11 一维小波变换
小波变换(wavelet transform)
其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。 如果从矩阵中去掉表示图像的某些细节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。 具体做法是设置一个阈值，例如的细节系数δ≤5 就把它当作“0”看待，这样相比， Aδ 中“0”的数目增加了 18 个，也就是去掉了 18 个细节系数。这样做的好 处是可提高小波图像编码的效率。对矩阵进行逆变换，得到了重构的近似矩阵
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列， 可以先对阵列的每一行进行一维小波变换， 然后对 再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换， 最后对经过变换之后的图像数据阵列进行 编码。 (1) 求均值与差值 利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换， 即求均值与差值。 在 图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置， 其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数） ： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系 数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应 位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵 使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
一维小波变换的C++实现
⼀维⼩波变换的C++实现 将⼩波展开系数当成离散信号，尺度函数和⼩波函数的MRA⽅程系数看成数字滤波器组，根据Mallat快速算法的原理，⼩波变换对数据的处理⽅法可简化成对信号逐级采样和滤波的过程。
图1 ⼩波变换的滤波器实现(a)分解算法 (b)重构算法 ⼀层⼩波分解算法流程如图2所⽰，信号将先经过⼩波分解低通滤波器和⾼通滤波器，随后被降采样，实现数据重构。
⽽滤波算法可简化为待处理信号与滤波器数组卷积的过程，为了保证卷积前和卷积后数组的长度相同，结合⼩波变换中数组延拓的思想，在实际编程过程中，可以将超过信号长度的那段数据以前端对齐的⽅式与前⾯⼀段数据相加。
将卷积后的数组每2个点采样⼀次，即可获得⼩波分解后的尺度系数和⼩波系数。
图2 ⼀层⼩波分解算法（X：待分解数组；H，G：⼩波分解滤波器；C，D：⼩波重构后数组） ⼩波重构算法是⼩波分解算法的逆运算，其流程为升采样和滤波，最后数据相加实现重构。
⼩波重构算法中滤波可视为系数与⼩波重构滤波器的卷积，与⼩波正变换类似，在重构算法中，需要将卷积后的数组末位对齐相加，获得与原数组长度相同的卷积结果。
将⼩波系数和尺度系数以2为步长进⾏升采样，将获得的新数组分别经过⼩波重构低通滤波器和⾼通滤波器，再将滤波后的两组数据相加，即实现了⼀层⼩波重构。
1#define LENGTH 5122#define LEVEL 43#define L_core 645static void Covlution(double data[], double core[], double cov[], int LEN)6 {7double temp[LENGTH + L_core - 1] = {0};8int i = 0;9int j = 0;1011for(i = 0; i < LEN; i++)12 {13for(j = 0; j < L_core; j++)14 {15 temp[i + j] += data[i] * core[j];19for(i = 0; i < LEN; i++)20 {21if(i < L_core - 1)22 cov[i] = temp[i] + temp[LEN + i];23else24 cov[i] = temp[i];25 }2627 }2829static void Covlution2(double data[], double core[], double cov[], int LEN)30 {31double temp[LENGTH + L_core - 1] = {0};32int i = 0;33int j = 0;3435for(i = 0; i < LEN; i++)36 {37for(j = 0; j < L_core; j++)38 {39 temp[i + j] += data[i] * core[j];40 }41 }4243for(i = 0; i < LEN; i++)44 {45if(i < L_core - 1)46 cov[i + LEN - L_core + 1] = temp[i] + temp[LEN + i];47else48 cov[i - L_core + 1] = temp[i];49 }5051 }5253static void DWT1D(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int l)54 {55int i = 0;56double temp[LENGTH] = {0};57int LEN = LENGTH / pow(2, l - 1);5859 Covlution(input, LF, temp, LEN);60for(i = 1; i < LEN; i += 2)61 {62 output[i/2] = temp[i];63 }6465 Covlution(input, HF, temp, LEN);66for(i = 1; i < LEN; i += 