浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
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现代控制理论浙大
y c1x1 c2 x2 cn xn
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
y Cx du
1 n 观测矩阵 输出矩阵
x x1 x2 xn T
a11 a12 a1n
A a21 a22
• 系统的外部描述 • 系统的内部描述
传递函数 状态空间描述
1.1 状态变量及状态空间表达式
•状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系 统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的 一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。
•状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小 个数的一组变量。
完全描述：如果给定了t t0时刻这组变量值
⑶用箭头将这些元件连接起来。
例 画出一阶微分方程的系统结构图。
微分方程： x ax bu
状态结构图
例 画出三阶微分方程的系统结构图。 微分方程：
x a2x a1x a0 x b0u
例 画出下述状态空间表达式的系统结构图。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 3 2 1
y 1 1 0x
x1 x2
0 1 L
1
C R
x1 x2
0 1
u
L
L
y
1
0
x1 x2
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) 1
R1
dt L uc (t) L i(t) L u(t)
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
y Cx du
1 n 观测矩阵 输出矩阵
x x1 x2 xn T
a11 a12 a1n
A a21 a22
• 系统的外部描述 • 系统的内部描述
传递函数 状态空间描述
1.1 状态变量及状态空间表达式
•状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系 统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的 一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。
•状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小 个数的一组变量。
完全描述：如果给定了t t0时刻这组变量值
⑶用箭头将这些元件连接起来。
例 画出一阶微分方程的系统结构图。
微分方程： x ax bu
状态结构图
例 画出三阶微分方程的系统结构图。 微分方程：
x a2x a1x a0 x b0u
例 画出下述状态空间表达式的系统结构图。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 3 2 1
y 1 1 0x
x1 x2
0 1 L
1
C R
x1 x2
0 1
u
L
L
y
1
0
x1 x2
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) 1
R1
dt L uc (t) L i(t) L u(t)
现代控制理论-02
3. 状态转移矩阵是可逆的，且 Φ −1 (t ) = Φ(−t )
根据 Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
x2 = e A(t2 −t1 ) x1 = Φ(t2 − t1 ) x1
x x(t0) x(t1) x(t2)
x1 = e A(t1−t0 ) x0 = Φ(t1 − t0 ) x0
2. 对任意的t和s，Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
Φ(t )Φ(s) = e At e As 1 2 2 1 A t + L)(I + As + A2 s 2 + L) 2! 2! 1 ⎞ 1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = I + A(t + s) + A2 ⎜ t 2 + ts + s 2 ⎟ + A3 ⎜ t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3 ⎟ + L 2! ⎠ 2! 2! 3! ⎠ ⎝ 3! ⎝ 2! 1 2 1 3 2 = I + A(t + s) + A (t + s) + A (t + s) 3 + L 2! 3! = e A(t + s) = Φ(t + s) = ( I + At +
故
e
At
1 −1 1 (T DT ) 2 t 2 + L + (T −1 DT ) n t n + L 2! n! 1 −1 2 2 1 −1 n n −1 −1 = T IT + T DTt + T D Tt + L + T D Tt + L n! 2! 1 1 ⎛ ⎞ = T −1 ⎜ I + Dt + D 2t 2 + L + D nt n + L⎟T n! 2! ⎝ ⎠ =e
浙江大学控制工程第2章 拉氏变换
(t 0)
④
注意求拉氏反变换的步骤
19
2.1.4 拉普拉斯反变换
s m bm 1 s m1 b1 s b0 B(s) bm F ( s) n 1 s n1 a1 s a0 A(s) s an
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
1. A(s)=0 只有单实根:
-si为A(s)=0的根, 应先求出.
