安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测(数学理)(word版)
安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案
合肥市2013年高三第三次教学质量检测数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）第I 卷（满分50分）—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 设集合M={R x ∈|x 2<4},N={-1,1,2},则M N ＝( ) A{-1，1，2} B.{-1，2} C.{1，2} D{-1，1}2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b 均为实数，i 为虚数单位），则a+b =( ) A. -2B.4C.2D.03. 等比数列{a n }中，a 2=2，a 5 =41，则a 7 =( ) A. 641 B. 321 C. 161 D. 814. “ m < 1 ”是“函数f(x) = x 2-x+41m 存在零点”的（ )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 右边程序框图，输出a 的结果为（ ） A.初始值a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值c6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥+033206322y x y x y x ，且z=x 2+y+，则z 的最小值是（ ）A.4B.1C. 18D.y7. P 是正六边形ABCDEF 某一边上一点，AF y AB x AP +=，则x+y 的最大值为（ ) A.4 B.5 C.6 D.78. 右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面 积为（ ）A.20 + 17πB.20 + 16πC. 16 + 17πD. 16 + l6π9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作， 每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（ )A.103 B. 207 C. 52 D. 3013 10.定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当a ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩⎨⎧<--≥)0)((log )0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）A. 1006B. 1007C. 2012D.2014第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.已知抛物线的准线方程是x=21，则其标准方程是______12.关于x 的不等式log 2|1-x| > 1的解集为_______ 13.曲线C 的极坐标方程为: θρcos 2=，曲线T 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=121t y t x (t 为参数），则曲线C 与T 的公共点有______个.14.如图，一栋建筑物AB 高（30-103)m ，在该建筑 物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处 测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m.15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个；②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与平面PQR 所成的角为60°; ④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是121 ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表面上运动，则ONOM .的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）. 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知函数f(x)=Asin())2,0(,0,0(),πϕωϕω∈>>+A x 部分图像如图所示.(I)求函数f(x)的解析式; (II)已知)2,0(π∈a ），且32cos =a ，求f(a).17.(本小题满分13分）如图BB 1,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面.(I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.(i)求证:CD 丄平面DEF;(ii)求二面角D-EC1-D1的余弦值.18.(本小题满分12分）已知f(x) = log a x- x +1( a>0，且a ≠ 1).(I)若a=e,求f(x)的单调区间；(II)若f(x)>0在区间（1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.19.(本小题满分13分）根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年级开展中小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级10个班级,确定甲、乙、丙三条研学旅行路线.为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签各三张，由高一（1)〜高一（9)班班长抽签,再由高一（10)班班长在分别写有甲、乙、丙字样的三张签中抽取一张.(I)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件A，求事件A的概率P(A);(II )设高一（l)、高一(2)两班同路线为事件B,高一（1)、高一（10)两班同路线为事件C，试比较事件B的概率P(B)与事件C的概率P( C)的大小；(III)记（II)中事件B、C发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ20.(本小题满分12分）平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,P 为平面内动点,作PQ 丄l ，垂足为Q ，且||2||PM PQ =.(I)求动点P 的轨迹方程；(II )过点M 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于点A 、B ，线段AB 的垂直平分 线交x 轴于点H ，试判断||||AB HM -是否为定值.21.(本小题满分13分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的*N n ∈，都有a n >0,S n = 33231...n a a a +++(I)求a 1，a 2的值；(II)求数列{a n }的通项公式a n (III)证明：ln2≤a n ·ln(1+)1na <ln3。
安徽省合肥市高三数学第三次质检 理
