2009年广东省实验中学高二文科数学第二学期期中检测试题
广东省实验中学高二数学上学期期中试题 理 北师大版
广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试理科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）A．棱柱的两个底面互相平行B．圆台与棱台统称为台体C．棱柱的侧棱垂直于底面D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A．①② B．①③ C．①④ D．②④3．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )．A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α4．如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（）A．22 B．42 C．2D．25．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④ AB⊥BC. 其中正确的( )yxOABA ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是( ) A ．8cm B ．cmC ．．7．如图，已知二面角α-l -β为120°，AB ⊂α，CD β⊂AB⊥l 于A ，CD⊥l 于D ，且AB=AD=CD=1,则BC=( )A B C ．1D ．28．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．点A(x ,2，3)与点B(-1，y ，z )关于坐标平面yOz 对称，则x =_____,y =______,z =______. 10．点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面，且对于空间任一点O ，都有122OP AB OB OC λ=-+u u u r u u u r u u u r u u u u u r，则λ=_____________.11．已知：直线1l ：2x+3y-1=0，2l ：Ax-6y+C=0，当A,C 满足条件：__________时,1l //2l .12．已知(1,1,2),(1,1,3)a b ==--r r ，且()ka b +r r//(a b -r r ),则k=______.13．已知直线l 的斜率k ]33,1(-∈，则直线l 的倾斜角的范围是______________. 三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（本小题满分11分）C 1A C已知直线m 过点（-1,2），且垂直于l ： x+2y+2=0 （1）求直线m ；（2）求直线m 和直线l 的交点。
2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷及答案
2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题）1．（2021•乃东区校级一模）计算的结果是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．1+i D．﹣1+i 2．（2021春•荔湾区校级期中）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝（）A．1B．8C．4D．23．（2021春•番禺区校级期中）在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有（）A．216种B．108种C．72种D．36种4．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2＝0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．15．（2021春•电白区期中）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N（80，102），考生共10000人，任选一考生数学单科分数在90～100分的概率为（）[附：若随机变呈ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝68.27%，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝95.45%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74% 6．（2021春•霞山区校级期中）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝6，则E的离心率为（）A．2B．C．D．7．（2021•全国模拟）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A．B．C．D．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x﹣sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021春•荔湾区校级期中）下列判断正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小C．线性回归直线一定经过样本中心点D．在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度越高（多选）10．（2021春•番禺区校级期中）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，AA 1＝，E，F分别为AB，BC的中点．则（）A．A1E⊥DFB．点A1、E、F、C1四点共面C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为D．三棱锥E﹣C1DF的体积为（多选）11．（2021•石家庄模拟）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．φ＝B．函数g（x）的最小正周期为πC．函数g（x）在区间[﹣，]上单调递增D．函数g（x）关于点（﹣，0）中心对称（多选）12．（2021春•广东期中）设函数，g（x）＝xlnx，下列命题，正确的是（）A．函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减B．不等关系πe＜π3＜eπ＜3π成立C．若0＜x1＜x2时，总有a（x22﹣x12）＞2g（x2）﹣2g（x1）恒成立，则a≥1D．若函数h（x）＝g（x）﹣mx2有两个极值点，则实数m∈（0，1）三．填空题（共4小题）13．（2016•浙江）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．14．（2021•兴庆区校级一模）已知的展开式中各二项式系数之和为256，则展开式的常数项为．15．（2021春•霞山区校级期中）已知A（2，0），B（0，1）是椭圆的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若，则斜率k的值为．16．（2021春•番禺区校级期中）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝6，PA＝2，D是线段AC的中点．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值为16π，则球O的表面积为．四．解答题（共6小题）17．（2021春•番禺区校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．（2021•海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cos A ＝，cos．（Ⅰ）求cos∠BDC；（Ⅱ）求BC的长．19．