第5章 非线性流线优化模型及其求解算法
非线性规划问题的求解方法
程序1：主程序main2.m
global lamada%主程序main2.m,罚函数方法
x0=[1 1];
lamada=2;
c=10;
e=1e-5;
k=1;
while lamada*fun2p(x0)>=e
x0=fminsearch('fun2min',x0);
lamada=c*lamada;
k=k+1;
越是接近极值点，收敛越慢；
它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。
该法一般用于最优化开始的几步搜索。
以梯度法为基础的最优化方法
min f (x), x En
求f(x)在En中的极小点
基础：方向导数、梯度
思想：
方向导数是反映函数值沿某一方向的变化率问题 方向导数沿梯度方向取得最大值
通过一系列一维搜索来实现。 本方法的核心问题是选择搜索方向。 搜索方向的不同则形成不同的最优化方法。
1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均可
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
i 1
j 1
其中 ( y), ( y) 是满足如下条件的连续函数：
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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
非线性优化问题的数学建模
非线性优化问题的数学建模非线性优化问题是数学领域中的一类重要问题，广泛应用于工程、经济、管理等各个领域。
本文将介绍非线性优化问题的数学建模方法，并通过实例说明其应用。
一、问题背景在现实生活中，我们经常会面临各种需要优化的问题。
例如，在生产过程中，如何最大限度地提高生产效率；在物流配送中，如何合理安排车辆路线以减少时间和成本；在金融领域，如何在投资中获得最大的收益等等。
这些问题都可以归结为非线性优化问题。
二、数学建模非线性优化问题的数学建模是将实际问题转化为数学模型的过程。
首先，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，也就是我们需要确定的结果。
例如，在生产过程中，决策变量可以是不同产品的生产数量；在物流配送中，决策变量可以是各个配送点的车辆数量等等。
2. 目标函数目标函数是我们希望优化的指标，可以是最大化或最小化的某个量。
例如，在生产过程中，我们希望最大化产量；在物流配送中，我们希望最小化总成本等等。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，包括等式约束和不等式约束。
例如，在生产过程中，我们可能会有生产能力的限制、原材料的限制等等。
三、求解方法非线性优化问题的求解方法有很多种，包括数值方法和符号方法。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等，而符号方法则是利用数学工具对问题进行分析和求解。
1. 数值方法数值方法是通过计算机进行数值计算来求解非线性优化问题的方法。
其中，梯度下降法是一种常用的方法。
它通过沿着目标函数的负梯度方向进行迭代，逐步逼近最优解。
牛顿法则是利用目标函数的二阶导数信息进行迭代，收敛速度更快。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，通过近似目标函数的Hessian矩阵来减少计算量。
2. 符号方法符号方法是通过数学分析和推导来求解非线性优化问题的方法。
其中，拉格朗日乘子法是一种常用的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的限制条件，从而将原问题转化为无约束的优化问题。
数值分析中的非线性方程求解与优化
数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。
许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。
一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。
非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。
二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。
常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。
以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。
迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。
2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。
这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。
一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。
3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。
在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。
常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。
这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。
例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。
2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
非线性优化问题的求解研究
非线性优化问题的求解研究一、引言非线性优化问题是数学和工程学中一个十分重要的课题，它们在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，需要优化设计和控制系统；在金融学中，需要优化投资组合；在医学中，需要优化药物剂量等。
对于这些问题，我们需要建立数学模型，并且寻找最优解。
因此，如何高效地解决非线性优化问题一直是一个热门的研究领域。
二、非线性优化问题非线性优化问题是指在无约束或有约束条件下，目标函数为非线性函数的问题。
通俗的说，就是在一个复杂的系统中，寻找一个能够达到最优状态的方案。
非线性优化问题包括多元函数非线性规划、不等式约束问题、等式约束问题等。
这些问题的特点在于目标函数或约束条件不能表示为简单的线性形式，需要使用非线性方法进行求解。