合肥市2011年高三第三次教学质量检测数学试题（理）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合2{|280},{|1},A x x x B x x =+-<=<则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|42}x x -<<C ．{|81}x x -<<D ．{|12}x x ≤< 2．已知复数()1aia R i∈+对应的点都在圆心为原点，半径为2的圆内（不包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．（-2，2）B ．（0，2）C ．(7,7)-D ．(2,0)(0,2)-3．0a <且10b -<<是0a ab +<的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，已知角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且3,8,60,a c B ===则sin A 的值是（ ） A ．316 B ．314C ．3316D ．33145．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ．166．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωφωφ=+><的部分图像如图所示，则,ωφ的值分别为（ ） A ．1,23π B ．2,3π C ．1,26π D ．2,6π7．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（ ） A ．925 B ．625C ．310D ．128．执行如图程序，输出的结果为（ ）A ．89100 B ．89144 C ．68100 D ．681109．已知函数()f x 对应关系如表所示，数列{}n a 满足：113,(),n n a a f a +==则2011a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．不确定10．已知函数32(),f x x ax bx c =+++若()f x 在区间（-1，0）上单调递减，则22a b +的取值范围（ ）．A ．9[,)4+∞ B ．9(0,]4 C ．9[,)5+∞ D ．9(0,]5第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置） 11．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有 种（用数字法作答）．12．已知P 为直线250x y +-=任意一点，点Q 为221169x y +=上任意一点，则||PQ 的最小值为 ．13．在ABC ∆中，,6,4,AB AC AB AC ⊥==D 为AC 的中点，点E 在边AB 上，且3,AE AB =BD 与CE 交于点G ，则AG ·BC = ．14．设函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则函数()y f x =在区间[0，100]上至少有个 零点．15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,//.AB DC AE DC BE AD ⊥M 、N 分别是AD 、BE 上点，且AM BN =，将三角形ADE 沿AE 折起。
2013年安徽高考数学真题(理科)解析版(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A ，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11nnn n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan 22.51tan45︒-=︒=︒和tan22.50︒>，得tan22.51︒，因此1)OC h ==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠---=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．祝福语祝你考试成功!。
安徽省合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学(理科)试卷文字版含答案
合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间:120分钟 满分:150 分）注意事项:1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，集合{}20<<=x x A ，{}3<=x x B 则B A C R I )(=A ．{}32<<x xB ．{}32<≤x xC ．{}320<≤<x x x 或D ．{}320<≤≤x x x 或2．若复数21,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，i z +=11，则21z z ⋅=A ．2-B ．i 2-C ．2D ．i 23．某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好管理和宣传工作．若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自已居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为A ．95B ．94C ．454D ．1352 4．已知双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的顶点到渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 A ．32 B ．2 C ．23 D ．332 5．“关于x 的方程x x a 2)12(=+有实数解”的一个充分不必要条件是A ．131<<aB ．21≥aC ．132<<aD ．121<≤a 6．已知23)3tan(=+πα，则ααααsin cos 3cos sin 3-+= A ．91 B ．93 C ．31 D ．33 7．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米A ．18870109-⨯斗B ．10101078810-⨯斗C ．1010978810-⨯斗D ．1010878810-⨯斗 8．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若B c b a cos 2=+，则2)(bc a b +的最小值为 A ．22 B ．3 C ．32 D ．49．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，该激光测速仪工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移λϕsin 2v f p =，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，入为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图．若该激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm=9-10m ） ，测得某时刻频移为）（h /110030.99⨯，则该时刻高铁的速度约等于A ．h km /320B ．h km /330C ．h km /340D ．h km /35010．在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=AD=6，AA 1=2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD=∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于A ．32πB ．πC ．34π D ．