（2021•凉山州模拟）椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为，且椭圆C经过点P（0，1），直线y＝kx+2k﹣1（k≠0）与C交于A，B两点（异于点P）．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．20．（2021春•福田区校级期中）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日，全国将举行各种庆祝活动．某市将邀请一部分老党员同志参加纪念活动，包括举行表彰大会、游园会、招待会和文艺晚会等，据统计，老党员同志由于身体原因，参加表彰大会、游园会、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：参加纪念活动的环节数0123概率（1）若从老党员同志中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；（2）某医疗部门决定从这些老党员同志中随机抽取3人进行体检（其中参加纪念活动的环节数为3的老党员人数大于等于3），设随机抽取的这3人中参加3个环节的老党员同志有ξ名，求ξ的分布列．21．（2017•四川模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．22．（2021春•威宁县期末）已知函数．（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2021•乃东区校级一模）计算的结果是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数的运算．【分析】复数分母实数化，并化简即可得到答案．【解答】解：复数故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．2．（2021春•荔湾区校级期中）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝（）A．1B．8C．4D．2【考点】等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．【专题】函数思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知求得a7＝2，则b7＝a7＝2，再由等比数列的通项公式求得b3b8b10的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a6﹣a72+a8＝0，∴，又a7≠0，∴a7＝2，则b7＝a7＝2，∴b3b8b10＝＝．故选：B．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，考查运算求解能力，是基础题．3．（2021春•番禺区校级期中）在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有（）A．216种B．108种C．72种D．36种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合；数学运算．【分析】分两步，第一步，4名男交警到3所学校，每所学校至少一名，第二步，3名女交警到3所学校，每所学校一名，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步，4名男交警到3所学校，每所学校至少一名，有C42A33＝36种，第二步，3名女交警到3所学校，每所学校一名，有A33＝6种，根据分步计数原理可得，共有36×6＝216种，故选：A．【点评】本题考查分步计数原理，考查了学生的计算能力，属于基础题．4．（2015•嘉兴一模）已知直线l1：a2x+y+2＝0与直线l2：bx﹣（a2+1）y﹣1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【考点】基本不等式及其应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．【解答】解：∵直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，∴a2b﹣（a2+1）＝0，∴b＝＞0，当a＞0时，|ab|＝ab＝a+≥2；当a＜0时，|ab|＝﹣ab＝﹣a﹣≥2，综上，|ab|的最小值为2．故选：C．【点评】此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．5．（2021春•电白区期中）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N（80，[附：若随机变呈ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝68.27%，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝95.45%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：∵X服从正态分布N（80，102），∴P（90＜X＜100）＝＝＝13.59%．故选：B．【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．6．（2021春•霞山区校级期中）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝6，则E的离心率为（）A．2B．C．D．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】设直线l的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式求得m的值，即可求得直线l 的斜率，然后求解双曲线的离心率即可；【解答】解：依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则|AB|＝＝4（m2+1）＝6，解得：m＝±，∴直线l的方程为2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直线的斜率为：±．直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，可得b＝a，所以b2＝2a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．7．（2021•全国模拟）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】甲以3：0获胜为事件A，甲以3：1胜为事件B，则A，B互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．【解答】解：甲以3：0获胜为事件A，甲以3：1胜为事件B，则A，B互斥，且，，所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x﹣sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝x﹣sin2x+a sin x的导数为f′（x）＝1﹣cos2x+a cos x，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+a cos x≥0，即有﹣cos2x+a cos x≥0，设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021春•荔湾区校级期中）下列判断正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小C．线性回归直线一定经过样本中心点D．在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度越高【考点】命题的真假判断与应用；线性回归方程；独立性检验；互斥事件与对立事件．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】利用互斥事件与对立事件的关系判断A，独立检验思想判断B；回归直线的性质判断C；残差的性质判断D．