第2章平面基本力系
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理论力学第2章平面任意力系
力系的平衡条件
1 平衡是什么？
当一个力系的合力和 力矩均为零时，力系 处于平衡状态。
2 两种平衡条件
3 例子带你理解
静力平衡：合力为零； 动力平衡：合力和力 矩均为零。
想象一根平衡的杆子 上有两个重物，它们 的合力和力矩必须为 零才能保持平衡。
力系的分解与合成1源自分解为矢量我们可以将力系拆分为矢量来计算各个力的作用效果。
3 举个例子！
假设我们有一辆汽车，它受到来自引擎、摩擦力和空气阻力的多个力的作用，这些力构 成了一个平面任意力系。
力系的合力和力矩
1 合力是什么？
合力指的是将力系中所有力的作用效果合成为一个力的过程。
2 力矩有何作用？
力矩描述了力对物体的旋转效应，它是力与力臂之乘积。
3 实际应用！
在建筑工程中，我们需要计算各个力的合力和力矩，以保证结构的稳定性和安全性。
2 应用广泛
平面任意力系的原理和方法在工程、建筑、力学等领域有着广泛的应用。
3 继续探索
通过实际问题的解题和应用，进一步深入理解和掌握平面任意力系的知识。
2
合成为合力
将分解后的矢量合成为一个力，即合力。
3
应用灵活多样
分解与合成的方法在解决实际问题时非常有用，可以简化复杂的力系分析。
力系的简化
简化示意图
通过使用简化的示意图，我们可以更清晰地表 示和分析复杂的力系。
矢量图
利用矢量图的方法，我们可以将复杂的力系简 化为几个简单的力的作用效果。
解题方法与实例
理论力学第2章平面任意 力系
欢迎来到理论力学第2章的精彩世界！在本章中，我们将了解平面任意力系的 定义、合力和力矩、平衡条件、分解与合成、简化、解题方法、实例以及总 结与应用。
《工程力学》第二章平面基本力系试卷
《工程力学》第二章平面基本力系试卷一、单项选择题1.力矩不为零的条件是。
(2 分)A.作用力不等于零B.力的作用线不通过矩心C.作用力和力臂均不为零2.如下图所示梁的长度和力偶矩大小都相同,则该二梁B、D支座的约束反力大小关系为________。
(2 分)A.R B=R DB.R B>R DC.R B<R D3.平面汇交力系的合力一定等于。
(2 分)A.各分力的代数和B.各分力的矢量和C.零。
4.________是刚体最简单的受力平衡状态。
(2 分)A.平面汇交力系平衡B.三力汇交平衡C.二力平衡5.平面汇交力系平衡的充要条件是_____________。
(2 分)A.各分力对某坐标轴投影的代数和为零B.各分力在同一直线上C.合力为零D.分力总数不多于三个)6.为便于解题,力的投影平衡方程的坐标轴方向一般应按_______________方向取定(2 分)A.水平或铅垂B.任意C.与多数未知力平行或垂直7.下图所示刚体,力偶M对A点和对B点的作用效果为________。
(2 分)A.M A>M BB.M A=M BC.M A<M B8.力偶可以用另一个来平衡。
(2 分)A.力B.力矩C.力偶9.如图a,b所示两种不同的捆法(αβ)起吊起同一重物,则图的捆法绳子易断。
(2 分)A.(a)B.(b)10.如下图所示,起吊机鼓轮受力偶M和力F作用处于平衡,轮的状态表明_______。
(2 分)A.力偶可以用一个力来平衡B.力偶可以用力对某点的矩来平衡C.力偶只能用力偶来平衡D.一定条件下,力偶可以用一个力来平衡二、判断题11.( )力矩使物体绕定点转动的效果取决于力的大小和力臂的大小两个方面。
(2 分)12.( )力对物体的转动效果用力矩来度量,其常用单位符号为N·m。
(2 分)13.( )当坐标系中互垂二轴取向不同时,同一平衡问题求解的难易程度不同,解得的未知合力数值不同。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
理论力学 第二章
扭矩扳手
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点的矩（力矩） 力对点的矩（力矩）
M O ( F ) = ± F ⋅ d ，单位N•m或KN•m 单位N KN•
→
→
① ②
是代数量。 M O ( F ) 是代数量。
M O ( F ) 正负判定： 正负判定：
→
→
M O (F ) (F
+
→ →
-
③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。 =0或 =0时 M =0。 点O为矩心，d为力臂。 为矩心， 为力臂。 角 形面积，或是矢量积的模。 面积，或是矢量积的模。 ④ M O (F ) = ± 2⊿AOB= r × F 2⊿AOB= 力对点0矩的大小等于2 力对点0矩的大小等于2倍三
Fx = X i , F y = Y j
F = X +Y
2 2
→
→ →
→
X cos α = F
Y cos β = F
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 力沿轴的分力和力在两轴上的投影 • 分力是矢量，投影是代 分力是矢量， 数量，二者性质不同。 数量，二者性质不同。 • 在直角坐标系中，投影 在直角坐标系中， 的大小与分力的大小相 但在斜角坐标系中， 同，但在斜角坐标系中， 二者不等。 二者不等。
∑F = 0 ix