π2 11．已知不等式)]1ln([1+->--x x m x e x 对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是A ．]3,(e -∞B ．]2,(e -∞ C ．]1,(-∞ D ．],(e -∞12．在矩形ABCD 中，AB=4，BC=34，点G ，H 分别是直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P ．若）（，10212<<==λλλCB CG DC DH ，矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是N ，则△PMN 的周长为A ．12B ．16C ．λ24D ．λ32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．某高中各年级男女生人数统计如下表:性别人数年级高一 高二 高三男生592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中a= .14．5)44(x x +-的展开式中2x 的系数为 .15．已知数列{}n a 中n a n =．数列{}n b 的前n 项和12-=n n S ．若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和M T n <对于*N n ∈∀都成立，则实数M 的最小值等于 .16．已知三棱锥A —BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直．其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D ，在下列所给的命题中，正确的有 （请写出所有正确命题的编号）。
安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案
马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测理科数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合2{|40}A x x =->，{|21}xB x =<，则A B =（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x < （D ）{|22}x x x <->或【答案】选（B ）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）已知复数2(1)(2)i ()z a a a =-+-∈R ，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】选（A ）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<= （A ）0.6 （B ）0.4 （C ）0.3（D ）0.2【答案】选（C ）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（A ）22cos sin y x x=- （B ）lg ||y x = （C ）2x x e e y --=（D ）3y x =【答案】选（B ）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）在极坐标系中，直线2sin()24πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是 （A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）无法确定 【答案】选（C ）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题． （6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是 （A ）12π （B ）13π （C ）15π（D ）17π【答案】（D ）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题． （7）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）423+（B 31（C ）31+（D 31【答案】（D ）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）18 （C ）12（D ）6【答案】（B ）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*14()n n a S n +=∈N ，则6a =（A ）445⨯（B ）4451⨯+（C ）55（D ）551+【答案】（A ）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是 （A ）()f x 在(0,1)上恰有一个零点 （B ）()f x 在(0,1)上恰有两个零点 （C ）()f x 在(1,2)上恰有一个零点（D ）()f x 在(1,2)上恰有两个零点【答案】（C ）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ▲ ． 【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y =+的最大值为 ▲ ． 【答案】3．【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）执行下边的程序框图，输出的T = ▲ ．【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）ABC △中，向量AB 与BC 的夹角为56π，||2AC =，则||AB 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题． （15）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从顶点A出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： ① 有12个顶点；② 有24条棱； ③有12个面；④ 表面积为23a ；⑤ 体积为356a ．其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的编号）． 【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）已知函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）3111()2cos 2sin(2)2262f x x x x πωωω=--=--，……4分由题，222T ππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x x π=--． ……6分（Ⅱ）由22221cos 222a c b ac ac x ac ac +--=≥=，知：(0,]3x π∈， ……9分从而74-(-,]666p p p x ∈，所以函数()f x 的值域为1[1,]2-．…12分（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求随机变量ξ的分布列与期望． 