【解答】解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以A不正确；在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小．满足独立检验的性质，所以B正确；线性回归直线一定经过样本中心点，满足回归直线的性质，所以C 正确；在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度越高，满足残差的性质，所以D正确；故选：BCD．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件以及对立事件的关系，相关系数和相关指数的变化，以及残差图的应用，考查判断能力和运算能力，属于基础题．（多选）10．（2021春•番禺区校级期中）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，AA 1＝，E，F分别为AB，BC的中点．则（）A．A1E⊥DFB．点A1、E、F、C1四点共面C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为D．三棱锥E﹣C1DF的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；直线与平面所成的角．【专题】转化思想；综合法；空间角；逻辑推理；数学运算．【分析】选项A，由AA1⊥平面ABCD，知AA1⊥DF，假设A1E⊥DF，可得DF⊥平面A1AE，进而知DF⊥AB，矛盾；选项B，由EF∥AC，A1C1∥AC，得EF∥A1C1，得证；选项C，易知∠DC1C即为所求，在Rt△DCC1中，由tan∠DC1C＝，得解；，再由＝，得解．选项D，连接DE，DF，EF，求得S△DEF【解答】解：对于选项A，∵AA1⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴AA1⊥DF，若A1E⊥DF，由于AA1∩A1E＝A1，AA1、A1E⊂平面A1AE，∴DF⊥平面A1AE，∴DF⊥AB，显然不符合题意，即选项A错误；对于选项B，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∵A1C1∥AC，∴EF∥A1C1，∴点A1、E、F、C1四点共面，即选项B正确；对于选项C，∵CD⊥平面BB1C1C，∴∠DC1C为直线C1D与平面BB1C1C所成角，在Rt△DCC1中，tan∠DC1C＝＝，∴直线C 1D与平面BB1C1C所成角的正切值为，即选项C正确；对于选项D，连接DE，DF，EF，则DE＝DF＝，EF＝，＝××＝，∴S△DEF∴＝＝•CC 1•S△DEF＝××＝，即选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，线面角的求法，棱锥的体积公式等，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．（多选）11．（2021•石家庄模拟）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．φ＝B．函数g（x）的最小正周期为πC．函数g（x）在区间[﹣，]上单调递增D．函数g（x）关于点（﹣，0）中心对称【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由周期求出ω的范围，根据最高点求得φ的值，可得f（x）的解析式，结合函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的性质，可得结论．【解答】解：根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象，可得T＝＞，且T＜，∴ω∈（，）．把（0，）代入，可得2sinφ＝，∴φ＝，或φ＝．再把根据图象经过最高点（，2），可得ω•+φ＝2kπ+，k∈Z．当φ＝时，ω•+＝2kπ+，k∈Z，求得ω＝+，不满足条件ω∈（，），故φ＝，故A错误．此时，由ω•+＝2kπ+，k∈Z，求得ω＝﹣+，令k＝1，可得ω＝2，满足条件ω∈（，），故f（x）＝2sin（2x+）．把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g（x）＝2sin（2x+）的图象，故g（x）的最小正周期为＝π，故B正确．当x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，故g（x）单调递增，故C正确．令x＝﹣，求得g（x）＝﹣≠0，故g（x）的图象不关于点（﹣，0）中心对称，故D错误，故选：BC．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω的值，由最高点的坐标求出φ，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．（多选）12．（2021春•广东期中）设函数，g（x）＝xlnx，下列命题，正确的是（）A．函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减B．不等关系πe＜π3＜eπ＜3π成立C．若0＜x1＜x2时，总有a（x22﹣x12）＞2g（x2）﹣2g（x1）恒成立，则a≥1D．若函数h（x）＝g（x）﹣mx2有两个极值点，则实数m∈（0，1）【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用函数的导数的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值的关系，构造函数的应用，恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A选项，函数的定义域为（0，+∞），则．由f'（x）＞0，可得0＜x＜e，由f'（x）＞0，可得x＞e．所以，函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，A选项正确；对于B选项，由于函数在区间（e，+∞）上单调递减，且4＞π＞e，所以，f（π）＞f（4），即，又，所以，，整理可得π3＞eπ，B选项错误；对于C选项，若0＜x 1＜x2时，总有恒成立，可得，构造函数s（x）＝2g（x）﹣ax2＝2xlnx﹣ax2，则s（x1）＞s（x2），即函数s（x）为（0，+∞）上的减函数，s'（x）＝2（1+lnx）﹣2ax≤0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，其中x＞0，．当0＜x＜1时，t'（x）＞0，此时函数t（x）单调递增；当x＞1时，t′（x）＜0，此时函数t（x）单调递减．所以，t（x）max＝t（1）＝1，∴a≥1，C选项正确；对于D选项，h（x）＝g（x）﹣mx2＝xlnx﹣mx2，则h'（x）＝1+lnx﹣2mx，由于函数h（x）有两个极值点，令h'（x）＝0，可得，则函数y＝2m与函数t（x）在区间（0，+∞）上的图象有两个交点，当时，t（x）＞0，如图所示：当0＜2m＜1时，即当时，函数y＝2m与函数t（x）在区间（0，+∞）上的图象有两个交点．所以，实数m的取值范围是，D选项错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的导数的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值的关系，构造函数的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2016•浙江）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9．【考点】抛物线的性质．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x＝﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．【解答】解：抛物线的准线为x＝﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．14．（2021•兴庆区校级一模）已知的展开式中各二项式系数之和为256，则展开式的常数项为112．