− FBA + F cos60 − F2 cos30 = 0 1
o o
∑F =0 iy
FBC − F cos30 − F cos60 = 0 1 2
o o
F = F2 = P 1
解得： FC = 27 32kN 解得： B .
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
理论力学 第2章 平面力系的简化和平衡
l 0
xq
(
x ) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
FR'=
l 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=
l xq
0
(x)dx
/
lq
0
(x ) dx
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。 33
情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果
分类 主矢FR' 主矩MO （与简化中心无关）
1
FR’=0 MO=0 平衡状态（力系对物体的移动
和转动作用效果均为零）。
2
FR'=0
MO0 一个合力偶，M=MO。
3
FR0
MO=0 合力FR=FR，作用线过O点。
4
FR‘0
MO0 一个合力，其大小为 FR=FR，
m
求得： RA AB cos30 144N
0.24
对CD杆：m 0 m Rc 0.182 0.242 0.2322 0
§2–3 平面任意力系的合成与平衡
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫∼。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
R 0 Rx2 Ry2 0
Rx X 0 Ry Y 0
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
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16
力偶实例
17
2、力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡， 是一个基本力学量。 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩。
d
mO ( F ) mO ( F ' ) F ( x d ) F ' x Fd
18
性质3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩 的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
C
FBA F2 FBC
B
60o 30o F1
0,
5.解方程:
x
FBA 0.366G 7.321kN (拉)
(压)12 FBC 1.366G 27.32 kN
2－2 力矩的概念.平面力偶
一、力对点的矩
M O ( F ) F d
+
矩心
力臂
合力矩定理
13
例 题 4
如图所示圆柱直齿轮，受到啮
其中 解得
FA FA
M 2 4M1 8 kN m M1 FO FB FA 8 kN r sin 30
27
平面力偶
例 题 8
如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
α
M1
O
B A
M2
D
28
2－4 平面力偶
B A
O FBA
例 题 8
解：
杆AB为二力杆。
α
M1
分别取杆OA和DB为研究对象。
M2
D
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
B
M 1 FAB rcos 0 M 2 2 FBArcos 0
因为
A
FAB
M1
M2 D FD
FAB FBA
1 M1 M 2 2
29
所以求得
h
或根据合力矩定理， 将力Fn分解为圆周力 F和径向力Fr , F
O
r
则力Fn对轴心O的矩
M O Fn M O ( F ) M O ( Fr ) M O ( F ) Fn r cos
Fn Fr
15
二、平面力偶
1、力偶：等值、反向、不共线的两个力叫力偶。
力偶臂
力偶作用面 力偶矩
柱所受的水平力。（p37）
解： 选工件为研究对象，因为力偶只能
与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一
力偶，故FA= FB 。列写平衡方程
B
FB
由 ∑ M = 0， 解得
FAl M1 M 2 M 3 0
FA M1 M 2 M 3 200 N l
23
例 题 6
M A l D B
30o
大小，试求平衡时杆 AB 和
G
C
BC所受的力。（P32)
11
例 题 3
A D
60o
解：
B
1.取滑轮B为研究对象(轮的大小不计)；
2.画受力图； 3.选取坐标系Bxy；
30o
4.列平衡方程：
G y
Fx 0, F
y
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M l cos 45 l
25
FB
解得： FA FB
例 题 7
C
M2
如图所示机构的自重不计。 M1=2 kN· m ， OA = r =0.5 m。图