【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得： 2434664()1()15A A P A P A A =-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624()5A A A A A P A A A =+=）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4， 且2651(0)3P C ξ===,2644(1)15P C ξ===,2631(2)5P C ξ===,2622(3)15P C ξ===,2611(4)15P C ξ=== [另解：2525661(0)3A A P A ξ===，214244664(1)15A A A P A ξ===，223243661(2)5A A A P A ξ===，232242662(3)15A A A P A ξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：ξ 01 2 3 4P13 415 15 215 115所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2OF//BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ，∴OF//CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等， 由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。
合肥市2013年高三第一次教学质量检测数学试题(理)
合肥市2013年高三第一次教学质量检测,数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）注窻事项：1.答趙前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号疾备佘的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、萆稿纸上答题无效第I卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项t,只有一项是符合题目要求的）1. 复数311ii-+（i为虚数单位）的模是（)A. 5B. 22C. 5D.82. 已知集合M=｜1，2，3,4,5｜，N=2||11xx≤-，则=()A.{4，5}B. {1,4,5}C.{3,4,5}D.{1，3，4,5}3. 已知命题p:若(x-1)(x-2)≠0则x ≠1且x≠2命题q:存在实数x。
,使02x<0下列选项中为真命题的是（) A p⌝ B. q p⌝∧ C. p q⌝∨ D.q4.一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（) A. 1225+ B. 1425+ C. 1425+ D. 1825+5.双曲线22221(0)x y a b b b+=>>的一条渐近线平分圆C(x-1)2+(y-2)2=1的周长,此双曲线的离心率等于（）A. 5B. 2C. 3D. 26. 将函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象向左平移2π个单位,所得函数的图象与函数y=f(x)的图象关于-轴对称，则ω的值不可能是（）A.2B. 4C. 6D. 107-将包含甲、乙两队的8支队伍平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同 小组的分组方案有（）A.20 种B.35 种C.40 种D.60 种8以S n 表示等差数列{a n }的前n项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是（）A.2a 3>3a 4B. 5a 5>a 1+6a 6C.a 5+a 4-a 3<0D. a 3+a 6+a 12<2a 79执行右边的程序框图,输出的结果是（）A.63B. 64C. 65D.66 10函数f(x)=e x +x 2+x+1图象L 关于直线 2x-y-3 =0对称的图象为M,P 、Q 分别是两图象上的动点,则||PQ 的最小值为（）A. 55B. 5C. 255D. 25 第II 卷（满分100分）二、填空题（本大題共5小题,每小题5分，共25分.把答案填在答題卡的相应位里）13.14.在梯形ABCD中，Ab //CD ，AB =2CD ，M、N分别为CD、BC的中点，若AB AM AN λμ=+， 则λμ+=_____15 已知函数f(x)=xlnx ，且x 2>x 1>0，则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号). ①1212().(()()0x x f x f x --<②1212()()1f x f x x x -<-； ③1222()()()f x f x x f x +<；④2112.().()x f x x f x <； ⑤当lnx 1=-1时，112221.()()2()x f x x f x x f x +>.三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟） 16(本小题满分12分）(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(II)在ΔABC 中,角A ,B,C 所对的边是a ，b ,c.若.f(A)=1,b=2,sinA=2sinC ，求边c 的长 17 (本题满分12分）某地统计部门对城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，共收到1万 份答卷.其统计结果如下表(表中人数保留1位小数）：(I)根据表1画出频率分布直方图；(II)对幸福指数评分值在[50，60]分的人群月平均收人的统计结果如表2，根据表2按 月均收入分层抽样,从幸福指数评分值在[50，60 ]分的人群中随机抽取10人，再从这10 人中随机抽取6人参加“幸福愿景”座谈会.记6人中月均收人在[1000，3000)元的人数 为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与期望.18(本题满分13分）已知数列{a n}的前》项和为S n ,且2S n +3=3a n (*n N ∈) (I )求数列{a n }的通项公式；(I I )设b n =1241,...n n n n T b b b a +=+++，求证：*7()2n T n N <∈. 19(本題满分13分）已知函数2()2ln(1)()f x x x ax a R =+++∈.(I )若函数f(x)的图象上任意一点P 处的切线的倾斜角均为锐角,求实数a 的取值范 围； (I I )求函数f(x)的单调区间.20(本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是边长 为2的正方形，PA=PB ，O 是AB 的中点， PO 丄 AD,PO=2.(I)求二面角O-PC-B 的余弦值；(II )设M 为PA 的中点，N为四棱银P-ABCD 内部或表面上的一动点,且MN//平面PDC,请你判断满足条件的所有的N 点组成的几何图 形(或几何体)是怎样的几何图形(或几何体），并说明你的理由.21•(本題满分13分）已知F 1 ,F 2分别为椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下焦点,其中F 1,也是抛物线C 2:的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF = (I)试求椭圆C 1的方程； (II )若直线l与椭圆C 1相交于A,B 两点（A，B 不是上下顶点），且以AB为直径的圆过 椭圆C 1的上顶点.求证：直线l 过定点.。
安徽省合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学(理)试题Word版含答案
、选择题：本大题共 题目要求的. 1.已知复数 A.3 A ・LJ 合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（理科） （考试时间：120分钟 满分：150分） 12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 二|（也为虚数单位），则 L= A ={x E R x 2_2x 工。