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】先利用二项式系数的性质，求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项．【解答】解：∵的展开式中各二项式系数之和为2n＝256，∴n＝8，∴展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x8﹣4r，令8﹣4r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为×4＝112，故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（2021春•霞山区校级期中）已知A（2，0），B（0，1）是椭圆的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若，则斜率k的值为或．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】求出椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为x+2y＝2，y＝kx，设D（x0，y0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理以及，转化求解直线的斜率即可．【解答】解：由题可知，该椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为x+2y ＝2，y＝kx，设D（x0，y0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，联立方程，故，由，知，由点D在直线AB上，则，所以或，故答案为：或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．16．（2021春•番禺区校级期中）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝6，PA＝2，D是线段AC的中点．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值为16π，则球O的表面积为104π．【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算．【分析】由题意画出图形，求出OD的长度，结合截面与直线OD垂直时，截面面积最小，可求得外接球的半径，则球O的表面积可求．【解答】解：如图，设三角形ABC的外心为O'，设外接球的半径为R，球心O到平面ABC的距离为x，即OO'＝x，则x＝PA＝1，连接O'A，则O'A＝，在三角形ABC中，∵D是线段AC的中点，∴O′D＝AB＝3，在Rt△OO′D中，可得OD＝＝，由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面半径为r，则r2＝R2﹣OD2＝R2﹣10，∴截面圆的面积的最小值为πr2＝π（R2﹣10）＝16π，解得：R2＝26．则球O的表面积为4πR2＝104π．故答案为：104π．【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属中档题．四．解答题（共6小题）17．（2021春•番禺区校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式；等比数列的性质．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得c n，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）证明：由，可得2a1＝S1+1＝a1+1，解得a1＝1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2a n﹣1+n﹣1，可得a n＝2a n﹣1+1，则a n+1＝2（a n﹣1+1），所以数列{a n+1}是首项和公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，则＝＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣﹣+...+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18．（2021•海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cos A ＝，cos．（Ⅰ）求cos∠BDC；（Ⅱ）求BC的长．【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形；数学运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin∠ADB的值，由于∠BDC＝π﹣（A+∠ADB），利用诱导公式，两角和的余弦公式求出cos∠BDC即可．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求出BD的值，在△BCD中，利用余弦定理求出BC的值．【解答】解：（Ⅰ）因为AB∥CD，cos A＝，cos，所以sin A＝＝，sin∠ADB＝＝，cos∠BDC＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sin A sin∠ADB﹣cos A cos∠ADB ＝×﹣＝．（Ⅱ）由已知及正弦定理，可得＝，解得BD ＝3，由于cos∠BDC＝，CD＝，在△BCD中，由余弦定理可得BC＝＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．19．（2021•凉山州模拟）椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为，且椭圆C经过点P（0，1），直线y＝kx+2k﹣1（k≠0）与C交于A，B两点（异于点P）．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由左焦点为，且椭圆C经过点P（0，1），列方程组，解得a，b，c进而可得答案．（2）解法一（常规方法）：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与椭圆的方程，由Δ＞0，解得0＜k＜1，再结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算直线PA、PB的斜率和，即可得出答案．解法二（构造齐次式）：由题直线y＝kx+2k﹣1（k≠0）恒过定点（﹣2，﹣1），分直线AB的斜率过原点，直线AB过原点，构造齐次式，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得：，则a2＝b2+c2＝3∴椭圆方程为；（2）证法一（常规方法）：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简可得：（3k2+1）x2+6k（2k﹣1）x+12k（k﹣1）＝0，∵直线y＝kx+2k﹣1（k≠0）与椭圆C交于A、B两点，∴Δ＞0，即12[（3k2+1）﹣（2k﹣1）2]＝﹣48k（k﹣1）＞0，解得：0＜k＜1，由韦达定理，∴k P A+k PB＝+＝＝＝，∴直线PA、PB得斜率和为定值1．证法二（构造齐次式）：由题直线y＝kx+2k﹣1（k≠0）恒过定点（﹣2，﹣1），①当直线AB不过原点时，设直线AB为mx+n（y﹣1）＝1（*）则﹣2mx﹣2n＝1即有，由，有x2+3（y﹣1）2+6（y﹣1）＝0，则x2+3（y﹣1）2+6（y﹣1）[mx+n（y﹣1）]＝0，整理成关于x，y﹣1的齐次式：（3+6n）（y﹣1）2+6mx（y﹣1）+x2＝0，进而两边同时除以x2，则，令，则k P A+k PB＝+＝﹣＝﹣＝1②当直线AB过原点时，设直线AB的方程为，∴．综合①②直线PA与直线PB的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20．