c c1 c 2 n s s1 s s 2 s sn
si 为实数且两两相异. 有 F (s) B(s)
A( s)
[ F ( s)( s si )] ci为待定系数: ci slim s
1
现有: 则:
F (s) e
1 s
f (t ) 1(t t1 )
1s
0
t1
t
1 s
14
知识巩固
• • • • • • 所谓原函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 所谓象函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 从原函数获得象函数有两种方法,即( ), 课程要求是( ); 对原函数微分一次, 则对应的象函数运算是( ); 对原函数积分一次, 则对应的象函数运算是( ); 假设初始条件为零, 其好处是( ); 这种假设对自动控制系统的分 析有影响吗? • 所谓初值定理中的”初值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值; • 所谓终值定理中的”终值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值;
F (s) A sa
f (t ) e at
f (t ) Ae
at
t
现代控制理论-2PPT课件
现代控制理论
20世纪60年代以后发展起来，以 状态空间法为基础，研究多输入多输出、非线性、时变等复杂系 统的分析和设计问题。
现代控制理论的研究对象与特点
研究对象
现代控制理论以系统为研究对象，包括线性系统、非线性系统、离散系统、连 续系统等。
特点
现代控制理论注重系统的内部结构、状态和行为，强调对系统的整体性能和优 化指标的研究，采用状态空间法、最优控制、鲁棒控制等先进的分析和设计方 法。
现代控制理论-2ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线性系统的状态空间描述 • 线性系统的能控性和能观性 • 线性定常系统的稳定性分析 • 线性定常系统的综合与校正 • 非线性系统分析基础
01 引言
控制理论的发展历程
经典控制理论
起源于20世纪初，主要研究单输 入-单输出线性定常系统的分析和 设计问题，采用传递函数、频率 响应等分析方法。
串联校正
在系统中串联一个校正装置，改 变系统的开环传递函数，从而实
现对系统性能的综合与校正。
并联校正
在系统中并联一个校正装置，产生 一个附加的控制作用，以改善系统 的性能。
复合校正
同时采用串联和并联校正方式，以 更灵活地改善系统的性能。
06 非线性系统分析基础
非线性系统的特点与分类
非线性特性
系统输出与输入之间呈现非线性 关系，不满足叠加原理。
本课程的目的和要求
目的
本课程旨在使学生掌握现代控制理论的基本概念和方法，培养学生分析和设计控 制系统的能力，为从事控制工程和相关领域的科学研究和技术开发打下基础。
要求
学生应掌握状态空间法的基本原理和数学工具，了解最优控制和鲁棒控制的基本 思想和方法，能够运用所学知识分析和设计简单的控制系统，并具备一定的实验 技能和创新能力。
20世纪60年代以后发展起来，以 状态空间法为基础，研究多输入多输出、非线性、时变等复杂系 统的分析和设计问题。
现代控制理论的研究对象与特点
研究对象
现代控制理论以系统为研究对象，包括线性系统、非线性系统、离散系统、连 续系统等。
特点
现代控制理论注重系统的内部结构、状态和行为，强调对系统的整体性能和优 化指标的研究，采用状态空间法、最优控制、鲁棒控制等先进的分析和设计方 法。
现代控制理论-2ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线性系统的状态空间描述 • 线性系统的能控性和能观性 • 线性定常系统的稳定性分析 • 线性定常系统的综合与校正 • 非线性系统分析基础
01 引言
控制理论的发展历程
经典控制理论
起源于20世纪初，主要研究单输 入-单输出线性定常系统的分析和 设计问题，采用传递函数、频率 响应等分析方法。
串联校正
在系统中串联一个校正装置，改 变系统的开环传递函数，从而实
现对系统性能的综合与校正。
并联校正
在系统中并联一个校正装置，产生 一个附加的控制作用，以改善系统 的性能。
复合校正
同时采用串联和并联校正方式，以 更灵活地改善系统的性能。
06 非线性系统分析基础
非线性系统的特点与分类
非线性特性