2)67 {68 output[LEN/2 + i/2] = temp[i];69 }70 }7172static void DWT(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int len[])73 {74int i;75int j;7677 len[0] = len[1] = LENGTH / pow(2, LEVEL);78for(i = 2; i <= LEVEL; i++) len[i] = len[i - 1] * 2;7980 DWT1D(input, output, LF, HF, 1);81for(i = 2; i <= LEVEL; i++)82 {83for(j = 0; j < len[LEVEL + 2 - i]; j++) input[j] = output[j];84 DWT1D(input, output, LF, HF, i);85 }86 }8788static void IDWT1D(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int l, int flag) 89 {90int i = 0;91double temp[LENGTH] = {0};92int LEN = l * 2;9394if(flag) Covlution2(input, HF, temp, LEN);95else Covlution2(input, LF, temp, LEN);9697for(i = 0; i < LEN; i++)98 {99 output[i] = temp[i];103static void IDWT(double input[], double output[], double LF[], double HF[], int len[], int level)104 {105int i;106int j;107for(j = 0; j < len[LEVEL + 1 - level]; j++)108 {109 output[2 * j] = 0;110 output[2 * j + 1] = input[j];111 }112for(j = 0; j < 2 * len[LEVEL + 1 - level]; j++)113 {114 input[j] = output[j];115 }116 IDWT1D(input, output, LF, HF, len[LEVEL + 1 - level], 1);117118for(i = level - 1; i > 0; i--)119 {120for(j = 0; j < len[LEVEL + 1 - i]; j++)121 {122 input[2 * j] = 0;123 input[2 * j + 1] = output[j];124 }125 IDWT1D(input, output, LF, HF, len[LEVEL + 1 - i], 0);126 }127 }⽤C++算法实现的⼩波变换结果与MATLAB实现的⼩波变换结果对⽐（⼼电信号，db5⼩波，5层分解）。
生物信号处理中的小波变换
生物信号处理中的小波变换生物信号是指人体内部自然产生或者受到外界刺激产生的任何电、声、光、磁等信号。
这些信号反映了人体生理和病理状态的信息，对于医学诊断和治疗具有重要意义。
生物信号处理是将这些信号进行采集、处理和分析，提取出有用的信息。
小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的技术。
它是一种基于信号局部特征的时频分析方法，适用于非平稳信号分析。
小波变换可以将信号分解成不同尺度和不同频率的成分，从而更好地描述信号的时域和频域特征。
小波变换具有跟踪信号瞬态性质、时域与频域分析相结合、多分辨率表达能力好等特点，在生物信号处理中应用广泛，包括生物医学领域的脑电、心电、肌电、血压、血液流量等信号的分析和识别。
小波变换与生物信号处理的结合，可以实现以下几个方面的应用。
1.生物信号去噪生物信号在采集和传输过程中会受到各种噪声的影响，这些噪声会干扰信号的分析和诊断。
小波变换可以将信号分解成多个尺度，选择较低尺度的细节系数进行滤波，保留较高尺度的近似系数，从而实现去除噪声和保留重要信息的目的。
2.生物信号特征提取生物信号中蕴含着重要的特征信息，如心电信号的R波、P波和T波，肌电信号的肌肉收缩时间等。
小波变换可以将生物信号分解成不同频率和尺度的成分，从中提取有用的特征信息，为后续的分析和判断提供支持。
3.生物信号分类和识别生物信号的分类和识别是生物医学领域中的重要问题，对于疾病的早期诊断和治疗具有重要意义。
小波变换可以将生物信号分解成多尺度和多频率的成分，对于不同类型的生物信号进行特征提取和分类识别。
在生物信号处理中，小波变换是一种有效的工具，可用于生物信号去噪、特征提取和分类识别。
小波变换的局部特征表达、多分辨率表达和时域与频域分析相结合的特点，使它成为处理生物信号的理想技术。
小波变换原理
小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种时频分析技术，它可以有效地用于信号和图像的处理。
小波变换的优势在于，它可以把信号或者图像分解为正交基函数.小波变换的原理十分简单，具体实现起来也比较容易。
在原理上，小波变换是一种分解式技术，它分解一个给定的函数f(x)者信号f(t)，分解的基为这一基的小波函数（wavelet），它可以以一种“分层处理”的方式，实现给定信号或者图像的分解。
这种分层处理可以将一个函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，使得函数或者信号f(t)分解成不同尺度大小的组成部分，这是小波变换最重要的特征。
在小波变换中，通常使用一种称为双尺度小波变换的处理方法，该方法将小波分解成高、低频分量，这样可以保持原始信号中微小变化的部分，而忽略掉频谱上的粗大变化。