（2021春•福田区校级期中）2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日，全国将举行各种庆祝活动．某市将邀请一部分老党员同志参加纪念活动，包括举行表彰大会、游园会、招待会和文艺晚会等，据统计，老党员同志由于身体原因，参加表彰大会、游园会、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：参加纪念活动的环节数0123概率（1）若从老党员同志中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；（2）某医疗部门决定从这些老党员同志中随机抽取3人进行体检（其中参加纪念活动的环节数为3的老党员人数大于等于3），设随机抽取的这3人中参加3个环节的老党员同志有ξ名，求ξ的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，求出P（），由对立事件的概率计算公式可得P（M）．（2）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率得到随机变量ξ的分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，根据题意可知P（）＝（）2+（）2+（）2+（）2＝，由对立事件的概率计算公式可得P（M）＝1﹣P（）＝，故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为．（2）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，。
2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题（每题5分，共8小题）1. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 2. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）A.B.C.D.3. 在的二项展开式中，常数项是（ ）A. 132B. 160C. 180D. 1964. 已知随机变量服从，若，则（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知随机变量X 的分布列如下：X －101P设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望E (Y )的值是（ ）A. －B.C.D. －6. 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）A. 236 B. 328C. 462D. 26407. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. ()22e e xf x =+()1f '=2e 22e 23e 24e 151h 12381571625781022x ⎛+ ⎝X ()20.5,N σ()0.30.3P X ≤=()0.30.7P X ≤≤=12161316132323a =b =c =a c b >>b a c >>a b c>>b c a >>8. 设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）A.B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题）9. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A. B. C. 若A ，B 独立，则 D. 若A ，B 互斥，则10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 若甲、乙、丙按从左到右顺序排列，则不同的排法有12种B. 若甲、乙不相邻，则不同排法有72种C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种11. 已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）A 恒成立B. 函数的极小值为0C. 若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是D. 对任意的，都有三、填空题（每题5分，共3小题）12. 过原点的直线与相切，则切点的坐标是______.13. 中国空间站主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________．14. 2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五的的.的()2,0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩()()()1212f x f x x x =<212x x -ln2a 12e 2-A B ()0P A >()0P B >()()||1P B A P B A +=()()()||P B A P B A P A +=()()P A B P A =()(|)|=P A B P B A ()()1e x x k f x x-+=()f x '()11f =()()g x xf x =()0f x ¢>()g x ()y g x m =-m ()0,1()12,2,x x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭l e x y =局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．四、解答题（共5小题，共77分）15. 已知，展开式中二项式系数的最大值为.（1）求的值；（2）求的值（结果可以保留指数形式）.16. 为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：个人赛奖项组别一等奖二等奖三等奖团体赛获奖高一20206050高二162910550（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；17. 已知函数在处取得极值．（1）确定的值并求的单调区间；（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？()01p p ≤≤()fp ()f p ()72701271mx a a x a x a x +=++++ 7m m 1357a a a a +++X X ()()3144R 3f x ax x a =-+∈2x =-a ()f x x ()f x b =b请说明理由．19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.2312!3!!xnx x x x n =++++++e !1234,en n =⨯⨯⨯⨯⨯ e 2.71828= ()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==e 1x x ≥+()0,x ∈+∞()()f xg x x<()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭0x =()F x a广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题（每题5分，共8小题）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题（每题6分，共3小题）【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD三、填空题（每题5分，共3小题）【12题答案】(1,e)【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（共5小题，共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）或148160.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略，【17题答案】【答案】（1），单调递增区间和，单调递减区间是 （2）或【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略， （3）选手乙，理由略【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）是163385m =771(64)2+59()712E X =1a =(),2-∞-()2,+∞()2,2-283b ≥43b ≤-1528() 2.4E X =(],1-∞。