系统输出与输入之间呈现非线性 关系，不满足叠加原理。
本课程的目的和要求
目的
本课程旨在使学生掌握现代控制理论的基本概念和方法，培养学生分析和设计控 制系统的能力，为从事控制工程和相关领域的科学研究和技术开发打下基础。
要求
学生应掌握状态空间法的基本原理和数学工具，了解最优控制和鲁棒控制的基本 思想和方法，能够运用所学知识分析和设计简单的控制系统，并具备一定的实验 技能和创新能力。
第2章 现代控制理论1PPT课件
时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0
现代控制理论第二章答案
cos2t
e At
TeAtT 1
1 0
0 cos2t 2sin 2t
cos2t 0.5sin 2t
2sin 2t
c os 2t
sin 2t1
c os 2t
0
0 0.5
(2)
1 1
I A
2 3 0
4 1
1 1
2 3
1
1
P1 2 P2 2
1 1 T 2 2
0.25
s 0.5
3
s 1 s 3
e At
L1[(sI
A)1]
0.5et 0.5e3t
et e3t
0.25et 0.25e3t
0.5et 0.5e3t
解法四:凯莱—哈密顿定理法
(1) 特征方程:
I A
1 2 4 0
4
0 (t)
1
(t
)
1 1
1 2
1
e1t e2t
s
0
s2 1
1 0
t 1
s
t
x(t) (t)x(0) o (t )Bu( )d
1 0
t1 t 1 11 0 0
t
1
101(
)d
1 2
t
2
t
t 1
1
【习题2－10 】有离散系统如下,求x(k)
1
x(k
1)
2 1
8
1
8 1
x(k
)
1 0
2
0 u1 (k ) 1u2 (k)
(et
(et
e3t ) e3t )
141((eet tee33t t))
1 2
(et (et
浙大839《控制理论》考试大纲
2018年硕士生统考（全日制）入学考《控制理论》考试大纲控制理论第一章引论1、了解自动控制的基本概念；2、开环与闭环控制系统的构成及各自特点；3、控制系统的典型应用案例。
第二章数学模型1、掌握用微分方程和传递函数建立系统的数学模型方法；2、非线性系统模型的线性化；3、典型控制系统环节的数学模型及其推导方法；4、掌握方框图的绘制及其简化方法；5、应用信号流图和梅逊公式求系统的传递函数第三章时域分析1.掌握一阶系统、二阶系统在脉冲输入和阶跃输入下时域响应及性能指标计算；2.分析一阶系统、二阶系统参数变化对性能指标的影响；3.掌握稳态误差计算方法、系统型式对稳态误差的影响，理解积分环节对改善稳态误差作用；4.掌握线性系统稳定性的定义，并能用相应的判据分析和判断系统稳定性的方法。
第四章根轨迹法1、了解根轨迹法的概念；绘制根轨迹依据是什么？幅值方程作用是什么？2、掌握常规根轨迹、相角为π，0及迟后系统的根轨迹绘制方法及要点；3、对于多回路系统和参数根轨迹，如何绘制根轨迹并对系统稳定性进行分析；4、利用根轨迹定性分析参数对性能的影响。
第五章频域分析法1、频域特性定义及它与传递函数关系；2、掌握绘制典型环节及串联系统的频率特性方法（极坐标图，伯德图）；3、熟悉奈奎斯特稳定性原理，并能灵活应用于系统稳定性分析；4、掌握相对稳定性分析方法，分析相对稳定性与时域指标关系；5、了解闭环频率特性绘制和闭环频率特性与系统时域响应的关系。
第六章控制系统校正1、系统为什么要进行校正，校正分哪两类（有源和无源），各有何特点；2、掌握用频率特性法进行串联超前、滞后、超前－滞后和PID校正方法；3、掌握用根轨迹法进行串联超前、滞后和PID校正方法；4、分析校正前后系统稳定性或性能指标的变化。
第七章非线性系统分析1、了解非线性系统的基本概念、特点（与线性系统比较）；2、掌握相轨迹的定性绘制方法；3、掌握用相轨迹分析非线性系统的稳定性；4、典型非线性环节的描述函数计算；5、掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性，并注意其应用条件。
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
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1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
eP1APt I P1APt 1 (P1AP)2 t 2 1 (P1AP)k t k
2!
k!