该方法还可以把原始信号分解成更小尺度的组成部分，因此能够充分发挥信号的复杂性，例如噪声的抑制、图像的重建以及心电信号的分析等等。
小波变换的运算步骤比较复杂，并且具有非常强的计算能力。
下面会介绍小波变换的主要步骤：1、小波变换：在多通道小波变换中，通过对原始信号进行一系列相互独立的频率变换，将原始信号分解成多个频域，每个频域中都包含有一系列的小波函数，这些小波函数将原始信号分解成不同尺度大小的组成部分。
2、频变换：在时频变换阶段，将原始信号进行一系列的变换，将原始信号分解成不同频率分量，这些分量可以用来描述信号的特征，或者用来检测噪声及其他外部信号。
3、波展开：小波展开是小波变换的核心技术，它可以使原始信号更加容易分解为不同尺度大小的组成部分，因此能够更加深入地揭示信号的内在特征。
4、波语义：小波语义是小波变换的一个重要技术，它允许原始信号以特定的语义被分解并进行处理，从而改善信号的处理效果。
小波变换的原理及应用极其广泛，在科学、工程、技术及其他领域都有着广泛的应用。
在声学领域，小波变换可以用于实时增强信号的识别精度；在通信领域，它可以用于信道模型的重建，从而提高信号的传输质量；在图像处理领域，它可以用于图像压缩、去噪等；在频谱分析中，它可以用于检测频谱中的非平稳调制信号；在心电信号分析及处理中，小波变换可以用于侦测心律失常等。
一维小波变换
一维小波变换现在可以正式定义若干密切相关的小波变换：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小渡变换。
它们在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。
在7.4节，将定义一种计算效率很高的称做快速小波变换的离散小波变换。
一.小波序列展开首先根据小波φ(x)和尺度函数φ(x)为函数f(x)∈L2(R)定义小波序列展开。
据式(7.2.27)，可写出：(7.3.1)其中j0是任意开始尺度，c j0和d j(k)分别是式(7.2.12)和式(7.2.21)中αk的改写。
c j0(k)通常称为近似值或尺度系数；d j(k)称为细节或小波系数。
这是因为式(7.3.1)的第一个和式用足度函数提供了f(x)在尺度j0的近似[除非f(x)∈V j0，此时为其精确值]。
对于第二个和式中每一个较高尺度的j≥j0，更细分辨率的函数(一个小波和)被添加到近似中以获得细节的增加。
如果展开函数形成了一个正交基或紧框架(通常情况下是这样)，基于式(7.2.5)和式(7.2.9)的展开系数计算如下：(7.3.2)和(7.3.3)如果展开函数是双正交基的一部分，上式中的φ和φ项要分别由它们的对偶函数和代替。
例7.7 y=x2的哈尔小波序列展开考虑图7.13(a)中显示的简单函数：使用哈尔小波——见式(7.2.14)和式(7.2.30)——和开始尺度J0=0，式(7.3.2)和式(7.3.3)可以被用来计算下述展开系数：将这些值代入式(7.3.1)，可以得到小波序列展开：上述展开中的第一项用c0(0)生成待展开函数的V0子空间近似值。
该近似值如图7.13(b)所示，是原始函数的平均值。
第二项使用d0(0)通过从W0子空间添加一级细节来修饰该近似值。
添加的细节及V1的结果近似值分别如图7.13(c)和(d)所示。
其他级别的细节由子空间W1的系数d1(0)和d1(1)给出。
该附加细节如图7.13(e)所示，V2的结果近似值如图7.13(f)所示。
11小波基础
H 1
1 x 1 2
0
0 其它
1
【解】
ˆ ()
(t)eitdt
1
2 eit dt
0
1 1
eit
dt
2
eit
i
1 2
eit
i
1 1
1
i
i e 2
2
1
0
2
1
i
e2
cos
2
v
3 4
1
4
8
3
3
0
2 3
8 ,
3
vt t4 35 84t 70t2 20t3 t 0,1
t
一小波变换的定义
一．小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。
显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。
若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。
给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x ab a WT x )()(1),(-=⎰*ψ 〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。
如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。
信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。
)(t ψ又称为基本小波，或母小波。
)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。
这样，（1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。
若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。
在（1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。
尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。
我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(at ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a 时，a 越小，则)(atψ的宽度越窄。
这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度。