2013年广东省华师附中、广东实验中学、广雅中学及深圳中学高三上学期期末联考文科数学试题与答案
广东省高三上学期期末四校联考文科数学 命题学校：广东实验中学 命题人：杨庆元一、选择题：1. 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或11.A;解析:由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A2. 已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N = 2.C;解析:{}{}{}1,2,32,3,42,3M N == ,故选C.3. 某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A ．5,10,15 B ．3,9,18 C ．3,10,17 D ．5,9,16 3.B; 解析：高：中：初=15:45:90=1:3:64. “6πα=”是“1cos 22α=”的 A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.A;解析： 当6πα=时，1cos 2cos32πα==， 反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 A ．23或25 B ．23 C ．5 D ．23或5 5.D;解析：2164m m =∴=±,故选择D 。
6. 函数1)4(cos 22--=πx y 是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数6.A ；解析：因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭为奇函数,22T ππ==,所以选A.7．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．63 B ．64 C ．65D ．667.A8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 8.B ；9．如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A在底面 ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A （B （C 349.D;解：连结1A D ，AD ，易知1A AB ∠为异面直线AB 与1CC 所成的角,则113cos cos cos 4A AB A AD DAB ∠=∠∠=，故选D ；10．下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R 的映射过程：区间（0,1）中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点,A B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为（0,1），如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，则m 的像就是n ，记作()f m n =。
广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
2023-2024学年第二学期高二年级中段教学检查数 学满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列求导运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x ′=− B ．()x x e e ′−= C ．11(ln )x x′=−D ．(2)2x x ′=2．在等差数列{}n a 中，45660a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．403．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，(1)0.7P X >=，则(23)P X <<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.74．对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）A ．卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立B ．卡方的值可以为负值C ．卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”D ．22×列联表中的45．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且25n n a S =+，则2024S =（ ） A ．2024−B ．2024C ．5−D ．06．已知函数()ln f x x x =+，过原点作曲线()y f x =的切线l ，则切点P 的坐标为（ ） A ．()1,1B ．(),1e e +C ．11,1e e −D ．()22,2e e +7．已知数列{}n a 中，221232n nn a a a a += ，若函数()()()()()()()()242024132023,x x a x a x a f x f x x a x a x a −−−=−−− 的导数为()f x ′，则()0f ′=（ ） A ．2B ．10122C ．20232D ．202428．已知数列{}n a 的首项为1，12cos π,cos π,n n n n a n n a n a n n ++ + = +为奇数为偶数，则数列{}2n an a ⋅的前2024项和为（ ）A ．2024202322⋅+B ．2025202322⋅−C ．2024202321⋅+D ．2025202322⋅+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得到部分分数，有选错的得0分.9．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为1.:068l y x a =+ ，计算其相关系数为1r ．经过分析确定点F 为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为28:0.6l y bx =+ ，相关系数为2r ，则以下结论中，正确的是（ ）A ．12r r >B ．120,0r r >>C ．0.12a =D ．00.68b<< 10．已知函数2()2sin cos 2xf x x =，则以下结论正确的是（ ） A ．π为()f x 的一个周期 B ．()f x 在π3x =−处取得极小值C ．对1x ∀，2x ∈R ，()()21f x f x −≤ D ． ()f x 在π3π,22−上有2个零点11．设()f x 是定义域为R 的可导函数，若存在非零常数λ，使得()(1)()f x f x λλ+=−对任意的实数x 恒成立，则称函数()f x 具有性质()H λ.则（ ）A ．若函数()f x 具有性质()H λ，则导函数()f x ′也具有性质()H λB ．若()f x 具有性质()2H ，则(1)(2023)2f f +=C ．若()f x 具有性质1()2H ，且(0)1f =，则11()3ni f i =<∑D ．若函数()(01)x f x a a =<<具有性质()H λ且0λ>，则a 的取值范围是10a e<< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S = ．13．