A
r
O
示 位 置 时 OA 与 OB 垂 直 ， 角
M1
B
α=30o , 且系统平衡。求M2 及铰 链O，B处的约束反力。 （p38）
合力的大小：
FR
2 2 FR .3 N x FRy 171
F
2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos cos FRx 0.754 FR FRy FR 0.656
FR
F1
30o
60o 45o
O
45o
x
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99 49.01
O r
合力Fn的作用。设 Fn=1400 N。压 力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆） 的半径 r = 60 mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩(P34)。
h
14
例 题 4
解：
计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
O
r
M O ( Fn ) Fn h Fn r cos 78.93 N mm
F3
F4
9
四、平面汇交力系平衡的解析条件
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。 即：
2 2 R 0 Rx Ry 0
Rx Fx 0
R y Fy 0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
10
例 题 3
A D B
60o
如图所示，重物 G =20 kN ，如两杆与滑轮的自重 不计并忽略摩擦和滑轮的
静力学篇
第二章
平面力系
1
2－1 平面汇交力系 一、合成的几何法
任意个平面汇交力的合成
为力多边形
2
2－1 平面汇交力系 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： R F 0
力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
3
2－1 平面汇交力系
例 题 1
F
已知 AC=CB ；杆 DC 与水 平 线 成 45o 角 ； 铅 直 载 荷 F=10kN ， 作 用 于 B 处 。 设 梁和杆的重量忽略不计，求 铰 链 A 的 约束力 和杆 DC 所 受的力。（p30）
26
例 题 7
FA
A
解：
M1
O
先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与 力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶， 故 FA= –FO。
FO
M 0,
M1 FAr sin 0
解得
FA
M1 r sin 30
r 0 sin
再取摇杆BC为研究对象。
M 0, M 2 FA
横梁AB长 l，作用 力偶M。不计梁和支 杆的自重，求 A 和 B 端 的约束力。
45
24
例 题 6
解：
M A l D FA A
45
选梁AB为研究对象。AD是二
B
力杆，可以判断 A 与 B 端的约束
力 FA 和 FB 构成一力偶，因此有：
FA = FB 。 梁AB受力如图。
M B
列平衡方程：
FO
O
作业：
2-5(汇交力系平衡，用解析法）,
2-6（综合题）,
2-8 （平面力偶）
30
19
平面力偶系的合成
20
结论:
M m1 m2 mn mi
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各
力偶矩的代数和。
21
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩
的代数和等于零。
即
mi 0
i 1
22
n
例 题 5
FA
M1 M3 M2
A
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺
F
2
y F1
解：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
60o 45o
O
30o
45oxΒιβλιοθήκη FRy F1 cos 60 F2 cos 30 F3 cos 45 F4 cos 45 112.3 N
F3
F4
8
例 题 2
A 45o
C B
D
4
2－1 平面汇交力系
例 题 1
解：
1. 取AB梁为研究对象；
2. 画AB梁的受力图：
A E C 45o
F
B
FA
A
F
C 45o B D
FC
二力杆
5
2－1 平面汇交力系
几何法：
按比例画力F ，作出封闭力三角形。
量取FA , FC 得
例 题 1
E
FA
A
F
C 45o B
FA =22.4kN
FC =28.3kN
封闭力三角形也 可如下图所示。
a
FC
FA
a
d
45o
F
F
b
FC
d
FC
b
FA
6
2－1 平面汇交力系 三、合成的解析法
7
例 题 2
求如图所示平面共点力系的合力。其中： F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。(p31)
129.3 N