江苏省泰州市高二数学12月月考试题(含解析)

江苏省泰州市2017-2018学年高二数学12月月考试题一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 命题“若，则”的否命题为__________．【答案】若，则【解析】根据逆否命题的写法：将条件和结论互换，既否条件又否结论，原命题的逆否命题为若，则.故答案为：若，则.2. 曲线在处的切线方程是__________．【答案】【解析】当自变量等于0时，函数值为2，故得到切线方程为：。

故答案为：。

3. 抛物线的焦点坐标为__________．【答案】【解析】由题意可得所以焦点在的正半轴上，且则焦点坐标为4. 双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】双曲线，渐近线方程为：，故得到方程为：. 故答案为：。

5. 在平面直角坐标系中，已知椭圆上一点到其左焦点的距离为4，则点到右准线的距离为__________．【答案】3【解析】根据题意，设椭圆的右焦点为F′，点P到右准线的距离为d，椭圆中a=3，b=，则c=2，则其离心率e=，若P在椭圆上，且P到左焦点F的距离为4，则|PF′|=2a﹣2=2，又由椭圆的离心率e=，则有e= =，解可得d=3，即点P到右准线的距离为3；故答案为：3.6. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为__________．【答案】三角形的内角至少有两个钝角【解析】反证法证明时，需要假设反面成立，即原条件的否定。

故应假设为：三角形的内角至少有两个钝角。

故答案为：三角形的内角至少有两个钝角。

7. 设是等腰三角形，，则以、为焦点且过点的双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意2c=|AB|，所以由双曲线的定义，有.故答案为：.8. 观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想__________．【答案】【解析】试题分析：由已知中的式子,…，所以考点：归纳推理9. 已知函数在处取得极小值10，则的值为__________．【答案】-2【解析】∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意符合；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；∴=﹣2，故答案为：﹣2．点睛：这个题目考查的是函数的单调性和极值问题，极值主要是研究函数的导函数的正负情况，要求极值点附近导函数的正负情况不同，原函数的单调性不同；但是注意易错点是，极值点必须是导函数的变号零点，不能只是零点。

10. 已知等差数列中，有，则在此等比数列中，利用类比推理有类似的结论：__________．【答案】【解析】等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：.11. 若函数（为自然对数的底数），，若存在实数，，使得，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，在0≤x≤2有解，函数在函数的值域为点睛：本题考查函数的零点，导数的综合应用，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论12. 用数学归纳法证明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答）．【答案】【解析】假设n=k成立，即，则n=k+1成立时有，所以左边增加得项数是：13. 三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内解三角形．已知为椭圆（）的上顶点，若以为直角顶点的等腰直角三角形有且只有三解，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可设：直线AB的方程为y=kx+1，（k＞0），直线AC的方程为y=﹣x+1，联立，化为：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，解得x B=-,y B=,|AB|=同理可得：x C=，y C=|AC|=∵|AB|=|AC|，∴=化为：a2（k2﹣k）=k3﹣1，当k=1时是其中一个根．当k≠1时，a2= =k++1＞3，∴1＞e=故答案为：．点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；图形特点圆锥曲线联系到一起。

求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。

14. 已知函数，，表示，中的最小值，若函数（）恰有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵f（x）=x3-mx+，∴f′（x）=3x2-m，若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即；解得：m∈故答案为：。

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知命题：函数在上是增函数；命题：，不等式恒成立．（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意求满足函数是增函数的a的范围即可；（2）由命题“”为真命题，“”为假命题知，一真一假，分情况讨论求解a的范围即可。

解析：（1）对恒成立，∴，解得．（2）命题为真命题，即．由命题“”为真命题，“”为假命题知，一真一假.若真假，则解得；若假真，则解得.综上所述，.16. 试用适当的方法求证下列命题：（1）求证：；（2）求证：，，不可能是同一个等差数列中的三项．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）分析法入手，从要证的结果入手，两边移项平方即可；（2）反证法假设，，是同一个等差数列（）中的、、三项，最后推出矛盾即可。

解析：（1）要证明，只要证，只要证，只要证，只要证，即证．而显然成立，故原不等式成立．（2）（反证法）假设，，是同一个等差数列（）中的、、三项，则，，，三式消去、得（*）（*）左边是无理数，右边是有理数，矛盾．所以，假设不成立，即，，不可能是同一个等差数列中的三项．17. 已知函数（）．（1）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求；（2）设的导函数是，在（1）的条件下，若，，求的最小值．【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，得到，∴，即；（2）根据题意写出和的表达式，分别求两者的最值即可。

解析：（1），据题意，，∴，即．（2）由（1）知，则．∴对于，最小值为．∵的对称轴为，且开口向下，∴时，最小值为与中较小的．∵，，∴当时，的最小值为.∴当时，的最小值为，∴的最小值为.18. 已知数列满足，（为正整数）．（1）求，，并猜想出数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）写出数列中的几项，通过观察找出规律，归纳出通项；（2）根据数序归纳法的步骤，①当时，猜想成立，②假设当（）时，猜想成立；证明即可。

解析：（1）由，∵，∴，同理可求，，猜想．（2）证明：①当时，猜想成立；②假设当（）时，猜想成立，即，则，所以当时猜想成立．综合①②，猜想对任何都成立．19. 如图是一块地皮，其中，是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴，经测量，，，．现要从这块地皮中划一个矩形来建造草坪，其中点在曲线段上，点，在直线段上，点在直线段上，设，矩形草坪的面积为．........................（1）求，并写出定义域；（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？【答案】（1），定义域为（2）当时，矩形草坪的面积最大．【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为，定义域为；(2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当时，矩形草坪的面积最大. 试题解析：（1）以O为原点，OA边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作于点，在直角中，，，所以，又因为，所以，则，设抛物线OCB的标准方程为，代入点的坐标，得，所以抛物线的方程为．因为，所以，则，所以，定义域为．（2），令，得．当时，，在上单调增；当时，，在上单调减．所以当时，取得极大值，也是最大值．20. 在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点所形成的四边形面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点到定点（）的距离的最小值为1，求的值及点的坐标；（3）如图，过椭圆的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，，设直线的斜率为，直线：分别与直线，交于点，．记，的面积分别为，，是否存在直线，使得？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）的值为2，点的坐标为（3），【解析】试题分析：（1）根据题意列出式子解得从而得到椭圆方程；（2）根据点点距公式得到，研究这个函数的最值即可；（3）联立直线和椭圆得到二次方程，，将面积比转化为坐标之比代入即可。

解析：（1）由题意得：解得所以椭圆的标准方程为．（2）设，由定点，考虑距离的平方：则，二次函数的图象对称轴为，由椭圆方程知，由题设知，①当，即时，在时有，解得，不符合题意，舍去；②当，即时，由单调性知：在时有，解得或（舍）．综上可得：的值为2，点的坐标为．（3）由（1）知，，则直线的方程为，联立消去并整理得，解得；直线的方程为，同理可得．联立解得，同理可得，所以，即，解得或，所以或，故存在直线：，满足题意．点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知（为常数）．（1）当时，求函数的单调性；（2）当时，求证：；（3）试讨论函数零点的个数．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，求导研究导函数的正负即可；（2）记，由题意即证，当时，，对函数求导研究单调性求最值即可；（3）直接对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，结合图像讨论函数的零点个数。