等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，222,3a S ==，若不等式218n n S ka +≥，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________．14．已知实数0a >，若函数()()e cos 0x f x a x x =+>有且仅有2个极值点，则a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 年收入y （千元）5961646873(1)根据表中数据，现决定使用2y a bx =+模型拟合y 与x 之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由．参考数据及公式：()()()121nii i nii xx y ybxx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．设2t x =，则()()1217ni i i t ty y =−−=∑，()21374ni i t t =−=∑．16．如图，在四棱锥E ABCD −中，平面ABCD ⊥平面ABE ，点E 在以AB 为直径的半圆O 上运动（不包括端点），底面ABCD 为矩形，112ADBC AB ===. (1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)当四棱锥E ABCD −体积最大时，求平面ADE 与平面ACE 所成夹角的余弦值.17．已知n S 为公差不为0的等差数列．．．．{}n a 的前n 项和，且()*21,n n a a n λλ=+∈∈R N ．(1)求λ的值；(2)若424S S =，求证：1223111112n n a a a a a a ++++< ．18. 已知函数()2112ln 2f x a x x x x=+−−−. (1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调区间；(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤−，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）19．已知椭圆22:14x C y +=.(1)若点()00,P x y 在椭圆C 上，证明：直线0014x xy y +=与椭圆C 相切； (2)设曲线()22:10O x y x +=≠的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以A ，B 为切点的椭圆C 的切线交于M 点，求MAB △面积的取值范围.。
深圳实验学校高二下学期期中考试数学试卷含答案
深圳实验学校第二学期期中考试试卷高二数学时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.1．已知集合{|4},{|1210}A x x B x x =≥=-≤-≤，则()A B =R( )A ．（4，＋∞）B ．[0，] C ．（12，4] D ．（1，4]2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是( ) A ．1y x =-与()21y x =-B ．1y x =-与11x y x -=- C ．4lg y x =与22lg y x =D ．()33y x =与y x =3．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：x （单位：万元）0 1 2 3 4 y （单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为 6.5ˆyx a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为( ) A ．42万元 B ．45万元 C ．48万元 D ．51万元4．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求 现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A. 132种 B. 76种 C. 144种 D. 78种5．若随机变量，，若，，则 A. B. C. D. 6．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为( ) A. 12 B. 23 C. 13 D.347．设函数2,1(),12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()2f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是( ) A ．[1,2]B ．(,0][0,2]-∞⋃C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必 须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若103p <<，则()D X 的范围是( )A ．19(0,)27B ．20(0,)81C ．1220(,)8181D ．1319(,)243243二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广东实验中学2008—2009学年高二下学期期中考试数 学（文科）本试卷共6页，满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式及数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++,21R =-残差平方和总偏差平方和第一部分（100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的，请把你认为正确的选项的序号涂在答题卡上） 1．计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A ．-2iB ．-10iC ．10D ．-22．复数2i i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系y 与x 的线性回归方程为5.175.6ˆ+=x y，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．404．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在：（ ） A ．大前提B ．小前提C ．推理过程D ．没有出错5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于600”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60B ．假设三内角都大于60C ．假设三内角至多有一个大于60D ．假设三内角至多有两个大于606．已知一曲线的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，则该曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线7．统计中有一个非常有用的统计量2k ，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班（甲班A 老师教, 乙班B 老师教）进行某次数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表．根据2k 的值,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为（ ） A ．99．5%B ．99．9%C ．95%D ．无充分依据．8．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．811 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 19．如图:在椭圆1162522=+y x 中有一内接矩形ABCD （四个顶点都在椭圆上）, A 点在第一象限内．当内接矩形ABCD 的面积最大时,点A 的坐标是（ ）A ．)22,225(B ．)2,25(C ．)2,22(D ．)568,1( 10．参数方程⎪⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