}B ={x 乏 R|2x 2 —x 一1 =0 } ，则 (C R A)I B =D. 2.已知集合 C.B.凹 D.B.2C. 3.已知椭圆 ■2匝週，可，| B （0, 3 ］|，则椭圆［E 的离心率为 A . 2 B.C .4 D.5 3399E :=11(|a >b >0|)经过点4.已知 f （x ）=x 乍为奇函数，且在0,上单调递增，则实数□的值是 A.-1 , 3 B. 1 ,3 D. 11 |幵始 332 ， ； = L s =1C.-1 , 5.若I , m 为两条不同的直线, 叵］为平面，且||丄G ，则 是"m 丄I ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 s-2s-k6.已知（1 —2x n （n E N * ）展开式中団的系数为 七0|，则展开式中所 有项的二项式系数之和为 A.64 B.32 C.A. a 3>b 3a ,b 满足 a a >b b7.已知非零实数 则下列不等式一定成立的是 2 2a bB.1 1-<-D.log 1 | a b2C.a | - log J b"28.运行如图所示的程序框图，若输出的 rs 值为口0，则判断框内的条件应该J3A. k <3?B. k<：4?C. k <；5?D.9. 若正项等比数列 国|满足卜凤+=22・(n W N * f ，则囤―as|的值是16. 210. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有 不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童 .如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2和4,高为2,则该刍童的表面积为已知函数f (X )=X 2 —X T —2有零点|x ，X 2，函数2I. .Ig (X )=X -(a +1)x _2 有零点 X 3，X 4，且 X 3 £X 1 <x ^ <x ,，则实数迢的 取值范围是第n 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题一第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置x y -1_0x-y-1乞0x-3y 3_0(15) 在| ZABC|中，内角| A, B , C |所对的边分别为|a , b, c |.若|A=4$ ,2bsin B -csin C =2asin A |, 且 | AABC 的面积等于 ③，则0= ______ . _____(16) 设等差数列 匹的公差为□，前tn 项的和为［S3，若数列V S 石｝也是公差为□的等 差数列，则乔 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分)k ：：：6?B.40C.16 12.3 D. 16 12 512. (13)若实数可刃满足条件 ，贝U z =2x —y 的最大值为(14)已知 0A=(2/3, 0 \uuOB =：［0, 2C.2D.A.B. C.(-2 ，0) D.uuu uurAC 二 tAB ，t R已知函数 f (x ^J3s\n xcosx 一1 cos" 2x -- I l 丿 2 I 3」(I )求函数|f X 图象的对称轴方程;求函数［~g —x 的值域.(18) (本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北 京和张家口举行•为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机(i )根据上表说明，能否有［99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(n )现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取 12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动 .(i )问男、女学生各选取了多少人?(ii )若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取 的3人中女生人数为［X ，写出 冈的分布列，并求 E(XP(K 2 % )I0.100.050.0250.010.005k o2.706 |3.841 5.0246.6357.879K 2 一n (ad -be ：K — (a +b )(c +d ) (a +c [b +d )附:,其中 n = a +b +c +d(n )将函数 |f X 图象向右平移'■个单位，所得图象对应的函数为抽取了 120名学生，对是 式情况进行了问卷调查,收看没收看 男生 60 20 女生2020否收看平昌冬奥会开幕 统计数据如下：CB_1(x -2 j +(y -1 j =5 .以原点C 为极点，冈轴正半轴为极轴建立极坐标系(19) (本小题满分12分)如图，在多面体| ABCDE|中，平面［ABD ］丄平面| AB 丄AC |, | AE 丄BD |, D^ 2 AC, AD=BD=1.(I )求AB 的长;(II)已知|2兰AC 兰4，求点E 到平面BCD 勺距离的最大值(20) (本小题满分12分)已知抛物线C:y 2 =2px (| p>0|)的焦点为 0，以抛物线上一动点 回为圆心的圆经过点 F. 若圆|_M 的面积最小值为|二.(i )求巴的值；(i )当点 M 的横坐标为i 且位于第一象限时， 过［M 作抛物线的两条弦 L AMF 二.BMF .若直线AB 恰好与圆 M 相切，求直线 AB 的方程•MA , MB ,且满足(21) (本小题满分12分)1 I ------- 1已知函数f (x )=e x -§X 2 -ax 有两个极值点R, X 2I (囤为自然对数的底数).(I )求实数回的取值范围； (I )求证：If (x j+f (x ^>2.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按 所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑(22) (本小题满分10分)选修4 — 4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系 |xOy 中，直线0的参数方程为(n)设函数|f X的最小值为［£, 实数a, b满足|a >0|,b>0 , a+b=c ,求证：(I )求直线山及圆C的极坐标方程；(n )若直线［T|与圆C交于d，B］两点，求Icos^AOB I的值.(23) (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x)=|x_1冋x—3 (I )解不等式f (X )兰X+1 ；a 1b 1_1合肥市2018年高三第三次教学质量检测 数学试题(理科)参考答案及评分标准、选择题：本大题共 12小题，每小题5分.