三、非线性优化问题的求解方法1. 牛顿法牛顿法被广泛用于求解非线性方程组和最优化问题。
在求解非线性优化问题中，其基本思路是将目标函数在当前点进行泰勒展开，然后求解导数为零的点所对应的下降方向，并对这个方向进行步长的控制，进行迭代。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是基于牛顿法的一种算法。
它通过逼近目标函数的海森矩阵或该矩阵的逆矩阵来获得下降方向。
由于在牛顿法中，需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵，因此在实际应用中比较困难。
而拟牛顿法则可以通过近似估算来解决这个问题，在保证解精度的基础上，减少计算时间。
3. 共轭梯度法共轭梯度法主要用于解决对称正定线性方程组。
在非线性优化问题中，共轭梯度法通常被用作拟牛顿法的一个变体，用于求解目标函数梯度的方向。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于遗传学的算法，其主要思路是模拟自然界中的进化过程来获得最优解，包括基因的突变、遗传操作等。
在非线性优化问题中，遗传算法被广泛用于寻找最优解的搜索和优化。
四、非线性优化问题的应用非线性优化问题有着广泛的应用。
以下是一些应用案例：1. 金融学：非线性优化问题被用于优化投资组合和资产定价等问题。
2. 工程学：非线性优化问题被用于优化设计和控制系统等问题。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
非线性最优化模型
案例二：生产调度优化的应用
总结词
生产调度优化是利用非线性最优化模型来安排生产计划 ，以提高生产效率和降低生产成本。
详细描述
生产调度问题需要考虑生产线的配置、工人的排班、原 材料的采购等多个因素。非线性最优化模型能够综合考 虑这些因素，并找到最优的生产调度方案，提高生产效 率，降低生产成本，并确保生产计划的可行性。
04
非线性最优化模型的实例分析
投资组合优化模型
投资组合优化模型
通过非线性最优化方法，确定最佳投资组合配置，以实现预期收 益和风险之间的平衡。
目标函数
最大化预期收益或最小化风险，通常采用夏普比率、詹森指数等 作为评价指标。
约束条件
包括投资比例限制、流动性约束、风险控制等。
生产调度优化模型
01
生产调度优化模型
非线性最优化模型
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实例分析 • 非线性最优化模型的挑战与展望 • 非线性最优化模型的应用案例
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
定义
非线性最优化模型是指用来描述具有 非线性特性的系统或问题的数学模型 。
多目标非线性优化模型
多目标
多目标非线性优化模型中存在多个目标函数，这些目标函 数之间可能存在冲突。
01
求解方法
常用的求解方法包括权重法、帕累托最 优解法、多目标遗传算法等，这些方法 通过迭代过程逐步逼近最优解。
02
03
应用领域
多目标非线性优化模型广泛应用于各 种领域，如系统设计、城市规划、经 济分析等。
通过非线性最优化方法，合理安 排生产计划和调度，以提高生产 效率和降低成本。
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单纯形法、大M法
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
无约束非线性规划问题
迭代法 STEP1 选择初始点 x0 。
min f ( x) n
xÎ R
STEP2
确定搜索方向和步长。
xk + 1 = xk + l k dk
STEP3 检验 xk + 1 是否为最优解。
|| 眩 f ( xk- 1 ) || e
T T
f ( x2 ) = 3.5
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
STEP 4 解的形式
A C B D
A 1 1 B
f ( x3 ) = 7.5
关键问题
禁忌对象及长度 B C D A B 2 3 C 1
候选集
BD 3.5 T BC 4.5 T CD 4.5 T
5 1 1 1.5 C D 1
A(tij ) tij A(tij ) A(qij ) qij A(qij ) A(cij ) cij A(cij )
1 Ji max dm dmi M (tij , qij , cij ) i 1 i 1 J i j 1
I I
1 I 1 I max dm dmi min M (tij , qij , cij ) I i 1 I i 1 j max dm dmi min M (tij , qij , cij )
Þ
y3 = (110 | 00) y4 = (010 | 01)
y4 = (01001) ? (11001)
从STEP2到STEP4为遗传过程的一个运行周期，称为世代。
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
x值 1/16 1/4 3/16 7/8
旧群体 0001 0100 0011 1110
假设初始解 x0 = ( ABCD) ， 领域映射为两个城市顺序对换。
5 1 1 1.5 C D 1
1
0.5
STEP 1 解的形式
A B C D
禁忌对象及长度
B C D A B
C
候选集
CD 4.5 BC 7.5 BD 8
f ( x0 ) = 4
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
适应函 概率分 交叉后 是否变 变异后 新群体 交叉位 数值 布 群体 异 群体
0.996 0.938 0.965 0.234 0.318 0.299 0.308 0.075 0001 0100 0011 0001 00|01 01|00 001|1 000|1 0000 0101 0011 0001 N Y N N 0000 1101 0011 0001
流线组织学
STREAMLINE ORGANIZATION
授课教师：张锦 教授 辅导教师：王坤 博士
第5章 非线性流线优化模型及求解算法
1
非线性流线优化模型
2
3
启发式算法介绍
CPLEX求解方法
5.1 非线性流线优化模型
供给
w(vij )
w(vij , vi 1,k )
需求
w(vi 1,k )
流线网络优化问题 实际上就是流线网 络上的供需匹配度 最大化问题。
适用于以准时制和应急物流为代表的典型物流问题，此类问题的物流需求在 保障数量的前提下以时间最短为目标函数，费用的偏好很小．
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
线性规划问题
n
min z =åFra bibliotekcjxj
i = 1,L , m
j= 1
s.t.