AB C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11= 。
12．若有一组数据的总偏差平方和为120，相关指数R 2为0．6，则残差平方和为 。
（公式见卷首） 13．给出右边的程序框图，程序输出的结果是 。
14．若P 表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q 表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是 。
15．在同一坐标系中，将曲线y=2cos3x 变为曲线x y '='2cos 3的伸缩变换是 。
16．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。
三、解答或证明题 17．（本题10分）在极坐标系中,设)4,2(πP ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为43π,求直线l 的极坐标方程．18．（本题10分）关于复数z 的方程).(0)2()(2R a i z i a z ∈=+-+- （1）若此方程有实数解,求a 的值;（2）用反证法证明:对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根．Q Q ⇒…第二部分（50分）19．（本题10分）已知,0,0>>b a 证明.22b a ba ab +≥+20．（本题12分,每小题6分）（1）．设平面内有n 条直线),3(≥n 其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数,则,__________)4(=f 当4>n 时________________)(=n f （用n 表示）．（2）．如图:若射线ON OM ,上分别存在点21,M M 与点,,21N N 则三角形面积之比.21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆若不在同一平面内的射线OQ OP ,和OR 上分别存在点2121,,,Q Q P P 点和点,,21R R 则=--222111R Q P O R Q P O V V _____________．QN 2N 1NM M 2M 1O21．（本题14分）设复数21,z z 在复平面上（O 为原点）对应的点分别为),cos ,1(),1,(sin 21θθZ Z 其中.22πθπ<<-（1）若,21OZ OZ ⊥求θ;（2）若,21OZ OZ OZ +=求点Z 的轨迹的普通方程;并作出轨迹示意图．（3+的最大值．22．（本题14分）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数且满足)()1()2(x f x f x f -+=+．已知15lg )2(,23lg )1(==f f ．（1）通过计算),......4(),3(f f ,由此猜测函数的周期T,并据周期函数的定义给出证明;（2）求)2009(f 的值．高二期中考试答案第一部分（100分）一． 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分:二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分: 11．_______2________ 12．_______48_______ 13．_______55_______14．____综合法______15．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 232316．32三．解答证明题:17．（10分）．解:法一．建立相应的直角坐标系,则)2,2(P 又 的斜率1-=k …．．+4 由点斜式得 的方程为)2(2--=-x y 即)(022*=-+y x ……．．+6 利用互化公式:⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入 )(* ………+8得 的极坐标方程为:2)4cos(=-πθρ ………+10法二．在 上任取一点).,(θρM 连OP OM , ……．+2 易知 ⊥OP ………+4 在OPM Rt ∆中ρ=OM , 2=OP , 4πθ-=∠MOP ………+8MOP OM OP ∠⋅=∴cos 即2)4cos(=-πθρ ………+1018（10分）．解（1）设R x z ∈=0 ………+1 代入方程得:0)2()(020=+-+-i x i a x即0)1()2(0020=--+--i x ax x ………+3⎩⎨⎧=--=--∴01020020x ax x 解得:1110=∴⎩⎨⎧=-=a a x ………+5（2）假设方程有纯虚根 )0(≠∈=b R b bi z 且 ………+6 则有:0)2()()(2=+-⋅+-i bi i a bi 整理得:0)1()2(2=--+-+-i ab b b………+7⎩⎨⎧=+=+-⇒⎩⎨⎧=--=-+-∴②ab ①b b ab b b 0102010222 ………+8方程①中07<-=∆ ∴方程组无解即不存在实数b 使方程①成立． ………+9 ∴假设不成立, 从而原方程不可能有纯虚根． ………+10第二部分（50分）19．（10分）．证明:要证b a b a a b +≥+22 ……+1 00,0>∴>>ab b a ………+2即证:)(2233*+≥+ab b a a b ………+42233ab b a a b --+)()(22a b b b a a -+-= ))((22b a b a --=0)()(2≥+-=b a b a ………+8 当且仅当b a =时取“二”号 ………+9)(*∴成立 从而原不等式成立． ………+1020．（每小题6分,共12分）（1）_____5____ , 222--n n ;（2）．212121OR OR OQ OQ OP OP ⋅⋅ ． 21（14分）．解（1）由21OZ OZ ⊥知:021=⋅OZ OZ ………+10cos sin =+∴θθ 1tan -=∴θ ………+2422πθπθπ-=∴<<-………+4（2）设),(y x Z ………5 则有)cos ,1()1,(sin ),(θθ+=y x)cos 1,sin 1(θθ++= ………+6 )22,(cos 1sin 1πθπθθθ<<-⎩⎨⎧+=+=∴为参数y x ………+8消去θ得:)21(1)1()1(22≤<=-+-y y x ………+10（3)cos 1()(sin θθ⋅+++=+i i ………+11 i )c o s 1()1(s i n θθ+++= 22)c o s 1()s i n 1(θθ+++=)4sin(223πθ++= ………．+12434422ππθππθπ<+<-∴<<-1)4sin(22≤+<-∴πθ ………+13+的最大值为.12+ ………+14 22（14分）．解（1）23lg )1(=f 15lg )2(=f)2lg 3(lg 15lg )1()2()3(--=-=f f f ………+1 110lg 2lg 5lg ==+= ………．．+215lg 1)2()3()4(-=-=f f f ………+3 15lg 115lg 1)3()4()5(-=--=-=f f f ………+4 )15lg 1(15lg )4()5()6(---=-=f f f =-1 ………+5 23lg 1015lg15lg 1)5()6()7(==+-=-=f f f ………+6 猜测:6=T …………+7 证明:由⎩⎨⎧+-+=+-+=+)1()2()3()()1()2(x f x f x f x f x f x f得:)()3(x f x f -=+ …………+9 又)()3()6(x f x f x f =+-=+ ………+10 据定义知:6=T …………+11（2）)53346()2009(+⨯=f f …………+13 .15lg )5(-==f …………+14。