题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C A B ABACDCDC、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.3 (13)4 (14)3(15)3 (16)4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)(n )易知 g (x )=2(sin l 2x I 3丿］(18) (本小题满分12分)22 120 60 20 -20 207.5 6.63580 40 80 40所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关(n )( i )根据分层抽样方法得，男生所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.f fx \ = ^/3sin xcosx —Icos ' 2x ——2 2 I3 /sin 2x-、cos2x4 4Jsin 2 ''2x -i 1I 6」(I ) JI Ji令2x 丄=一十km , k 乏Z ，解得 JI 丄knx = + _3 2•••函数I f X 图象的对称轴方程为 "Z.3 231-X12 =9 人，女生 _X12 =3 44人,a n即当x € ”冷h 寸，函数|g(x ］的值域为12分(I )因为K12(ii )由题意可知，[X 的可能取值有0, 1 , 2, 3.P (X =0, P(X=1)=C 9C' 丿 C 12220 \ 丿•••国的分布列是:回罔制回84 220108 22027 2201 220E(X )=0 汇竺+12' ‘ 220 220 220 220 4 '(19) (本小题满分12分)(I 厂•平面ABDL 平面ABG 且交线为 AB,而Ad AB • AC !平面 ABD. 又••• DE// AC • DEL 平面 ABD 从而 DEL BD.注意至U BDL AE 且DEH AE=E •- BDL 平面 ADE 于是,BDL AD. 而 AD=BD=1 • AB =72(n ) ••• AD=BD 取 AB 的中点为 O • DOL AB. 又•••平面 ABDL 平面 ABC •- DQL 平面 ABC.过O 作直线 OY// AC 以点 O 为坐标原点，直线 OB OY OD 分别为|X, y , Z 轴,建立空间直角坐标系|O -xyz|,如图所示.、 ________ __________ (品 \记 AC =2a ,则 1 Ea 兰2 , A —— , 0 0 , B l — , 0 0 , I 2 丿I 2 川C 雀,2a 0】蟲0应E L -a 唾"BC =(-T 2 , 2a , 0)趾Z 2 , 0毋1 2 丿12」12」I22丿G=(x , y , z].令 x=迈，得 n = 172, — , V 2 ||.a i又••• DE =(0 , —a ,叮，•点E 到平面BCD 的距离13C l 32108 220 p X =2 =CCC 3C 1227 ——,P X =3 =220 C 0C3121 220(20) (本小题满分12分)(I )由抛物线的性质知，当圆心Ml 位于抛物线的顶点时，圆［Ml 的面积最小,, y A —y B y A —y B 44k AB 221XA —XB 竺 y By A +y B -4经检验m =3 +2血不符合要求，故 •••所求直线|AB |的方程为y=-x+3-2逅.(21) (本小题满分12分)(I 厂.f (x )=e x _2x 2—ax , • f '(x )=e x _x _a 设 g(x)=e x —x —a ，则 g'(x)=e x —1 令 g '(x )=e x -1 =0，解得 |x =0 ..••当 x ^(q, 0 ］时,g "(x )c 0 ；当 x ^(0,+珀j 时,g '(x )>0设直线［AB 的方程为y =_x+m ，即 x +y —m = 0 .由直线|AB 与圆|M 相切得, 解得 m=3±2VS.1兰a 兰21…••当匠2时，d 取得最大值，d max此时圆的半径为|OF 二：，.•，：P(n )依题意得，点［M 的坐标为(1 , 2)，圆 M 的半径为2. 由巳(1 , 0)知， 由 更三ZBM 已知，弦，亟所在直线的倾斜角互补，二 MF 丄x 轴.k MA +k MB =° . 设 k MA =k ( k 式0 ),则直线［MA 的方程为y =k (x —1 )+2 ,.••1x=k (y —2严, 代入抛物线的方程得, 丄 4 4 •- * 2和‘“厂2211 y 2 48y =4匸(y -G+1 ［，• y -“+厂4=0,将冋换成匡，得4 y-k-212分，解得P =2 .二g g n =g（o 冃_a.12当|a兰1卩寸,g（x）=f 0）畠0 函数| f （x j单调递增，没有极值点;当|a >11时，g（0 ）=1 _a <0，且当|XT亠i时，g（x戸范；当|^^^|时，g（x戸扫c•••当|a >11时，g（x）= f [x）=e x—x—a有两个零点卜，x?.不妨设X i c x z|，贝U X i <0 e x?.•当函数f （x j有两个极值点时, g的取值范围为（1,畑卜..................... 5分（n ）由（I）知，区込为叶）=01的两个实数根，<0<x2〔，应寸在甘上单调递减Fg(%)=e X2 _x2 -a =0，得X2a = e — X2，…g(_x2)=e丛十％ -a=e」2 _e X2+2X2设h(x则h '(x )= J -e x +2 <0 ,.••阡可在|(0, 上单调递减,eh(x )<；h(0 )=0, …h(x2 )=g(-X2 )<0，…X1 v-X2 <0•••函数f（X j在（為，0 j上也单调递减，••• f （X1）A f （二f (—X2 )+f (X2 )>2，即证e"2+e」2—X：—2 >0•要证f（X! ）+f （X2 ）>2，只需证设函数k(x)=e X-x2-2, x^(0,址)j，贝y k "(x )=e x—e」一2x .设®(x )=k"(x )=e x -e» -2x，则(x )=e x+e」一2 >0 ,•®(x j在(0,+立|上单调递增，•护(x )><P(0) = 0,即k"(x)>0.•k(x 在|(0,，立)上单调递增，• |k(x)A k(0)=0..••当X€(0,+P )［时,|e x+e丄_x2 _2*0〔，则間2+e」2 _x； _2 >01,• f (f )+f(X2 )>2 , • f (x j+f(X2)A2 . ..................................................... 12 分（22）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程（I ）由直线[T|的参数方程•直线0的极坐标方程为PsinT=Pcos日+2又•••圆C的方程为|（x -2 2 +（y -1 丫=5 ,2将｛；囂鳥代入并化简得尸E 吧•••圆C 的极坐标方程为 P=4cos 日+2sin B(n )将直线 呂：Psin 日=PcosG +2与圆 C : P =4cos 日+2sin 日联立，得(4cos0+2sin 8]sin 日一cos 0)=2 ,(23) (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲• g (x )=£sin ?x_詈* F4 4 整理得 2sin 8cosO =3cos 6 ，… 0 =—，或 tan B =32点B 对应的极角为 不妨记点A 对应的极角为 且| tan 日=3 于是, 心 ”cos/AOB =cos l - 12 .丿j J 10 10 10分(I ) f (X )兰x +1，即 x_1| +|x Ex +1(1)当x <1时，不等式可化为 4—2x 兰x+1, x^1(2) 当|1兰x 乞31时，不等式可化为|2Ex+1, x 同.又••• |1 Wx 兰3|, • |1 兰x 兰3 .(3) 当代3时，不等式可化为|2x —4兰x+1, 疋5 又|x >31, • |3 ex 兰5.1兰x 兰，或 3£X 兰5 ，即 1兰x 兰综上所得,•原不等式的解集为11, 5：. (n )由绝对值不等式性质得, |x -1|+|X -3|=K 1_X F (X _3] =2 , • |c =21，即 a +b =2令 a 十1 =m, b 也=n ，贝V |m >1, n >1 a =m -1, b=n 「1, m 亠 n=4 2 j2 2 b m —1 n —1 1 1 4 4 + ----- =---------- L +3 ------ L. =m +n +— + ------4 =— >— ----------- — =1a 1b ' 1 m n m n mn 原不等式得证 10分。
