非线性最优化模型
数学中的非线性优化算法
数学中的非线性优化算法非线性优化算法是一类应用于非线性优化问题的算法。
这类算法的优化目标函数通常是一个非线性函数，因此，在进行非线性优化时，需要考虑到函数本身的非线性性质，而不像线性优化问题那样只简单地寻找合适的线性方案即可。
在实际应用中，非线性优化算法与线性规划算法同样具有重要的地位。
例如，在工程中，我们经常需要通过优化非线性目标函数来寻找最优的工艺流程、产品材料、资源分配和生产布局等方案。
在金融领域，也需要使用非线性优化算法来找到投资组合中最理想的比例分配，以最大化收益并降低风险。
非线性优化算法的几类基本模型在非线性优化算法中，存在着多种基本模型。
这里简要介绍其中几种：1. 无约束优化模型无约束优化模型是指当目标函数的变量不受任何约束限制时所求的最优解。
在数学中，这种模型通常用以下形式表示：min f(x)，x∈R^n其中，x是自变量向量，f(x)是目标函数。
尽管看起来这是一个简单的问题，但实际情况并非如此。
在很多情况下，目标函数都是非线性函数，而且非常复杂，无法直接求出最小值。
因此，需要使用非线性优化算法来解决这个问题。
2. 约束优化模型与无约束优化模型相比，约束优化模型多出了一些约束条件。
在数学中，它通常会表示为以下形式：min f(x)，x∈R^ns.t. g_i(x)≤0,i=1,…,m其中，g_i(x)是约束函数，表示限制x必须满足的条件。
在这种情况下，我们需要使用不同的非线性优化算法来寻找满足约束条件的最小值。
常用的算法包括SQP算法、罚函数法等。
3. 二次规划模型另一个常见的优化问题是二次规划模型。
在这种情况下，目标函数和约束条件都是二次函数。
通常，二次规划模型会用以下形式表示：min 0.5x'Qx+px，x∈R^ns.t. Gx≤h其中，Q、p、G和h是矩阵或向量，表示二次函数的系数和约束条件。
在解决二次规划问题中，最常见的算法是内点法。
这个算法的核心思想是在可行空间的内部进行搜索，而不是沿着表面“爬山”。
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8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
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8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
• 局部和整体最优 • 如果没有其他有目标函数值的可行解可以在临近域里找到，这个可行解就是最优
的。 • 非线性最优化问题可能有多个局部最优解，这意味着我们需要找到最好的局部最
优解。 • 在许多非线性应用中，一个唯一的局部最优解也是整体最优解。 • 两种情况：凸函数和凹函数（函数图形为谷形和山形）
m=最终使用新产品的估计人数
q=模仿系数 测量影响购买的口碑效应
p=创新系数 测量了在假定没有受到他人已购 买产品的影响时使用的可能性。
Ct-1 表示到时间t-1已经使用的人数
• 利用这些参数，可以建立预测模型，见下页公
式。
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8.5 预测一个新产品的使用
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8.5 预测一个新产品的使用
本章主要内容
• 8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考 • 8.2 建立一个指数化证券投资基金 • 8.3 Markowitz投资组合模型 • 8.4 另一混合问题 • 8.5 预测一个新产品的使用
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8.1 一个生产应用——对Par公司 的再思考
• 一个无约束问题 • S：标准包的需求 D：豪华包的需求 • S=2250-15PS • D=1500-5PD • 生产和销售S个标准包的利润：PSS-70S • 生产和销售D个豪华包的利润：PDD-150D • 可以求得总利润的函数，计算得到的是一个二次函数。可求得利润最大化时的S和D
• 但是，一些非线性函数有多个局部最优值。 第11页/共37页
8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
非线性优化问题的数学建模
非线性优化问题的数学建模非线性优化问题是数学领域中的一类重要问题，广泛应用于工程、经济、管理等各个领域。
本文将介绍非线性优化问题的数学建模方法，并通过实例说明其应用。
一、问题背景在现实生活中，我们经常会面临各种需要优化的问题。
例如，在生产过程中，如何最大限度地提高生产效率；在物流配送中，如何合理安排车辆路线以减少时间和成本；在金融领域，如何在投资中获得最大的收益等等。
这些问题都可以归结为非线性优化问题。
二、数学建模非线性优化问题的数学建模是将实际问题转化为数学模型的过程。
首先，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，也就是我们需要确定的结果。
例如，在生产过程中，决策变量可以是不同产品的生产数量；在物流配送中，决策变量可以是各个配送点的车辆数量等等。
2. 目标函数目标函数是我们希望优化的指标，可以是最大化或最小化的某个量。
例如，在生产过程中，我们希望最大化产量；在物流配送中，我们希望最小化总成本等等。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，包括等式约束和不等式约束。
