线性代数总复习题(2004625)
线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
《线性代数》综合练习题,附答案
《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（ ）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （ ）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（ ）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （ ）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（ ）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（ ）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（ ）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数复习题部分参考答案
线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二） 一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则 ③①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案填空题1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
线性代数复习题汇总
线性代数复习题一一、填空题1．=---381141102 。
2．四阶行列式中项42342311a a a a 的符号为 。
3．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121的逆矩阵为 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11433013221253332311的行最简形为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--852*********的秩为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。
8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=236125273A ，其中ij a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。
这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6120011150083000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种产品的单件重量（单位；kg ）。
该工厂发送的产品总价为 ，总重量为 ．9．设A 为3阶矩阵，21=A ，则()=--*152A A ． 10．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,121,35,32b a 的秩为2，则=a ，=b ．11．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ，=10A ． 12．设四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解可表示为 ．二、解答题1．求行列式的值343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D =2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=证明：向量组4321,,,ββββ线性相关．5．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21034011a A ，2是A 的一个特征值，（1）求a 的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的属于特征值2的特征向量。
(参考资料)线性代数(本科)总复习题答案
２１．设 A 为 m × k 矩阵， B 为 l × n 矩阵，如果 A + BC T 有意义，则矩阵 C 的行、列数为 Ｄ （Ａ） m × l （Ｂ） m × n （Ｃ） k × l （Ｄ） k × n
２２．在上题的条件下，有 Ａ
（Ａ） m = l （Ｂ） m = n （Ｃ） k = l （Ｄ） k = n ２３． m × n 非齐次线性方程组 AX = b 有无穷多解的充分必要条件是 Ｄ
( ) （Ａ） r(A) = m （Ｂ） r(A) < n （Ｃ） r(A) = n （Ｄ） r(A) = r A~ < n
１１．设 u1, u2 均为非齐次线性方程组 AX = b 的解，则下列哪一个也是方程组 AX = b 的解 Ｄ （Ａ） u1 + u2 （Ｂ） u1 − u2 （Ｃ） 2u1 + u2 （Ｄ） 2u1 − u2
１２．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则有 Ｂ
( ) ( ) ( ) ( ) （Ａ） A2B2 T = AT BT 2
（Ｂ） AT BT −1 = A−1B −1 T
( ) ( ) （Ｃ） A−1B −1 2 = A2 B 2 −1
（Ｄ）都不对
１３．设向量组α1,α 2 ,L,α r 及向量 β 满足 r(α1,α 2 ,L,α r , β ) = r(α1,α 2 ,L,α r ) = r ，则 Ａ
（Ａ） β 可由α1,α 2 ,L,α r 线性表示，且表示法唯一 （Ｂ） β 未必可由α1,α 2 ,L,α r 线性表示
线性代数（本科）总复习题答案
一、单项选择题
１．矩阵运算 AB 有意义是 A + BT 有意义的 Ｂ
（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件
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线性代数总复习题(2004.6.25)一、填空题1、设向量组β1 =（1，1，1），β2 = （1，2，1），β3=（1，3，t ）的秩为2，则t =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
2、设向量组α1=（1，2，3），α2=（1，1，1 ），α3=（1，2，t ）线性相关，则t =⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
3、设向量组α1=（1，2，3），α2=（1，1，1 ），α3=（1，2，t ），则t ________时线力量性无关。
4、设A 为3阶方阵，且满足A 2+A =E ，则R （A +E ）= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
5、设A 为4阶方阵，且满足A 3-A =E ，则R （A -E ）= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
6、设α = （1，3，5），β =（3，-2，1），令A =αT β，则A n = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
7、、设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； 8、、设1是矩阵A 的一个特征值，且B = A 3- A ，则|B |=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
9、已知4阶行列式D 的第二行元素分别为-1，0，2，4，第4行元素的余子式依次为2，10，y ，4，则y = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
10、设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=2，|B |=4，则|2A *B -1|= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
11、设3阶方阵A =（ij a ）的特征值为1，3，5，则|A |=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
12、设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=2，|B |=4，则|A *B -1|= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
13、设3阶方阵A =（ij a ）的特征值为1，3，5，则Tr=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
14、设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;15、设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ; 16、设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B ＝21，则1(2)--O B A O ＝ ; 17、设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;18、设三阶方阵A =（ij a ）的特征值为1，2，3，则112233a a a ++=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