安徽省蚌埠市2013届高三第三次教学质量检查考试数学(理)试题(扫描版)
蚌埠市2013届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准二、填空题：11.2 12. 30 13.14. 64 15.12三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f )62sin(2π+=x…………………3分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， 从而1sin(2)126x π-≤+≤. 故函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[-1,2]. ……………………………6分（Ⅱ）因为()2sin()226C f C π=+=，所以sin()16C π+=而0C π<<，即7666C πππ<+<故62C ππ+=从而3C π=.……………………………………………………………………12分17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连结PF ，EF ．因为P 是BC 的中点，所以AC FP //，AC FP 21=． 又//ED AC ，且1122ED AB AC ==，所以FP ED //，且ED FP =， 所以四边形EFPD 是平行四边形． 所以EF DP //． 而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，故//DP 平面EAB ．……………………………………………………6分（Ⅱ）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以可以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内．………………………………7分由已知可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B，(0,1,E，(0,2,D ．从而(2,1,EB =-，(0,1,0)ED =，…………………………………9分 设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n由0,0.EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,0.x y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取2z =，可得,0,2)=n ．又因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1)=m ．所以cos ,⋅<>==n m n m n m ． 即平面EBD 与平面ABC．……………12分18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“在一次试验中，卡片上的数字为正数”为事件A ，则21()42P A ==．……………………………………………………………3分 （Ⅱ）设“在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数”为事件B ．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以0041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 即在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．………………………………8分 而且21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯；21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量的分布列为P18 18 716 18 18 116………………………………11分故1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．………………13分 19. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，tan 603bc︒==．所以3b c =， 将 3b c = 代入 222a b c =+，解得2a c =．所以12c e a ==． ………………………………………………………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及1=c ，椭圆的方程可设为13422=+y x ． …………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直， 故可设直线AB 的方程为y=k(x+1)，将其代入3x 2+4y 2=12，整理得(4k 2+3)x 2+8k 2x+4k 2-12=0．………………………………………………8分则3482221+-=+k k x x ，346)2(22121+=++=+k kx x k y y ， 从而G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-343,344222k k k k ．因为 GD AB ⊥，可求得x 3422+-=k k x D ． ………………………………10分因为 △GFD ∽△OED ，所以 999||||22221>+===k OD GD S S 所以12SS 的取值范围是(9,)+∞．………………………………………………13分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列11,0,22-为单调递增的三阶“梦想数列”， 数列3113,,,8888--为单调递增的四阶“梦想数列”. …………………4分 （Ⅱ）设等差数列的公差为d ，，21+,所以，即，,d=,,(n,*N n ∈) ……………………………9分（Ⅲ）当k=n 时，显然102n S =≤成立 …………………………………………10分当k<n 时，据条件①得1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-++⋅⋅⋅+，即nk k k k a a a a a a S +++=+++=++ 2121，∴12122k k k k n S a a a a a a ++=+++++++12121k k k n a a a a a a ++≤+++++++=,1(1,2,3,,).2k S k n ≤=………………………………………13分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）f ˊ(x)=lna+2x-lna=(-1)lna+2x ………………………………………1分∴f ˊ(0)=0当x,当x, ∴f(x)在[-1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，f(0)为函数的极小值.……………………………………………………………5分（Ⅱ）该问题可以化归为f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的差小于等于e-1恒成立.……………………………………………………………6分由（Ⅰ）可知=f(0)=1,=max, 因为f(1)-f(-1)=a--2lna,令h(a)= a--2lna,a hˊ(a)=,所以h(a)在 [1，+]上单调递增，h(1)=0,所以当a 时，h(a),即f(1)f(-1), ……………………………8分所以对任意,,都有∣f()-f()∣所以只要a-lna 成立即可. ………………………………………10分令t(a)=a-lna-e+1,tˊ(a)=1-,因为a ,所以tˊ(a),所以t(a)在（1，）递增，又t(e)=0 所以由t(a)得a又a. ……………………………13分（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