å
n
aij x j = bi
j= 1
xj ³ 0
j = 1,L , n
0 25 15 8
31 的最大值。
x1 = (00000)
STEP 2 选择
x2 = (11001)
x3 = (01111)
x4 = (01000)
fitness( x) = f ( x) = x2
p( xi ) =
x2 = (11001)
f ( xi ) å f (x j )
j
x2 = (11001)
流线网络上的物品流入数量不 低于客户的需求数量 节点和路线上的总服务时间满 足客户需求的时间窗 任意节点与前一级节点间连线 上的服务时间满足节点或客户 需求的时间窗 任意节点与前一级节点间连线 上的运送货物数量不低于中间 节点或客户需求的最小数量 节点和路线上的总费用介于最 低物流费用和客户所能接受的 最高物流费用之间
q(vi 1, j , vij ) Q* (vi 1, j , vij )
ˆ C c(vij ) c(vi 1, j , vij ) C
* i 1 j 1 i 2 j 1 j 1 I Ji I J i J i 1
t (vij ), q(vij ) 0
T * (vi 1, j , vij ), Q* (vi 1, j , vij ) 0
5.1 非线性流线优化模型
2. 模型简化与扩展
1 I 1 I 1 Ji max dm dmi M (tij , qij , cij ) I i 1 I i 1 J i j 1
外部惩罚函数法
对于等式约束问题
Þ
min f ( x ) s.t. h j ( x ) = 0
min F1 ( x, s ) = f ( x) + s å h 2 j ( x)
对于不等式约束问题 min f ( x )
Þ
s.t. g j ( x) ³ 0
min F2 ( x, s ) = f ( x) + s å [max{0, - g i ( x)}]2
D
信息素多的路径增加一只蚂蚁 20 40 60 ABD ACD 比例 2(1) 1(1) 2:1 6(2) 2(1) 3:1 12(3) 3(1) 4:1
信息素多的路径成倍增加蚂蚁 80 20(4) 4(1) 5:1 ABD ACD 比例 20 2(1) 1 2:1 40 6(2) 2 3:1 60 14(4) 3 14:3 80 30(8) 4 30:4
对于一般情形
Þ
min f ( x )
s.t.
h j ( x ) = 0 gi ( x ) ³ 0
min F ( x, s ) = f ( x) + s P( x)
P( x) =
邋[max{0,- gi ( x)}]a +
h j ( x)
b
5.2 启发式算法介绍
参考书：邢文训，谢金星. 现代优化计算方法[M]. 清华大学出版社，2006.
i 1 i 1 j I I
A( xij ) xij A( xij )
5.1 非线性流线优化模型
3. 特殊情形下的流线优化模型
效益型流线优化模型
max dm =
ÕM
i= 1
I
(ci ) - p(ti , qi )
效率型流线优化模型
max dm =
ÕM
i= 1
I
(ti , qi )
[ak , xk ] [ xk , bk ]
骣 a1 ç ç ç b1 桫
a2 L b2 L
ak bk
L÷ ÷ L÷
bk - ak < e 时，终止。 STEP3 当 2
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
有约束非线性规划问题
典型的约束非线性规划是二 次规划，即约束为线性条件、目 s.t.
例： 四城市非对称TSP问题，始终点都为A。
A 1
1
B
距离矩阵为：
轾 0 犏 犏 1 犏 D = (dij ) = 犏 1.5 犏 犏 1 臌 1 0.5 1 0 1 1 5 1 0 1 1 0
5 1 1 1.5 C D 1
0.5
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
A 1 B
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
禁忌搜索算法
Step 2: 在x的邻域N (x)中选取满足禁忌条件的候选集Can_N(x) Step l: 取初始解x ∈X, 令x*=x, k=0, T=Φ
标记已得到的局部最
Can_N(x) =Φ
从Can_N(x)中选一个 评价值最佳的解xnext
YES
2. 启发式算法
概念 启发式算法是一个基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费 （计算时间、占用空间）下给出待解决组合最优化问题每一个实例的
一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度不一定事先可预计。 启发式算法是一种技术，这种技术使得在可接受的计算费用内去
寻找最好的解，但不一定能保证所得解的可行性和最优性，甚至在多 数情况下，无法阐述所得解同最优解的近似程度。
0.5
选择什么为禁忌的对象？ 禁忌的长度如何确定？ 候选集如何选取？
是否有评价值的其他替代形式？ 如何利用更多信息？ 终止原则如何确定？
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
5.2 启发式算法介绍
2. 启发式算法
遗传算法
例： 用遗传算法求解 f ( x) = x2，0 ＃x （ x 为整数） STEP 1 初始化
常用迭代法包括：一维搜索算法、最速下降法、共轭梯度法等。
5.2 启发式算法介绍
1. 最优算法
无约束非线性规划问题
迭代法
f ( x)
例：求 f ( x) 的极小值。
STEP1 选择初始区间[a1 , b1 ]。 STEP2 确定搜索方向。 x0 =