是同在区域内的状况。
根据题目条件，需计算第 i , j 架飞机之间 的最短距离
该题比较有意思的一句话是： “使调整弧度最小” 开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活， 给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型 的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法 （算法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的 论文。
假设条件： 注： 有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km; 飞机飞行的方向角调整幅度不应超过 30 ； （因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行 速度 v 均为800km/h;
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
第二讲 非线性规划问题
1 每个月离开的工人数不能超过总人数的1/3 yi ( Si 1 xi ) 3
每天加班时间不能超过正常时间的25% d S x 1 ( S x ) i i 1 i i 1 i
4
若冗员，此约束不起作用，若缺员，此约束才起作用
最优人员规划方案
建筑工地上的人员规划 二月底（初始）（人） 每转移进一个工人费用（元） 100 八月底（期末）（人） 每转移出一个工人费用（元） 160 每缺员或冗员一个工人（元） 200 每月钢结构安装工需求量 最多到 初始 到来 来3人 离开 三月 3 1 <= 3 0 <= 四月 4 2 <= 3 0 <= 五月 6 0 <= 3 0 <= 六月 6 0 <= 3 0 <= 七月 6 0 <= 3 2 <= 八月 4 0 <= 3 1 <= 总到达人 总离开 数 3.00 人数 3 八月底人数 3 = 3 总目标费用 1780.00 3 3
三月 4 四月 6 五月 7 六月 4 七月 6 八月 2
每天加班时间不能超过正常时间的25%,每个月至多只能新来三名工 人.而根据与工会达成的协议,每个月离开此工地去其他工地的工人 数不能超过总人数1/3,我们假定在二月底此工地上已经有了三名钢 结构安装工,且在二月底没有人离开,并且要求在八月底此工地上仍 然应有三名钢结构安装工,那么每个月到来和离开的工人数为多少 才能使总成本最低?
（3）将上述多目标模型化为单目标模型，按不同的思路可化为如 下四种模型 max R ( x ) 1）固定风险，求收益最大 模型Ⅰ
Q ( x ) k s.t F ( x ) M x 0
S10
S11 S12 S13 S14 S15
运筹学——非线性规划
非线性规划
0.618法（近似黄金分割法）
函数 (t ) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个t * [a, b] ，使得 (t ) 在[a, t * ] 上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为 (t ) 的单 谷区间。
非线性规划
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点
第3步
计算 t k1
tk
(tk (tk
) )
，如果
t k 1
tk
，停止迭代，输出 t k1 。否则
k : k 1，转第 2 步。
非线性规划
基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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关于凸函数的一些结论
定理: 设S Rn是非空凸集
(1)若f是S上的凸函数， 0，则f是S上的凸函数；
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 定理: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
f ( x1 )（f ( x1 ),f ( x1 )）T是函数在点x1处的梯度。
x1
xn
（2）f是S上的严格凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ), x1, x2S, x1 x2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
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非线性规划模型
非线性规划模型 在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。
实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。
一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。
对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。
一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为()min 0x Rf X X ∈⎧⎪⎨≥⎪⎩ 此类问题即为无约束的非线性规划问题1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1一般迭代法即为可行方向法。
对于问题()min 0x Rf X X ∈⎧⎪⎨≥⎪⎩给出)(x f 的极小点的初始值)0(X ，按某种规律计算出一系列的),2,1()( =k X k ，希望点阵}{)(k X 的极限*X 就是)(x f 的一个极小点。
由一个解向量)(k X求出另一个新的解向量)1(+k X向量是由方向和长度确定的，所以),2,1()1( =+=+k P X X k k k k λ即求解k λ和k P ，选择k λ和k P 的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即.)()()(10 ≥≥≥≥k X f X f X f检验}{)(k X 是否收敛与最优解，及对于给定的精度0>ε，是否ε≤∇+||)(||1k X f 。
1.1.2一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。
一维搜索的方法很多，常用的有： （1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）； （2）插值法（抛物线插值法，三次插值法等）； （3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
非线性规划模型
非线性规划模型一、非线性规划问题线性规划和整数规划的目标函数和约束条件都是自变量的线性函数，但在实践中还有大量的问题，其目标函数或约束条件很难用线性函数来表达.如果目标函数或约束条件中有非线性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题.问题1 容器设计问题.(1) 问题提出：某公司专门生产储藏用容器，订货合同要求该公司制造一种敞口的长方体容器，容积恰好为12m 3，该种容器的底必须为正方形，容器总质量不超过68kg.已知用作容器四壁的材料为10元/m 2，重3kg ；用作容器底的材料20元/m 2，重2kg.试问制造该容器所需的最小费用是多少？(2) 模型建立：设该容器的底边长和高分别为1x 、2x ，则问题的数学模型为2121min ()4020()f X x x x =+容器的费用21221211212..122680,0x x s t x x x x x ⎧=⎪+≤⎨⎪≥≥⎩问题2 营业计划的制定.(1) 问题提出：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价450元，据统计，售出一件第一种设备所需要的营业时间平均是0.5h ，第二种设备是(2+0.252x )h ，其中2x 是第二种设备的售出数量.已知该公司在这段时间内的总营业时间为800h ，试决定使其营业额最大的营业计划.(2) 模型建立：该公司计划经营第一种设备1x 件和第二种设备2x 件，其数学模型为(同问题一类似)二、非线性规划问题的数学模型非线性规划问题的数学模型常表示成以下形式：min(max)()f X 或()0(1,2,,)..()(0)(1,2,,)i i h X i m s t g X i n ==⎧⎨≥≤=⎩或其中，12(,,,),()n X x x x f X =为目标函数，()0()0i i h X X =≥和g 为约束条件.训练题某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为()2f x ax bx =+（单位:元）, 其中x 是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a 、b 、c 变化对计划的影响，并作出合理的解释．。
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划的理论与算法
非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。
非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。
本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。
一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。
非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。
二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。
该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。
通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。
SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。
2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。
该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。
通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。
内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。
该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。
遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。