例如，在生产过程中，我们可能会有生产能力的限制、原材料的限制等等。
三、求解方法非线性优化问题的求解方法有很多种，包括数值方法和符号方法。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等，而符号方法则是利用数学工具对问题进行分析和求解。
1. 数值方法数值方法是通过计算机进行数值计算来求解非线性优化问题的方法。
其中，梯度下降法是一种常用的方法。
它通过沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近最优解。
牛顿法则是利用目标函数的二阶导数信息进行迭代，收敛速度更快。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，通过近似目标函数的Hessian矩阵来减少计算量。
2. 符号方法符号方法是通过数学分析和推导来求解非线性优化问题的方法。
其中，拉格朗日乘子法是一种常用的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的限制条件，从而将原问题转化为无约束的优化问题。
非线性优化模型在物流配送中的应用研究
非线性优化模型在物流配送中的应用研究随着全球化的发展，物流业日益重要。
现代物流地位的提高，离不开面对复杂问题的处理，如最优化问题、线性规划、模拟等。
在这些复杂问题中，非线性优化模型被广泛应用，特别是在物流配送中。
一、物流配送的含义及挑战物流配送是一项负责从生产地点到消费地点物品流转的服务。
它包括储存、运输、分销以及相关管理等整个过程。
物流配送的复杂性不仅体现在运输环节，也包括运输方式、物品种类、运输安全等方面。
此外，时效性和成本控制也是不容忽视的问题。
为了应对物流配送带来的挑战，企业必须在一系列方面采取有效措施，如增加运输能力、实施供应链管理、优化物流模式等。
但是，怎样才能找到最有效的解决方案呢？如何化繁为简，明确目标，提高效率呢？非线性优化模型的出现为这些问题提供了有效的解决方法。
二、非线性优化模型的定义非线性优化模型是指将目标函数及约束函数中包含一个或多个非线性数学函数的数学模型，旨在寻找某一个目标函数的最小值或最大值。
非线性优化模型可以应用于许多领域，如电力系统、金融风险管理、交通运输、自然科学、社会科学等。
在物流配送中，非线性优化模型特别适用于问题的求解。
例如，在运输调度等问题中，业务经常涉及到带约束的最优化问题。
这就需要使用非线性优化模型，并开发出相应的解决方法。
三、物流配送问题中的非线性优化模型1. 最优路径问题物流配送中最基本的问题之一就是如何规划最优路径。
这个问题可以形式化为连续优化问题，即从一个A节点到另一个B节点进行路径规划。
目标是寻找一条路径（道路、车辆等），以使到达终点B的时间最少。
2. 车辆路线优化问题随着物流公司的规模扩大，交通规划和运输调度变得越来越复杂，这时就需要优化车辆路线。
非线性优化模型可以帮助物流公司确定每个交叉口的交通流、运输距离和最佳道路。
这样就可以避免交通堵塞、减少时间成本和路程成本。
3. 库存优化问题库存优化问题是指如何规划最佳的库存策略，以保证库存的安全和成本的最小化。
第5章 非线性流线优化模型及其求解算法
单纯形法、大M法
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
无约束非线性规划问题
迭代法 STEP1 选择初始点 x0 。
min f ( x) n
xÎ R
STEP2
确定搜索方向和步长。
xk + 1 = xk + l k dk
STEP3 检验 xk + 1 是否为最优解。
|| 眩 f ( xk- 1 ) || e
T T
f ( x2 ) = 3.5
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
STEP 4 解的形式
A C B D
A 1 1 B
f ( x3 ) = 7.5
关键问题
禁忌对象及长度 B C D A B 2 3 C 1
候选集
BD 3.5 T BC 4.5 T CD 4.5 T
5 1 1 1.5 C D 1
A(tij ) tij A(tij ) A(qij ) qij A(qij ) A(cij ) cij A(cij )
1 Ji max dm dmi M (tij , qij , cij ) i 1 i 1 J i j 1
I I
1 I 1 I max dm dmi min M (tij , qij , cij ) I i 1 I i 1 j max dm dmi min M (tij , qij , cij )
Þ
y3 = (110 | 00) y4 = (010 | 01)
y4 = (01001) ? (11001)
从STEP2到STEP4为遗传过程的一个运行周期，称为世代。
5.2 启发式算法介绍
非线性最优化建模方法
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8.2非线性规划
• 式(8.2.2)称为互补松弛条件. • 定义Lagrange函数
• 对于凸规划下面给出最优解的充分条件:
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• 3.割线法
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8.2非线性规划
• 这种方法的基本思想是用割线逼近目标函数的导函数曲线y= f' (x).由 割线推出迭代公式
• 用这个公式进行迭代.得到的序列{xk}可以证明在一定条件下这个序 列收敛于极小点.