P1 I
At
1 A2t 2 2!
1 Aktk k!
P
P1eAt P
Φ(t) P1Φ(t)P P1eAtP Φ(t) PΦ(t)P1
3、几个特殊的矩阵指数函数
代入微分方程： x (t) Ax(t) A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
对x(t)求导： x (t) b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1
两式相等必有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kbk Abk1
b1 Ab0
b
2
1 2
Ab1
1 2!
t2
2、状态转移矩阵的基本性质
(1) Φ(0) I
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
(2) Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A Φ (0) A
(3) Φ(t1 t2 ) Φ(t1)Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1) (4) Φ1(t) Φ(t), Φ1(t) Φ(t)
1 x1
0
x2
x(t) eAtx(0) I At 1 A2t 2 1 Akt k x(0)
2!
k!
A2
0 0
10 00
1 0
0 0
0 0
A3
An
0 0
0 0
Φ(t) eAt
I At
1 0
0 1
0 0
10t
1 0
t 1
x1 x2
(t ) (t)
1 0
t x1(0)
1
x2
证明： x(t1) Φ(t1)x(0) x(0) Φ1(t1)x(t1) Φ(t1)x(t1) x(t2 ) Φ(t2 )x(0) Φ(t2 )Φ(t1)x(t1) Φ(t2 t1)x(t1) x(t1)转移至x(t2 )的状态转移矩阵为 Φ(t2 t1)
(6) Φ(t2 t0 ) Φ(t2 t1)Φ(t1 t0 )
2!
3!
e At e Bt
I
At
1 A2t 2 2!
1 A3t 3 3!
I
Bt
1 B2t 2 2!
1 B3t 3 3!
I (A B)t 1 (A2 B2 2AB)t 2 1 (A3 3A2B 3AB2 B3)t3
2!
3!
AB BA (A B)2 A2 B2 AB BA A2 B2 2AB
*** 状态转移矩阵
1、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程： x Ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eAtx(0) 满足初始状态 x(t) |tt0 x(t0 ) 的解是：x(t) eA(tt0 )x(t0 )
令：eAt Φ(t)
e
A
(t
0
ent
1
0
（3）设A为 n n 约旦阵，即 A
1
1
t
t2 2
t n1 (n 1)!
则有 (t) et 0 1
t
tn2 (n 2)!
0 0 0 t
0 0 0
1
第三次课 4、状态转移矩阵的计算
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 拉氏反变换法
第二章 控制系统的状态空间表达式的解
本章主要内容： • 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其 直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输 出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩 阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状 态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务 之一。 本章重点:
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0) x(t1 )
0
x1
(t1 0)
t1
(t2 t1 )
x(t2 )
t
A
2b0
b3
1 3
Ab2
1 3!
A3b0
b k
1 k
Abk 1
1 k!
A
k
b0
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 微分方程：
x(t) b0 b1t b2t 2 bkt k
b0 (I
Ab0t At 1
2!
1A 2! A2t 2
2b0t 2 1 Ak
k
1
k tk
Akb0t k ) b 0
2）强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为
强迫运动。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解： x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
2、齐次状态方程的解：
已知状态方程 x (t) Ax(t) 求 x(t) ?
一阶标量微分方程 x(t) ax(t)
dx ax dx a dt ln x ln x(0) at
e1t
0
eAt PeAt P1 P
P
1
0
ent
其中： P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于i 的特征向量 pi，并得到P阵及P的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi P
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变 换阵P。
需要说明的是：对于所有重特征值 i ，构造约当块，并和非重特
征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得 e A。t
例 已知矩阵
0 6 5
A 1 0
2
3 2 4
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
6 5 I A 1 2 0
t0
)
Φ(t
t0)
则有：
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： Φ(t0 t0 ) I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： Φ (t t0 ) AΦ(t t0 )
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kbk Abk1
b1 Ab0
b
2
1 2
Ab1
1 2!
A
2b0
b3
1 3
Ab2Leabharlann 1 3!A3b0b k
1 k
Abk 1
1 k!
A
k
b
0
代入 x(t)
x(t) Ax(t)
eat 1 at 1 a2t 2 1 akt k
2!
k!
x(t)
(I At
如果A为友矩阵，且有 n个互异实特征值 1, 2 ,, n
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an
1
1
P
12
1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
n
1
n 2
nn1
P1AP
2
n
例：已知矩阵
0 1 1
A 6
（1）设A diag[1,2 ,, n ]，即A为对角阵且具有互异元素
时，有