这样，（1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。
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把图像或图像中的每个像元或区域划归为若干个类 别中的某一种，以代替人的视觉判读。 图像分类方法可分为： 图像空间的分类方法 — 利用图像的灰度、颜 色、纹理、形状、位置等底层特征对图像进行 分类；例如： 文献 [1] 利用灰度直方图特征对图像进行 分类； 文献[2]利用纹理特征对图像进行分类； 文献 [3] 采用纹理、边缘和颜色直方图混 合特征对图像进行分类 ；
类器等大多以结构化数据作为输入；
图像数据是非结构化数据，不能直接用于分类； 图像特征提取在图像分类中扮演着非常重要的
角色，特征提取的好坏直接影响着分类精度和分 类器的性能；
图像的小波变换可用于图像特征提取，实际上，
可将小波变换看作一种特征映射；
图像分类就是利用计算机对图像进行定量分析，
nZ
其中l n 称为低通滤波器， hn 称为高通滤波器。 且hn ＝ 1 l 1 n
n
信号的多尺度分解：
0 f x cn x n ckJ kJ x d kj kJ x nZ k j 1 k j k j k J
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表示大小为MN的原始图像，l(i)表示相对于分析小 波的低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表示滤波器L的支 撑长度； h(i) 表示相对于分析小波的高通滤波器系数， i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则
1 I L x, y Nl 1 I H x, y Nh
h j I x, 2 x j mod N
H
M N x 0,1, , 1; y 0,1, , 1 2 2
对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下 图是二层小波分解的示意图。
图6 图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解
2. 图像分类问题现状
目前常用的分类器如支持向量机，神经网络分
N l 1 i 0
l i I 2 x i modM , y
N h 1 j 0
l j I 2 x j modM , y
M x 0,1, , 1; y 0,1, , N 1 2
1 I LL x, y Nl 1 I LH x, y Nh 1 I HL x, y Nl
基于小波多尺度统计特征的图像分类
报告人：翟俊海
报告内容
1. 小波变换 2. 图像分类问题现状 3. 小波多尺度统计特征抽取及图像分类 4. 实验比较 5. 下一步工作 6. 参考文献
1. 小波变换
小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在 克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成 功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模 式识别等。
说明：如图所示，首先对原图像 I(x,y) 沿行向 ( 水平 方向) 进行滤波和 2- 下采样，得到系数矩阵 IL(x,y) 和 IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂直方 向)滤波和2-下采样，最后得到一层小波分解的4 个 子图： ILL (x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子图 IHL(x,y) — I(x,y)的水平方向细节子图 ILH (x,y) — I(x,y)的垂直方向细节子图 IHH (x,y) — I(x,y)的对角线方向细节子图
Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩
平移得到的
kj x 2 j x k
设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， Wj 的正交基函数是 由一个称为小波函数的函数(x)经伸缩平移得到的
x 2 x k
j k j
小波函数必须满足以下两个条件的函数： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如：
c 称为尺度系数， d 称为小波系数，它们的 计算： ckj ckj 1l n 2k nZ 一维MALLAT算法 j j 1 d k d k hn 2k nZ
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
1.1 一维小波变换（一维多尺度分析） 设有L2(R )空间的子空间序列：
V0 V1 V2
N l 1 i 0
l i I x, 2 x i mod N
L N h 1 j 0
h j I x, 2 x j mod N
L H
N l 1 i 0
l i I x, 2 x i mod N
N h 1 j 0
1 I HH x, y Nh
图1 小波例1
图2 小波例2
不是小波的例
图3
图4
x, x 构成V
j k j k
nZ
j+1的正交基。
x 和 x 满足下列关Байду номын сангаас式(二尺度方程)：
x 2 l n 2 x n x 2 hn 2 x n
LL x x y ; LH x x y ; HL x x y ; HH x x y
图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直 方向)滤波和2-下采样，如图所示：
图5 图像滤波采样