• 8. 2. 3无约束非线性规划问题 • 无约束问题的研究很重要.因为在求解有约束的非线性规划问题时.
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8.2非线性规划
• 通常将满足Fritz John条件的点称为Fritz John点. • 定理8. 5 ( Kuhn- rucker定理) 设在问题式(8.2.2)中.x*为可行点.I=
{i/ gi (X)=0}, f(x)和gi (X)(i∈I)在点X*可微,gi (X)(i￠I)在点X*连续·hj (X) (j =1,2, ... , l)在X*连续可微·向量集{▽gi (X*), ▽hj (X*)/ i∈I;j=1,2,...,l}线性无关·如果X*是局部最优解·则存在非负数wi (i∈ I) 和数vj(j=1.2.…l).使得
• 如果f(X)是可微函数·且▽f(X)^T d< 0·则d必为f(X)在X处的下降方 向.
• 定义8. 4设集合S ∈E^n .X ∈S.a是非零向量.若存在数δ>0.使得对 每一个数λ∈ (0,δ).都有X十λa ∈S.则称a为集合S在X处的可行方向.
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
非线性最优化模型
案例二：生产调度优化的应用
总结词
生产调度优化是利用非线性最优化模型来安排生产计划 ，以提高生产效率和降低生产成本。
详细描述
生产调度问题需要考虑生产线的配置、工人的排班、原 材料的采购等多个因素。非线性最优化模型能够综合考 虑这些因素，并找到最优的生产调度方案，提高生产效 率，降低生产成本，并确保生产计划的可行性。
04
非线性最优化模型的实例分析
投资组合优化模型
投资组合优化模型
通过非线性最优化方法，确定最佳投资组合配置，以实现预期收 益和风险之间的平衡。
目标函数
最大化预期收益或最小化风险，通常采用夏普比率、詹森指数等 作为评价指标。
约束条件
包括投资比例限制、流动性约束、风险控制等。
生产调度优化模型
01
生产调度优化模型
非线性最优化模型
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实例分析 • 非线性最优化模型的挑战与展望 • 非线性最优化模型的应用案例
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
定义
非线性最优化模型是指用来描述具有 非线性特性的系统或问题的数学模型 。
多目标非线性优化模型
多目标
多目标非线性优化模型中存在多个目标函数，这些目标函 数之间可能存在冲突。
01
求解方法
常用的求解方法包括权重法、帕累托最 优解法、多目标遗传算法等，这些方法 通过迭代过程逐步逼近最优解。
02
03
应用领域
多目标非线性优化模型广泛应用于各 种领域，如系统设计、城市规划、经 济分析等。
通过非线性最优化方法，合理安 排生产计划和调度，以提高生产 效率和降低成本。
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许多商业过程都以非线性方式运行。 例如，一个债券的价格是利率的非 线性函数，一个优先购股权的价格 是优先股票价格的非线性函数。生 产的边际成本常常随着生产数量的 增加而减少，一个产品的需求数量 常常是价格的非线性函数。这些和 其他的许多非线性关系出现在各种
商业应用中。
1
• 非线性最优化问题是在目标函数或约束条件中至少有一项 是非线性的最优化问题。我们考虑一个目标函数是决策变 量的非线性函数的生产问题，以此来开始这一章非线性应 用的研究。在第8..2节中，我们建立了一个关于设计有价 证券的投资组合来跟踪股票市场指数的非线性应用。在第 8.3节中，我们引入了曾获得诺贝尔奖的Markowitz模型， 其用于管理风险和回报间的平衡，并由此扩展了投资组合 模型的处理。第8.4节提供了在第4章中介绍的线性规划混 合模型的一个非线性应用。在第8.5节，我们介绍了一个 用于预测新产品销售或采纳的著名且成功的模型。作为对 非线性最优化应用在实践中更进一步的说明，实践中的管 理科学《为Bombardier Flexjet安排航程和全体人员》， 讨论了Flexjet如何应用非线性最优化来分配飞机和人员。
8
• 8.1.1 一个无约束问题
• 让我们考虑修改后的第2章中的Par公司问题。记 得Par公司决定制造标准的和豪华的高尔夫包。在 为Par公司问题构建线性规划模型时，我们假定它 可以销售它所生产的所有标准包和豪华包。但是， 依赖于高尔夫包的价格，这个假设可能不成立。 价格和需求间常常存在一个相反的关系。随着价 格升高，需求数量却下降。令Ps记作Par公司每 种标准包的价格，PD记作每种豪华包的价格。假 定标准包S的需求和豪华包D的需求由如下式给出：