合肥市2013年高三第三次教学质量检测
数学试题（理）
(考试时间：120分钟满分:150分）
第I 卷（满分50分）
—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）
1. 设集合M={R x ∈|x 2
<4},N={-1,1,2},则M N ＝( )
A{-1，1，2} B.{-1，2} C.{1，2} D{-1，1}
2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b 均为实数，i 为虚数单位），则a+b =( ) A. -2 B.4 C.2 D.0
3. 等比数列{a n }中，a 2=2，a 5 =4
1
，则a 7 =( ) A. 641 B. 32
1 C. 161 D. 81
4. “ m < 1 ”是“函数f(x) = x 2-x+4
1
m 存在零点”的（ )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 5. 右边程序框图，输出a 的结果为（ ） A.初始值a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值c
6. 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≥+03320632
2y x y x y x ，且z=x 2+y+，则z 的最小值是（ ）
A.4
B.1
C. 18
D.y
7. P 是正六边形ABCDEF 某一边上一点，y x +=， 则x+y 的最大值为（ ) A.4 B.5 C.6 D.7
8. 右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面 积为（ ）
A.20 + 17π
B.20 + 16π
C. 16 + 17π
D. 16 + l6π
9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作， 每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（ )
A.
103 B. 207 C. 52 D. 30
13 10.定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当a ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只
都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩
⎨⎧<--≥)0)((log )
0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）
A. 1006
B. 1007
C. 2012
D.2014
第II 卷（满分100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.已知抛物线的准线方程是x=
2
1
，则其标准方程是______
12.关于x 的不等式log 2|1-x| > 1的解集为_______ 13.曲线C 的极坐标方程为: θρcos 2=，曲线T 的参数
方程为⎩
⎨⎧+=+-=121t y t x (t 为参数），则曲线C 与T 的公共点有
______个.
14.如图，一栋建筑物AB 高（30-103)m ，在该建筑 物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M 点（B 、M 、
D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处 测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m.
15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题： ①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形；
③AC 1与平面PQR 所成的角为60°;
④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是
12
1
⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表
面上运动，则
ON
OM .的取值范围是[0，2].
其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分12分）
已知函数f(x)=Asin())2
,0(,0,0(),π
ϕωϕω∈>>+A x 部
分图像如图所示.
(I)求函数f(x)的解析式; (II)已知)2
,0(π
∈a ），且3
2
cos =
a ，求f(a).
17.(本小题满分13分）
如图BB 1,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面.
(I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；
(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.
(i)求证:CD 丄平面DEF; (ii)求二面角D-EC 1-D 1的余弦值.
18.(本小题满分12分）
已知f(x) = log a x- x +1( a>0，且 a ≠ 1). (I)若a=e,求f(x)的单调区间；
(II)若f(x)>0在区间（1，2)上恒成立，求实数a 的取值范围.
19.(本小题满分13分）
根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年级开展中小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级10个班级,确定甲、乙、丙三 条研学旅行路线.为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签 各三张，由高一（1)〜高一（9)班班长抽签,再由高一（10)班班长在分别写有甲、乙、 丙字样的三张签中抽取一张.
(I)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件A ，求事件A 的概率P(A);
(II )设高一（l)、高一(2)两班同路线为事件B,高一（1)、高一（10)两班同路线为事 件C ，试比较事件B 的概率P(B)与事件C 的概率P( C)的大小；
(III)记（II)中事件B 、C 发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ
20.(本小题满分12分）
平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,P 为平面内动点,作PQ 丄l ，垂足为Q ，且||2||=. (I)求动点P 的轨迹方程；
(II )过点M 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于点A 、B ，线段AB 的垂直平分 线交x 轴于点
H ，试判断|
|||AB HM -是否为定值.
21.(本小题满分13分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的*N n ∈，都有a n >0,S n = 33231...n a a a +++
(I)求a 1，a 2的值；
(II)求数列{a n }的通项公式a n (III)证明：ln2≤a n ·ln(1+)1n
a <ln3。