19、设233222213234x x x x x f +++=λ为正定二次型，则λ的取值范围⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
20、设222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ的取值范围⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
21、设222121333323f x x x x x λ=+++为正定二次型，则λ的取值范围⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
22、设3阶矩阵1122,2,3⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A=B=αβγγγγ其中α， β， γ1， γ2均为3维的行向量，且|A |=18，|B |=2，则|A -B |= 。
二、单项选择题（每小题3分，共计15分）1、设n 阶方阵A 、B 、C 满足BCA = E ，则下面的结论正确的是（ ）。
（A ） ACB = E ； （B ）CBA = E ； （C ）CAB = E ； （D ）BAC = E 。
2、设n 阶方阵A 、B 、C 满足CBA =E ,则下面结论正确的是（ ）。
（A ）CAB =E ； （B ）ACB =E ； （C ）ABC =E ； （D ）BCA =E 。
3、若A ，B 为同阶方阵，且满足AB ＝0，则有（ ）（A ）A ＝0或B ＝0； （B ）|A |＝0或|B |＝0；（C ）(A ＋B )2＝A 2＋B 2； （D ）A 与B 均可逆；4、若由AB =AC （A ，B ，C 为同阶方阵）能推出B =C ，则A 满足（ ）（A ）A ≠0； （B ）A ＝0； （C ）|A |≠0； （D ）|AB |≠0。
5、若A ，B 为同阶方阵，则有（ ）（A ）(AB )k ＝A k B k ； （B ）|-AB |＝－|AB |；(C)E2－(AB)2＝（E－AB）（E＋AB）；（D）|A＋B|＝|A|＋|B|。
6、已知A为n阶方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A则（）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）B1-＝A；（D）不一定。
7、若A，B，(B1-+A1-)为同阶可逆方阵，则(B1-+A1-)1-＝（）（A）B1-+A1-；（B）B＋A；（C）(B+A)1-；（D）B(B+A)1-A。
8、设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则下面结论正确的是（）。
（A）α1，α2，α3线性相关；（B）α1，α2，α3线性无关；（C）α1能由β，α2，α3线性表示；（D）β能由α1，α2线性表示。
9、已知β可由α1，α2，α3线性表示，而β不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（）。
（A）α3 能由α1，α2，β线性表示，也能由α1，α2线性表示；（B）α3 能由α1，α2，β线性表示，但不能由α1，α2线性表示；（C）α3不能由α1，α2，β线性表示，也不能由α1，α2线性表示；（D）α3不能由α1，α2，β线性表示，但能由α1，α2，线性表示。
10、设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。
（A）α1，α2，α3 - α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1。
11、设n元线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（）。
（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（B）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；（C ）2α2 -α1，12α3 -α2，α1 -α3； （D ）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3。
12、设A 为n 阶方阵，且A 3=2E ，又B =A 2+A +E ，则R （B ）= （ ）。
（A ）0； （B ） 1； （C ） 3； （D ）n 。
13、设A 、B 均为n 阶非零矩阵，且AB =O ，则R (A )和R (B )满足（ ）。
（A ）必有一个等于零； （B ）都等于n ；（C ）一个小于n ，一个等于n ； （D ）都等于n 。
14、已知12324369t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，B 为3阶非零方阵，且AB =O ，则（ ）。
（A ）t = 6时，R(B )必为1； （B ）t = 6时，R (B )必为2；（C ）t ≠6时，R(B )必为1； （D ）t ≠6时，R (B )必为2。
15、设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，则线性方程组ABx =0( )。
（A ）当n ＞m 时，仅有零解；（B ）当n ＞m 时，必有非零解；（B ） 当m ＞n 时，仅有零解；（D ）当m ＞n 时，必有非零解。
16、设Ax =b ,其中A m ×n ,R (A )=r ,则（ ）。
（A ）r =m 时，Ax =b 有解； （B ）r ＜m 时，Ax =b 有无穷多解；（C ） r ≠m 时，Ax =b 有唯一解；（D ）r =m 时，Ax =b 有唯一解。
17、设β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解， α1，α2是其对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系，k 1,k 2为任意常数，则线性方程组Ax =b 的通解为（ ）。
(A) k 1α1+k 2α2+122-ββ ； (B) k 1α1+k 2(α1+α2)+122-ββ ； (C) k 1α1+k 2( α1-α2)+122+ββ； (D) k 1α1+k 2(β1-β2)+ 122+ββ。
18、已知α1，α2是齐次线性方组Ax =0 的基础解系，β1，β2是非齐次线性方程Ax =b 的两个不同的解向量，k 1,k 2为任意常数,则Ax =b 的通解为（ ）。
（A ）k 1α1 + k 2α2 +21（β1-β2）； （B ）k 1β1 + k 2β2 + 21（α1-α2）； （C ）k 1α2 +k 2（α1+α2）+21（β1+β2）； （D ）k 1α1+ k 2(β1-β2)+21（β1+β2）。
19、 设A 为m ×n 矩阵，Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）。
（A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；（B ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0只有零解；（C ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0有非零解；（D ）若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多组解。
20、设α1，α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量，k 为任意常数，则方程组Ax =0的通解为（）。
（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k (α1-α2)； （D ）k (α1+α2)。
21、设矩阵12123111100010111123010100357591201001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=A ,B ,P ,P,则B =（ ）。
（A ）P 2P 1A ； （B ）P 1P 2A ； （C ）AP 1P 2； （D ）AP 2P 1。
22、已知矩阵12111122100010122111010100230341101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,B ,P ,P , 则B =（ ）。
（A ） P 1P 2A ； （B ） P 2P 1A ； （C ） AP 1P 2； （D ） AP 2P 1。
23、已知矩阵12111234100010234,111,010,100,345456101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ΑΒΡΡ 则B =（ ）。
（A ） P 1P 2A ； （B ）AP 2P 1； （C ）AP 1P 2； （D ） P 2P 1A 。
24、设矩阵12111121100010121,111,010,100,234123101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B P P 则B =（ ）；25、（A ）P 1P 2A ； （B ）P 2P 1A ； （C ）P 1AP 2； （D ）AP 1P 2。
已知正定矩阵200032023,Α=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则A 相似的对角矩阵为（ ）。