• 在本章中介绍的计算机解是利用LINGO得到的。然而， Excel规划求解也能用来求解这些问题。本章后的附录描 述了如何用LINGO和Excel规划求解来求解非线性规划。
2
• 专栏8-1 实践中的管理科学
• 为Bombardier Flexjet 安排航程和全体人 员
• Bombardier Flexjet 是一家发展迅速的支线 飞机行业的领导性公司。Flexjet以每年飞行 50小时的限制销售商务喷气飞机的使用权。 拥有部分所有权的公司被保证能在24小时 以内低至4小时的提前使用飞机。这类使用 飞机的公司每月需支付管理费和使用费。 为所收取的管理费，Flexjet会为购买使用权 的公司提供飞机棚设备、维修以及空勤人 员。
• PDD-150D=(300-D/5)D-150D=150D-D/5
• 总利润是标准包利润和豪华包利润之和。 因此，总利润可写为
•
总利润=80S-
S/15+150D-D/5
10
• 注意两个线性需求函数，式（8-1）和式 （8-2），给出了一个非线性总利润函数式 （8-5）。这个函数是二次函数的一个例子， 因为非线性项有一个2次幂。
4
• 为Flexjet开发的排程系统包括一个大型的非 线性最优化模型,该模型整合了Flexjet职工 使用的图形用户界面（GUI）。模型包含了 基于联邦飞行管理局（FAA）规章、公司制 度以及飞机性能特征的“硬性”约束条件， 也包含了关于成本权衡的“软性”约束条 件。这个模型用来为航程分派飞机和空勤 人员。
5
• 最后的模型很大，不能用商用最优化软件 模型来直接求解。拥有太多直接求解的变 量的模型。常常使用分解法来求解。分解 法采用只包含全部变量的一小部分的主要 问题来求解。通过子问题确定的解是部分 最优解优质的候选者。在Flexjet模型中，子 问题是非线性整数规划。非线性的中心是 一个二维变量和一个连续变量的乘积，如 果一段航程被使用，这个二维变量即为1， 这个连续变量用于给飞行时间加上时窗。 子问题使用称为动态规划的技术来优化。
6
• 最优化模型获得了很大成功。模型最初为 Flexjet节约了5400万美元，而计划的年节 约为2700万美元。节约成本的大部分来自 于减少20%的人员和40%的飞机库存。飞 机使用率也增加了10%。
• 资料来源：基于Richard Hicks et al.,”Bombardier Flexjet Significantly Improves Its Fractional Aircraft Ownership Operations Interfaces 35,no.(January/February 2005):49-60
的价格是如何用售出的标准包数目来表示 的。它是Ps=150-S/15。用150-S/15代替 （8-3）式中的Ps，标准包的利润是
•
PsS-70S=(150-S/15)S-
70S=80S-S/15
(8-4)
• 假定生产每种豪华高尔夫包的成本是150美 元。用得到式（8-4）相同的逻辑，豪华包 的利润是
3
• 由于支线飞机行业上的灵活性，安排空勤 人员和航程的问题甚至比商务航空行业还 复杂。最初，Flexjet试图用人工来安排飞行。 然而，这项任务很快被证明是不可行的。 事实上，不适当的手工安排致使Flexjet供养 着多余的商务喷气飞机和空勤人员。多余 的商务喷气飞机和空勤人员的成本估计为 每飞行时数几百美元。一个利用最优化原 理的排程系统变得非常必要了。
7
• 8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考 • 通过考虑第2章介绍的Par公司线性规划的
扩展，我们来介绍受约束和无约束的非线 性最优化问题。我们首先考虑价格和销售 数量间关系造成目标函数非线性的情形。 接着求解得到无约束非线性规划，并且我 们观察到无约束最优解不能满足生产约束 条件。把生产约束条件添加到问题中去， 我们给出了一个受约束非线性规划的形式 和解。在这一部分的最后，我们还讨论了 局部和整体的最优化。
• S=2250-15Ps
(8-1)
• D=1500-5PD
(8-2)
• 标准包产生的收益是每个标准包价格Ps乘以售出 的标准包数目S。如果生产一个标准包的成本是 70美元，生产S个标准包的成本是70S。因此生产 和销售S个标准包的利润（收益-成本）是
•
PsS-70S
(8-3
9
• 我们求解（8-1）式中的Ps,可以得到标准包